小学数学讲义暑假五年级第3讲棋盘中的数学超常体系

第3讲第三讲棋盘中的数学知识站牌五年级秋季五年级暑假逻辑推理综合必胜策略五年级暑假棋盘中的数学四年级春季操作类智巧趣题四年级春季统筹与最优化棋盘覆盖的前提；棋盘黑白染色，棋盘特殊染色(轮换式，条形，阶梯)漫画释义第9级上超常体系教师版1第3讲课堂引入你玩过“俄罗斯方块”吗？它是一款风靡全球的游戏，原本是前苏联科学家阿列克谢·帕基特诺夫所开发的教育用软件.标准的“俄罗斯方块”中共有以下七种图形：用这些图形来覆盖国际象棋棋盘有很多有趣的数学问题，让我们一起来学习吧！教学目标1、理解并掌握覆盖的前提2、掌握并能运用黑白染色的方法，结合数论知识解决一些“能”与“不能”的操作类问题3、理解其他的染色方法经典精讲本讲主要是通过利用染色技巧，结合数论知识，进行推理回答＂能＂与＂不能＂的问题，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力．这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典形的染色方法．例题思路模块1：例1，覆盖的前提模块2：例2-6，黑白染色模块3：例7-8，特殊染色（轮换式，条形，阶梯）例12第9级上超常体系教师版(1)一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下列选项中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4（B）3×5（C）4×4（D）4×5（E）6×3(2)用若干个和能否恰好不重不漏地覆盖住15×15的方格棋盘．(3)用标准的俄罗斯方块的某些图形，能否恰好不重不漏地覆盖住5×6的方格棋盘．【分析】(1)B，从奇偶性考虑(2)不能，从奇偶性考虑(3)不能，俄罗斯方块每块均是4格，4不能整除5×6小结：此题提示孩子，在覆盖问题中，首先从面积大小及整除性来判断．覆盖中的最值问题也会用到此类思想．例2(1)下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同1×2的长方形？(2)五年级一班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作他的邻座．如果要让这35名同学每个人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？(学案对应：超常1)【分析】(1)将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个1×2的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而1×2的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到．(2)右图是一个5×7的方格，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格上，所有黑格的坐到白格上．但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到．【巩固】你能把下面的图形分成7个大小相同的1×2的长方形吗？动手画一画．【分析】可以通过染色发现黑白方格个数相同，可以按一黑一白分成7块含有2个小方格的长方形，答案如下（答案不唯一）：第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版3第3讲【巩固】下面三个图形都是从4×4的正方形分别剪去两个1×1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1×2的七个小矩形?（1）（2）（3）【分析】先对4×4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1×2矩形能否分别覆盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1×2矩形可以覆盖剪残的棋盘,因为每个1×2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有6个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有6个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个1×2矩形覆盖,也就不能剪成7个1×2的矩形.棋盘(1)可以被7个1×2的矩形所覆盖.下面给出一种剪法:【巩固】图中是由14个大小相同的方格组成的图形．试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？【分析】将这14个小方格黑白相间染色（见右上图），有8个黑格，6个白格．相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形．4第9级上超常体系教师版国际象棋的历史关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说2000年以前，印度有一个非常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗；每一方都有一个首脑——王，另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子保护，这些棋子必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。例3(1)有一次车展共5525个展室，如图(1)，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?(2)如图(2)，能否沿此图上的线画出一条线，使得每个节点都恰好经过一次？图(1)图(2)(学案对应：带号1)【分析】(1)如左下图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．入口处是黑格，从入口到出口共要走24步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处是白格，因此不可能不重复由入口到出口走遍每个展室.(2)将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差1.而其中一共有9个黑点，7个白点，白点比黑点少2个，因此不能.【巩固】有一次车展共4416个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版5第3讲【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．入口处是白格，从入口到出口共要走15步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室.【巩固】如图，是连接14个城市的道路图.是否有一条路线可以经过每一个城市恰好一次？【分析】将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差1.