小学数学讲义秋季五年级超常第7讲蝴蝶模型超常体系

7第7讲第七讲蝴蝶模型知识站牌五年级寒假五年级秋季长方体和正方体燕尾模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季鸟头模型五年级暑假比例模型四边形蝴蝶；梯形蝴蝶；共边定理漫画释义第9级下超常体系教师版1\n课堂引入解数学题不能没有联想，通过联想把眼前的问题、图形与熟悉的问题、图形进行类比，将该类问题通过化归成一个模型，在以后的解决类似的题目时直接利用结论，缩短思维量，从而快速解决复杂问题.蝴蝶模型是小学直线型几何常见模型之一，该模型也是小升初考试和杯赛考试的常考知识点.知识点回顾比例模型:(1)AEFBDCSADABC同底,面积比等于高之比．SEFBCE(2)ABDCSBDABD同高,面积比等于底之比．．SDCACD1.如图,三角形ABC中BC的高AD长7厘米,三角形BCE中BC的高EF长3厘米．并且已知S70平方厘米,则S____ABCBCE2第9级下超常体系教师版\n7第7讲AEBDFC2【分析】同底,面积比等于高之比．高之比AD:EF=7:3=70:30,所以S30cmBCE2.如图,在直角三角形ABC中,AD:AC=2:3,S60,则S____ABCBCDADBC【分析】同底,面积比等于高之比．高之比AC:CD=AC:(AC-AD)=3:1=60:20,所以S20BCD3.如图,B,C,D,E在一条直线上,且BC:CD:DE=4:3:2,已知SABC20,则SABE___ABCDE【分析】同高,面积比等于底之比．S204(432)45.ABE4.如图,四边形土地的总面积是48平方米,三条线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米.79【分析】在同底的情况下,右边两个三角形的高之比为7:9,因此左边两个三角形的高之比也为7:9.9同底,高之比为面积比．因此最大的三角形的面积为(4879)18(平方米)97第9级下超常体系教师版3\n教学目标1、会证明蝴蝶模型;2、掌握蝴蝶模型的结论;3、能从图形中抽离或构造出蝴蝶模型解题.经典精讲一、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶模型”)：DAS1S4S2OS3BC①SS:S:S或者SSSS②AOOC:SS:SS124313241243蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．二、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶模型”)：aABS1S2S4OS3DCb①SS24②S:SS:S或者SSSS；12431324222③SS::S:S:Sa:b:ababa::(b)1324梯形4第9级下超常体系教师版\n7第7讲例题思路模块1:例1:蝴蝶模型的证明模块2:例2-5:梯形蝴蝶模型的应用模块3:例6-8:任意四边形蝴蝶模型的应用.例1如图,证明梯形蝴蝶模型的结论.aaABASBS11xS2S4S2S4OOyS3S3DCDCbb①SS24②S:SS:S或者SSSS；12431324222③SS::S:S:Sa:b:ababa::(b)1324梯形【分析】证明:(1)因为AB∥CD,所以SS(同底等高的两三角形面积相等),所以ACDBCDSACDSCODSBCDSCOD,即S2S4S1xS4(2)如右图,设BO=x,DO=y.由比例模型可知:,所以S:SS:S或者1243S2yS3SSSS1324S1S4xS1S4xSABCah2axaAOa(3),所以,所以.同理可得:.由SSySSySbh2bybOCb2323ACD2SAOxaaa1鸟头模型可知:,再由比例模型可知2S3OCybbb222SS::S:S:Sa:b:ababa::(b).1324梯形(注:任意四边形的蝴蝶模型的证明和(2)的证明类似;沙漏的证明与(3)题的证明类似.)例2如图，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与EC相交于点H，已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是________平方厘米.第9级下超常体系教师版5\nEFEFADADHHBCGBCG【分析】如图，连结DF、CF，那么显然△DHG与△DHF同底等高，两者面积相等，我们容易知道阴影部分的面积与△BDH的面积相等.又四边形BCFD是梯形，由蝴蝶模型可知△DHF与△BHC面积相等，那么阴影部分的面积恰好为正方形ABCD的一半即18平方厘米.【铺垫】如图（1），梯形ABCD中，AB平行于CD，O为对角线的交点.因为SACDSBCD，所以SACDSCODSBCDSCOD，进而可得：SAODSBOC.根据以上内容回答下列问题：（1）如图（2），两个正方形并在一起，已知阴影部分的面积为6，则S___ABC（2）如图（3），两个正方形并在一起，已知阴影部分的面积为6，则SABC___图（1）图（2）图（3）【分析】（1）6（2）6【铺垫】（1）如图（4），两个正方形并在一起，已知大正方形的面积是100，则S___ABC（2）如图（5），两个正方形并在一起，已知小正方形的面积是100，则S___ABC图（4）图（5）【分析】（1）50（2）50例3如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米．AB2535ODC(学案对应:超常1,带号1)6第9级下超常体系教师版\n7第7讲2【分析】根据梯形蝴蝶模型，SAOB:SBOCa:ab25:35，可得ab:5:7，再根据梯形蝴蝶模型，2222S:Sa:b5:725:49，所以S49(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积AOBDOCDOC为25353549144(平方厘米)．或者根据梯形蝴蝶模型的性质，22Sab57144(平方厘米)．《几何原本》欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了几何史上早期的巨著——《几何原本》。《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设出发、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术的理论；最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出，目前属于中小学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。