小学数学讲义暑假六年级优秀第2讲韩信点兵

第二讲第二讲韩信点兵知识站牌六年级暑期六年级暑期数论中的计数数论中的最值六年级暑期韩信点兵五年级春季位值原理五年级春季同余理解“物不知数”的问题，并总结利用逐步满足法解决问题的相关技巧漫画释义第11级上优秀A版教师版1\n课堂引入物不知数，意思为有一些物品，不知道有多少个．这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的．原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”通俗的说就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个．这些物品的数量至少是多少个？在我们的“数海拾贝”版块中给出了利用中国剩余定理解此题的方法，同样韩信也给了这题的另一个答案，就在我们的“”版块中，但至于怎么算的，无法考究，不过学完本讲，你会发现解此题的最好最快的方法，你也会理解韩信说出另一个答案的真正道理．那就进入我们今天要学的课程吧．教学目标1.理解“物不知数”这类题目的实质2.灵活运用逐步满足法解决“物不知数”这类题目的相关技巧经典精讲在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．这样的问题，有人称为“韩信点兵”．它形成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所以被称为“中国剩余定理”．我们在解决类似“物不知其数”题，也就是找出一个数N，满足除以A余a,除以B余b,除以C余c．在解决这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余．例如AaBbd,则有Nd[,]ABn，而N的最小值是N[,]ABd;绝招二：加同补．例如：AaBbe;则有Ne[,]ABn，而N的最小值是N[,]ABe;绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．2第11级上优秀A版教师版\n第二讲知识回顾1．计算□÷△，结果是：商为10，余数为▲．如果▲的值是6，那么△的最小值是_____．【分析】根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有△的最小值为7．2．除法算式□□=208中，被除数最小等于．【分析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.3．1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【分析】1013121001，100171113，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91．4．求4782569352除以9的余数．【分析】47819291，2561394，3521091，4782569351除以9的余数等于1414．5．三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是．【分析】5123=28－，7251=21－，（28，21）=7，所以这个除数是7．6．学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【分析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751和673334的公约数，所求答案为17．例题思路模块一：除数为两个的韩信点兵问题例1：余数相同例2：除数与余数和或差相同模块二：除数为三个的韩信点兵问题例3：其中有两个条件中除数与余数的差相同例4：其中有两个条件中除数与余数的和相同例5：没有两个条件的除数与余数的和或差相同第11级上优秀A版教师版3\n例1一个自然数除以4余3，除以7余3，问满足条件的两位数分别是多少？(学案对应：学案1)【分析】[4,7]331，[4,7]2359，[4,7]3387【想想练练】一个小于100的自然数除以4余3，除以7余3，问满足条件的自然数有哪些？【分析】3，[4,7]331，[4,7]2359，[4,7]3387例2一个自然数，它除以5余2，除以4余1，这个数最小是多少？【分析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于52413，可知这个数加上3后就能同时被5和4整除，而5,420，这个数最小是20317．例3一个自然数除以5余2，除以4余1，除以7余6，这个数最小是多少？(学案对应：学案2)【分析】根据例2只满足前两个条件的自然数是17，只需要(1720)7ma6，即(36)7ma6，经尝试m4，所以满足条件的最小自然数是17204971【想想练练】(第六届“希望杯”2试试题)某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是______．(学案对应：基础2，提高2，尖子2)【分析】符合第一、第三条条件的人数最少为37122人，经检验，22也符合第二个条件，所以22也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22357127．4第11级上优秀A版教师版\n第二讲物不知数在中国古代著名数学著作《孙子算经》卷下第28题，叫做“物不知数”，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》做出了完整的解答．明朝数学家程大位有《孙子歌》如下三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知秦九韶解法，首先利用他发明的大衍求一术求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个70（这个称为35相对于3的数论倒数），3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15．然后702213152233便是可能的解之一．它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23．例4一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为．（学案对应：学案3）【分析】我们观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以满足前两个条件的自然数为a835m，下一步只需要a除以9余4，35938，只需88m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m4，因此满足所有条件的最小自然数为8354148例5一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为.