2022年北师大版中考数学一轮复习:二次函数综合 专项练习题(word版,含答案)
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2022年北师大版中考数学一轮复习:二次函数综合专项练习题1.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与直线y=﹣3有且只有一个公共点.(1)直接写出抛物线的顶点D的坐标,并求出c与a的关系式;(2)若点P(x,y)为抛物线上一点,当t≤x≤t+1时,y均满足﹣3≤y≤at2﹣3,求t的取值范围;(3)过抛物线上动点M(x,y)(其中x≥3)作x轴的垂线l,设l与直线y=﹣ax+2a﹣3交于点N,若M、N两点间的距离恒大于等于1,求a的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2x+1+m.(1)求此抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示);(2)如果当﹣2<x<﹣1时,y>0,并且当2<x<3时,y<0,求该抛物线的表达式;(3)如果(2)中的抛物线与x轴相交于A、B(点A在点B左侧),现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折,得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M,当直线l:y=﹣x+k与M有两个公共点时,直接写出k的取值范围.3.如图,抛物线y=x2+mx与直线y=﹣x+b相交于点A(2,0)和点B.(1)求m和b的值;(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式x2+mx>﹣x+b的解集;(3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标xM的取值范围.第36页共36页,4.已知:函数y=(m为常数)的图象记为G.(1)若点(﹣2,﹣5)在图象G上,求m的值.(2)若点(m,1)在图象G上,求函数y随x增大而减小时,x的取值范围.(3)当m=1,﹣2≤x≤2时,求函数y的取值范围.(4)已知正方形ABCD的中心为原点O,点A的坐标为(1,1).当图象G与正方形ABCD的边有2个交点时,直接写出实数m的取值范围.5.在平面直角坐标系中,A,B分别是直线y=x﹣3,抛物线y=x2﹣2x﹣3上的动点,其横坐标分别为m,n+2.(1)点B的纵坐标用含有n的式子可表示为 .(2)连接AB,当AB∥x轴,A在B的右侧且AB=4时,求m的值;(3)当4≤m≤7,﹣3≤n≤时,作直线AB交y轴于点C,请直接写出C点纵坐标y的取值范围.6.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,6)和B(﹣2,﹣2).(1)求c的值,并用含a的代数式表示b.(2)当a=时,①求此函数的表达式,并写出当﹣4≤x≤2时,y的最大值和最小值.②如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C,作直线AC,D为直线AC下方抛物线上一动点,过点D作DE⊥OC于点E,与AC交于点F,作DM⊥AC于点M.是否存在点D使△DMF的周长最大?若存在,请求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若线段GH的端点G、H的坐标分别为(﹣5,10)、(1,10),此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点,求出a的取值范围.第36页共36页,7.已知抛物线y=﹣x2+4ax﹣4a2+3a(a>),顶点为点D,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求抛物线的最大值;(2)若当0≤x≤2时,抛物线函数有最大值3,求此时a的值;(3)若直线CD交x轴于点G,求的值.8.在平面直角坐标系中,抛物线y1=﹣(x+4)(x﹣n)与x轴交于点A和点B(n,0)(n≥﹣4),顶点坐标记为(h1,k1).抛物线y2=﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为(h2,k2).(1)写出A点坐标;(2)求k1,k2的值(用含n的代数式表示)(3)当﹣4≤n≤4时,探究k1与k2的大小关系;(4)经过点M(2n+9,﹣5n2)和点N(2n,9﹣5n2)的直线与抛物线y1=﹣(x+4)(x﹣n),y2=﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时,求n的值.9.定义:与坐标轴不重合的直线l交x,y轴于A、B两点(A、B不重合),若抛物线L过点A和点B,则称此抛物线L为直线l的“和谐线”,如图L1,L2均为直线l的“和谐线”.(1)已知直线的解析式为y=﹣x+4,则下列抛物线是直线l的“和谐线”的有 .