2021年湖北省黄石市中考数学真题试卷【含答案解释可编辑】

2021年湖北省黄石市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣的倒数是（　　）A．﹣2B．C．﹣D．±2．下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形3．如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（　　）A．B．C．D．4．计算（﹣5x3y）2正确的是（　　）A．25x5y2B．25x6y2C．﹣5x3y2D．﹣10x6y25．函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（　　）A．x≥﹣1B．x＞2C．x＞﹣1且x≠2D．x≠﹣1且x≠26．为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50，则这组数据的众数是（　　）A．46B．45C．50D．427．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（　　） A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）8．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（　　）A．20°B．22.5°C．15°D．12.5°9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（　　）A．3B．C．D．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣1012…y…m22n…且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是（　　）A．①②B．②③C．③④D．②③④ 二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分）11．计算：（）﹣1﹣|﹣2|＝　　．12．分解因式：a3﹣2a2+a＝　　．13．2021年5月21日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为14.12亿人．用科学记数法表示14.12亿人，可以表示为　　人．14．分式方程+＝3的解是　　．15．（4分）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为　　米．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）16．（4分）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为　　．17．（4分）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是　　．18．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是　　．（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③ 连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是　　（把你认为所有正确的都填上）．三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．20．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．22．（8分）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有　　人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是　　； （2）补全条形统计图；（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．23．（9分）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：（1）笼中鸡、兔各有多少只？（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？24．（10分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．（1）求证：BC∥OP；（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长． 25．（12分）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）． 2021年湖北省黄石市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣的倒数是（　　）A．﹣2B．C．﹣D．±【分析】利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．【解答】解：﹣的倒数是：﹣2．故选：A．2．下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．3．如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（　　）A．B．C．D．【分析】根据左视图的意义，从左面看该组合体所得到的图形即可．【解答】解：从左面看该组合体，所看到的图形如下， 故选：D．4．计算（﹣5x3y）2正确的是（　　）A．25x5y2B．25x6y2C．﹣5x3y2D．﹣10x6y2【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣5x3y）2＝25x6y2．故选：B．5．函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（　　）A．x≥﹣1B．x＞2C．x＞﹣1且x≠2D．x≠﹣1且x≠2【分析】根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x＞﹣1且x≠2，故选：C．6．为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50，则这组数据的众数是（　　）A．46B．45C．50D．42【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，依此即可得出答案．【解答】解：∵50出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是50．故选：C．7．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（　　） A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）【分析】利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′可得结论．【解答】解：观察图像，可知C′（﹣2，3），故选：B．8．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（　　）A．20°B．22.5°C．15°D．12.5°【分析】先根据垂径定理得到＝，则∠AOF＝∠BOF＝30°，然后根据圆周角定理得到∠BAF的度数．【解答】解：∵OF⊥AB，∴＝，∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝×60°＝30°，∴∠BAF＝∠BOF＝×30°＝15°．故选：C． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（　　）A．3B．C．D．【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE＝DC，再利用勾股定理计算出AC＝8，然后利用面积法得到•DE×10+•CD×6＝×6×8，最后解方程即可．【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，即5CD+3CD＝24，∴CD＝3．故选：A．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣1012… y…m22n…且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是（　　）A．