2021年四川省巴中市中考数学试卷

2021年四川省巴中市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑.1．下列各式的值最小的是（　　）A．20B．|﹣2|C．2﹣1D．﹣（﹣2）2．某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（　　）A．B．C．D．3．据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元．用科学记数法表示337亿正确的是（　　）A．337×108B．3.37×1010C．3.37×1011D．0.337×10114．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（　　）A．了解巴河被污染情况B．了解巴中市中小学生书面作业总量C．了解某班学生一分钟跳绳成绩D．调查一批灯泡的质量5．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC第5题第7题第8题6．关于x的分式方程﹣3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠27．小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（　　）A．小风的成绩是220秒B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等D．小风的平均速度是4米/秒8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）A．sinB＝B．sinC＝C．tanB＝D．sin2B+sin2C＝19．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）A．B．C．D．10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）第20页（共20页） A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对11．如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）A．B．C．D．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）x…﹣3﹣2﹣112…y…1.8753m1.8750…A．①④B．②③C．③④D．②④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.13．函数y＝+中自变量x的取值范围是　　．14．关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为　　．15．为优选品种，某农业科技小组对甲、乙两种杂交水稻进行种植对比试验研究，近五年来这两种杂交水稻的亩产量的平均数（单位：千克）及方差s2见表格．明年准备从中选出一种品质更优的杂交水稻进行种植，则应选的品种是　　．甲乙880880s22160250016．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝　　．17．如图，平行于y轴的直线与函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2＝于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝　　．18．如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝　　．三、解答题（本大题共7道小题，共84分.请将解答过程写在答题卡相应的位置上.）19．（16分）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；第20页（共20页） （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．20．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．21．（10分）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．（1）该校九年级共有　　名学生，“D”等级所占圆心角的度数为　　；（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．22．（10分）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．第20页（共20页） 23．（12分）如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．（1）求m，k，b的值；（2）求△ABE的面积；（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．24．（12分）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．第20页（共20页） 2021年四川省巴中市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑.1．下列各式的值最小的是（　　）A．20B．|﹣2|C．2﹣1D．﹣（﹣2）【解答】解：20＝1，|﹣2|＝2，2﹣1＝，﹣（﹣2）＝2，∵＜1＜2，∴最小的是2﹣1．故选：C．2．某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（　　）A．B．C．D．【解答】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．故选：A．3．据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元．用科学记数法表示337亿正确的是（　　）A．337×108B．3.37×1010C．3.37×1011D．0.337×1011【解答】解：337亿＝33700000000＝3.37×1010．故选：B．4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（　　）A．了解巴河被污染情况B．了解巴中市中小学生书面作业总量C．了解某班学生一分钟跳绳成绩D．调查一批灯泡的质量【解答】解：A．了解巴河被污染情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；B．了解巴中市中小学生书面作业总量，适合抽样调查，故本选项不合题意；C．了解某班学生一分钟跳绳成绩，适合全面调查，故本选项符合题意；D．调查一批灯泡的质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；故选：C．5．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（　　）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3第20页（共20页） C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC【解答】解：∵＝＝，∴DE：BC＝1：3，故A错误；∵＝，∴＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，故B和C错误；∵＝，∴＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．6．关于x的分式方程﹣3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2【解答】解：﹣3＝0，方程两边同时乘以2﹣x，得m+x﹣3（2﹣x）＝0，去括号得，m+x﹣6+3x＝0，合并同类项得，4x＝6﹣m，∵方程有解，∴x≠2，∴6﹣m≠8，∴m≠﹣2，故选：B．7．小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（　　）A．小风的成绩是220秒B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等D．小风的平均速度是4米/秒【解答】解：A、小风的成绩是220秒，本选项正确，不符合题意；B、小风最后冲刺阶段的速度是＝5（米/秒），本选项正确，不符合题意；C、小风第一阶段的速度是＝5（米/秒），即小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等，本选项正确，不符合题意；第20页（共20页） D、＝（米/秒），故本选项错误，符合题意；故选：D．8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）A．sinB＝B．sinC＝C．tanB＝D．sin2B+sin2C＝1【解答】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，∴BC2＝AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴sinB＝，sinC＝，tanB＝，sin2B+sin2C＝，故选：A．9．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接OA、OC，OC交AB于点E，∵点C是弧AB中点，AB＝6，∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∴∠OAE＝30°，第20页（共20页） ∴OE＝AE＝，故圆心O到弦AB的距离为．故选：C．10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，∴，∴（20﹣x）2＝20x，故选：A．11．如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形AOBC为矩形，且点C（﹣10，8），∴AC＝OB＝8，AO＝BC＝10，∠C＝∠A＝∠EOB＝90°，∵△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，∴CD＝DE，BC＝BE＝10，在Rt△OBE中，OE＝＝＝6，设CD＝DE＝m，则AD＝8﹣m，∵∠ADE+∠AED＝∠AED+∠OEB＝90°，∴∠ADE＝∠OEB，∵∠A＝∠AOB，∴△ADE∽△OEB，∴，即，解得m＝3，∴DE＝8﹣3＝5，在Rt△BDE中，DE＝5，BE＝10，∴tan∠DBE＝＝，故选：D．