例4如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_____平方厘米．AEFBAEFB225O?5O?88DCDC(学案对应:超常2,带号2)【分析】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以SS，又根据蝴蝶模型，EODFOCSSSS，所以SSSS2816，所以S4(平EODFOCEOFCODEODFOCEOFCODEOD第9级下超常体系教师版7\n方厘米)，S4812(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，ECD四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)．例5图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积.FEFEADADHHBCGBCG【分析】连接上AC、GF，则四边形ACEG构成一个梯形∵S6，所以S6（蝴蝶翅膀）HCGAHFCH为HF长度的一半，所以△HCG的面积为△HFG面积的一半，S12.HFGS61218.进而可知大正方形的面积为18×2=36，所以CG=6.又因为S6，FCGHCG所以CH=2，HF=6-2=4∵SAHF6，∴AD=3，总面积为：36＋3×3＋3×（6-3）÷2=49.5.例6如图,相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为．AADDOBBCC(学案对应:超常3)4【分析】连接AD、CD、BC．则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：112，234ACD的面积为：313.5，ABD的面积为：213．所以224412BOOD:S:S2:3.54:7，所以SS3．ABCACDABOABD471111例7如图，正方形ABCD的面积是64平方厘米，正方形CEFG的面积是36平方厘米，DF与BG相交于O.则DBO的面积等于多少平米厘米？8第9级下超常体系教师版\n7第7讲ABEFODGC(学案对应:超常4,带号3)22【分析】64836,6由蝴蝶模型可知．SBDFSBCD64232平方厘米．而FGEF36DGBC(68)8SBFG18平方厘米，SBDG56平方厘米．由任意2222FOSBFG189DO28896四边形的蝴蝶模型可知：，所以SBDOSBDF32DOS5628DF28937BDG平方厘米例8如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米．ABABS1MMS2S4S3EFEFS5NS6S8NS7DCDC(学案对应:带号4)【分析】CD2ABABEFCD::1:1.5:22:3:4注意到，AEF,DEF等高，因此SSAEFDEF设S1:S2:S3:S4:a4:6:9:6:1；S5:S6:S7:S8:b9:12:16:12:1.a7那么，6a9a9b12bb5222又，SS9a9b54cm，a3.5cmb,2.5cm352S25a49b210cm梯形ABCD第9级下超常体系教师版9\n你能否在10秒之内，算出小正三角形面积是大正三角形面积的几分之几吗？1答：，把小正三角形旋转180度，就可以看出来。4知识点总结一、任意四边形中的比例关系：DAS1S4S2OS3BC①SS:S:S或者SSSS12431324②AOOC:SS:SS1243二、梯形中比例关系：10第9级下超常体系教师版\n7第7讲aABS1SS42OS3DCb①SS24②SS1:2S4:S3或者S1S3S2S4222③SS1:3:S2:S4:S梯形a:b:abab::(ab)附加题1.如图，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则三角形AOB的面积是多少平方厘米.【分析】根据梯形蝴蝶模型，在梯形ABCE中，224431SSSSS48平方厘米.AOB2ABCEABCEABCDABCD(12)99432.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．BCGAMD【分析】因为M是AD边上的中点，所以AMBC:1:2，根据梯形蝴蝶模型可以知道22S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG1:12:12:2（）（）1:2:2:4，设S△AGM1份，则S123份，所以正方形的面积为1224312份，S224份，所以△MCD阴影S:S1:3,所以S1平方厘米阴影正方形阴影3.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．第9级下超常体系教师版11\nADAD992121O44BECBEC【分析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SS．OCDOAE2根据蝴蝶模型，SSSS4936，故S36，OCDOAEOCEOADOCD所以S6(平方厘米)．OCD4.如图，梯形ABCD中，AOD、COB的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．ADOBC22【分析】根据梯形蝴蝶模型，S:Sa:b1.2:2.74:9，所以ab:2:3，AODCOB23SAOD:SAOBa:abab:2:3，SAOBSCOD1.21.8，2S1.21.81.82.77.5．梯形ABCD5.如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，CED的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？AFDAFD4466EEBCBC【分析】法1:连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶模型，三角形BCE的面积为6649(平方厘米)，所以长方形的面积为96230(平方厘米)．四边形ABEF的面积为3046911(平方厘米)．EF42EDEF2法2:由题意可知，，根据相似三角形性质，，所以三角形BCE的EC63EBEC32面积为：69(平方厘米)．则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为315230(平方厘米)．四边形ABEF的面积为3046911(平方厘米)．6.如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是9,BCF的面积是27．