而其中一共有6个黑点，8个白点，白点比黑点多2个，因此不能.例4(1)下左图是国际象棋的棋盘，棋盘的左下角的格中放有一只马.众所周知，马是走“日”字的．请问：这只马能否不重复地走遍棋盘上的每一个格，最后停在右上角的格中？(2)下右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马．众所周知，马是走“日”字的．请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？马【分析】(1)马走“日”字，在棋盘中每次会从白格走到黑格，从黑格走到白格。从白格停到白格，则走的白格数应该比黑格数多1，但棋盘中共有32黑，32白，所以矛盾。不能。(2)马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●．因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步．现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有232245个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点．6第9级上超常体系教师版讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的．但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了．从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44个点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）．因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●．也就是说，当不要求回到出发点时，只要从●的位置出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点．例5表(1)中，在有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限次操作后由表(1)变为表(2)，那么表(2)中A处的数是．A20102010101201020102010010101201020102010表(1)表(2)(学案对应：超常2，带号2)【分析】将表(1)黑白相间染色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数码和的差是不变的，原来黑白数码和的差是5，经过若干次变化后，差仍应是5，所以答案是5．【拓展】对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表⑵？为什么？123101456000789101(1)(2)【分析】因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变．原来九个数的总和为12945，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表⑵中九个数的总和是4，是个偶数．奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表⑵。例6第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版7第3讲(1)能否用1个和15个形纸片,拼成一个88的正方形棋盘?(2)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(1)所示的长方形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。(3)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(2)所示的图形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。图(1)图(2)(学案对应：超常3)【分析】(1)将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88的棋盘.(2)黑白染色，可发现“T”字形与其他图形的染色方式奇偶性不同，因此不能．(3)如下图进行黑白染色，可发现共15黑，13白，而“T”字形恰好可以让黑比白多2.因此理论上可行(注：理论上可行不代表实际能办到)．通过右图可发现可以办到．【巩固】如图有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这5个硬纸板拼成图中的45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由.【分析】不能，对45长方形作黑白染色8第9级上超常体系教师版黑格数白格数，但若对、、、、这五个图形进行②③④①⑤黑白染色，图①②③⑤黑格白格，但图④黑白，所以办不到．例7(1)能不能用15个和1个，拼成一个8×8的正方形？请说明理由．(2)能不能用1个和15个,拼成8×8的正方形?请说明理由．(学案对应：带号3)【分析】(1)将88的方格如图条形染色.那么我们把22的正方形放入方格中，必定可以盖住2个黑格子和2个白格子；把L形放入方格中，必定可以盖住1个黑格子，3个白格子；或1个白格子，3个黑格子.L形盖住的黑白格子数都是奇数个，那么15个L形盖住的黑格子和白格子也必然是奇数个.而在88的方格中，共有32个黑格子，32个白格子.因此不能用15个L形和1个田字形纸板，拼成一个88的棋盘.(2)若仍然将88的大正方形黑白相间染色，则22和41两种形状盖住的都是两白两黑．必须寻找其他的染色方法．新的方法必须使得22和41长方形无论放在何处，都可产生一定差别．采用如右图的染色方法，则：41长方形必盖住两黑两白，共15个41，盖住30黑30白；22正方形可盖住3白1黑或3黑1白．可以发现，总共只能盖住31黑33白或31白33黑，而图中实际有32个黑格32个白格，故不可能用15个41和1个22的正方形盖住88的大正方形．第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版9第3讲例8(1)用9个1×4的小长方形能否拼成一个66的正方形？请说明理由．(2)在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被摆成一个99的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?…………………………………………●●●●●●●●●……●●●●●●●●●……●●●●●●●●●……●●●●●●●●●……●●●●●●●●●……●●●●●●●●●……●●●●●●●●●……●●●●●●●●●……●●●●●●●●●…………………………………………(学案对应：超常4，带号4)【分析】(1)法1：本题若用传统的自然染色法，不能解决问题．因为要用14来覆盖，我们对66正方形用四种颜色染色．