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小学数学解题思路大全

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 1.想数码   例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗?(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。   思路一:易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。   相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是   思路二:每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法5+6,另一个5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码,8+9=16是不可能的。   不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。” 2.尾数法   例1 比较1222×1222和1221×1223的大小。   由两式的尾数2×2=4,1×3=3,且4>3。   知1222×1222>1221×1223   例2 二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。求这两个数。   由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。   由两数十位数字之和是8-1=7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。   甲数是348,乙数是34。   例3 请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。   由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7;   由3和a4乘积的尾数是7-2=5,知a4是5;……不难推出原式为   142857×3=428571。 3.从较大数想起   例如,从1~10的十个数中,每次取两个数,要使其和大于10,有多少种取法?   思路一:较大数不可能取5或比5小的数。   取6有6+5;   取7有7+4,7+5,7+6;   …………………………………………    取10有九种10+1,10+2,……10+9。   共为1+3+5+7+9=25(种)。   思路二:两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1+10;为2的有2+9,2+10;……较小数为9的有9+10。   共有取法1+2+3+4+5+4+3+2+1=25(种)   这是从较小数想起,当然也可从9或8、7、……开始。   思路三:两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。   和是11的有五种1+10,2+9,3+8,4+7,5+6;和是11~19的取法 5+4+4+3+3+2+2+1+1=25(种)。 4.想大小数之积      用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本性质知      交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。       5.由得数想   例如,思考题:在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立?其结果是   0,0.5,1,1.5,2。   从得数出发,想:   两个相同数的差,等于0;   一个数加上或减去0,仍等于这个数;   一个因数是0,积就等于0;   0除以一个数(不是0),商等于0;   两个相同数的商为1;   1除以0.5,商等于2;……   解法很多,只举几种:   (0.5-0.5)×0.5×0.5×0.5=0   0.5-0.5-(0.5-0.5)×0.5=0   (0.5+0.5+0.5)×(0.5-0.5)=0   (0.5+0.5-0.5-0.5)×0.5=0   (0.5-0.5)×0.5×0.5+0.5=0.5   0.5+0.5+0.5-0.5-0.5=0.5   (0.5+0.5)×(0.5+0.5—0.5)=0.5   (0.5+0.5)×0.5+0.5-0.5=0.5   (0.5-0.5)×0.5+0.5+0.5=1   0.5÷0.5+(0.5-0.5)×0.5=1   (0.5-0.5)÷0.5+0.5+0.5=1   (0.5+0.5)÷0.5-(0.5+0.5)=1   0.5-0.5+0.5+0.5÷0.5=1.5    (0.5+0.5)×0.5+0.5+0.5=1.5   0.5+0.5+0.5+0.5-0.5=1.5   0.5÷0.5+0.5÷0.5-0.5=1.5   0.5÷0.5÷0.5+0.5-0.5=2   (0.5+0.5)÷0.5+0.5-0.5=2   (0.5+0.5+0.5-0.5)÷0.5=2   [(0.5+0.5)×0.5+0.5]÷0.5=2.想平均数      思路一:由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”,则中间数占      知这三个数是14、15、16。      二、一个数分别为      16-1=15,   15-1=14或16-2=14。   若先求第一个数,则      思路三:设第三个数为“1”,则第二、三个数,      知是15、16。   思路四:第一、三个数的比是7∶8,第一个数是2÷(8-7)×7=14。   若先求第三个数,则   2÷(8-7)×8=16。  7.想奇偶数 例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。 例如 1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100   你还能想出不同的添法吗?   1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即   1+2+3+4+5+6+78+9   =45+63=108。   为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。  “减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负“-1”,不能介绍。如果式左变为  12+3+4+5+6+7+89。  [12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。  要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有  12+3+4+5-6-7+89=100,  12-3-4+5-6+7+89=100,   同理得   12+3-4+5+67+8+9=100,   1+23-4+56+7+8+9=100,   1+2+34-5+67-8+9=100,   123-4-5-6-7+8-9=100,   123+4-5+67-89=100,   123-45-67+89=100。   为了减少计算。应注意:   (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?   1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。   (2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。   例2求59~199的奇数和。   由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方   1+3+5+7+……+(2n-1)=n2   奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。   例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。   知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。   所求为10000-841=9159。   或者59=30×2-1,302=900,   10000-900+59=9159。 例1思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。 例如 1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100 你还能想出不同的添法吗? 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即           1+2+3+4+5+6+78+9   =45+63=108。 