小学数学讲义秋季四年级第8讲超常体系

第8讲第八讲数阵图初步-从幻方谈起知识站牌四年级春季四年级春季数阵图进阶破译横式四年级秋季数阵图初步-从幻方谈起四年级暑假破译乘除法竖式三年级暑假破译加减法竖式辐射型、封闭型和复合型三种数阵图的填写，幻方的初步认识漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入金庸作品《射雕英雄传》中有这样一段情节：那女子（瑛姑）沮丧失色，身子摇了几摇，突然一跤跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”边说边画，在沙上画了一个九宫之图．那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世．”黄蓉笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇．就说四四图罢，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十．这般横直上下斜角相加，皆是三十四．”那女子依法而画，果然丝毫不错．黄蓉道：“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加，均为二百九十二．这洛书之图变化神妙如此，谅你也不知晓．”举手之间，又将七十二数的九宫八卦图在沙上画了出来．这段对话中提到的“九宫之图”、“洛书之图”就是现代数学中所称的三阶幻方．教学目标数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用学生掌握的各种数学知识来解决问题．本讲首先要讲授填数阵图的主要技巧：区分普通点与关键点（一般是处于最多线段交叉处的点）；填出关键点数值；判断幻和等等.除此之外还有以下注意点：1．引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2．教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3．锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4．培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力．经典精讲数阵图：将一些数按照一定的要求排列而成的某些图形.数阵图的分类：辐射型，封闭型，复合型.2第7级下超常体系教师版\n第8讲辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数.封闭型数阵图：在正多边形的每条边上安放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数.复合型数阵图：既要在射线上安放数字，又要在正多边形的边上安放数字，使它们的和都等于一个不变的数.数阵图问题要求在数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线(或关系区域)上的数的和相等，可以按以下步骤解决这一类问题：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)，和关键点(或方格)第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线(关系区域)上和的总和，这个和是关系线(关系区域)的个数的整数倍．第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和．第四步：运用已经得到的信息进行尝试．知识点回顾1.计算：1+2+3+…+9=；10+11+12+…+20=；1+2+3+…+25=.【分析】45；165；3252.解方程：5x1025；3x72+5x【分析】x3；x123.填空：abc、、是非0自然数：若2a2b2c36abc，则abc；若a374ab，则b；若46a8ab，则b；若a153b，则a必是的倍数.【分析】36；6；3；34.将12写成2个互不相同的自然数的和，有几种写法，请列举出来.【分析】12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，共5种第7级下超常体系教师版3\n例题思路模块一：辐射型数阵图（例1、例2）模块二：封闭型数阵图（例3、例4）模块三：复合型数阵图及幻方（例5~例8）例1把10~20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．（学案对应：超常1，带号1）【分析】将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被计算了5次，而10111220165，所以中间的数必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，总和仍能被5整除．所以中间的数只能是10、15、20．答案如图所示.182019131010191716191518121414111411101520111513121312201617181617注：填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解．辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”1．对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数重叠次数直线上各数之和直线条数．例2将1~6这六个数字分别填入下图的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等．4第7级下超常体系教师版\n第8讲【分析】abc将三条直线上的数相加所得的数一定是3的倍数，而且a、b、c都被加了两次，即：1256abc21abc3k，所以，abc6、9、12、15，有以下四种填法．561212615462365133444253例3将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11．（学案对应：超常2，带号2）【分析】此图是封闭型数阵图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11333，而125621，所以三个角的三个数之和等于332112，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12246345，经试验，填法如图．253416第7级下超常体系教师版5\n例4把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13．【分析】因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13452，而127836，所以四个角上的四个数之和等于523616．在1～8中选四个数，四数之和等于16，且其中任意三个的和不等于13的只有：16126712581456．