为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色．为了使每个14长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿轮换式染色，如下左图．这样，可以发现无论将14长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个．要不重叠地拼出66，需9个14长方形，则必然盖住1、2、3、4各9个．但实际上图中一共是9个1、10个2、9个3、8个4，因而不可能用9个14长方形拼出66正方形．10第9级上超常体系教师版法2：如下右图，可以发现共20个黑格，16个白格．黑比白多4，而1×4的格子每次能盖住2黑2白，黑=白，因此不可能．123412234123341234412341123412234123(2)不能.如图,将整个棋盘的每一格都分别染上黑、白、灰三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.因为一开始时,81枚棋子摆成一个99的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.【拓展】用若干个16和17的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个1112的大长方形，问最少要用小长方形多少个?第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版11第3讲【分析】因为大长方形的面积是1211132，小长方形的面积分别是6和7，所以小长方形的个数有四种可能，分别是1个16的小长方形和18个17的小长方形；8个16的小长方形和12个17的小长方形；15个16的小长方形和6个17的小长方形；22个16的小长方形.如果使所用的小长方形的个数尽量少，即最少要用1个16的小长方形和18个17的小长方形.将大长方形划分成132个11的小正方形，选取如图的20个小正方形染成黑色.这19个小长方形无论怎样放置，每个小长方形最多只能覆盖1个黑色的小正方形，一共最多只能覆盖19个黑色的小正方形，所以用1个16的小长方形和18个17的小长方形无法覆盖11×12的大长方形.如果使用8个16的小长方形和12个17的小长方形，用8个16的小长方形可以拼成1个124的长方形，12个17的小长方形可以拼成1个127的长方形，而这两个长方形即可拼成1112的大长方形，所以最少要用小长方形20个.四皇后问题国际象棋棋局中实力最强的一种棋子是皇后，它横、竖、斜都可以走，步数不受限制，但不能越子。吃子与走法相同。在一个4×4棋盘上，放置4个皇后，使她们相互之间不能攻击，该怎么布局？答案：有两种布局方法：知识点总结棋盘覆盖问题的解决方法：1.判断面积；12第9级上超常体系教师版2.通过适当的染色方式区分出理论与实际的差别；3.若不行，说明原因；若可行，写出方案．常见的染色方式：1.黑白染色(最常用)2.轮换式染色(可区分“一”字形)3.条形染色(可区分“L”形和“田”字形)4.阶梯染色(可区分“田”字形和“一”字形)家庭作业1.在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：可以用若干个和拼成的图形是____号。【分析】（1）（2）不是3的倍数。（3）不能拼成（4）号可以。2.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前、后、左、右相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?【分析】把影院的座位图画成黑白相间的矩形(29×31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格，则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换.由于黑白格的总数不相等,因此是不可能的．3.如右图，在55方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中?AA【分析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格．所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步．而小方格为5525个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数．于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格．4.下图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马．众所周知，马是走“日”字的．请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点？第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版13第3讲马【分析】如下图方式进行染色，可看出共23个黑点，22个白点，从白点出发，白黑相间的走，若能成功，必是“白=黑”或是“白－黑=1”的情况．因此不可能实现．5.在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算一次操作，经过若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A格中的数字是几？0101111110101111010111111010A111(1)(2)【分析】将44的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图⑴知这个差是8，由图⑵可知：白格数之和黑格数之和(A7)88，所以A9．6.能否用9个“”形卡片拼成一个66的棋盘？【分析】不能．将66的棋盘黑白相间染色（见图），有18个黑格．而每张卡片盖住的黑格数只能是1或者3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住18个黑格．注：从本题强调“T”形拼板在染色上的特殊性.7.能不能用15个形和1个形纸板，拼成一个8×8的棋盘？14第9级上超常体系教师版【分析】将8×8的方格如图条形染色.那么我们用的方格必定可以盖住2个黑格子和2个白格子或4黑或4白；把形放入方格中，必定可以盖住1个黑格子，3个白格子；或1个白格子，3个黑格子L形盖住的黑白格子数都是奇数个，那么15个L形盖住的黑格子和白格子也必然是奇数个.而在8×8的方格中，共有32个黑格子，32个白格子.因此不能用15个形和1个形纸板，拼成一个8×8的棋盘.8.用8个1×3的小长方形格子去覆盖5×5的正方形，会多出一个格子未被覆盖。请在下图中画出一种覆盖方式。【分析】可先对大正方形轮换式染色（或编号），可以说明只能挖掉含“2”的格子。再经过尝试，可发现只能挖掉中间的格子。超常班学案【超常班学案1】如图，缺两格的88方格有62个格，能否用31个不重复地盖住它且不留空隙?