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2021年湖北省武汉市中考数学试卷

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2021年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中有且只有一个正确答案,请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1.实数3的相反数是(  )A.3B.﹣3C.D.﹣2.下列事件中是必然事件的是(  )A.抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上B.随意翻到一本书的某页,这一页的页码是偶数C.打开电视机,正在播放广告D.从两个班级中任选三名学生,至少有两名学生来自同一个班级3.下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.4.计算(﹣a2)3的结果是(  )A.﹣a6B.a6C.﹣a5D.a55.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体,它的主视图是(  )A.B.C.D.6.学校招募运动会广播员,从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人,则两人恰好是一男一女的概率是(  )A.B.C.D.7.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人数,物价各是多少?若设共有x人,物价是y钱,则下列方程正确的是(  )A.8(x﹣3)=7(x+4)B.8x+3=7x﹣4C.=D.=8.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地,其中快车送达后立即沿原路返回,且往返速度的大小不变,两车离甲地的距离y(单位:km)与慢车行驶时间t(单位:h)的函数关系如图,则两车先后两次相遇的间隔时间是(  )第18页(共18页) A.hB.hC.hD.h9.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,先将沿BC翻折交AB于点D,再将沿AB翻折交BC于点E.若=,设∠ABC=α,则α所在的范围是(  )A.21.9°<α<22.3°B.22.3°<α<22.7°C.22.7°<α<23.1°D.23.1°<α<23.5°10.已知a,b是方程x2﹣3x﹣5=0的两根,则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是(  )A.﹣25B.﹣24C.35D.36二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)下列各题不需要写出解答过程,请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11.计算的结果是  .12.我国是一个人口资源大国.第七次全国人口普查结果显示,北京等五大城市的常住人口数如下表,这组数据的中位数是  .城市北京上海广州重庆成都常住人口数万2189248718683205209413.已知点A(a,y1),B(a+1,y2)在反比例函数y=(m是常数)的图象上,且y1<y2,则a的取值范围是  .14.如图,海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上;航行12nmile到达C点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是  nmile(≈1.73,结果用四舍五入法精确到0.1).15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a+b+c=0.下列四个结论:①若抛物线经过点(﹣3,0),则b=2a;②若b=c,则方程cx2+bx+a=0一定有根x=﹣2;③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点;④点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,若0<a<c,则当x1<x2<1时,y1>y2.其中正确的是  (填写序号).16.如图(1),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,边AB上的点D从顶点A出发,向顶点B运动,同时,边BC上的点E从顶点B出发,向顶点C运动,D,E两点运动速度的大小相等,设x=AD,y=AE+CD,y关于x的函数图象如图(2),图象过点(0,2),则图象最低点的横坐标是  .第18页(共18页) 三、解答题(共8小题,共72分)下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17.(8分)解不等式组请按下列步骤完成解答.(1)解不等式①,得  ;(2)解不等式②,得  ;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;(4)原不等式组的解集是  .18.(8分)如图,AB∥CD,∠B=∠D,直线EF与AD,BC的延长线分别交于点E,F,求证:∠DEF=∠F.19.(8分)为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况,某校从全体学生中随机抽取部分学生,调查他们平均每周劳动时间t(单位:h),按劳动时间分为四组:A组“t<5”,B组“5≤t<7”,C组“7≤t<9”,D组“t≥9”.将收集的数据整理后,绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息,解答下列问题:(1)这次抽样调查的样本容量是  ,C组所在扇形的圆心角的大小是  ;(2)将条形统计图补充完整;(3)该校共有1500名学生,请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数.20.(8分)如图是由小正方形组成的5×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点,矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.