2021年江苏省南通市中考数学试卷

2021年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）计算1﹣2，结果正确的是（　　）A．3B．1C．﹣1D．﹣32．（3分）据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（　　）A．0.137×107B．1.37×107C．0.137×106D．1.37×1063．（3分）下列计算正确的是（　　）A．a3+a3＝a6B．a3•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．（ab）3＝ab34．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（　　）A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．调查某批次汽车的抗撞击能力C．调查春节联欢晚会的收视率D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数5．（3分）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（　　）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥6．（3分）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（　　）A．24B．20C．10D．57．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（　　）第27页（共27页） A．B．C．D．8．（3分）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（　　）A．7＜a＜8B．7＜a≤8C．7≤a＜8D．7≤a≤89．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（　　）A．B．第27页（共27页） C．D．10．（3分）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y＝（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（　　）A．2B．4C．6D．8二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：x2﹣9y2＝　　．12．（3分）正五边形每个内角的度数为　　．13．（4分）圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为　　cm2．14．（4分）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．时间/分钟0510152025温度/℃102540557085若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是　　℃．15．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　　海里（结果保留根号）．第27页（共27页） 16．（4分）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为　　．17．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为　　．18．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为　　．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）化简求值：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2），其中x＝﹣；（2）解方程﹣＝0．20．（11分）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？第27页（共27页） 21．（12分）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）a＝　　，b＝　　；（2）从方差的角度看，　　种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．第27页（共27页） 22．（10分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为　　；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．（1）求∠B的度数；（2）若AB＝2，求的长．24．（12分）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．25．（13分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．第27页（共27页） （1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．26．（13分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．第27页（共27页） 2021年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）计算1﹣2，结果正确的是（　　）A．3B．1C．﹣1D．﹣3【解答】解：1﹣2＝1+（﹣2）＝﹣1，故选：C．2．（3分）据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（　　）A．0.137×107B．1.37×107C．0.137×106D．1.37×106【解答】解：将1370000用科学记数法表示为：1.37×106．故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（　　）A．a3+a3＝a6B．a3•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．（ab）3＝ab3【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；B．a3•a3＝a6，故本选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D．（ab）3＝a3b3，故本选项不合题意；故选：B．4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（　　）A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．调查某批次汽车的抗撞击能力C．调查春节联欢晚会的收视率D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数【解答】解：A．了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故选项A符合题意；B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项B不符合题意；C．调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项C不符合题意；D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故选项D不符合题意；第27页（共27页） 故选：A．5．（3分）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（　　）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥【解答】解：根据三视图可以得出立体图形是三棱柱，故选：A．6．（3分）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（　　）A．24B．20C．10D．5【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×6＝3，BO＝×8＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：B．7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（　　）第27页（共27页） A．B．C．D．【解答】解：由用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，可得方程y＝x+4.5，由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程y＝x−1，故，故选：D．8．（3分）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（　　）A．7＜a＜8B．7＜a≤8C．7≤a＜8D．7≤a≤8【解答】解：，解不等式①，得x＞4.5，解不等式②，得x≤a，所以不等式组的解集是4.5＜x≤a，∵关于x的不等式组恰有3个整数解（整数解是5，6，7），∴7≤a＜8，故选：C．9．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（　　）第27页（共27页） A．B．C．D．【解答】解：∵AD＝，∴AB＞AD，∴点P先到D，当0≤t＜13时，过点P作PH⊥AB于H，第27页（共27页） 则，∴PH＝，∴，∴图象开口向上，∴A，B不符合题意，当18＜t＜31时，点P在BC上，∴，只有D选项符合题意，故选：D．10．（3分）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y＝（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（　　）A．2B．4C．6D．8【解答】解：解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a），设直线BM的解析式为：y＝nx+b，则，解得：，∴直线BM的解析式为：y＝x+，∴OD＝，同理得：直线AM的解析式为：y＝x+，∴OC＝，∵a•2a＝2m，∴m＝a2，∴OC﹣OD＝﹣＝4；第27页（共27页） 解法二：由题意得：，解得：，，∵点A在第一象限，∴A（，），B（﹣，﹣），∵M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，∴2m＝k，∴m＝，∴M（，2），如图，过点A作AP⊥y轴于P，过点M作ME⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，∴∠MED＝∠BFD＝90°，∵∠EDM＝∠BDF，∴△EMD∽△FBD，第27页（共27页） ∴，即＝＝，∴OD＝＝﹣2，∵∠CPA＝∠CEM＝90°，∠ACP＝∠ECM，∴△CPA∽△CEM，∴，即＝＝，∴OC＝＝＝+2，∴OC﹣OD＝+2﹣（﹣2）＝4．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：x2﹣9y2＝　（x+3y）（x﹣3y）　．