（学案对应：学案4）【分析】法一：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4，当4被加上两个7时得到18，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；只需(1835)3ma2，即(02)3ma2，因此m1，所以所求的最小自然数就是53.法二：通过观察．没有发现除数与余数有和或差的关系，所以可以使用普遍适用的“中国剩第11级上优秀A版教师版5\n余定理”，步骤如下：3、5的公3、7的公5、7的公倍数倍数倍数15213530427045631056084140………………分别找出除以7余1的3、5的公倍数，除以5余1的3、7的公倍数，除以3余1的5、7的公倍数，分别是：15、21、70；因此符合条件的数是154213702263但是要求的是满足条件的最小的自然数，263不是最小的，对此的处理方法就是减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：263105253．【想想练练】三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少？【分析】设这三个自然数分别为x1,,xx1．则x1是5的倍数，x是7的倍数，x1是11的倍数，因此有x5c1，x7c0，12x11c10，利用逐步满足法求出满足前两个条件的x2135m，只需让3(2135)11mc410，求得m的最小值为0，因此x的最小值为21，那么这三个自然数最小为20,21,22秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率领1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”．于是士气大振．一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团．交战不久，楚军大败而逃．同学们你们知道韩信怎么算出1073的吗杯赛提高（2008年“奥数网杯”六年级试题）三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是．【分析】如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1，那么题目变为：一个数除以4余1，除以9余8，且能被7整除，且求这个数的最小可能值．这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，6第11级上优秀A版教师版\n第二讲也可以采用中国剩余定理来解．方法一：逐步满足法．除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，；除以9余8的数有：8，17，26，．可见同时满足这两条的数最小为17，（备注：满足前两个条件的也可以用逐步满足法．如下：满足除以4余1的数是4n1再满足除以9余8：只需(4n1)9a8经尝试n4可见同时满足这两条的数最小为17）由于4,936，那么满足除以4余1且除以9余8的数为1736n，要求1736n能被7整除的最小n4，所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161，那么它们的和最小为1613483．方法二：代数表示法．根据题意，设这三个数分别为7k1、7k、7k1（k是整数），那么7k1是4的倍数，7k1是9的倍数，由于7k18kk1，7k19k2k1，所以k1是4的倍数，2k1是9的倍数，由k1是4的倍数知2k2是8的倍数，设2k19n，那么2k29n38nn3，所以n3是8的倍数，n最小为5，相应地k最小为23，那么这三个自然数的和最小为7233483．方法三：用不定方程来解．7b4a1⑴设这三个数分别为4a，7b，9c，那么．9c7b1⑵7b13b13b1由⑴得ab，所以是整数，b为3，7，11，15，19，23，；4447b12b12b1由⑵得cb，所以是整数，b为5，14，23，32，．999可见b最小为23，那么所求的三个自然数的和最小为7233483．方法四：中国剩余定理．一个数除以4余1，除以9余8，除以7余0，由于能被4、9整除且除以7余1的数最小为36，能被4、7整除且除以9余1的数最小为28，能被7、9整除且除以4余1的数最小为[7,9]3189，根据中国剩余定理，3602881891413满足除以4余1，除以9余8，除以7余0，而[4,7,9]252，所以413252161是满足条件的最小数，那么所求的三个自然数的和最小为1613483．附加题1.有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？【分析】满足条件的最小值是5，那么所有满足条件的数肯定具有3,4k512k5的形式，除以12一定是余5的．第11级上优秀A版教师版7\n2.布袋里装有玻璃球若干个，如果每次取2个，最后剩下1个；如果每次取3个，最后剩下1个；如果每次取7个，最后剩下3个．这个布袋中至少有个玻璃球．【分析】不妨设黑布袋中至少有x个玻璃球，那么x要满足的条件是：①除以2余1，②除以3余1，③除以7余3．我们先找到满足条件①、②的数76m，只需让76m满足条件③，即6m除以7余3，最小的m4，那么这个黑布袋中至少有31个玻璃球．3.一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．【分析】方法一：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，…；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是依次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是10510521102．方法二：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余321，被5除与52，所以满足前面两个条件的a15m7(m为自然数)，只需15m7除以7余3，即15m除以7余3，而15721，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为315752，那么这个数在1000和1200之间，应该是10510521102．4.