第18页(共18页) (1)在图(1)中,先在边AB上画点E,使AE=2BE,再过点E画直线EF,使EF平分矩形ABCD的面积;(2)在图(2)中,先画△BCD的高CG,再在边AB上画点H,使BH=DH.21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,C是的中点,过点C作AD的垂线,垂足是E.连接AC交BD于点F.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若=,求cos∠ABD的值.22.(10分)在“乡村振兴”行动中,某村办企业以A,B两种农作物为原料开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍,若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg,每盒还需其他成本9元.市场调查发现:该产品每盒的售价是60元时,每天可以销售500盒;每涨价1元,每天少销售10盒.(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本);(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元,求w关于x的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围);(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数,且是整数),直接写出每天的最大利润.23.(10分)问题提出如图(1),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内部,直线AD与BE交于点F.线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?问题探究(1)先将问题特殊化如图(2),当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF之间的数量关系;(2)再探究一般情形如图(1),当点D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图(3),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=kAC,EC=kDC(k是常数),点E在△ABC内部,直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.第18页(共18页) 24.(12分)抛物线y=x2﹣1交x轴于A,B两点(A在B的左边).(1)▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上,顶点E在y轴右侧的抛物线上;①如图(1),若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是,直接写出点A,D的坐标.②如图(2),若点D在抛物线上,且▱ACDE的面积是12,求点E的坐标.(2)如图(3),F是原点O关于抛物线顶点的对称点,不平行y轴的直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线只有一个公共点,求证:FG+FH的值是定值.第18页(共18页) 2021年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中有且只有一个正确答案,请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1.实数3的相反数是(  )A.3B.﹣3C.D.﹣【解答】解:实数3的相反数是:﹣3.故选:B.2.下列事件中是必然事件的是(  )A.抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上B.随意翻到一本书的某页,这一页的页码是偶数C.打开电视机,正在播放广告D.从两个班级中任选三名学生,至少有两名学生来自同一个班级【解答】解:A、抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上,是随机事件;B、随意翻到一本书的某页,这一页的页码是偶数,是随机事件;C、打开电视机,正在播放广告,是随机事件;D、从两个班级中任选三名学生,至少有两名学生来自同一个班级,是必然事件;故选:D.3.下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.【解答】解:A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故此选项符合题意;B.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;故选:A.4.计算(﹣a2)3的结果是(  )A.﹣a6B.a6C.﹣a5D.a5【解答】解:(﹣a2)3=﹣a6,故选:A.5.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体,它的主视图是(  )A.B.C.D.【解答】解:从正面看易得有两层,底层三个正方形,上层中间是一个正方形.第18页(共18页) 故选:C.6.学校招募运动会广播员,从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人,则两人恰好是一男一女的概率是(  )A.B.C.D.【解答】解:画树状图如图:共有12种等可能的结果,抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种,∴两人恰好是一男一女的概率为=,故选:C.7.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人数,物价各是多少?若设共有x人,物价是y钱,则下列方程正确的是(  )A.8(x﹣3)=7(x+4)B.8x+3=7x﹣4C.=D.=【解答】解:设共有x人,根据题意可得:8x﹣3=7x+4,设物价是y钱,根据题意可得:=.故选:D.8.