①y=x2﹣5x+4②y=2x2﹣7x﹣4③第36页共36页,(2)已知直线y=kx+b的“和谐线”为,且直线与双曲线交于点M,N,求线段MN的长.(3)已知直线y=﹣cx+c(c≠0)的“和谐线”为y=ax2+bx+c(a≠0,且a>b>c),求该“和谐线”在x轴上所截线段长d的取值范围.10.已知二次函数y=a(x﹣x1)(x﹣x2),其中x1<x2.(1)若a=1,x1=1,x2=4,求二次函数顶点坐标;(2)若x1+x2=4,当x=0时,y>0,当x=3时,y<0,且m<x2<n(m,n为相邻整数),求m+n的值;(3)在(1)的条件下,将抛物线向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增加而减小的部分为P,若P和直线y=x﹣n有交点,求n2﹣5n的最小值.11.二次函数y=x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A.感知特例(1)当m=1时,如图1,抛物线L:y=x2﹣2x上的点B,O,C,A,D分别关于点A中心对称的点为B′,O′,C′,A′,D′,如表:…B(﹣1,3)O(0,0)C(1,﹣1)A( , )D(3,3)……B'(5,﹣3)O′(4,0)C'(3,1)A′(2,0)D'(1,﹣3)…①补全表格;②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L'.第36页共36页,形成概念我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L'是L的“孔像抛物线”.例如,当m=﹣2时,图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.探究问题(2)①当m=﹣1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,则x的取值范围为 ;②在同一平面直角坐标系中,当m取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是 (填“y=ax2+bx+c”或“y=ax2+bx”或“y=ax2+c”或“y=ax2”,其中abc≠0);③若二次函数y=x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点,求m的值.12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且经过点A(0,),B(2,﹣).(1)求b的值(用含a的代数式表示);(2)若二次函数y=ax2+bx+c在1≤x≤3时,y的最大值为1,求a的值;(3)将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′.若线段A′B′与抛物线y=ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点,求a的取值范围.13.定义:对于给定函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0),则称函数第36页共36页,为函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)的“相依函数”,此“相依函数”的图象记为G.(1)已知函数y=﹣x2+2x﹣1.①写出这个函数的“相依函数” ;②当﹣1≤x≤1时,此相依函数的最大值为 ;(2)若直线y=m与函数y=﹣x2+2x﹣1的相依函数的图象G恰好有两个公共点,求出m的取值范围;(3)设函数(n>0)的相依函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0,当时,求出n的取值范围.14.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,顶点为C,且△ABC为等腰直角三角形.(1)当A(﹣1,0),B(3,0)时,则抛物线的顶点坐标是 ;(2)当b=﹣2a,a<0时.①求该二次函数的解析式(用只含a的式子表示).②在﹣1≤x≤3范围内任取三个自变量x1、x2、x3,所对应的三个函数值分别为y1,y2,y3,若以y1,y2,y3为长度的三条线段能围成三角形,求a的取值范围.15.已知抛物线F1:y=a(x﹣8)(x+4)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),抛物线顶点为C,CD⊥x轴于点D.(1)若a=,求△ABC的周长;(2)若△ACD的内心在y轴正半轴上,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,若当m≤x≤n(其中mn<0)时,二次函数y=a(x﹣8)(x+4)的函数值的取值范围为m≤y<n,求m+n的值.16.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k(k为常数).