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2021年广东省广州市中考数学真题试卷【含答案可编辑】

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2021年广东省广州市中考数学试卷一、选择题(本大题共10题,每小题3分,满分30分)1.下列四个选项中,为负整数的是(  )A.0B.﹣0.5C.﹣D.﹣22.如图,在数轴上,点A、B分别表示a、b,且a+b=0,若AB=6,则点A表示的数为(  )A.﹣3B.0C.3D.﹣63.方程=的解为(  )A.x=﹣6B.x=﹣2C.x=2D.x=64.下列运算正确的是(  )A.|﹣(﹣2)|=﹣2B.3+=3C.(a2b3)2=a4b6D.(a﹣2)2=a2﹣45.下列命题中,为真命题的是(  )(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)对角线互相垂直的四边形是菱形(3)对角线相等的平行四边形是菱形(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)6.为了庆祝中国共产党成立100周年,某校举办了党史知识竞赛活动,在获得一等奖的学生中,有3名女学生,1名男学生,则从这4名学生中随机抽取2名学生,恰好抽到2名女学生的概率为(  )A.B.C.D.7.一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是(  )27/27,A.8πcmB.16πcmC.32πcmD.192πcm8.抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0)、(3,0),且与y轴交于点(0,﹣5),则当x=2时,y的值为(  )A.﹣5B.﹣3C.﹣1D.59.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,使点C′落在AB边上,连结BB′,则sin∠BB′C′的值为(  )A.B.C.D.10.在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的点A在函数y=(x>0)的图象上,点C在函数y=﹣(x<0)的图象上,若点B的横坐标为﹣,则点A的坐标为(  )A.(,2)B.(,)C.(2,)D.(,)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)11.代数式在实数范围内有意义时,x应满足的条件是  .12.方程x2﹣4x=0的实数解是  .13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连结BD.若CD=1,则AD的长为  .27/27,14.一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根,点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=上的两个点,若x1<x2<0,则y1  y2(填“<”或“>”或“=”).15.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=38°,点D是边AB上一点,点B关于直线CD的对称点为B′,当B′D∥AC时,则∠BCD的度数为  .16.如图,正方形ABCD的边长为4,点E是边BC上一点,且BE=3,以点A为圆心,3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G,DF与AE交于点H.并与⊙A交于点K,连结HG、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有  (填写所有正确结论的序号).(1)H是FK的中点(2)△HGD≌△HEC(3)S△AHG:S△DHC=9:16(4)DK=27/27,三、解答题(本大题共9小题,满分72分)17.解方程组.18.如图,点E、F在线段BC上,AB∥CD,∠A=∠D,BE=CF,证明:AE=DF.19.已知A=(﹣)•.(1)化简A;(2)若m+n﹣2=0,求A的值.20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数,随机调查了该年级20名学生,统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下:3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4根据以上数据,得到如下不完整的频数分布表:次数123456人数12a6b2(1)表格中的a=  ,b=  ;(2)在这次调查中,参加志愿者活动的次数的众数为  ,中位数为  ;(3)若该校初三年级共有300名学生,根据调查统计结果,估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数.21.民生无小事,枝叶总关情,广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程,今年计划新增加培训共100万人次.