那么阴影AEC面积是多少？12第9级下超常体系教师版\n7第7讲ADEFBC【分析】根据梯形蝴蝶模型，可以得到SSSS，而SS(等积变换)，所AFBDFCAFDBFCAFBDFCSS99AFBCDF以可得S3，并且SSS31.81.2,而AFDAEFADFAEDSBFC27S:SAFFC:9:271:3,所以阴影AEC的面积是：AFBBFCSAECSAEF41.244.8．7.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于一点O.E是AD中点，F是AB中点.CE交BD于点M，CF交BD于点N.求阴影部分面积占平行四边形面积的几分之几？DCDCMEMEONONAAFBFB11【分析】连接OE、OF则OECDOF,BC，在梯形OECD中，阴影部分面积是梯形面积的2212241224，同理，梯形OFBC中，阴影部分面积是梯形面积的.因此，22(12)9(12)94431阴影面积(SOEDCSOFBC)SABCDSABCD99438.如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．DDAASSMNMNTTBBCC【分析】连接MN、AC、BD．由于M是AB的中点，所以AMN与BMN的面积相等，而MTB比ASM的面积大1，所以MSN比MTN的面积大1；又由于N是CD的中点，所以DMN的面积与CMN的面积相等，那么CTN的面积比DSN的面积大1，所以CTN的面积为9．假设MTN的面积为a，则MSN的面积为a1．根据几何五大模型中的蝴蝶模型，可知4863ASD的面积为，BTC的面积为．a1a要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1，3或7．由于ADM的面积为ABD面积的一半，BCN的面积为BCD面积的一半，所以ADM与BCN的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以ADM与BCN的面积之和等于四边形BMDN的面积，即：48634863697aa18，得2a1．a1aa1a将a1、3、7分别代入检验，只有a7时等式成立，所以MTN的面积为7，MSN、ASD、第9级下超常体系教师版13\nBTC的面积分别为8、6、9．四边形ABCD的面积为6789260．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．家庭作业SODSODSODS14141.如图，因为，，所以，可得到SSSS.根据此结论，试1324SOBSOBSOBS2323回答下列问题：(1)若S110，S220，S340，则S4___AO2(2)若，S110，则S4___OC5AO4(3)若，SABD20，则SBCD___OC9DAS1S4S2OS3BC【分析】（1）20（2）25（3）452.图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米.连接BE交AD于P，再连接PC.则图中阴影部分的面积是____平方厘米.FEFEAPDAPDBCBC【分析】如图,连接AE，BD.因为AD∥BC，则SS,又AB∥ED，则SSPDCPDBEBDEAD1所以，阴影部分的面积为6.363.18（平方厘米）23.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O.已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积.14第9级下超常体系教师版\n7第7讲DCOAB【分析】根据题意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5，22则根据蝴蝶模型，S:S:S:Sa:abb::ab9:15:25:15，DOCAODAOBCOB令SAOB=25份，则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份.1所以1份为：4÷64=，16125则三角形OAB的面积为×25=.16164.如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4:5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．123123【分析】做辅助线如下：利用梯形蝴蝶模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三4角形1和三角形3，所以1的面积就是3616．455.如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为．【分析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶模型来解决一般情况．法1：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为61.5242222，阴影部分的面积为662214．法2：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2:61:3，根据梯形蝴蝶模型，这四个梯形每个梯形中的四个小22三角形的面积之比为1:(13):(13):31:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯97形面积的，阴影部分的面积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面16167722积之和的，那么阴影部分的面积为(62)14．1616第9级下超常体系教师版15\n6.如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积．EDABC5【分析】因为BDCE:2:5，且BD∥CE，所以DAAC:2:5，S，由毕克定理可ABC254510得:S112,所以S2．DBCABC277L注:毕克定理:正方形格点多边形的面积=(N1)S,其中N为内部格点数,L为边小正方形2界格点数.7.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE2EC，CFFD，求三角形AEG的面积．ADADGGFFBECBEC【分析】连接EF．1111因为BE2EC，CFFD，所以S()SS．DEFABCDABCD23212111因为SS，根据蝴蝶模型，AGGF::6:1，AEDABCD22126613所以S6SSSS．