(Ⅰ)当k=2时,求该抛物线的解析式及顶点坐标;(Ⅱ)若抛物线经过点(1,k2),求k的值;(Ⅲ)若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2),且y1>y2,求k的取值范围;(Ⅳ)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线,当1≤x≤2时,新抛物线对应的函数有最小值﹣,求k的值.17.已知二次函数y1=mx2﹣nx﹣m+n(m>0).第36页共36页,(1)求证:该函数图象与x轴必有交点;(2)若m﹣n=3.①当﹣m≤x<1时,二次函数的最大值小于0,求m的取值范围;②点A(p,q)为函数y2=|mx2﹣nx﹣m+n|图象上的动点,当﹣4<p<﹣1时,点A在直线y=﹣x+4的上方,求m的取值范围.18.已知二次函数y1=ax2+bx+c,y2=cx2+bx+a,这里a、b、c为常数,且a>0,c<0,a+c≠0.(1)若b=0,令y=y1+y2,证明y关于x的函数的图象与x轴没有交点;(2)若x=x0时,y1=m,y2=n,若m>n,求x0的取值范围;(3)把二次函数y1=ax2+bx+c的图象关于原点作中心对称变换,所得图象的表达式为y3=﹣a(x﹣1)2+4a,若(m﹣1)a+b+c≤0,求m的最大值.19.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣bx+3的对称轴为直线x=2.(1)求b的值;(2)在y轴上有一动点P(0,n),过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1<x2.①当x2﹣x1=3时,结合函数图象,求出n的值;②把直线PB上方的函数图象,沿直线PB向下翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象W,新图象W在0≤x≤5时,满足﹣4≤y≤4,求n的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A.(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示);(2)若点A在第一象限,且OA=,求抛物线的解析式;(3)已知点B(m﹣1,m﹣2),C(2,2).若该抛物线与线段BC有公共点,结合函数图象,求出m的取值范围.第36页共36页,参考答案1.解:(1)由题意得D在直线y=﹣3上且D在二次数对称轴x=﹣=﹣=1上,∴D(1,﹣3),将其代入y=ax2﹣2ax+c得﹣3=a﹣2a+c,化简得c=a﹣3;(2)当a>0时,二次函数图象开口向上,如图,抛物线的开口向上,当t+1≤1,即t≤0,此时:当x=t+1时,满足﹣3≤y,当x=t时,函数值最大,则at2﹣2at+a﹣3≤at2﹣3,解得:t≥,不合题意,舍去,当0<t<时,则1<t+1<,如图,第36页共36页,此时:当x=t+1时,满足﹣3≤y,当x=t时,函数值最大,则at2﹣2at+a﹣3≤at2﹣3,解得:t≥,不合题意舍去,当t≥时,则≤t+1,如图,此时:当x=t时,满足﹣3≤y,当x=t+1时,函数值最大,则yt+1=a(t+1)2﹣2a(t+1)+a﹣3=at2﹣3,∴a(t+1)2﹣2a(t+1)+a﹣3≤at2﹣3恒成立,∴t≥,当a<0时,若t=0,则x=1,满足等号成立,所以t=0满足条件;综上t≥或t=0;(3)|MN|≥1即|ax2﹣2ax+a﹣3﹣(﹣ax+2a﹣3)|≥1,即|ax2﹣ax﹣a|≥1,①ax2﹣ax﹣a≥1(x≥3恒成立需求a>0,其对称轴为直线x=﹣=﹣=),只需要求x=3时ax2﹣ax﹣a≥1即9a﹣3a﹣a≥1,第36页共36页,解得a≥;②ax2﹣ax﹣a≤﹣1(x≥3恒成立要求a<0),只需要求x=3时ax2﹣a≤﹣1,即9a﹣3a﹣a≤﹣1,解得a≤﹣.2.解:(1)由题意得:a=1,b=﹣2,c=1+m,∴==1,=m,∴顶点坐标为:(1,m).(2)∵当﹣2<x<﹣1时,y>0,并且当2<x<3时,y<0,如图,∴当x=﹣1时,y=0,即:1+2+1+m=0,解得:m=﹣4,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3.(3)当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴点A(﹣1,0),B(3,0),∵y=x2﹣2x﹣3.∴沿x轴向上翻折后的图象解析式为:y=﹣x2+2x+3.当直线l经过点A(﹣1,0)时,直线与M的只有一个交点,如图中直线l,把点A(﹣1,0)代入y=﹣x+k,得:1+k=0,解得:k=﹣1,当直线l经过点B(3,0)时,直线与M的有三个交点,如图中直线m,把点B(3,0)代入y=﹣x+k,得:﹣3+k=0,解得:k=3,当直线l与翻折后的部分只有一个交点时,如图中直线n,由,得:x2﹣3x+k﹣3=0,∴Δ=9﹣4(k﹣3)=0,解得:k=,∴k的取值范围:﹣1<k<3或k>.