(1)若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次,“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍,求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次;(2)“粤菜师傅”27/27,工程开展以来,已累计带动33.6万人次创业就业,据报道,经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升,已知李某去年的年工资收入为9.6万元,预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元,则李某的年工资收入增长率至少要达到多少?22.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,点E是AC的中点,且AC=AD.(1)尺规作图:作∠CAD的平分线AF,交CD于点F,连结EF、BF(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图中,若∠BAD=45°,且∠CAD=2∠BAC,证明:△BEF为等边三角形.23.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+4分别与x轴,y轴相交于A、B两点,点P(x,y)为直线l在第二象限的点.(1)求A、B两点的坐标;(2)设△PAO的面积为S,求S关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)作△PAO的外接圆⊙C,延长PC交⊙C于点Q,当△POQ的面积最小时,求⊙C的半径.24.已知抛物线y=x2﹣(m+1)x+2m+3.27/27,(1)当m=0时,请判断点(2,4)是否在该抛物线上;(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动,当顶点移动到最高处时,求该抛物线的顶点坐标;(3)已知点E(﹣1,﹣1)、F(3,7),若该抛物线与线段EF只有一个交点,求该抛物线顶点横坐标的取值范围.25.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,点E为边AB上一个动点,延长BA到点F,使AF=AE,且CF、DE相交于点G.(1)当点E运动到AB中点时,证明:四边形DFEC是平行四边形;(2)当CG=2时,求AE的长;(3)当点E从点A开始向右运动到点B时,求点G运动路径的长度.27/27,参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.下列四个选项中,为负整数的是(  )A.0B.﹣0.5C.﹣D.﹣2【分析】根据整数的概念可以解答本题.【解答】解:A、0是整数,但0既不是负数也不是正数,故此选项不符合题意;B、﹣0.5是负分数,不是整数,故此选项不符合题意;C、﹣是负无理数,不是整数,故此选项不符合题意;D、﹣2是负整数,故此选项符合题意.故选:D.2.如图,在数轴上,点A、B分别表示a、b,且a+b=0,若AB=6,则点A表示的数为(  )A.﹣3B.0C.3D.﹣6【分析】根据相反数的性质,由a+b=0,AB=6得a<0,b>0,b=﹣a,故AB=b+(﹣a)=6.进而推断出a=﹣3.【解答】解:∵a+b=0,∴a=﹣b,即a与b互为相反数.又∵AB=6,∴b﹣a=6.∴2b=6.∴b=3.∴a=﹣3,即点A表示的数为﹣3.故选:A.3.方程=的解为(  )A.x=﹣6B.x=﹣2C.x=2D.x=6【分析】求解分式方程,根据方程的解得结论.27/27,【解答】解:去分母,得x=2x﹣6,∴x=6.经检验,x=6是原方程的解.故选:D.4.下列运算正确的是(  )A.|﹣(﹣2)|=﹣2B.3+=3C.(a2b3)2=a4b6D.(a﹣2)2=a2﹣4【分析】根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则,完全平方公式等知识进行计算即可.【解答】解:A、|﹣(﹣2)|=2,原计算错误,故本选项不符合题意;B、3与不是同类二次根式,不能合并,原计算错误,故本选项不符合题意;C、(a2b3)2=a4b6,原计算正确,故本选项符合题意;D、(a﹣2)2=a2﹣4a+4,原计算错误,故本选项不符合题意.故选:C.5.下列命题中,为真命题的是(  )(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)对角线互相垂直的四边形是菱形(3)对角线相等的平行四边形是菱形(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解:(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,为真命题,符合题意;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故原命题错误,是假命题,不符合题意;(3)对角线相等的平行四边形是矩形,故原命题错误,为假命题,不符合题意;(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形,正确,是真命题,符合题意,27/27,真命题为(1)(4),故选:B.6.为了庆祝中国共产党成立100周年,某校举办了党史知识竞赛活动,在获得一等奖的学生中,有3名女学生,1名男学生,则从这4名学生中随机抽取2名学生,恰好抽到2名女学生的概率为(  )A.B.C.D.