为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。 “减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负数“-1” ,不能介绍。如果式左变为 12+3+4+5+6+7+89。 [12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。 要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有 12+3+4+5-6-7+89=100, 12-3-4+5-6+7+89=100, 同理得 12+3-4+5+67+8+9=100, 1+23-4+56+7+8+9=100, 1+2+34-5+67-8+9=100,   123-4-5-6-7+8-9=100,   123+4-5+67-89=100,   123-45-67+89=100。   为了减少计算。应注意:   (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?   1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。   (2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。 例2求59~199的奇数和。   由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方 1+3+5+7+……+(2n-1)=n2 奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。 例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。 知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。 所求为10000-841=9159。 或者59=30×2-1,302=900, 10000-900+59=9159。 8.约倍数积法 任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。 证明:设M、N(都是自然数)的最大公约数为P,最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。 那么M×N=P×a×P×b。 而Q=P×a×b, 所以M×N=P×Q。 例1甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是105。甲数是21,乙数是多少?   例2 已知两个互质数的最小公倍数是155,求这两个数。 这两个互质数的积为1×155=155,还可分解为5×31。 所求是1和155,5和31。 例3 两数的最大公约数是4,最小公倍数是40,大数是数的2.5倍,求各数。  由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的2.5倍。 小数的平方为4×40÷2.5=64。 小数是8。 大数是8×2.5=20。 算理:4×40=8×20=8×(8×2.5)=82×2.5。 9.想份数         10巧用分解质因数   例1 四个比1大的整数的积是144,写出由这四个数组成的比例式。   144=24×32   =(22×3)×[(2×3)×2]   =(4×3)×(6×2)   可组成4∶6=2∶3等八个比例式。   例2 三个连续自然数的积是4896,求这三个数。   4896=25×32×17   =24×17×(2×32)   =16×17×18      1728=26×33=(22×3)3=123   385=5×7×11      例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:找出1992的所有不同的质因数,它们的和是多少?   1992=2×2×2×3×83   2+3+83=88    例5 甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两个数。   1620=22×34×5   =(32×22)×(32×5)   甲数是45,乙数是36。   例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。   八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。   每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为    例7 600有多少个约数?   600=6×100=2×3×2×2×5×5   =23×3×52   只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为:   2、22、23;   3;   5、52;   2×3、22×3、23×3;   2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52;   3×5、3×52;   2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。   不含2×3×5的因数的数只有1。   这八种情况约数的个数为;   3+1+2+3+6+2+6+1=24。   不难发现解题规律:把给定数分解质因数,写成幂指数形式,各指数分别加1后相乘,其积就是所求约数的个数。(3+1)×(1+1)×(2+1)=24。 ·【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题17.想法则   用来说明运算规律(或方法)的文字,叫做法则。   子比分母少16。求这个分数?   由“一个分数乘以5,是分子乘以5分母不变”,结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知   分子的5-3=2(倍)是2+16=18,分子为18÷2=9,分母为9×5-2=43或9×3+16=43。    18.想公式             证明方法:      以分母a,要加(或减)的数为      (2)设分子加上(或减去)的数为x,分母应加上(或减去)的数为y。          19.想性质   例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6:有甲、乙两个多少倍?            200÷16=12.5(倍)。   例2 思考题:三个最简真分数,它们的分子是连续自然数,分母大于10,且它们最小公分母是60;其中一个分数的值,等于另两个分数的和。写出这三个分数。   由“分母都大于10,且最小公分母是60”,知其分母只能是12、15、20;12、15、30;12、15、60。   由“分子是连续自然数”,知分子只能是小于12的自然数。   满足题意的三个分数是             (二)第400个分数是几分之几?   此题特点:      (2)每组分子的排列:      假设某一组分数的分母是自然数n,则分子从1递增到n,再递减到1。分数的个数为n+n-1=2n-1,即任何一组分数的个数总是奇数。    (3)分母数与分数个数的对应关系,正是自然数与奇数的对应关系   分母:1、2、3、4、5、……   分数个数:1、3、5、7、9、……   (4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和,等于这组的组号(这一组的分母)的平方。   例如,第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。   10×2-1-6=13(个)位置上。      分别排在81+7=88(个),81+13=94(个)的位置上。   或者102=100,100-12=88。   100-6=94,88+6=94。   问题(二):由上述一串分数个数的和与组号的关系,将400分成某数的平方,这个数就是第400个分数所在的组数400=202,分母也是它。   第400个分数在第20组分数中,400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余,故可断定是最后一个,即   若分解为某数的平方有剩余,例如,第415个和385个分数各是多少。      逆向思考,上述的一串分数中,分母是35的排在第几到第几个?   352-(35×2-1)+1   =1225-69+1=1157。   排在1157-1225个的位置上。 20.由规则想   例如,1989年从小爱数学邀请赛试题:接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。   例如,8×9=72,在9后面写2,9×2=18,在2后面写8,……得到一串数:1989286……   这串数字从1开始往右数,第1989个数字是什么?   