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）第20页（共20页） x…﹣3﹣2﹣112…y…1.8753m1.8750…A．①④B．②③C．③④D．②④【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，∴二次函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，代入点（﹣2，3），（2，0）得，，解得，∴二次函数的解析式为：，∵，∴c＝3，∴①是错误的，∵b2﹣4ac＝＞0，∴②是正确的，方程ax2+bx＝0为，即为x2+2x＝0，∴x1＝﹣2，x2＝0，∴③是正确的，∵7a+c＝＝＞0，∴④是错误的，∴②③是正确的，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将正确答案直接写在答题卡相应的位置上.13．函数y＝+中自变量x的取值范围是　x≤2且x≠﹣3　．【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x+3≠0，解得x≤2且x≠﹣3．故答案为：x≤2且x≠﹣3．14．关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为　x2＝﹣2　．【解答】解：设方程的另一根为x2，∵关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则1×x2＝＝﹣2，解得x2＝﹣2．故答案为：x2＝﹣2．15．为优选品种，某农业科技小组对甲、乙两种杂交水稻进行种植对比试验研究，近五年来这两种杂交水稻的亩产量的平均数（单位：千克）及方差s2第20页（共20页） 见表格．明年准备从中选出一种品质更优的杂交水稻进行种植，则应选的品种是　甲　．甲乙880880s221602500【解答】解：因为甲、乙的平均数相同，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，则应选的品种是甲；故答案为：甲．16．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝　5　．【解答】解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），即a（﹣x）2+（a﹣5）•（﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣a＝0，∴a＝5，故答案为：5．17．如图，平行于y轴的直线与函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2＝于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝　8　．【解答】解：设A（m，），则B（m，），D（m，0），设C（n，），∵S△OCD＝OD•yc＝•m•＝2，∴＝2，∴＝．又S△OCD＝S△OAD﹣S△ACD＝k﹣••（m﹣n）＝k（1﹣）＝k•＝k，∴k＝2，第20页（共20页） ∴k＝8．故答案为：8．18．如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝　　．【解答】解：连接OQ，OP，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，∴OA＝OD，∠OAQ＝∠ODQ＝90°，在Rt△OAQ和Rt△ODQ中，，∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ（HL），∴QA＝DQ，同理可证：CP＝DP，∵BQ：AQ＝3：1，∴BQ＝，AQ＝，设CP＝x，则BP＝3﹣x，PQ＝x+，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：（3﹣x）2+（）2＝（x+）2，解得x＝，∴BP＝，∵∠AQM＝∠BQP，∠BAM＝∠B，∴△AQM∽△BQP，∴，∴，∴AM＝．第20页（共20页） 故答案为：．三、解答题（本大题共7道小题，共84分.请将解答过程写在答题卡相应的位置上.）19．（16分）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．【解答】解：（1）2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+＝2×+2﹣﹣2+﹣1＝+2﹣﹣2+﹣1＝﹣1；（2），解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤﹣1，∴原不等式组的解集是﹣3＜x≤﹣1，解集在数轴上表示如下：；（3）÷（1+）＝＝＝，∵a（a+3）≠0，a+4≠0，∴a≠﹣4，﹣3，0，∴a＝1，当a＝1时，原式＝＝5．20．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．第20页（共20页） 【解答】证明：（1）连接BD，根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，即BD⊥AE，∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠DBE，∵BD⊥AE，∴AB＝BE，∴AD＝BE，∵AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∵AE⊥BD，∴平行四边形ABED是菱形；（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，∴E是BC的中点，∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，∴△BDC是含30°的直角三角形，∴BD＝CD＝5．21．（10分）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．（1）该校九年级共有　500　名学生，“D”等级所占圆心角的度数为　36°　；（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．第20页（共20页） 【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），则D”等级所占圆心角的度数为：360°×＝36°，故答案为：500，36°；（2）B等级的人数为：500﹣150﹣100﹣50＝200（名），将条形统计图补充完整如下：（3）此规则不合理，理由如下：画树状图如图：共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，∴选甲乙的概率为＝，选丙丁的概率为＝，∵＞，∴此规则不合理．22．（10分）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．第20页（共20页） 【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，则BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝12（m），∴AB＝BE﹣AE＝12﹣6＝6（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，∴DE＝≈＝24（m），∴CD＝DE﹣CE＝24﹣6≈14（m）．23．（12分）如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．（1）求m，k，b的值；（2）求△ABE的面积；（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（﹣8，1），∴m＝﹣8×1＝﹣8，又∵直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），∴，解得k＝﹣，b＝﹣3，第20页（共20页） 答：m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；（2）由（1）可得反比例函数的关系式为y＝，直线AB的关系式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，即C（﹣6，0），∴OC＝6，由点E（1，0）可得OE＝1，∴EC＝OE+OC＝1+6＝7，∴S△ABE＝S△ACE+S△BCE＝×7×1+×7×4＝；（3）设直线DE的关系式为y＝kx+b，D（0，﹣3），E（1，0）代入得，b＝﹣3，k+b＝0，∴k＝3，b＝﹣3，∴直线DE的关系式为y＝3x﹣3，设DE平移后的关系式为y＝3x﹣3+n，由于平移后与y＝有唯一公共点，即方程3x﹣3+n＝有唯一解，也就是关于x的方程3x2+（n﹣3）x+8＝0有两个相等的实数根，∴（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，解得n＝3+4，n＝3﹣4（舍去），∴n＝3+4，答：n的值为3+4．24．（12分）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．【解答】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，∴∠BAE＝∠CAE，又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，即AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线；第20页（共20页） （2）连接OB，∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴＝设半径为r，在Rt△EOC中，有勾股定理得，OE＝＝，∴＝，解得r＝6（取正值），经检验r＝6是原方程的解，即OB＝OC＝OA＝6，又∵BC＝6，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×6×3＝6π﹣9．25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，第20页（共20页） 得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，第20页（共20页） ∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．第20页（共20页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/199:21:01；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第20页（共20页）