第36页共36页,3.解:(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得:0=4+2m,解得:m=﹣2,将点A的坐标代入直线表达式得:0=﹣2+b,解得b=2;故m=﹣2,b=2;(2)由(1)得,直线和抛物线的表达式为:y=﹣x+2,y=x2﹣2x,联立上述两个函数表达式并解得或(不符题意,舍去),即点B的坐标为(﹣1,3),从图象看,不等式x2+mx>﹣x+b的解集为x<﹣1或x>2;(3)当点M在线段AB上时,线段MN与抛物线只有一个公共点,∵M,N的距离为3,而A、B的水平距离是3,故此时只有一个交点,即﹣1≤xM<2;当点M在点B的左侧时,线段MN与抛物线没有公共点;当点M在点A的右侧时,当xM=3时,抛物线和MN交于抛物线的顶点(1,﹣1),即xM=3时,线段MN与抛物线只有一个公共点,综上,﹣1≤xM<2或xM=3.4.解:(1)∵点(﹣2,﹣5)在图象G上,∴﹣(﹣2)2+2m×(﹣2)+2m﹣2=﹣5,解得:m=﹣,∴m的值为﹣.(2)①当m≥1时,则m2﹣m•m﹣m+1=1,整理,得:m2+2m=0,解得:m1=0(舍),m2=﹣2(舍),②当m<1时,则﹣m2+2m•m+2m﹣2=1,整理,得:m2+2m﹣3=0,第36页共36页,解得:m1=﹣3,m2=1(舍),∴m=﹣3,∴函数y=,∵当x≥1时,y=x2+3x+4=(x+3)2﹣,抛物线开口向上,在对称轴x=﹣3右侧y随x增大而增大,∴当x≥1时,函数y随x增大而增大;∵当x<1时,y=﹣x2﹣6x﹣8=﹣(x+3)2+1,抛物线开口向下,在对称轴x=﹣3右侧y随x增大而减小,∴当﹣3<x<1时,函数y随x增大而减小;综上,函数y随x增大而减小时,x的取值范围为﹣3<x<1.(3)当m=1时,y=,①当1≤x≤2时,y=x2﹣x=(x﹣1)2﹣,抛物线开口向上,当x=1时,函数y取得最小值﹣,当1<x≤2时,y随x增大而增大,x=2时,函数y取得最大值0,∴当1≤x≤2时,﹣≤y≤0,②当﹣2≤x<1时,y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,抛物线开口向下,在对称轴左侧,即﹣2≤x<1时,y随x增大而增大,当x=﹣2时,y=﹣(﹣2﹣1)2+1=﹣8,当x=1时,y=﹣(1﹣1)2+1=1,∴当﹣2≤x<1时,﹣8≤y<1,综上所述,函数y的取值范围为﹣8≤y<1.(4)如图1,当y=﹣x2+2mx+2m﹣2(x<1)的顶点落在BC边上时,顶点的纵坐标为﹣1,∵y=﹣x2+2mx+2m﹣2=﹣(x﹣m)2+m2+2m﹣2,∴m2+2m﹣2=﹣1,解得:m1=﹣1﹣(舍),m2=﹣1+,如图2,当y=﹣x2+2mx+2m﹣2刚好经过A(1,1)时,则:﹣1+4m﹣2=1,第36页共36页,∴m=1,如图3,当y=﹣x2+2mx+2m﹣2刚好经过B(1,﹣1)时,则:﹣1+2m+2m﹣2=﹣1,∴m=,∴≤m≤1,如图4,当y=x2﹣mx﹣m+1经过点B(1,﹣1)时,则﹣m﹣m+1=﹣1,解得:m=,此时,图象G与正方形ABCD的边有3个交点,∴m>时,图象G与正方形ABCD的边有2个交点;综上所述,≤m≤1或m=﹣1+或m>.5.解:(1)∵B点在抛物线y=x2﹣2x﹣3上,且B点横坐标为(n+2),∴yB=(n+2)2﹣2(n+2)﹣3=n2+2n﹣3,故答案为:n2+2n﹣3;(2)∵AB∥x轴,∴yA=yB,第36页共36页,即m﹣3=n2+2n﹣3,①∵A在B的右侧且AB=4,∴m﹣(n+2)=4,②联立①②得或,∴m的值为3或8;(3)∵4≤m≤7,﹣3≤n≤,∴﹣1≤n+2≤,∴如右图,A点的移动范围在MN之间,B点的移动范围在PQ之间,∴当A与N点重合,B与P点重合时,即直线AB与l重合时,此时存在C点的上边界,当A与M点重合,B位于AB与抛物线的切点时,即直线AB与l'重合时,此时存在C点的下边界,①当直线AB与l重合时,此时,A(7,4),B(﹣1,0),设直线l解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线l的解析式为y=x+,∴C点纵坐标y的最大值为,②当直线AB与l'重合时,A(4,1),∴设直线l'的解析式为y=ax+1﹣4a,∵B点为切点,∴将y=ax+1﹣4a代入抛物线y=x2﹣2x﹣3,得x2﹣2x﹣ax+4a﹣4=0,因为切点只有一个,所以此方程Δ=0,即(﹣2﹣a)2﹣4×(4a﹣4)=0,解得a=2或10,第36页共36页,当a=10时,x=6,不符合题意舍去,当a=2时,x=2,即B(2,﹣3),∴l'的解析式为y=2x﹣7,∴C点纵坐标y的最小值为﹣7,综上,C点纵坐标的取值范围为:﹣7≤y.6.解:(1)把(0,6)代入y=ax2+bx+c,得c=6.把(﹣2,﹣2)代入y=ax2+bx+6,得4a﹣2b+6=﹣2,∴b=2a+4.(2)①当时,此函数表达式为,图象开口向上.由顶点坐标公式可知顶点坐标为,∵﹣4≤x≤2,∴当时,y的最小值为.