三个连续偶数，从小到大依次是4、9、14的倍数，这三个连续偶数的和最小为多少？【分析】设最小的偶数为x,则有：x4a0x4a0(x2)9b0，即x9b17，满足前两个条件的所有数是1636n，(x4)14c0x14c110只需(1636)14nc10，即(28)14nc10，因此n1，所以最小的偶数是52，12那么三个连续偶数的和最小为162．5.三个连续偶数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个偶数最小为多少？【分析】设最小的偶数为x,则有：x5a0x5a0(x2)7b0，即x7b15，满足前两个条件的所有数是535n，只(x4)11c0x11c17需(535)11nc4，即(52)11nc4，因此n1，所以最小的偶数是40，因此这三个偶数最小为40,42,446.某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是＿．【分析】观察到11813103，因此除以11余8，除以13余10的最小自然数为11133140，140加上1113的倍数依然满足除以11余8，除以13余10，设某数为a，则a143m3(m为非零自然数)，只需143m3除以17余12，而1431787，只需(7m3)17n12，即7m17n15(n为自然数)从最小的n开始找，得到n2,m7，所以a143739987.五班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人．问上体育课的同学最少有多少名?【分析】如果五班学生人数增加1，那么五班学生人数能被3、4、5、6整除，即是3、4、5、6的公倍数．由于3,4,5,660，所以上体育课的学生最少有60159人．8第11级上优秀A版教师版\n第二讲8.有5000多根牙签，可按六种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根；如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8、7、6、5根为一包，那么最后也分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签根．【分析】设原有牙签x根，如果添加1根牙签，那么按六种规格分成小包时都恰好每包装满且无剩余，即(x1)是5、6、7、8、9、10的公倍数．于是(x1)是5、6、7、8、9、10的最小公倍数的倍数．容易得到5、6、7、8、9、10的最小公倍数是[5,6,7,8,9,10]22233572520．又已知x大于5000且小于6000，即5000＜x＜6000，因此x1252025040．所以x5039．知识点总结我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N除以A余a,除以B余b,除以C余c这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余．绝招二：加同补．绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．家庭作业1.一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数分别是多少？【分析】2，[3,7]223，[3,7]2345，[3,7]3366，[3,7]43872.赵老师有30多张积分卡，如果平均分给5个同学，最后剩余3张；如果平均分给6个同学，最后剩余2张，那么赵老师有多少张积分卡？【分析】因为5362，所以赵老师共有8[5,6]38张积分卡．3.200以内除以3余1，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个？分别是多少？【分析】通过观察我们发现除数和余数的差都为2，设要求的最小自然数为a，那么a2就是3、4、5的公倍数，所以a[3,4,5]258，其他的数只要在a的基础上加[3,4,5]60的倍数即可，所以还有5860118，11860178，因此满足条件的自然数有三个，分别是58,118,178.4.有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有块．【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4．如果增加6块就刚好是8，9，10的公倍数，又8，9，10的最小公倍数是360．所以这堆水果糖至少有360-6=354（块）．第11级上优秀A版教师版9\n5.布袋里装有若干个乒乓球，如果每次取4个，最后剩下3个；如果每次取7个，最后剩下1个；如果每次取5个，最后剩下2个．这个布袋中至少有个乒乓球．【分析】因为43527，所以满足第一、第三个条件的所有乒乓球个数为720m，只需(720)7ma1，即(06)7mb1，经过尝试m6，所以这个黑布袋中至少有7206127个乒乓球．6.一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数．【分析】方法一：53642，可见这个数加上2后是5、6的公倍数，那么至少为5,6228，即28适合前两个条件．再用28依次加上30的倍数，由于28是7的倍数，30除以7的余数为2，可知28304满足除以7余1，所以，满足条件的最小的自然数是28304148．方法二53718，所以只需835m除以6余4，因为8612,35655，即让25m除以6余4，即5m除以6余2，求得最小的m4，所以满足条件的最小的自然数是8354148A版学案【学案1】一个自然数除以4余3，除以7余3，问满足条件的最小两位数是多少？【分析】[4,7]331【学案2】某些自然数除以11余1，除以13余3，除以15余13，那么这些自然数中最小的是．【分析】因为11113310，所以满足前两个条件的自然数是[11,13]10133，结果133恰好除以15余13，所以这些自然数中最小的是133【学案3】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而5,7,9315，所以这个数最小为3158323．【学案4】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现321527，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，3,5,11165，所以这个数最小是1657172．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，在7的基础上加上3，5，11的最小公倍数，得到172即为所求的数．10第11级上优秀A版教师版