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地,其中快车送达后立即沿原路返回,且往返速度的大小不变,两车离甲地的距离y(单位:km)与慢车行驶时间t(单位:h)的函数关系如图,则两车先后两次相遇的间隔时间是(  )A.hB.hC.hD.h【解答】解:根据图象可知,慢车的速度为.对于快车,由于往返速度大小不变,总共行驶时间是4h,因此单程所花时间为2h,故其速度为.所以对于慢车,y与t的函数表达式为①.第18页(共18页) 对于快车,y与t的函数表达式为y=,联立①②,可解得交点横坐标为t=3,联立①③,可解得交点横坐标为t=4.5,因此,两车先后两次相遇的间隔时间是1.5,故选:B.9.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,先将沿BC翻折交AB于点D,再将沿AB翻折交BC于点E.若=,设∠ABC=α,则α所在的范围是(  )A.21.9°<α<22.3°B.22.3°<α<22.7°C.22.7°<α<23.1°D.23.1°<α<23.5°【解答】解:如图,连接AC,CD,DE.∵=,∴ED=EB,∴∠EDB=∠EBD=α,∵==,∴AC=CD=DE,∴∠DCE=∠DEC=∠EDB+∠EBD=2α,∴∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠EBD=3α,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°,∴4α=90°,∴α=22.5°,故选:B.10.已知a,b是方程x2﹣3x﹣5=0的两根,则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是(  )A.﹣25B.﹣24C.35D.36【解答】解:∵a,b是方程x2﹣3x﹣5=0的两根,第18页(共18页) ∴a2﹣3a﹣5=0,b2﹣3b﹣5=0,a+b=3,∴a2﹣3a=5,b2=3b+5,∴2a3﹣6a2+b2+7b+1=2a(a2﹣3a)+3b+5+7b+1=10a+10b+6=10(a+b)+6=10×3+6=36.故选:D.二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)下列各题不需要写出解答过程,请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11.计算的结果是 5 .【解答】解:=|﹣5|=5.12.我国是一个人口资源大国.第七次全国人口普查结果显示,北京等五大城市的常住人口数如下表,这组数据的中位数是 2189 .城市北京上海广州重庆成都常住人口数万21892487186832052094【解答】解:将这组数据重新排列为1868,2094,2189,2487,3205,所以这组数据的中位数为2189,故答案为:2189.13.已知点A(a,y1),B(a+1,y2)在反比例函数y=(m是常数)的图象上,且y1<y2,则a的取值范围是 ﹣1<a<0 .【解答】解:∵k=m2+1>0,∴反比例函数y=(m是常数)的图象在一、三象限,在每个象限,y随x的增大而减小,①当A(a,y1),B(a+1,y2)在同一象限,∵y1<y2,∴a>a+1,此不等式无解;②当点A(a,y1)、B(a+1,y2)在不同象限,∵y1<y2,∴a<0,a+1>0,解得:﹣1<a<0,故答案为﹣1<a<0.14.如图,海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上;航行12nmile到达C点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是 10.4 nmile(≈1.73,结果用四舍五入法精确到0.1).【解答】解:过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E,由题意得,∠BAE=60°,∠CAE=30°,第18页(共18页) ∴∠ABC=30°,∠ACE=60°,∴∠BAC=∠ACE﹣∠ABC=30°,∴∠BAC=∠ABC,∴AC=BC=12nmile,在Rt△ACE中,sin∠ACE=,∴AE=AC•sin∠ACE=6≈10.4(nmile),故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile,故答案为10.4.15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a+b+c=0.下列四个结论:①若抛物线经过点(﹣3,0),则b=2a;②若b=c,则方程cx2+bx+a=0一定有根x=﹣2;③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点;④点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,若0<a<c,则当x1<x2<1时,y1>y2.其中正确的是 ①②④ (填写序号).【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a+b+c=0,∴(1,0)是抛物线与x轴的一个交点.①∵抛物线经过点(﹣3,0),∴抛物线的对称轴为直线x==﹣1,∴﹣=﹣1,即b=2a,即①正确;②若b=c,则二次函数y=cx2+bx+a的对称轴为直线:x=﹣=﹣,且二次函数y=cx2+bx+a过点(1,0),∴=﹣,解得m=﹣2,∴y=cx2+bx+a与x轴的另一个交点为(﹣2,0),即方程cx2+bx+a=0一定有根x=﹣2;故②正确;③Δ=b2﹣4ac=(a+c)2﹣4ac=(a﹣c)2≥0,∴抛物线与x轴一定有公共点,且当a≠c时,抛物线与x轴一定有两个不同的公共点.故③不正确;④由题意可知,抛物线开口向上,且>1,∴(1,0)在对称轴的左侧,∴当x<1时,y随x的增大而减小,∴当x1<x2<1时,y1>y2.故④正确.故答案为:①②④.16.如图(1),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,边AB上的点D从顶点A出发,向顶点B运动,同时,边BC上的点E从顶点B出发,向顶点C运动,D,E两点运动速度的大小相等,设x=AD,y=AE+CD,y关于x的函数图象如图(2),图象过点(0,2),则图象最低点的横坐标是 ﹣1 .