2022新高考数学人教A版一轮总复习训练模块卷（一）三角函数、向量、数列（带解析）

模块卷(一)时间:120分钟　分值:150分三角函数、向量、数列一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020贵州贵阳一中9月月考,5)在等差数列{an}中,an≠0(n∈N*),角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点(a2,a1+a3),则=(　　)A.5　　B.4　　C.3　　D.2答案　B　由三角函数定义可知,tanα=,又知数列{an}为等差数列,an≠0,∴a1+a3=2a2,∴tanα=2,则===4.2.(2020广东佛山一中9月月考,8)已知α,β为锐角,且tanα=,cos(α+β)=,则cos2β=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C　∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).∵cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.∵tanα=,∴sinα=,cosα=.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=,∴cos2β=2cos2β-1=2×-1=,故选C. 3.(2019湖南衡阳高中毕业班联考(二),4)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)的图象.已知函数g(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)(　　)A.最小正周期为π,最大值为2B.最小正周期为π,图象关于点中心对称C.最小正周期为π,图象关于直线x=对称D.最小正周期为π,在区间上单调递减答案　D　对于g(x),由题图可知,A=2,T=4=,又∵ω>0,∴ω==3.则g(x)=2sin(3x+φ),又由g=2可得2sin=2,则+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,而|φ|<,∴φ=-.∴g(x)=2sin,∴f(x)=2sin.∴f(x)的最小正周期为π,选项A,C错误.对于选项B,令2x+=kπ(k∈Z),所以x=-,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z),所以选项B是错误的.当x∈时,2x+∈,所以f(x)在上是减函数,所以选项D正确.故选D. 4.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cosA+cosB),则△ABC为(　　)A.等腰直角三角形　　B.直角三角形C.等腰三角形　　D.等腰三角形或直角三角形答案　D　由正弦定理得sinC=sinB(cosA+cosB),即sin(A+B)=sinB(cosA+cosB),也即sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+sinBcosB,所以(sinA-sinB)cosB=0,所以cosB=0或sinA=sinB,所以B=或A=B.故△ABC为直角三角形或等腰三角形,故选D.5.(2019山东济宁模拟,8)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=(　　)A.　　B.　　C.3　　D.答案　B　令bn=nan,则由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),得2bn=bn-1+bn+1(n≥2且n∈N*),∴数列{bn}构成以1为首项,以2a2-a1=3为公差的等差数列,则bn=1+3(n-1)=3n-2,即nan=3n-2,∴an=,∴a18==.故选B.6.(2020九师联盟,6)已知{an}是正项等比数列,{bn}是等差数列,且a4=b5,则(　　)A.a2+a6≥b3+b7　　B.a2+a6≤b3+b7C.a2+a6≠b3+b7　　D.a2+a6=b3+b7答案　A　∵{an}是正项等比数列,{bn}是等差数列,a4=b5,∴由基本不等式可得,a2+a6≥2=2=2a4=2b5=b3+b7,故选A.解题关键　利用基本不等式得到a2+a6≥2是解答本题的关键.7.(2019湖南衡阳第八中学第二次月考,10)在等差数列{an}中,a1=21,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围是(　　) A.　　B.C.　　D.答案　C　根据题意,知Sn=21n+.∵当且仅当n=8时,Sn取得最大值,∴则解得∴d的取值范围为.故选C.8.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使=成立的充分条件是(　　)A.a∥b　　B.a=2bC.a∥b且|a|=|b|　　D.a=-b答案　B　对于A,当a∥b时,与可能同向也可能反向,故A错误;对于B,当a=2b时,==,故B正确;对于C,当a∥b且|a|=|b|时,与可能同向也可能反向,故C错误;对于D,当a=-b时,=-≠,故D错误.综上,选B.9.(2020贵州遵义摸底考试,6)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|=2,则向量a-b在向量a方向上的投影为(　　)A.-1　　B.1　　C.2　　D.3答案　B　设向量a-b与向量a的夹角为θ,则向量a-b在向量a方向上的投影为 |a-b|cosθ=|a-b|·====1,故选B.10.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=5,则△ABC的形状是(　　)A.锐角三角形　　B.钝角三角形C.直角三角形　　D.