【分析】画树状图,共有12种等可能的结果,恰好抽到2名女学生的结果有6种,再由概率公式求解即可.【解答】解:画树状图如图:共有12种等可能的结果,恰好抽到2名女学生的结果有6种,∴恰好抽到2名女学生的概率为=,故选:B.7.一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是(  )A.8πcmB.16πcmC.32πcmD.192πcm【分析】首先利用相切的定义得到∠OAC=∠OBC=90°,然后根据∠ACB=60°求得∠AOB=120°,从而利用弧长公式求得答案即可.【解答】解:由题意得:CA和CB分别与⊙O分别相切于点A和点B,∴OA⊥CA,OB⊥CB,∴∠OAC=∠OBC=90°,∵∠ACB=60°,27/27,∴∠AOB=120°,∴=16π(cm),故选:B.8.抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0)、(3,0),且与y轴交于点(0,﹣5),则当x=2时,y的值为(  )A.﹣5B.﹣3C.﹣1D.5【分析】根据抛物线于x周两交点,及于y轴交点可画出大致图象,根据抛物线的对称性可求y=﹣5.【解答】解:如图∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0)、(3,0),且与y轴交于点(0,﹣5),∴可画出上图,∵抛物线对称轴x==1,∴点(0,﹣5)的对称点是(2,﹣5),∴当x=2时,y的值为﹣5.故选:A.9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,使点C′落在AB边上,连结BB′,则sin∠BB′C′的值为(  )27/27,A.B.C.D.【分析】在Rt△ABC中,利用勾股定理可求AB,由旋转的性质可得AC=AC'=6,BC=B'C'=8,∠C=∠AC'B'=90°,在Rt△BB'C'中,由勾股定理可求BB'的长,即可求解.【解答】解:∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB===10,∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,∴AC=AC'=6,BC=B'C'=8,∠C=∠AC'B'=90°,∴BC'=4,∴B'B===4,∴sin∠BB′C′===,故选:C.10.在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的点A在函数y=(x>0)的图象上,点C在函数y=﹣(x<0)的图象上,若点B的横坐标为﹣,则点A的坐标为(  )A.(,2)B.(,)C.(2,)D.(,)【分析】如图,作AD⊥x轴于D,CE⊥x轴于E,通过证得△COE∽△OAD得到=,则OE=2AD,CE=2OD,设A(m,)(m>0),则C(﹣,2m),由OE=0﹣(﹣)=得到m﹣(﹣)=,解分式方程即可求得A的坐标.【解答】解:如图,作AD⊥x轴于D,CE⊥x轴于E,27/27,∵四边形OABC是矩形,∴∠AOC=90°,∴∠AOD+∠COE=90°,∵∠AOD+∠OAD=90°,∴∠COE=∠OAD,∵∠CEO=∠ODA,∴△COE∽△OAD,∴=()2,,∵S△COE=×|﹣4|=2,S△AOD==,∴=,∴OE=2AD,CE=2OD,设A(m,)(m>0),∴C(﹣,2m),∴OE=0﹣(﹣)=,∵点B的横坐标为﹣,∴m﹣(﹣)=,整理得2m2+7m﹣4=0,∴m1=,m2=﹣4(舍去),∴A(,2),故选:A.27/27,二.填空题(共6小题)11.代数式在实数范围内有意义时,x应满足的条件是 x≥6 .【分析】二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数.【解答】解:代数式在实数范围内有意义时,x﹣6≥0,解得x≥6,∴x应满足的条件是x≥6.故答案为:x≥6.12.方程x2﹣4x=0的实数解是 x1=0,x2=4 .【分析】方程利用因式分解法求出解即可.【解答】解:方程x2﹣4x=0,分解因式得:x(x﹣4)=0,可得x=0或x﹣4=0,解得:x1=0,x2=4.故答案为:x1=0,x2=4.13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连结BD.若CD=1,则AD的长为 2 .【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD=BD,利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长,进而求解.27/27,【解答】解:∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∵∠C=90°,∠A=30°,CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.故答案为2.14.一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根,点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=上的两个点,若x1<x2<0,则y1 > y2(填“<”或“>”或“=”).