第18页(共18页) 【解答】解:∵图象过点(0,2),即当x=AD=BE=0时,点D与A重合,点E与B重合,此时y=AE+CD=AB+AC=2,∵△ABC为等腰直角三角形,∴AB=AC=1,过点A作AF⊥BC于点F,过点B作NB⊥BC,并使得BN=AC,如图所示:∵AD=BE,∠NBE=∠CAD,∴△NBE≌△CAD(SAS),∴NE=CD,又∵y=AE+CD,∴y=AE+CD=AE+NE,当A、E、N三点共线时,y取得最小值,如图所示,此时:AD=BE=x,AC=BN=1,∴AF=AC•sin45°=,又∵∠BEN=∠FEA,∠NBE=∠AFE∴△NBE∽△AFE∴,即,解得:x=,∴图象最低点的横坐标为:﹣1.故答案为:.三、解答题(共8小题,共72分)下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.第18页(共18页) 17.(8分)解不等式组请按下列步骤完成解答.(1)解不等式①,得 x≥﹣1 ;(2)解不等式②,得 x>﹣3 ;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;(4)原不等式组的解集是 x≥﹣1 .【解答】解:(1)解不等式①,得x≥﹣1;(2)解不等式②,得x>﹣3;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示如下;(4)原不等式组的解集是x≥﹣1.故答案为:x≥﹣1;x>﹣3;x≥﹣1.18.(8分)如图,AB∥CD,∠B=∠D,直线EF与AD,BC的延长线分别交于点E,F,求证:∠DEF=∠F.【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠DCF=∠B,∵∠B=∠D,∴∠DCF=∠D,∴AD∥BC,∴∠DEF=∠F.19.(8分)为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况,某校从全体学生中随机抽取部分学生,调查他们平均每周劳动时间t(单位:h),按劳动时间分为四组:A组“t<5”,B组“5≤t<7”,C组“7≤t<9”,D组“t≥9”.将收集的数据整理后,绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息,解答下列问题:第18页(共18页) (1)这次抽样调查的样本容量是 100 ,C组所在扇形的圆心角的大小是 108° ;(2)将条形统计图补充完整;(3)该校共有1500名学生,请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数.【解答】解:(1)这次抽样调查的样本容量是10÷10%=100,C组所在扇形的圆心角的大小是360°×=108°,故答案为:100,108°;(2)B组的人数=100﹣15﹣30﹣10=45(名),条形统计图如图所示,(3)1500×=600(名).答:估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600.20.(8分)如图是由小正方形组成的5×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点,矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.(1)在图(1)中,先在边AB上画点E,使AE=2BE,再过点E画直线EF,使EF平分矩形ABCD的面积;(2)在图(2)中,先画△BCD的高CG,再在边AB上画点H,使BH=DH.【解答】解:(1)如图,直线EF即为所求.(2)如图,线段CG,点H即为所求第18页(共18页) 21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,C是的中点,过点C作AD的垂线,垂足是E.连接AC交BD于点F.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若=,求cos∠ABD的值.【解答】(1)证明:连接OC交BD于点G,∵点C是的中点,∴由圆的对称性得OC垂直平分BD,∴∠DGC=90°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∵CE⊥AE,∴∠E=90°,∴四边形EDGC是矩形,∴∠ECG=90°,∴CE⊥OC,∴CE是⊙O的切线;(2)解:连接BC,设FG=x,OB=r,∵=,设DF=t,DC=t,由(1)得,BC=CD=t,BG=GD=x+t,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCG+∠FCG=90°,∵∠DGC=90°,∴∠CFB+∠FCG=90°,∴∠BCG=∠CFB,∴Rt△BCG∽Rt△BFC,第18页(共18页) ∴BC2=BG•BF,∴(t)2=(x+t)(2x+t)解得x1=t,x2=﹣t(不符合题意,舍去),∴CG===t,∴OG=r﹣t,在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2,∴(r﹣t)2+(2t)2=r2,解得r=t,∴cos∠ABD===.22.(10分)在“乡村振兴”行动中,某村办企业以A,B两种农作物为原料开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍,若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg,每盒还需其他成本9元.市场调查发现:该产品每盒的售价是60元时,每天可以销售500盒;每涨价1元,每天少销售10盒.(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本);(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元,求w关于x的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围);(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数,且是整数),直接写出每天的最大利润.