上述三种情况都有可能答案　B　在△ABC中,G,O分别为△ABC的重心和外心,取BC的中点D,连接AD,OD,OG,如图所示,则OD⊥BC,GD=AD,=+,=(+),由·=5,得(+)·=·=-(+)·=5,即-(+)·(-)=5,故||2-||2=-30,又BC=5,∴||2=||2+||2>||2+||2,∴cosC<0,∴<C<π,∴△ABC是钝角三角形.故选B.11.(2020河南尖子生8月联考,10)当x∈时,不等式m<sinx(cosx-sinx)+<m+2恒成立,则实数m的取值范围为(　　)A.　　B.C.　　D.答案　D　设f(x)=sinx(cosx-sinx)+,则 f(x)=sinx·cosx-sin2x+=sin2x-×+=sin2x+cos2x=sin.∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈.由题意知m<f(x)<m+2在x∈上恒成立,即∴∴实数m的取值范围为,故选D.12.(2019浙江温州普通高中适应性测试,10)已知数列{an}中的各项都小于1,a1=,-2an+1=-an(n∈N*),记Sn=a1+a2+a3+…+an,则S10的取值范围为(　　)A.　　B.　　C.　　D.(1,2)答案　B　∵-2an+1=-an,∴=>0,∴an,an+1同号,又a1=,∴an>0,∵S10=(2a10-a9)+(2a9-a8)+…+(2a2-a1)+2a1-a10=(-)+(-)+…+(-)+2a1-a10=-+2a1-a10=+,又∵a10∈(0,1),∴S10∈,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2019山东烟台调研,14)在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x+y=　　　　.  答案　解析　=+=+=+(-)=-,又=x+y,所以x=,y=-,故x+y=-=.14.(2020四川南充高级中学摸底,14)函数y=cos(x+10°)+cos(x+70°)的最小值是　　　　. 答案　-解析　y=cos(x+10°)+cos[(x+10°)+60°]=cos(x+10°)+cos(x+10°)cos60°-sin(x+10°)sin60°=cos(x+10°)+cos(x+10°)-sin(x+10°)=cos(x+10°)-sin(x+10°)=sin[60°-(x+10°)]=sin(50°-x)=-sin(x-50°).∵x∈R,∴当x=140°+k·360°(k∈Z)时,函数取得最小值-.15.已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值为　　　　. 答案　-25解析　解法一(定义法):由题意可知△ABC为直角三角形,且∠B=,cosA=,cosC=.∴·+·+·=·+·=4×5×cos(π-C)+5×3×cos(π-A)=-20cosC-15cosA=-20×-15×=-25.解法二(坐标法):易知∠ABC=90°.如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,0),C(0,4).∴=(-3,0),=(0,4),=(3,-4),∴·=-3×0+0×4=0,·=0×3+4×(-4)=-16,·=-3×3 +0×(-4)=-9.∴·+·+·=-25.解法三(几何意义法):易知∠ABC=90°.在方向上的投影为数量-||,在方向上的投影为数量-||,因此·=-=-16,·=-=-9,·=0,∴·+·+·=-25.解法四(性质法):易知∠ABC=90°.·+·+·=0+·(+)=·=-||2=-25.解法五(平方法):∵++=0,∴(++)2=0,∴+++2·+2·+2·=0.∴·+·+·=-(++)=-25.16.(2019湖南郴州第二次教学质量监测,16)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*),若数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列的前n项和Sn=　　　　. 答案　解析　∵{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,∴公比q===2,∴an=2n, ∴a1a2a3…an=21×22×23×…×2n=21+2+3+…+n=.∵a1a2a3…an=,∴bn=,∴==2,∴的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn=2=2=.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020西南地区名校联盟8月联考,17)已知函数f(x)=sin2xcosφ+sin2xsinφ+cos+,其图象过点.(1)求f(x)的解析式,并求其图象的对称中心;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,然后各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,求函数g(x)在上的最大值和最小值.解析　(1)f(x)=sin2xcosφ+sin2xsinφ-sinφ+=sin2xcosφ+×sinφ-sinφ+=sin2xcosφ-cos2xsinφ+ =sin(2x-φ)+.∵f(x)的图象过点,∴sin+=1,即sin=1,∴-φ=2kπ+(k∈Z),∴φ=-2kπ-(k∈Z).∵-<φ<,∴φ=-.则f(x)=sin+,由2x+=kπ(k∈Z)得x=-(k∈Z),故其图象的对称中心为,k∈Z.(2)将y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,所得图象对应的函数解析式为y=sin+.又将所得图象各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,则g(x)=sin+1.