观察图象结合增减性,当x=2时,y有最大值,把x=2代入,y的最大值为20.②∵,令y=0,则x=﹣6或,∵点C在左侧,第36页共36页,∴C(﹣6,0)设直线AC的解析式为y=kx+m,把A(0,6),C(﹣6,0)代入,得k=1,m=6,∴y=x+6设则F(x,x+6)∴,∵OA=OC=6,∠AOC=90°,∴∠COA=90°,∵DF∥AO,∴∠DFM=∠CAO=45°,,设△FDM的周长为l,则当FD最大时,周长最大,又∵,又∵且﹣6<x<0,∴x=﹣3时,FD有最大值,即此刻△FDM周长最大.把x=﹣3代入,得,∴.(3)①当a>0时,若抛物线与线段GH只有一个公共点(如图),第36页共36页,y=ax2+bx+c=ax2+(2a+4)x+6,当x=1时,y=3a+10,则抛物线上的点(1,3a+10)在H点的上方,∴25a﹣10a﹣20+6<10.解得.0<.②当a<0时,∵抛物线与线段只有一个公共点,又图象经过点A(0,6),和B(﹣2,﹣2)则抛物线的顶点必在线段GH上,(如图)∴.即4a×6﹣(2a+4)2=40a,解得或,∵a<0,对称轴在y轴左侧,2a+4<0,∴a<﹣2,故只能是第36页共36页,综上,a的取值范围是或,7.解:(1)抛物线开口向下,∴在顶点时有最大值,由顶点坐标公式得y最大==3a,即抛物线最大值为3a;(2)y=﹣x2+4ax﹣4a2+3a=﹣(x﹣2a)2+3a,∴抛物线的对称轴是:x=2a,∵a>,∴2a>,分两种情况:①当<2a≤2时,即<a≤1,∴当0≤x≤2时,抛物线函数有最大值是3a,即3a=3,∴a=1;②当2a>2时,即a>1,y随x的增大而增大,∴当0≤x≤2时,x=2时有最大值3,∴y=﹣(2﹣2a)2+3a=3,解得:a1=,a2=1(舍),综上,a的值是1或;(3)如图,∵y=﹣(x﹣2a)2+3a,∴D(2a,3a),C(0,﹣4a2+3a),当y=0时,﹣(x﹣2a)2+3a=0,第36页共36页,解得:x1=2a﹣a,x2=2a+a,∴A(2a﹣a,0),B(2a+a,0),设DC的解析式为:y=kx+b,则,解得:,∴设DC的解析式为:y=2ax﹣4a2+3a,当y=0时,2ax﹣4a2+3a=0,∴x=2a﹣,∴OG=2a﹣,∴=====.8.解:(1)∵y1=﹣(x+4)(x﹣n),令y1=0,﹣(x+4)(x﹣n)=0,∴x1=﹣4,x2=n,∴A(﹣4,0);(2)y1=﹣(x+4)(x﹣n)=﹣x2+(n﹣4)x+4n,∴k1=n2+2n+4,∵y2=﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9,∴k2=﹣n2+2n+9,(3)k1﹣k2=n2﹣5,①当n2﹣5>0时,可得n>2或n<﹣2,即当﹣4≤n<﹣2或2<n≤4时,k1>k2;②当n2﹣5<0时,可得﹣2<n<2,即当﹣2<n<2时,k1<k2;第36页共36页,③当n2﹣5=0,可得n=2或n=﹣2,即当n=2或n=﹣2时,k1=k2;(4)设直线MN的解析式为:y=kx+b,则,由①﹣②得,k=﹣1,∴b=﹣5n2+2n+9,直线MN的解析式为:y=﹣x﹣5n2+2n+9.①如图:当直线MN经过抛物线y1,y2的交点时,联立抛物线y1=﹣x2+(n﹣4)x+4n与y2=﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得:(5n﹣4)x=﹣5n2﹣2n+9①,联立直线y=﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2=﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得:x2+(4n﹣1)x=0,则x1=0,x2=1﹣4n②,当x1=0时,把x1=0代入y1得:y=4n,把x1=0,y=4n代入直线的解析式得:4n=﹣5n2+2n+9,∴5n2+2n﹣9=0,∴n=,此时直线MN与抛物线y1,y2的公共点恰好为三个不同点,当x2=1﹣4n时,把x2=1﹣4n代入①得:(5n﹣4)(1﹣4n)=﹣5n2﹣2n+9,该方程判别式Δ<0,所以该方程没有实数根;第36页共36页,②如图:当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时,当直线MN与抛物线y1=﹣x2+(n﹣4)x+4n只有一个公共点时,联立直线y=﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y=﹣x2+(n﹣4)x+4n可得,﹣x2+(n﹣3)x+5n2+2n﹣9=0,此时Δ=0,即(n﹣3)2+4(5n2+2n﹣9)=0,∴21n2+2n﹣27=0,∴n=,由①而知直线MN与抛物线y2=﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x1=0,x2=1﹣4n,当n=时,1﹣4n≠0,∴x1≠x2,所以此时直线MN与抛物线y1,y2的公共点恰好为三个不同点,③如图:当直线MN与抛物线y2=﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点,∵x1=0,x2=1﹣4n,第36页共36页,∴n=,联立直线y=﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1=﹣x2+(n﹣4)x+4n,﹣x2+(n﹣3)x+5n2+2n﹣9=0,△=(n﹣3)2+4(5n2+2n﹣9)=21n2+2n﹣27,当n=时,Δ<0,此时直线MN与抛物线y1,y2的公共点只有一个,∴n≠,综上所述:n1=,n2=,n3=,n4=.9.