经试验，只有如图的两种填法．1751844673832526或注：例题中的数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”．填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图．一般地，有m条边，每边有n个数的图形称为封闭型(或辐射型)mn图．封闭型mn图有m个重叠数，重叠次数都是1次．对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和重叠数之和每边各数之和边数．6第7级下超常体系教师版\n第8讲河图河图用十个黑白圆点表示阴阳、五行、四象，其图为四方形：北方：一个白点在内，六个黑点在外，表示玄武星象，五行为水．东方：三个白点在内，八个黑点在外，表示青龙星象，五行为木．南方：二个黑点在内，七个白点在外，表示朱雀星象，五行为火．西方：四个黑点在内，九个白点在外，表示白虎星象，五行为金．中央：五个白点在内，十个黑点在外，表示时空奇点，五行为土．其中，单数为白点为阳，双数为黑点为阴；四象之中，每象各统领七个星宿，共二十八宿．按古人坐北朝南的方位为正位就是：前朱雀，后玄武，左青龙，右白虎．例5如图，“学、而、思、未、来、命、运”这7个汉字分别代表1至7这7个数字．已知3条直线上的3个数相加、2个圆周上的3个数相加，所得的5个和均相同．那么，“学”字代表多少?（学案对应：超常3，带号3）来运未命学而思【分析】计算5个和的和，这个和一定是5的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只是被计算了2遍，因此这个和等于（1234567）2“学”56“学”，这个“学”只能是4才能保证这个和能被5整除．注：例题中的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”．我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数．第7级下超常体系教师版7\n例6请分别将1，2，4，6这四个数填在图中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.573【分析】如图所示：ad3bd7cd5a、b、c、d为1，2，4，6，三偶一奇，组成右边的3，5，7为3奇，那么d1，a=2，b6，c=4。答案如图：2571643例7能否将数0，1，2，，9分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？（学案对应：带号4）8第7级下超常体系教师版\n第8讲【分析】因为0945，45-中心数3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9．枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如图．89424073936716508251例82将n个数排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上的n个数相加的和都相等，这样的方阵叫幻方.（学案对应：超常4）(1)在33的正方形的每个格子里分别填入1~9这9个数字，要求每行每列及每条对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．【分析】方法一：第一步：求幻和：（1239）315第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即15460，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（6045）35第三步：确定四个角上的数．由于在同一条直线上的三个数的和是15，所以如果某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同，所以四个角上的数必为偶数．第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共8解，下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：294753618方法二（对易法）：南宋数学家杨辉概括为:“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．即：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对第7级下超常体系教师版9\n调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了．194924242753357357868691816方法三（阶梯法）：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法看起来有点像对易法，但又完全不一样，十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方．这个方法把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把2n个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下图表示了如何用阶梯法构成3阶幻方．332626276159159951484843877方法二和方法三中将1~9按8个不同的方位排列就可以得到本题8个不同的解．方法四（罗伯法）：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：⑴每一个数放在前一个数的右上一格；⑵如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列．⑶如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行．⑷如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：1111332242161681681635357357357424242492这是法国人罗伯特总结出的方法，所以叫“罗伯法”．罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．(2)将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于同一个数k，则中心方格中的数必为k3．10第7级下超常体系教师版\n第8讲【分析】因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k．如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次．所以有：九数之和+中心方格中的数34k，3k中心方格中的数34k，中心方格的数k3注：例题中对九个数及数k都没有特殊要求．