由x∈得x+∈,当x+=,即x=时,g(x)取最大值2;当x+=,即x=0时,g(x)取最小值.18.(12分)(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在△ABC中,满足⊥,M是BC的中点.(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求·+·的最小值.解析　(1)设向量+2与向量2+的夹角为θ,因为⊥,所以·=0,所以cosθ==,设||=||=a(a>0),则cosθ==.(5分)(2)∵||=||=,∴||=1, 设||=x(0≤x≤1),则||=1-x.(8分)因为+=2,所以·+·=·(+)=2·=2||·||cosπ=2x2-2x=2-.因为0≤x≤1,所以当且仅当x=时,·+·取最小值-.(12分)19.(12分)(2019上海浦东二模,18)已知向量m=(2sinωx,cos2ωx),n=(cosωx,1),其中ω>0,若函数f(x)=m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=,sinB=sinA,求·的值.解析　(1)f(x)=m·n=sin2ωx+cos2ωx=2sin,∵f(x)的最小正周期为π,∴T==π,∴ω=1.(2)设△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c.∵f(B)=-2,∴2sin=-2,即sin=-1,解得B=.∵BC=,∴a=,∵sinB=sinA,∴b=a,∴b=3,由=得sinA=,∵0<A<,∴A=,则C=,∴a=c=,∴·=cacosB=-. 20.(12分)(2020湖北沙市中学第二次周考,7)在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(2c-a)cosB-bcosA=0.(1)求角B的大小;(2)已知c=2,AC边上的高BD=,求△ABC的面积S.解析　(1)∵(2c-a)cosB-bcosA=0,∴由正弦定理得(2sinC-sinA)cosB-sinBcosA=0,∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA,即2sinCcosB=sin(A+B)=sinC.∵C∈,∴sinC≠0,∴cosB=,∵B∈,∴B=.(2)∵S=acsin∠ABC=BD·b,将c=2,BD=,sin∠ABC=代入,得b=a.由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos∠ABC=a2+4-2a.将b=a代入上式,整理得a2-9a+18=0,解得a=3或6.当a=3时,b=;当a=6时,b=2.又∵△ABC是锐角三角形,∴a2<c2+b2,故a=3,b=.∴S=×2×3×=.21.(12分)(2020黑龙江哈尔滨香坊月考,17)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n(n∈N*).(1)证明数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)记bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)由Sn=2an-n(n∈N*)可得n=1时,a1=S1=2a1-1,可得a1=1;n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+n-1,化为an=2an-1+1,即an+1=2(an-1+1).所以数列{an+1}是首项和公比均为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1,n∈N*.(2)bn=(2n-1)an=(2n-1)(2n-1)=(2n-1)·2n-(2n-1),Tn=[1×2+3×4+5×8+…+(2n-1)·2n]-(1+3+5+…+2n-1),设Rn=1×2+3×4+5×8+…+(2n-1)·2n,则2Rn=1×4+3×8+5×16+…+(2n-1)·2n+1,上面两式相减可得-Rn=2+2(4+8+16+…+2n)-(2n-1)·2n+1=2+2·-(2n-1)·2n+1,化简可得Rn=6+(2n-3)·2n+1,则Tn=6+(2n-3)·2n+1-n(1+2n-1)=6+(2n-3)·2n+1-n2.22.(12分)(2020浙江省重点高中统练,19)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n2+2n(n∈N*).(1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出an和Sn关于n的表达式;(2)是否存在自然数n,使得S1+++…++2n=1124?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由;(3)设cn=(n∈N*),Tn=c1+c2+c3+…+cn(n∈N*),若不等式Tn>(m∈Z)对n∈N*恒成立,求m的最大值.解析　本题考查等差数列的概念;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-2n2+2n-[(n-1)an-1-2(n-1)2+2(n-1)],化简得(n-1)(an-an-1-4)=0,即an-an-1=4,所以数列{an}是等差数列,其首项为1,公差为4,所以an=4n-3,Sn==2n2-n. (2)由(1)知=2n-1,所以S1++…+=1+3+…+2n-1=n2,令f(n)=n2+2n,可知f(n)单调递增,f(10)=102+210=1124,故存在唯一的自然数n=10符合要求.(3)由(1)知cn==,所以Tn==·,注意到Tn=单调递增,所以Tn≥T1=,所以<,解得m<8(m∈Z).所以m的最大值为7.