【分析】这种覆盖问题是典形的用染色方法解决的问题之一．用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑．要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等．但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版15第3讲图不重不漏地盖住．【超常班学案2】如图，对图1中的数进行如下操作：⑴选择上、下或左、右紧邻的两个数；⑵若这两个数都不小于1，则两个数都要加1或减1；若这两个数不管哪个是0，则两个都要加1．010101111111101010111111010101111111101010111111010101111111101010A11111图1图2按此方法操作若干次后形成图2，则A应该填入的数是多少？【分析】我们可以直接将题目中的图形涂成黑白相间图案，黑色代表０，白色代表１．则如下图：由于是每次上、下或左右同时加１或者同时减１，则涂色部分与未涂色部分必然是同时变动，所以他们的总和之间的差是没有变化的．根据图１，发现白格中的数字之和为18;黑格中的数字之和为0，其差为18．根据图2，发现白格中的数字之和为17+A，黑格中的数字之和为18．所以A=19．【超常班学案3】在66的方格表中，用若干由3个单位方格组成的“L”形纸片和由4个单位方格组成的“凸”形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.【分析】因为一共有36个方格，而两种纸片分别有3个方格和4个方格，所以纸片的张数共有四种可能，分别是9张“凸”形纸片；6张“凸”形纸片和4张“L”形纸片；3张“凸”形纸片和8张“L”形纸片；12张“L”形纸片.如果使所用的纸片尽量少，即要用9张“凸”形纸片.对这个66的方格表按国际象棋棋盘的方式染色，可以得到18个黑格和18个白格.对于一张“凸”形纸片来说，或者可以覆盖到1个黑格，或者可以覆盖到3个黑格，所以需要偶数个“凸”形纸片才能将18个黑格完全覆盖，所以用9张“凸”形纸片覆盖方格表是不可能的.如果使用6张“凸”形纸片和4张“L”形纸片，则很容易将方格表完全覆盖.可以先用4张“凸”形纸片覆盖1个44的方格表，将剩余的部分用2张“凸”形纸片和4张“L”形纸片覆盖即可.所以，所用纸片最少为10张.【超常班学案4】用54个1×1×4的小长方体能否拼成一个6×6×6的大正方体？请说明理由．【分析】如下图对大正方体黑白染色，可知道图中共有112个黑色小正方体，104个白色小正方体，黑比白多8个．而不管怎么放入1×1×4的小长方体，都只能盖住2黑2白，黑=白，因此不能办到．16第9级上超常体系教师版123班学案【超常123班学案1】棋盘由如图所示的9个小圆圈排列而成，用1～9编号．在3号和9号小圆圈中各放一枚棋子，分别代表警察和小偷．若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中的一个走入另一个．现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的邻格之中．如果在6步之内，警察走入小偷所在的格子之中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败．问：警察应如何取胜？1471479小偷9小偷3636警察警察258258【分析】如果警察直逼小偷，反而抓不到小偷．如果警察求胜心切，一开始就向9号方向扑去，那么他一定抓不到小偷．为了说明这一点，将3，6，9号小圆圈染成黑色，其余为白色．容易看到：除1，2号两个相邻的小圆圈同色以外，其余相邻的小圆圈都不同色(即都黑白相间)．如果警察不经过1，2号小圆圈而直逼小偷，那么他总是由黑到白、由白到黑，反复交替，小偷也是如此．所以双方走了相同的步数之后，必处于同色的小圆圈中，轮到警察走时，他只能走入另一种颜色的小圆圈中，当然抓不到小偷，这说明直逼小偷，反而不能成功．警察“以退为进”，就能一举成功．从前面的分析可以看出：警察要抓住小偷．必须把他所在的小圆圈的颜色调整到与小偷所在的小圆圈的颜色不同才有可能．为此，就得利用①、②号同色且相邻的小圆圈．所以警察应采取“以123③①②③退为进”的策略，先退到①，前三步走．这三步之后，警察回到原来的黑圈．这时，小偷在黑白相间的小圆圈之间也走了三步，必然走入白圈之中，即在④、⑤、⑦、⑧号小圆圈中的一个．如果是在④、⑤号小圆圈中，只需再走一步第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版17第3讲就可以抓住小偷了．如果是在⑦、⑧号小圆圈中，警察可以再走两步走到⑥号小圆圈中，此时小偷走了两步仍在④、⑤、⑦、⑧号小圆圈中的一个．此时警察只需再走一步也可以抓住小偷．因为前后不超过6步，所以警察获胜．【超常123班学案2】如图，图1的88方格中交替填满了0和1，图2是从图1中任意位置截取的、、三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加1或同时减1，如此反复多次，再将这三种图形不重叠地拼成的．问：图2中的A格中的数字应该是多少？101010101111111101010101111111111010101011111111010101011111111110101010111111A1010101011111111110101010111111110101010111111111图1图2【分析】此题似乎脱离了染色问题，问的是数字，但注意到图1中0和1的交替，想到将88方格自然染色(如右图)，则黑格里全为1，白格里全为0．而题中的三种图形，22方格必占2白2黑，23的方格必占3白3黑，黑白格数都相同．再想到对它们的操作：每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，三种图形拼出的图2中这个差也应该不变．于是对比图1和图2，图1中：黑格数字和白格数字和32；图2中：黑格数字和-白格数字和(31A)32，即(31A)3232，得A33．【超常123班学案3】用若干个22和33的小正方形能不能拼成一个1111的大正方形？请说明理由．［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［［【分析】不能.如下图所示，将22或33的小正方形沿格线摆在下图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77个，是奇数，所以只用22和33的小正方形，不可能拼成1111的大正方形18第9级上超常体系教师版【超常123班学案4】在88的棋盘上有一枚棋子.它每一步只能向上、向右或向左下方走一步，如图.那么它能不能从棋盘的左下角出发，走遍所有方格，并且每个方格恰好走一次吗？【分析】不能.如图，把88的棋盘黑、白、灰三染色.那么现在可以发现，这枚棋子的行走路线只能是灰—>白—>黑—>灰……走遍棋盘共需64步，那么会经过22个灰格子，21个白格子和21个黑格子.而图中共有22个白格子、21个黑格子和21个灰格子.因此这枚棋子不可能走遍所有方格，并且每个方格恰好经过一次.第第911级上级上超常体系超常体系教师版教师版19