AGDGDFADFABCDABCD774141322所以SSSSSS，AGEAEDAGDABCDABCDABCD214772即三角形AEG的面积是．78.如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？2142241216第9级下超常体系教师版\n7第7讲【分析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据正六边形的特殊性质，和梯形88蝴蝶模型把正六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积6．183超常班学案【超常班学案1】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面2积等于三角形BOC面积的，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．3ADOBC2【分析】根据梯形蝴蝶模型，S:Sabb:2:3，可以求出ab:2:3，AOBBOC2222再根据梯形蝴蝶模型，S:Sa:b2:34:9．AODBOC【超常班学案2】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米？ADAD881616O22BECBEC【分析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SS．OCDOAE2根据梯形蝴蝶模型，SSSS2816，故S16，所以OCDOAEOCEOADOCDS4(平方厘米)．OCD11另解：在平行四边形ABED中，SS16812(平方厘米)，ADEABED22所以SSS1284(平方厘米)，AOEADEAOD根据梯形蝴蝶模型，阴影部分的面积为8244(平方厘米)．【超常班学案3】如图,相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为．第9级下超常体系教师版17\nDAOBC333【分析】由格点面积公式可得S111.5,S11111.5S313.5,由ABDBCDABC222AOSABD1.53蝴蝶模型可得:,再由比例模型可OCSBCD11.523AO321得:SS3.5ABOABCAC32352【超常班学案4】如图，长方形ABCD中，BEEC:2:3，DFFC:1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．ADADGGFFBCBCEE【分析】连接AE，FE．因为BEEC:2:3,DFFC:1:2，3111所以S()SS．DEF长方形ABCD长方形ABCD53210111因为SAEDS长方形ABCD，根据蝴蝶模型结论：AGGF::5:1，所以22101SAGD5SGDF10，所以SAFD12．因为SAFDS长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积6是72平方厘米．5（也可以设份数，总体为30份，可以推算出，SDFG是份）6123班学案【超常123班学案1】如图,面积为12平方厘米的正方形ABCD中,EF,是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.18第9级下超常体系教师版\n7第7讲ABODCEF【分析】因为EF,是DC边上的三等分点，所以EFAB:1:3,设S1份，根据梯形蝴蝶模型可△OEF以知道SS3份,S9份,SS(13)份,因此正方形的面积为△AOE△OFB△AOB△ADE△BCF244(13)24份，S6份，所以S:S6:241:4,所以S3平方厘米.阴影阴影正方形阴影【超常123班学案2】如右图，正方形ABCD的面积是a，正三角形BPC的面积是b，求阴影BPD的面积．ADADPPOBCBC【分析】连接AC交BD于O点，并连接PO．如图所示，可得PO//DC，所以DPO与CPO面积相等(同底等高)，所以有:SSSSS,BPOCPOBPOPDOBPD111因为SSa,所以Sba．BOCABCDBPD444【超常123班学案3】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积．AEDAEDOFFGGBCBC【分析】设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．11由蝴蝶模型可知EOOC:SBED:SBCD，而SBEDSABCD，SBCDSABCD，所以421EOOC:S:S1:2，故EOEC．BEDBCD31由于F为CE中点，所以EFEC，故EOEF:2:3，FOEO:1:2．211由蝴蝶模型可知S:SFOEO:1:2，所以SSS，BFDBEDBFDBEDABCD28111那么SBGDSBFDSABCD10106.25（平方厘米）21616【超常123班学案4】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，第9级下超常体系教师版19\nmBC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，n(mn)的值等于．AHDAHDEGEGBFCBFC【分析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．左图中AEGD为长方形，可知AMD12111的面积为长方形AEGD面积的，所以三角形AMD的面积为1．又左图中四个424811空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为14．82AHDAHDMEGEGNBFCBFC如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．1可知EF∥AC且AC2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的，所以三角42111113形BEF的面积为1，梯形AEFC的面积为．在梯形AEFC中，由于24828822EFAC:1:2，根据梯形蝴蝶模型，其四部分的面积比为：1:(12):(12):21:2:2:4，311111所以三角形EFN的面积为，那么四边形BENF的面积为．而8122424824611右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为14．那么6311m3左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为:3:2，即，那么23n2mn325．20第9级下超常体系教师版