【分析】由一元二次方程根的情况,求得m的值,确定反比例函数y=图象经过的象限,然后根据反比例函数的性质即可求得结论.【解答】解:∵一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=16﹣4m=0,解得m=4,∵m>0,∴反比例函数y=图象在一三象限,在每个象限y随x的增大而减少,∵x1<x2<0,∴y1>y2,故答案为>.15.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=38°,点D是边AB上一点,点B关于直线CD的对称点为B′,当B′D∥AC时,则∠BCD的度数为 32° .【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=38°,再利用平行线的性质得∠ADB′=∠A=38°,接着根据轴对称的性质得到∠CDB′=∠CDB,则可出∠CDB的度数,然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数.27/27,【解答】解:∵AC=BC,∴∠A=∠B=38°,∵B′D∥AC,∴∠ADB′=∠A=38°,∵点B关于直线CD的对称点为B′,∴∠CDB′=∠CDB=(38°+180°)=109°,∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=180°﹣39°﹣109°=32°.故答案为32°.16.如图,正方形ABCD的边长为4,点E是边BC上一点,且BE=3,以点A为圆心,3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G,DF与AE交于点H.并与⊙A交于点K,连结HG、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有 (1)(3)(4) (填写所有正确结论的序号).(1)H是FK的中点(2)△HGD≌△HEC(3)S△AHG:S△DHC=9:16(4)DK=【分析】(1)先证明△ABE≌△DAF,得∠AFD+∠BAE=∠AEB+∠BAE=90°,AH⊥FK,由垂径定理,得:FH=HK,即H是FK的中点;(2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可;(3)分别过H分别作HM⊥AD于M,HN⊥BC于N,由余弦三角函数和勾股定理算出了HM,HT,再算面积,即得S△AHG:S△DHC=9:16;(4)余弦三角函数和勾股定理算出了FK,即可得DK.【解答】解:(1)在△ABE与△DAF中,27/27,,∴△ABE≌△DAF(SAS),∴∠AFD=∠AEB,∴∠AFD+∠BAE=∠AEB+∠BAE=90°,∴AH⊥FK,由垂径定理,得:FH=HK,即H是FK的中点,故(1)正确;(2)如图,过H分别作HM⊥AD于M,HN⊥BC于N,∵AB=4,BE=3,∴AE==5,∵∠BAE=∠HAF=∠AHM,∴cos∠BAE=cos∠HAF=cos∠AHM,∴=,∴AH=,HM=,∴HN=4﹣=,即HM≠HN,∵MN∥CD,∴MD=CN,∵HD=,HC=,27/27,∴HC≠HD,∴△HGD≌△HEC是错误的,故(2)不正确;(3)由(2)知,AM==,∴DM=,∵MN∥CD,∴MD=HT=,∴==,故(3)正确;(4)由(2)知,HF==,∴,∴DK=DF﹣FK=,故(4)正确.三.解答题(共9小题)17.解方程组.【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可.【解答】解:,将①代入②得,x+(x﹣4)=6,∴x=5,将x=5代入①得,y=1,∴方程组的解为.18.如图,点E、F在线段BC上,AB∥CD,∠A=∠D,BE=CF,证明:AE=DF.【分析】欲证AE=DF,可证△ABE≌DCF.由AB∥CD,得∠B=∠C.又因为∠27/27,A=∠D,BE=CF,所以△ABE≌△DCF.【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.在△ABE和△DCF中,∴△ABE≌DCF(AAS).∴AE=DF.19.已知A=(﹣)•.(1)化简A;(2)若m+n﹣2=0,求A的值.【分析】(1)根据分式的减法和除法可以化简A;(2)根据m+n﹣2=0,可以得到m+n=2,然后代入(1)中化简后的A,即可求得A的值.【解答】解:(1)A=(﹣)•===(m+n);(2)∵m+n﹣2=0,∴m+n=2,当m+n=2时,A=×2=6.20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数,随机调查了该年级20名学生,统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下:3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4根据以上数据,得到如下不完整的频数分布表:次数123456人数12a6b227/27,(1)表格中的a= 4 ,b= 5 ;(2)在这次调查中,参加志愿者活动的次数的众数为 4 ,中位数为 4 ;(3)若该校初三年级共有300名学生,根据调查统计结果,估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数.【分析】(1)由题中的数据即可求解;(2)根据中位数、众数的定义,即可解答;(3)根据样本估计总体,即可解答.