解:(1)直线y=﹣x+4与x轴交点坐标(4,0),与y轴交点坐标(0,4),把两点坐标代入①②③函数关系式,得到①③函数都经过这两点,∴抛物线①③是直线l的“和谐线”,故答案为①③;(2)令x=0,得y=﹣1;令y=0,得=0,解得,x=2,∴抛物线与x,y轴的交点分别为(2,0)及(0,﹣1),把两点坐标代入y=kx+b,得,∴直线为:,联立直线与双曲线的解析式,解方程组得或,∴两交点坐标为(﹣2,﹣2)及(4,1),∴MN==;(3)令y=0,得ax2+bx+c=0,设方程两根为x1,x2,∴d=|x1﹣x2|=,第36页共36页,∵x1+x2=﹣,x1x2=,∴,∵直线y=﹣cx+c(c≠0)过点(1,0),代入y=ax2+bx+c中,得a+b+c=0,∴c=﹣a﹣b,代入d中得===||=|2+|,∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>b>﹣a﹣b,a>0,则,∴<2+<3,∴.10.解:(1)由题意得,抛物线的表达式为y=(x﹣1)(x﹣4)=x2﹣5x+4=(x﹣)2﹣,故抛物线的顶点坐标为(,﹣);(2)由题意得,抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)=2,则x=3在对称轴的右侧,而x=3时,y<0,且m<x2<n(m,n为相邻整数),故x2在3和4之间,即m、n分别为3、4,故m+n=3+4=7;(3)将抛物线向左平移n(n>0)个单位,此时函数的对称轴为直线x=﹣n,∵当P和直线y=x﹣n有交点时,则当x≤﹣n时,直线在P的上方,当x=﹣n时,P的y值为﹣,当x=﹣n时,y=x﹣n=﹣2n,第36页共36页,即﹣2n≥﹣,解得n≤,故0<n≤,设y=n2﹣5n,∵1>0,故y有最小值,而0<n≤,当n=时,n2﹣5n的最小值为﹣.11.解:(1)①∵B(﹣1,3)、B'(5,﹣3)关于点A中心对称,∴点A为BB′的中点,设点A(m,n),∴m==2,n==0,故答案为:(2,0);②所画图象如图1所示,(2)①当m=﹣1时,抛物线L:y=x2+2x=(x+1)2﹣1,对称轴为直线x=﹣1,开口向上,当x≤﹣1时,L的函数值随着x的增大而减小,抛物线L′:y=﹣x2﹣6x﹣8=﹣(x+3)2+1,对称轴为直线x=﹣3,开口向下,当x≥﹣3时,L′的函数值随着x的增大而减小,∴当﹣3≤x≤﹣1时,抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,第36页共36页,故答案为:﹣3≤x≤﹣1;②∵抛物线y=x2﹣2mx的“孔像抛物线”是y=﹣x2+6mx﹣8m2,∴设符合条件的抛物线M解析式为y=a′x2+b′x+c′,令a′x2+b′x+c′=﹣x2+6mx﹣8m2,整理得(a′+1)x2+(b′﹣6m)x+(c′+8m2)=0,∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点,∴分下面两种情形:i)当a′=﹣1时,无论b′为何值,都会存在对应的m使得b′﹣6m=0,此时方程无解或有无数解,不符合题意,舍去;ii)当a′≠﹣1时,Δ=(b′﹣6m)2﹣4(a′+1)(c′+8m2)=0,即b′2﹣12b′m+36m2﹣4(a′+1)•8m2﹣4c′(a′+1)=0,整理得[36﹣32(a′+1)]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′(a′+1)=0,∵当m取不同值时,两抛物线都有唯一交点,∴当m取任意实数,上述等式都成立,即:上述等式成立与m取值无关,∴,解得a′=,b′=0,c′=0,则y=x2,故答案为:y=ax2;③抛物线L:y=x2﹣2mx=(x﹣m)2﹣m2,顶点坐标为M(m,﹣m2),其“孔像抛物线”L'为:y=﹣(x﹣3m)2+m2,顶点坐标为N(3m,m2),抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A(2m,0),∴二次函数y=x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点时,有三种情况:i)直线y=m经过M(m,﹣m2),∴m=﹣m2,解得:m=﹣1或m=0(舍去),ii)直线y=m经过N(3m,m2),∴m=m2,解得:m=1或m=0(舍去),iii)直线y=m经过A(2m,0),∴m=0,第36页共36页,但当m=0时,y=x2与y=﹣x2只有一个交点,不符合题意,舍去,综上所述,m=±1.12.