【解答】解:(1)设B原料单价为m元,则A原料单价为1.5m元,根据题意,得﹣=100,解得m=3,经检验m=3是方程的解,∴1.5m=4.5,∴每盒产品的成本是:4.5×2+4×3+9=30(元),答:每盒产品的成本为30元;(2)根据题意,得w=(x﹣30)[500﹣10(x﹣60)]=﹣10x2+1400x﹣33000,∴w关于x的函数解析式为:w=﹣10x2+1400x﹣33000;(3)由(2)知w=﹣10x2+1400x﹣33000=﹣10(x﹣70)2+16000,∴当a≥70时,每天最大利润为16000元,当60<a<70时,每天的最大利润为(﹣10a2+1400a﹣33000)元.23.(10分)问题提出如图(1),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内部,直线AD与BE交于点F.线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?问题探究第18页(共18页) (1)先将问题特殊化如图(2),当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF之间的数量关系;(2)再探究一般情形如图(1),当点D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图(3),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=kAC,EC=kDC(k是常数),点E在△ABC内部,直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.【解答】解:(1)如图(2),∵∠ACD+∠ACE=90°,∠ACE+∠BCE=90°,∴∠BCE=∠ACD,∵BC=AC,EC=DC,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BE=AD,∠EBC=∠CAD,而点D、F重合,故BE=AD=AF,而△CDE为等腰直角三角形,故DE=EF=CF,则BF=BD=BE+ED=AF+CF;即BF﹣AF=CF;(2)如图(1),由(1)知,△ACD≌△BCE(SAS),∴∠CAF=∠CBE,BE=AD,过点C作CG⊥CF交BF于点G,∵∠ACF+∠ACG=90°,∠ACG+∠GCB=90°,∴∠ACF=∠BCG,∵∠CAF=∠CBE,BC=AC,∴△BCG≌△ACF(ASA),∴GC=FC,BG=AF,故△GCF为等腰直角三角形,则GF=CF,则BF=BG+GF=AF+CF,即BF﹣AF=CF;(3)由(2)知,∠BCE=∠ACD,而BC=kAC,EC=kDC,第18页(共18页) 即,∴△BCE∽△ACD,∴∠CAD=∠CBE,过点C作CG⊥CF交BF于点G,由(2)知,∠BCG=∠ACF,∴△BGC∽△AFC,∴=,则BG=kAF,GC=kFC,在Rt△CGF中,GF===•FC,则BF=BG+GF=kAF+•FC,即BF﹣kAF=•FC.24.(12分)抛物线y=x2﹣1交x轴于A,B两点(A在B的左边).(1)▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上,顶点E在y轴右侧的抛物线上;①如图(1),若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是,直接写出点A,D的坐标.②如图(2),若点D在抛物线上,且▱ACDE的面积是12,求点E的坐标.(2)如图(3),F是原点O关于抛物线顶点的对称点,不平行y轴的直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线只有一个公共点,求证:FG+FH的值是定值.【解答】解:(1)对于y=x2﹣1,令y=x2﹣1=0,解得x=±1,令x=0,则y=﹣1,故点A、B的坐标分别为(﹣1,0)、(1,0),顶点坐标为(0,﹣1),①当x=时,y=x2﹣1=,由点A、C的坐标知,点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C,∵四边形ACDE为平行四边形,故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D,第18页(共18页) 则+1=,+3=,故点D的坐标为(,);②设点C(0,n),点E的坐标为(m,m2﹣1),同理可得,点D的坐标为(m+1,m2﹣1+n),将点D的坐标代入抛物线表达式得:m2﹣1+n=(m+1)2﹣1,解得n=2m+1,故点C的坐标为(0,2m+1);连接CE,过点E作y轴的平行线交x轴于点M,交过点C与x轴的平行线与点N,则S△ACE=S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM=(m+1+m)(2m+1)﹣×(m+1)(m2﹣1)﹣m[2m+1﹣(m2﹣1)]=S▱ACDE=6,解得m=﹣5(舍去)或2,故点E的坐标为(2,3);(2)∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点,故点F的坐标为(0,﹣2),由点B、F的坐标得,直线BF的表达式为y=2x﹣2①,同理可得,直线AF的表达式为y=﹣2x﹣2②,设直线l的表达式为y=tx+n,联立y=tx+n和y=x2﹣1并整理得:x2﹣tx﹣n﹣1=0,∵直线l与抛物线只有一个公共点,故△=(﹣t)2﹣4(﹣n﹣1)=0,解得n=﹣t2﹣1,故直线l的表达式为y=tx﹣t2﹣1③,联立①③并解得xH=,同理可得,xG=,∵射线FA、FB关于y轴对称,则∠AFO=∠BFO,设∠AFO=∠BFO=α,则sin∠AFO=sin∠BFO====sinα,则FG+FH=+=(xH﹣xG)=(﹣)=为常数.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2021/10/222:29:16;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557第18页(共18页)

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发布时间:2022-02-26 14:02:55 页数:18
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文章作者:180****8757

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