【解答】解:(1)由该20名学生参加志愿者活动的次数得:a=4,b=5,故答案为:4,5;(2)该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下:1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,∵4出现的最多,由6次,∴众数为4,中位数为第10,第11个数的平均数=4,故答案为:4,4;(3)300×=90(人).答:估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人.21.民生无小事,枝叶总关情,广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程,今年计划新增加培训共100万人次.(1)若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次,“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍,求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次;(2)“粤菜师傅”工程开展以来,已累计带动33.6万人次创业就业,据报道,经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升,已知李某去年的年工资收入为9.6万元,预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元,则李某的年工资收入增长率至少要达到多少?【分析】(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次,则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x27/27,万人次,根据今年计划新增加培训共100万人次,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;(2)设李某的年工资收入增长率为m,利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资收入×(1+增长率),结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,再取其中的最小值即可得出结论.【解答】解:(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次,则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次,依题意得:31+2x+x=100,解得:x=23.答:“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次.(2)设李某的年工资收入增长率为m,依题意得:9.6(1+m)≥12.48,解得:m≥0.3=30%.答:李某的年工资收入增长率至少要达到30%.22.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,点E是AC的中点,且AC=AD.(1)尺规作图:作∠CAD的平分线AF,交CD于点F,连结EF、BF(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图中,若∠BAD=45°,且∠CAD=2∠BAC,证明:△BEF为等边三角形.【分析】(1)根据要求作出图形即可.(2)想办法证明EB=EF,∠BEF=60°,可得结论.【解答】(1)解:如图,图形如图所示.27/27,(2)证明:∵AC=AD,AF平分∠CAD,∴∠CAF=∠DAF,AF⊥CD,∵∠CAD=2∠BAC,∠BAC=45°,∴∠BAE=∠EAF=∠FAD=15°,∵∠ABC=∠AFC=90°,AE=EC,∵BE=AE=EC,EF=AE=EC,∴EB=EF,∠EAB=∠EBA=15°,∠EAF=∠EFA=15°,∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=30°,∠CEF=∠EAF+∠EFA=30°,∴∠BEF=60°,∴△BEF是等边三角形.23.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+4分别与x轴,y轴相交于A、B两点,点P(x,y)为直线l在第二象限的点.(1)求A、B两点的坐标;(2)设△PAO的面积为S,求S关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)作△PAO的外接圆⊙C,延长PC交⊙C于点Q,当△POQ的面积最小时,求⊙C的半径.27/27,【分析】(1)根据直线y=x+4分别与x轴,y轴相交于A、B两点,令x=0,则y=4;令y=0,则x=﹣8,即得A,B的坐标;(2)设P(x,),根据三角形面积公式,表示出S关于x的函数解析式,根据P在线段AB上得出x的取值范围;(3)将S△POQ表示为OP2,从而当△POQ的面积最小时,此时OP最小,而OP⊥AB时,OP最小,借助三角函数求出此时的直径即可解决问题.