【解答】解：x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．12．（3分）正五边形每个内角的度数为　108°　．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．13．（4分）圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为　2π　cm2．【解答】解：圆锥的侧面积为：πrl＝2×1π＝2πcm2，故答案为：2π．14．（4分）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．第27页（共27页） 时间/分钟0510152025温度/℃102540557085若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是　52　℃．【解答】解：根据表格中的数据可知温度T随时间t的增加而上升，且每分钟上升3℃，则关系式为：T＝3t+10，当t＝14min时，T＝3×14+10＝52（℃）．故14min时的温度是52℃．故答案为：52．15．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　25　海里（结果保留根号）．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．第27页（共27页） 16．（4分）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为　3　．【解答】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∵Δ＝13＞0，∴m+n＝﹣3，∴＝＝＝3，故答案为3．17．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为　　．【解答】解：∵m﹣n2+4＝0，∴n2﹣4＝m，∴3n2﹣9＝3m+3，∵P（m，3n2﹣9），∴P点到原点的距离为＝，∴点P到原点O的距离的最小值为，故答案为．18．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB第27页（共27页） 长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为　　．【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，过E作EG⊥AB交AB于G，连AE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵CE∥AB，∴∠FAB＝90°，∴∠FAC＝45°，∴△AFC为等腰直角三角形，设AF＝x，则CF＝x，∴AC＝＝，∴AB＝，∵AE、AB均为⊙的半径，∴AE＝2x，∴EF＝＝，∴CE＝，∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，∴四边形FAGE为矩形，第27页（共27页） ∴AF＝EG＝x，EF＝AG＝，∴BG＝AB﹣AG＝（2）x，∴BE＝＝，∴＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）化简求值：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2），其中x＝﹣；（2）解方程﹣＝0．【解答】解：（1）原式＝4x2﹣4x+1+x2+4x﹣12＝5x2﹣11，当x＝﹣时，原式＝5×3﹣11＝15﹣11＝4．（2）﹣＝0，＝，2x＝3x﹣9，x＝9，检验：将x＝9代入x（x﹣3）≠0，∴x＝9是原方程的解．20．（11分）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？第27页（共27页） 【解答】解：∵DE⊥BC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9（m），答：楼高BC是9m．21．（12分）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294第27页（共27页） 甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）a＝　88　，b＝　90　；（2）从方差的角度看，　乙　种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【解答】解：（1）将甲种西瓜的得分从小到大排列，处在中间位置的一个数是88，因此中位数是88，即a＝88，乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即b＝90，故答案为：88，90；（2）由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得s甲2＞s乙2，∴乙种西瓜的得分较稳定，故答案为：乙；（3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．22．（10分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为　　；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．【解答】解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如图：第27页（共27页） 共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，∴两次取出小球标号的和等于5的概率为＝．23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．（1）求∠B的度数；（2）若AB＝2，求的长．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAD＝∠OCA，∵OA＝OC，第27页（共27页） ∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠OAC＝35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠B＝90°，∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°；（2）连接OE，∵⊙O的直径AB＝2，∴OA＝1，∵＝，∴∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°，∴的长为：＝．24．（12分）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得，当x≤300时，yA＝0.9x；当x＞300时，yA＝0.9×300+0.7（x﹣300）＝0.7x+60，故；当x＞100时，yB＝100+0.8（x﹣100）＝0.8x+20；第27页（共27页） ；（2）由题意，得0.9x＞0.8x+20，解得x＞200，∴200＜x≤300时，到B超市更省钱；0.7x+60＞0.8x+20，解得x＜400，∴300＜x＜400，到B超市更省钱；0.7x+60＝0.8x+20，解得x＝400，∴当x＝400时，两家超市一样；0.7x+60＜0.8x+20，解得x＞400，∴当x＞400时，到A超市更省钱；综上所述，当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱．25．（13分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．【解答】解：（1）如图1，连接BF，第27页（共27页） ∵点A关于直线BE的对称点为点F，∴AB＝BF，BE⊥AF，∴∠ABE＝∠EBF＝α，∴∠CBF＝90°﹣2α，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝＝45°+α；（2）DG∥CF，理由如下：如图2，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，∵CG⊥AF，∴∠CGA＝∠ADC＝90°，∴点A，点D，点G，点C四点共圆，∴∠AGD＝∠ACD＝45°，∵AB＝BF，∠ABF＝2α，∴∠AFB＝＝90°﹣α，∴∠AFC＝135°，∴∠CFG＝45°＝∠DGA，∴DG∥CF；（3）∵BE＞AB，∴BH＞BF，第27页（共27页） ∴BH≠BF；如图3，当BH＝FH时，过点H作HN⊥BF于N，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，∴△ABE≌△BCH，∠EBH＝90°＝∠ABC，∴AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC，∴∠HBF＝90°﹣α，∵BH＝FH，HN⊥BF，∴BN＝NF＝BF＝AB，∠BNH＝90°＝∠BAE，∴∠BHN＝α，∴∠ABE＝∠BHN，∴△ABE≌△NHB（ASA），∴BN＝AE＝AB，∴BE＝＝AE，∴sinα＝＝，当BF＝FH时，∴∠FBH＝∠FHB＝90°﹣α，∴∠BFH＝2α＝∠ABF，∴AB∥FH，即点F与点C重合，则点E与点D重合，∵点E在边AD上（不与端点A，D重合），∴BF＝FH不成立，综上所述：sinα的值为．第27页（共27页） 26．（13分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，解得：x1＝0，x2＝2，∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，解得：x＝，∴A（，），在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为3，∴×|b|×|﹣b|＝3，当b＜0时，b2﹣2﹣24＝0，解得b＝﹣2，第27页（共27页） 当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，∴方程b2﹣2+24＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣2﹣24＝0，解得：b＝4，综上所述，b的值为﹣2或4；（3）令x＝x2﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），W1：y＝x2﹣2（x≥m），W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），令x＝（x﹣2m）2﹣2，整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，∵W2的图象上不存在“等值点”，∴Δ＜0，∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，∴m＜﹣，②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或﹣1＜m＜2．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/413:56:07；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第27页（共27页）