①②B．②③C．③④D．②③④【分析】将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得，可得二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据当x＝时，对应的函数值y＜0，有a＜﹣，b＞，即得a＜0，b＞0，c＞0，故①不正确；由m＝2a+2，n＝2a+2，结合a＜﹣，可得m+n＜﹣，故②正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x＝，而当x＝时，对应的函数值y＜0，可知当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；由y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，知a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2时，t＞，故④不正确，【解答】解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，∵当x＝时，对应的函数值y＜0，∴a﹣a+2＜0，∴a＜﹣，∴﹣a＞，即b＞，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①不正确； ∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，∴m+n＝4a+4，∵a＜﹣，∴m+n＜﹣，故②正确；∵抛物线过（0，2），（1，2），∴抛物线对称轴为x＝，又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，而x＝0时y＝2＞0，∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），∵a＜0，∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），解得t＞，故④不正确，故选：B．二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分）11．计算：（）﹣1﹣|﹣2|＝　　．【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣（2﹣）＝2﹣2+＝． 故答案为：．12．分解因式：a3﹣2a2+a＝　a（a﹣1）2　．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．【解答】解：a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2．故答案为：a（a﹣1）2．13．2021年5月21日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为14.12亿人．用科学记数法表示14.12亿人，可以表示为　1.412×109　人．【分析】把一个大于10的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，n的值比这个数的整数位数少1．【解答】解：14.12亿＝1412000000＝1.412×109，故答案为：1.412×109．14．分式方程+＝3的解是　x＝3　．【分析】先将方程的左边进行计算后，再利用去分母的方法将原方程化为整式方程，求出这个整式方程的根，检验后得出答案即可．【解答】解：原方程可变为+＝3，所以＝3，两边都乘以（x﹣2）得，x＝3（x﹣2），解得，x＝3，检验：把x＝3代入（x﹣2）≠0，所以x＝3是原方程的根，故答案为：x＝3．15．（4分）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D 处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为　10.5　米．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据等腰三角形EF＝DF，得到BE的长，由AB＝BE得到结果．【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，又CD＝4米，∴DF＝2米，CF＝（米），由题意得∠E＝45°，∴EF＝DF＝2米∴BE＝BC+CF+EF＝5+2+2＝（7+2）米，∴AB＝BE＝7+2≈10.5（米），故答案为10.5．16．（4分）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为　3　．【分析】根据“左加右减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点（1，﹣3）代入求得m的值即可．【解答】解：将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣（x+m）+1． 将点（1，﹣3）代入，得﹣3＝﹣（1+m）+1．解得m＝3．故答案是：3．17．（4分）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是　6　．【分析】过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，根据已知条件结合反比例函数k的几何意义，求出点A与点B的坐标关系，再确定△ACH与△AOH的面积．【解答】解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，∵A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴设A（x，﹣），S△AOH＝，∵AB＝2BC，∴，，∴BG＝AH，HG＝2CG∴点B的纵坐标为，代反比例函数中得点B的坐标为（3x，），∴OG＝﹣3x，HG＝﹣2x，CG＝﹣x，则OC＝﹣4x，∴S△AOC＝＝•（﹣4x）•（﹣）＝6 故答案为：6．18．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是　4　．（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是　①③　（把你认为所有正确的都填上）．【分析】（1）过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，证明△ABE≌△ADG，得BE＝DG，AG＝AE，由∠EAF＝45°，证明△EAF≌△GAF，得EF＝GF，故△CEF的周长：EF+EC+CF＝GF+EC+CF＝CD+BC，即可得答案；（2）①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，证明△AMN≌△AHN，可得MN＝HN，Rt△HDN中，有HN2＝DH2+DN2，即得MN2＝BM2+DN2，故①正确；②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，设DF＝x，BE＝DG＝y，Rt△EFC中，（2x﹣y）2+x2＝（x+y）2，解得x＝y，即＝，设x＝3m，则y＝2m，Rt△ADG中，tanG＝＝＝3，即得tan∠AEF＝3，故②不正确； ③由∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，得△AMN∽△DFN，有＝，可得△ADN∽△MFN，从而∠MFN＝∠ADN＝45°，△AMF为等腰直角三角形，故③正确．