【解答】解:(1)∵直线y=x+4分别与x轴,y轴相交于A、B两点,∴当x=0时,y=4;当y=0时,x=﹣8,∴A(﹣8,0),B(0,4);(2)∵点P(x,y)为直线l在第二象限的点,∴P(x,),∴S△APO==2x+16(﹣8<x<0);∴S=2x+16(﹣8<x<0);(3)∵A(﹣8,0),B(0,4),∴OA=8,OB=4,在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB=,在⊙C中,∵PQ是直径,∴∠PQO=90°,27/27,∵∠BAO=∠Q,∴tanQ=tan∠BAO=,∴,∴OQ=2OP,∴S△POQ=,∴当S△POQ最小,则OP最小时,∵点P在线段AB上运动,∴当OP⊥AB时,OP最小,∴S△AOB=,∴,∵sinQ=sin∠BAO,∴,∴,∴PQ=8,∴⊙C半径为4.24.已知抛物线y=x2﹣(m+1)x+2m+3.(1)当m=0时,请判断点(2,4)是否在该抛物线上;(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动,当顶点移动到最高处时,求该抛物线的顶点坐标;(3)已知点E(﹣1,﹣1)、F(3,7),若该抛物线与线段EF只有一个交点,求该抛物线顶点横坐标的取值范围.【分析】(1)当m=0时,抛物线为y=x2﹣x+3,将x=2代入得y=5,故点(2,4)不在抛物线上;(2)抛物线y=x2﹣(m+1)x+2m+3的顶点为(,),而=﹣(m﹣3)2+5,即得m=3时,纵坐标最大,此时顶点移动到了最高处,顶点坐标为:(2,5);27/27,(3)求出直线EF的解析式为y=2x+1,由得直线y=2x+1与抛物线y=x2﹣(m+1)x+2m+3的交点为:(2,5)和(m+1,2m+3),因(2,5)在线段EF上,由已知可得(m+1,2m+3)不在线段EF上,即是m+1<﹣1或m+1>3,或(2,5)与(m+1,2m+3)重合,可得抛物线顶点横坐标x顶点=<﹣或x顶点=>或x顶点=1.【解答】解:(1)当m=0时,抛物线为y=x2﹣x+3,将x=2代入得y=4﹣2+3=5,∴点(2,4)不在抛物线上;(2)抛物线y=x2﹣(m+1)x+2m+3的顶点为(,),化简得(,),顶点移动到最高处,即是顶点纵坐标最大,而=﹣(m﹣3)2+5,∴m=3时,纵坐标最大,即是顶点移动到了最高处,此时顶点坐标为:(2,5);(3)设直线EF解析式为y=kx+b,将E(﹣1,﹣1)、F(3,7)代入得:,解得,∴直线EF的解析式为y=2x+1,由得:或,∴直线y=2x+1与抛物线y=x2﹣(m+1)x+2m+3的交点为:(2,5)和(m+1,2m+3),而(2,5)在线段EF上,∴若该抛物线与线段EF只有一个交点,则(m+1,2m+3)不在线段EF上,或(2,5)与(m+1,2m+3)重合,∴m+1<﹣1或m+1>3或m+1=2(此时2m+3=5),∴此时抛物线顶点横坐标x顶点=<﹣或x顶点=>或x顶点=27/27,==1.25.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,点E为边AB上一个动点,延长BA到点F,使AF=AE,且CF、DE相交于点G.(1)当点E运动到AB中点时,证明:四边形DFEC是平行四边形;(2)当CG=2时,求AE的长;(3)当点E从点A开始向右运动到点B时,求点G运动路径的长度.【分析】(1)利用平行四边形的判定定理:两边平行且相等的四边形是平行四边形,(2)利用三角形相似,求出此时FG的长,再借助直角三角形勾股定理求解,(3)利用图形法,判断G点轨迹为一条线段,在对应点处求解.【解答】解:(1)连接DF,CE,如图所示:,∵E为AB中点,∴AE=AF=AB,∴EF=AB,∵四边形ABCD是菱形,∴EF∥AB,∴四边形DFEC是平行四边形.(2)作CH⊥BH,设AE=FA=m,如图所示,27/27,,∵四边形ABCD是菱形,∴CD∥EF,∴△CDG∽△FEG,∴,∴FG=2m,在Rt△CBH中,∠CBH=60°,BC=2,sin60°=,CH=,cos60°=,BC=1,在Rt△CFH中,CF=2+2m,CH=,FH=3+m,CF²=CH²+FH²,即(2+2m)²=()²+(3+m)²,整理得:3m²+2m﹣8=0,解得:m1=,m2=﹣2(舍去),∴.(3)因H点沿线段AB直线运动,F点沿线段BA的延长线直线运动,并且CD∥AB,线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG,运动刚开始时,A、F、H、G四点重合,当H点与B点重合时,G点运动到极限位置,所以G点轨迹为线段AG,如图所示,作GH⊥AB,27/27,∵四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,AB=2,∴CD∥BF,BD=2,∴△CDG∽△FBG,∴,即BG=2DG,∵BG+DG=BD=2,∴BG=,在Rt△GHB中,BG=,∠DBA=60°,sin60°=,GH=,cos60°=,BH=,在Rt△AHG中,AH=2﹣=,GH=,AG²=()²+()²=,∴AG=.∴G点路径长度为.27/27

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发布时间:2022-03-31 22:50:16 页数:27
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文章作者: 真水无香

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