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,经过点A(0,),B(2,﹣),∴,∴b=﹣2a﹣1(a>0).(2)∵二次函数y=ax2﹣(2a+1)x+,a>0,在1≤x≤3时,y的最大值为1,∴x=1时,y=1或x=3时,y=1,∴1=a﹣(2a+1)+或1=9a﹣3(2a+1)+,解得a=﹣(舍弃)或a=.∴a=.(3)∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′,∴A′(2,),B′(4,﹣),∴直线A′B′的解析式为y=﹣x+,∵抛物线y=ax2﹣(2a+1)x++4a在2≤x≤4的范围内仅有一个交点,∴即方程ax2﹣(2a+1)x++4a=﹣x+在2≤x≤4的范围内仅有一个根,整理得ax2﹣2ax+4a﹣3=0在2≤x≤4的范围内只有一个解,即抛物线y=ax2﹣2ax+4a﹣3在2≤x≤4的范围内与x只有一个交点,第36页共36页,观察图象可知,x=2时,y≤0,x=4时,y≥0,∴,解得,≤a≤,∴≤a≤.13.解:(1)①∵函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0),则称函数为函数y=ax2+bx+c的“相依函数”,∴y=﹣x2+2x﹣1的“相依函数”是;故答案为:;②当﹣1≤x<0时,y=﹣x2﹣2x+1=﹣(x+1)2+2,故当x=﹣1时,y有最大值为2,当0≤x≤1时,y=﹣x2+2x﹣1=﹣(x﹣1)2,故x=1时,y有最大值为0,综上所述,当﹣1≤x≤1时,函数y=﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2,故答案为:2;(2)函数y=﹣x2+2x﹣1的“相依函数”的图象如图:由y=﹣x2﹣2x+1可得顶点B(﹣1,2),与y轴交点C(0,1)(函数y=﹣x2+2x﹣1的“相依函数”图象不包含C),由y=﹣x2+2x﹣1可得顶点D(1,0),与y轴交点A(0,﹣1),当直线y=m与图象G恰好有两个公共点,由图象知:m<﹣1或m=0或1<m<2;(3)由题意知,函数y=x2+nx+1(n>0)的“相依函数”为第36页共36页,,且n2+1>n2﹣1,(1)当n≥4时,y=﹣(x+n)2+n2﹣1图象的对称轴在直线x=﹣4左侧,y=﹣(x﹣n)2+n2+1图象的对称轴在x=4右侧,当x=2时,y=﹣2+2n+1=2n﹣1,当x=﹣4时,y=﹣8+4n﹣1=4n﹣9,∵n≥4,∴2n﹣1≤4n﹣9,又≤y0≤9,∴≤4n﹣9≤9,∴≤n≤,∴4≤n≤,(2)当2<n<4时,当x=2时,y=﹣2+2n+1=2n﹣1,∵2<n<4,∴2n﹣1>n2﹣1,此时由≤y0≤9,可得≤2n﹣1≤9,有≤n≤5,∴2<n<4,(3)当0<n≤2时,而n2+1>n2﹣1,∴≤n2+1≤9,∴1≤n≤4,∴1≤n≤2,综上所述,n的取值范围是1≤n≤.14.解:(1)∵A(﹣1,0),B(3,0),∴抛物线对称轴为直线x=1,AB=4,第36页共36页,设对称轴交AC于点H,∵△ABC为等腰直角三角形,∴CH=2,∴当抛物线开口向上时,点C坐标为(1,﹣2),设y=a(x﹣1)2﹣2,把B(3,0)代入,可得a=,∴当抛物线开口向下时,点C坐标为(1,2),设y=a(x﹣1)2+2,把B(3,0)代入并解得a=﹣,∴a的值为或﹣,故抛物线的顶点坐标为(1,﹣2)或(1,2),故答案为:(1,﹣2)或(1,2);(2)①当b=﹣2a时,y=ax2﹣2ax+c=a(x﹣1)2+c﹣a,∴点C(1,c﹣a),∴点B(1+c﹣a,0),∴a(c﹣a)2+c﹣a=0,∴(c﹣a)(ac﹣a2+1)=0,∵c﹣a≠0,∴ac﹣a2+1=0,∴c=a﹣,∴y=a(x﹣1)2﹣,②∵﹣1≤x≤3,a<0,∴当x=﹣1或3时,y有最小值为4a﹣,当x=1时,y有最大值﹣,若以y1,y2,y3为长度的三条线段能围成三角形,则2(4a﹣)>﹣,整理的8a2﹣1<0,∴﹣<a<0.第36页共36页,15.(1)当a=时,有y=,取y=0,得=0,解得x1=﹣4,x2=8,∴A(﹣4,0),B(8,0),又∵y==,∴C(2,6),∴AB=12,AC=6,BC=6,∴;(2)∵△ACD为直角三角形,∴内心在三角形的内部,∴a<0,图象开口向下,设内心为点E(0,t),由于E到x轴的距离等于E到CD的距离,∴t=2,∴E(0,2),又∵△ACD为直角三角形,∴AD2+CD2=AC2,即62+(﹣36a)2=(﹣36a+2)2,解得:a=﹣,∴;(3)根据n的值分三种情况讨论,∵m≤x≤n,且mn<0,第36页共36页,∴m<0<n,①若n<2,则有:,解得n=,不合题意,故舍去,②若2<n<4﹣m,则有:,解得,且,∴m+n=9﹣4,③若4﹣m<n,则有:,解得,且,∴m+n=9﹣4,且,∴m+n=,综上,m+n的值为9﹣4或.16.