【解答】解：（1）过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（ASA），∴BE＝DG，AG＝AE，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∴△CEF的周长：EF+EC+CF＝GF+EC+CF＝（DG+DF）+EC+CF＝DG+（DF+EC）+CF ＝BE+CD+CF＝CD+BC，∵正方形的边长为2，∴△CEF的周长为4；故答案为：4；（2）①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°，∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，∴AH＝AM，BM＝DH，∠ABM＝∠ADH＝45°，又AN＝AN，∴△AMN≌△AHN（SAS），∴MN＝HN，而∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，Rt△HDN中，HN2＝DH2+DN2，∴MN2＝BM2+DN2，故①正确；②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图： 由（1）知：EF＝GF＝DF+DG＝DF+BE，∠AEF＝∠G，设DF＝x，BE＝DG＝y，则CF＝x，CD＝BC＝AD＝2x，EF＝x+y，CE＝BC﹣BE＝2x﹣y，Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2，∴（2x﹣y）2+x2＝（x+y）2，解得x＝y，即＝，设x＝3m，则y＝2m，∴AD＝2x＝6m，DG＝2m，Rt△ADG中，tanG＝＝＝3，∴tan∠AEF＝3，故②不正确；③∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，∴△AMN∽△DFN，∴＝，即＝，又∠AND＝∠FNM，∴△ADN∽△MFN，∴∠MFN＝∠ADN＝45°，∴∠MAF＝∠MFA＝45°，∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确，故答案为：①③．三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1﹣）÷＝ ＝，当a＝﹣1时，原式＝＝．20．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．22．（8分）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有　50　人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是　108°　；（2）补全条形统计图；（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．【分析】（1）根据B景点的人数和所占的百分比求出总人数，再用360°乘以A部分所对占的百分比，即可得出A部分所对应的扇形圆心角度数； （2）用总人数减去其他旅游景点的人数，再补全统计图即可；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两位老师在同一个小组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%＝50（人），扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是：360°×＝108°；故答案为：50，108°；（2）C景点的人数有：50﹣15﹣20﹣5＝10（人），补全统计图如下：（3）根据题意画图如下：共有16等等可能的情况数，其中两位老师在同一个小组的有4种情况，则两位老师在同一个小组的概率是＝．23．（9分）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：（1）笼中鸡、兔各有多少只？ （2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？【分析】（1）设笼中鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数有35个头，从下面数有94只脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设笼中鸡有m只，则兔有只，根据笼中鸡兔至少30只且不超过40只，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设这笼鸡兔共值w元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只，依题意得：，解得：．答：笼中鸡有23只，兔有12只．（2）设笼中鸡有m只，则兔有只，依题意得：，解得：13≤m≤33．设这笼鸡兔共值w元，则w＝80m+60×＝50m+1410．∵50＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝13时，w取得最小值，最小值＝50×13+1410＝2060；当m＝33时，w取得最大值，最大值＝50×33+1410＝3060．答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元．24．（10分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．（1）求证：BC∥OP；（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积； （3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．【分析】（1）证明OP⊥AB，BC⊥AB，可得结论．（2）设OE＝m，用m的代数式表示AB，OP，构建方程求出m，求出OA，AB，OE，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB，求解即可．（3）在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，在Rt△ADE中，根据AD2＝AE2+DE2，构建方程求出x，再证明sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，可得结论．【解答】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵OA＝OB，∴OP⊥AB，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC∥OP.（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°， 设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，OP＝4m，∵四边形OAPB的面积是16，∴•OP•AB＝16，∴×4m×2m＝16，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，∵OD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4×2＝﹣4．（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，∴x＝1或﹣1（舍弃），∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，∵PA是切线，∴PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，∴∠CAB+∠BAD＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，∴∠CAB＝∠APO，∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，∴PA＝3AE＝6． 25．（12分）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．【分析】（1）由题意得：，即可求解；（2）△DEF是等腰直角三角形，故DE＝DF且∠EDF＝90°，故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，故点F（3+m，m），则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，进而求解；（3）由PQ2＝（m﹣3）2+（﹣m2+6m﹣3﹣t）2＝（m﹣3）2+[（m﹣3）2+t﹣6]2，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3； （2）∵△DEF是等腰直角三角形，故DE＝DF且∠EDF＝90°，故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，故点F（3+m，m），则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3，解得m＝﹣3（舍去）或2，则△DEF的面积＝m2＝4；（3）设点Q的坐标为（m，﹣m2+6m﹣3），则PQ2＝（m﹣3）2+（﹣m2+6m﹣3﹣t）2＝（m﹣3）2+[（m﹣3）2+t﹣6]2，设n＝（m﹣3）2，则PQ2＝n+（n+t﹣6）2＝n2+n（2t﹣11）+（t﹣6）2，∵1＞0，故PQ2有最小值，此时n＝，则PQ2的最小值＝（t﹣6）2﹣（11﹣2t）2＝，故PQ的最小值为．