先按规则多计算几个数字,得1989286884286884……显然,1989后面的数总是不断重复出现286884,每6个一组。   (1989-4)÷6=330……5   最后一组数接着的五个数字是28688,即第1989个数字是8。 21.用规律   例1 第六册P62第14题:选择“+、-、×、÷”中的符号,把下面各题连成算式,使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。   (1)22222=0   (2)22222=1   ……   (10)22222=9   解这类题的规律是:   先想用两、三个2列出,结果为0、1、2的基本算式:    2-2=0,2÷2=1;   再联想2-2÷2=1,2×2÷2=2,2÷2+2=3,……   每题都有几种选填方法,这里各介绍一种:   2÷2+2÷2-2=0   2÷2×2-2÷2=1   2-2+2÷2×2=2   2×2+2÷2-2=3   2×2×2-2-2=4   2-2÷2+2×2=5   2+2-2+2×2=6   2×2×2-2÷2=7   2÷2×2×2×2=8   2÷2+2×2×2=9   例2 第六册P63题4:写出奇妙的得数   2+1×9=   3+12×9=   4+123×9=   5+1234×9=   6+12345×9=   得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点:   第一个加数由2开始,每式依次增加1。第二个加数由乘式组成,被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去   7+123456×9=1111111   8+1234567×9=11111111   9+12345678×9=111111111   10+123456789×9=1111111111   11+1234567900×9=11111111111   12+12345679011×9=111111111111   ……   很自然地想到,可推广为      (1)当n=1、2时,等式显然成立。   (2)设n=k时,上式正确。当n=k+1时   k+1+123…k×9   =k+1+[123…(k-1)×10+k]×9   =k+1+123…(k-1)×9×10+9k   =[k+123…(k-1)×9]×10+1      根据数学归纳法原理,由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n,此等式都成立。   例3 牢记下面两个规律,可随口说出任意一个自然数作分母的,所有真分数的和。   (1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母-1)÷2。         =(21-1)÷2=10。 22.巧想条件   比5小,分母是13的最简分数有多少个。   7~64为64-(7-1)=58(个),去掉13的倍数13、26、39、52,余下的作分子得54个最简分数。   例2 一个整数与1、2、3,通过加减乘除(可添加括号)组成算式,若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中,有几个是可用的。   看结果,想条件,知都是可用的。   4×(1+2+3)=24   (5+1+2)×3=24   6×(3+2-1)=24   7×3+1+2=24   8×3÷(2-1)=24   9×3-1-2=24   10×2+1+3=2423.想和不变      无论某数是多少,原分数的分子与分母的和7+11=18是不变的。   而新分数的分子与分母的和为1+2=3,要保持原和不变,必同时扩大18÷3=6(倍)。      某数为7-6=1或12-11=1。 24.想和与差               算理,原式相当于       求这个分数。     25.想差不变      分子与分母的差41-35=6是不变的。新分数的此差是8-7=1,要保持原差不变,新分数的分子和分母需同时扩大6÷1=6(倍)。          某数为42-35=7,或48-41=7。   与上例同理。23-11=12,3-1=2,12÷2=6,      某数为11-6=5或23-18=5。      分子加上3变成1,说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后,分子比分母应小3+2=5。         26.想差的1/2   对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说,其元素的个数一定是偶数,和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数,差就是这个偶数。    例1 求分母是12的所有最简真分数的和。   由12中2的倍数有6个,3的倍数有4个,(2×3)的倍数2个,知所求数是      例2 分母是105的,最简真分数的和是多少?   倍数15个,(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个,(3×5×7)的倍数1个。知   105-[(35+21+15)-(3+5+7)+1]=48,   48÷2=24。 27.借助加减恒等式   个数。          若从中找出和为1的9个分数,将上式两边同乘以2,得       这九个分数是     28.计算比较   例如,九册思考题:1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想,得数有什么规律?          ……   可见,除数是11,被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11),商   17÷11=(11+6)÷11=11÷11+6÷11         凡商是纯循环小数的除式,都有此规律;不是纯循环小数的,得数不存在这一规律。      不难发现,它们循环节的位数比除数少1,循环数字和顺序相同,只是起点不同。     只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序,计算时以最大商的数字为起点,顺序写出全部循环节数字,即可。 29.由验算想   例如,思考题:计算1212÷101,……,3939÷303,你能从计算中得到启发,很快说出下面各题的得数?   4848÷202,7575÷505,……   3939÷303   =(3030+909)÷303   =3030÷303+909÷303   =10+3=13   备课用书这种由“除法的分配律”解,要使三年级学生接受,比较困难。   若从“除法的验算”推导   由3939÷303=(),      商百位上的3和13相乘才可得39,商个位上的3也必须与13相乘得39,除数是13确定无疑。显然,在被除数上面写上除数,使位数对齐,口算很快会得出结果。   所以商是12。 30.想倍比                 31.扩缩法   例如,两数和是42,如果其中一个数扩大5倍,另一个数扩大4倍,则和是181。求这两个数。   若把和,即这两个数都扩大4倍,则得数比181小,因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。   181-42×4=13   42-13=29   若把两数都扩大5倍,结果比181多了原来扩大4倍的那个数。   42×5-181=29,42—29=13。     若把181缩小4倍,则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍,又      若把181缩小5倍,得数比42小。因为先扩大4倍的那个数,又缩小5      最佳想法:   两数扩大的倍数不同,181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。   181÷42=4余13。   另个数可这样求    32.分别假设   例如,1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5:把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形,它与原来的正方形面积相等。那么,正方形的面积是多少平方米。   设正方形的边长为1,另一边增加的百分数为x,则   (1-1×20%)×(1+x)=1,      正方形边长2÷25%=8(米),   面积8×8=64(平方米)。 此日志通过TT-空间极速版一键转载生成。

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发布时间:2022-02-17 10:15:22 页数:15
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文章作者:180****8757

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