解:(Ⅰ)当k=2时,y=x2﹣2(2﹣1)x+22﹣×2=x2﹣2x﹣1,x顶点=﹣=﹣=1,y顶点=x2﹣2x﹣1=12﹣2×1﹣1=﹣2,∴此抛物线顶点坐标为(1,﹣2);(Ⅱ)把(1,k2)代入抛物线解析式得k2=1﹣2(k﹣1)+k2﹣k,解得:k=;(Ⅲ)把点(2k,y1)代入抛物线有y1=4k2﹣2(k﹣1)2k+k2﹣k,第36页共36页,同理把点(2,y2),代入抛物线得y2=4﹣4(k﹣1)+k2﹣k,由y1>y2知,4k2﹣2(k﹣1)2k+k2﹣k>4﹣4(k﹣1)+k2﹣k,解得k>1;(Ⅳ)抛物线y=x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k=(x﹣k+1)2+(﹣k﹣1)向右平移1个单位长度得到新解析式为y=(x﹣k)2+(﹣﹣1),①k<1时,1≤x≤2位于对称轴右侧,y随x增大而增大,当x=1时,y最小=(1﹣k)2﹣k﹣1=k2﹣k=﹣,解k1=1≥1,k2=≥1,∴舍去,②当1≤k≤2时,y最小=﹣k﹣1=﹣,解得k=1,③当k>2时,1≤x≤2位于对称轴左侧,∴x=2时,y最小=(2﹣k)2﹣k﹣1=k2﹣+3=﹣,解得k1=3,k2=(舍去),综上k=1或3.17.解:(1)∵△=(﹣n)2﹣4m(﹣m+n)=(n﹣2m)2≥0,∴该函数图象与x轴必有交点;(2)①∵m﹣n=3,∴n=m﹣3.∴y1=mx2﹣nx﹣m+n=mx2﹣(m﹣3)x﹣3.当y1=0时,mx2﹣(m﹣3)x﹣3=0,解得x=1或﹣.∴二次函数图象与x轴交点为(1,0)和(﹣,0),∵当﹣m≤x<1时,二次函数的最大值小于0,∴﹣<﹣m<1.第36页共36页,又∵m>0,∴0<m<;②∵y2=|mx2﹣nx﹣m+n|,m﹣n=3,∴当x<﹣或x>1时,y2=mx2﹣(m﹣3)x﹣3,当﹣≤x≤1时,y2=﹣mx2+(m﹣3)x+3.∵当﹣4<p<﹣1时,点A在直线y=﹣x+4上方,∴当﹣1<﹣,即m>3时,有m×(﹣1)2﹣(m﹣3)×(﹣1)﹣3≥﹣(﹣1)+4,解得m≥.当﹣<﹣4,即m<时,有﹣m×(﹣1)2+(m﹣3)×(﹣1)+3≥﹣(﹣1)+4,且﹣m×(﹣4)2+(m﹣3)×(﹣4)+3≥﹣(﹣4)+4,∴m≤,又∵m>0,∴0<m≤.综上所述:0<m≤或m≥.18.解:(1)当b=0时,y=y1+y2=(a+c)x2+(a+c),令y=0,则(a+c)x2+(a+c)=0,∵a+c≠0,∴x2+1=0,∵△=﹣4<0,∴方程x2+1=0没有实数根,即抛物线y=(a+c)x2+(a+c)与x轴没有交点;(2)∵a>0,c<0,a+c≠0,∴抛物线y1=ax2+bx+c的开口向上,抛物线y2=cx2+bx+a,开口向下,当x=1时,y1=a+b+c,y2=c+b+a,∴y1=y2,当x=﹣1时,y1=a﹣b+c,y2=c﹣b+a,∴y1=y2,当b≥0时,如图1,若m>n,即y1>y2,则x<﹣1或x>1,即x0<﹣1或x0>1,当b<0时,如图2,若m>n,即y1>y2,则x<﹣1或x>1,第36页共36页,即x0<﹣1或x0>1,综上所述,若m>n,则x0的取值范围为x0<﹣1或x0>1;(3)∵y3=﹣a(x﹣1)2+4a,且y3与y1的图象关于原点中心对称,∴y1=ax2+bx+c=a(x+1)2﹣4a=ax2+2ax﹣3a,∴b=2a,c=﹣3a,∵(m﹣1)a+b+c≤0,∴(m﹣1)a+2a﹣3a≤0,∴a(m﹣2)≤0,∵a>0,∴m﹣2≤0,∴m≤2,∴m的最大值为2.19.解:(1)∵抛物线y=x2﹣bx+3的对称轴为直线x=2,∴2=﹣,∴b=4;(2)①∵b=4,∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3,∵直线AB⊥y轴,∴AB∥x轴,∵x2﹣x1=3,∴AB=3.∵对称轴为直线x=2,∴点A的横坐标为,点B的横坐标为,∴当时,.②如图,第36页共36页,∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴顶点坐标为(2,﹣1),当y=n=4时,0≤x≤5时,﹣1≤y≤4;当y=n=2时,0≤x≤5时,﹣4≤y≤2;∴n的取值范围为2≤n≤4.20.解:(1)∵y=﹣x2+2mx﹣m2+m=﹣(x﹣m)2+m,故点A的坐标为(m,m);(2)∵点A在第一象限,且点A的坐标为(m,m),则OA=m=,解得m=1,故抛物线的表达式为y=﹣x2+2x;(3)将点B的坐标代入抛物线表达式得:m﹣2=﹣(m﹣1)2+2m(m﹣1)﹣m2+m,此方程无解;将点C的坐标代入抛物线表达式得:2=﹣22+2m×2﹣m2+m,解得m=2或3,如图1,当m≤2时,抛物线和线段BC有公共点;如图2,当2<m<3时,抛物线和线段BC无公共点;第36页共36页,如图3,当m≥3时,抛物线和线段BC有公共点;故m≤2或m≥3时,抛物线和线段BC有公共点.第36页共36页
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