这个结论对求解33方格中的数阵图问题很实用．(3)下图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？？1913【分析】如图，设相应方格中的数为x1，x2，x3，x4．？x1x2x31913x4由已知条件：行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式：?+x1+x2＝?＋x3＋x4＝x1＋x3＋13＝x2+19＋x4，这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和，即有2×？＋x1十x2＋x3＋x4＝13＋19＋x1十x2＋x3＋x41319所以2×?＝13＋19，？＝＝16，左上角的数是162【拓展】所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等.请将图中的“乘法幻方”补充完整，则其中的“X”所代表的数是_________.20x164第7级下超常体系教师版11\n【分析】第3行第3列的数为20×16÷4=80，第2行第3列的数为80×20÷16=100，第1行第2列的数为100×80÷20=400，所以由20×400x=16×100×第2行第2列的数=4×80×第3行第1列的数得到第2行第2列的数=5x，第3行第1列的数=25x，这样就有20×400x=x×5x×25x，故20×400=5x×25x，解得x=8【拓展】一个44的金幻方是将1~16的数不重复地填入44方格表的小方格内，使得每行每列及两条对角线上的数之和，恰好是十个连续的正整数.如图的金幻方已填入部分的数，请完成它.1493712135101164【分析】令a、b、c、d、e分别为下表中所在格子的数：abc14d937e12135101164再令A1、A2、A3、A4分别为第1横列至第4横列的数之和，A5、A6、A7、A8分别为由左至右第1直行至第4直行的数之和，A9、A10分别为左上至右下与右上至左下两条主对角线的数之和.则可知A14abc；A19d；A30e；A31；1234A510ade；A632bA；A722c；A830；A926a；A1039.因这是10个连续的数且已知有30、39，可知这10个数为30~39.因尚未填入之数为1、2、8、15、16，可知（ⅰ）由A219d与A722c知15、16必需填入c或d；（ⅱ）由（ⅰ）知a可能为1、2或8.但因A9必须介于30~39之间，故a8、A934；（ⅲ）因A330e且A431，故e33、A332.（ⅳ）由（ⅱ）（ⅲ）知b1且A633、A123c；（ⅴ）因A1039与A123c，故c15，也因此得到d16.8115141693721213510116412第7级下超常体系教师版\n第8讲下图就是鼎鼎大名的“河图洛书”之“洛书”，同学们能像数海拾贝中解释河图那样为大家解释一下洛书的意思吗？【答案】洛书古称龟书，传说有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数(见图)．洛书数字本太一下九宫而来，以四十五数演星斗之象．九宫八风图配合八风，八卦，中央一宫，即洛书的中宫，乃周围八宫的核心．古人观测天象，认为北极星(太乙)之位恒居北方，可以作为中心以定位的标准．九宫是据北斗斗柄所指，从天体中找出九个方位上最明亮的星为标志，便于配合斗柄以辨方定位，发现九星的方位及数目，即洛书的方位和数目．北极居中何以能下九宫．前人指出，体为北极，用在北斗，以斗为帝车，言北斗为北极帝星所乘之车，因北斗绕北极而旋转，就是北极帝星乘车临御八方之象，若根据斗柄旋指的八宫方位，便能推知四时八节的气象变化，也就是九代表了不同的时序．洛书九宫数，以一、三、七、九为奇数，亦称阳数，二、四、六、八为偶数，亦称阴数．阳数为主，位居四正，代表天气；阴数为辅，位居四隅，代表地气；五居中，属土气，为五行生数之祖，位居中宫，寄旺四隅．知识点总结可以按以下步骤解决数阵图类问题：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)，和关键点(或方格)第7级下超常体系教师版13\n第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线(关系区域)上和的总和，这个和是关系线(关系区域)的个数的整数倍．第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和．第四步：运用已经得到的信息进行尝试．家庭作业1.将1~11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18.【分析】如图1，这五条线段上三个圆圈内的数的总和为123114a18590，所以664a90，a6，确定6之后可以填出其他圆圈内的数，如图2（答案不唯一）．a图12.请你在下面的三角形中填上数，使每条直线的三个数加起来的和都等于90.14第7级下超常体系教师版\n第8讲【分析】3.如图所示，圆圈中分别填入0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A与B的和是________.AB【分析】若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54，而这10个数的和为45，其中A、B各多算了一次，故A+B=9.4.如图，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.1997【分析】如图所示：91a99ba8ba8b91a97ca6caa8a6a193a14a102a24a12所以答案如图：第7级下超常体系教师版15\n121997465.请将1至6填入图中的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等.【分析】设每条直线上各数之和为k，(abc)(adf)(cde)(ef)4k2ab2c2d2e2f4k2(123456)b4k42b4kb26或162345（答案不唯一）6.在下图的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数，那么标有★的圆内填的数是多少？16第7级下超常体系教师版\n第8讲10★146119812【分析】假设标有★的圆内填的数是X，则相邻两个和的差为间隔一个圆圈的两个圆内数的差，则从★开始顺时针所有的数为X,X2,X3,X1,X1,X4,X2,有X（X2）14,得X6，即标有★的圆内填的数是6．1061464811239758127.图中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于130，三角形内两个数的和等于53，圆内三个数的和等于79，正方形内两个数的和等于50.那么从左向右这五个问号依次是？？？？？【分析】根据题意答案为：25，28，27，24，268.将九个连续自然数填入下图的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60．【分析】中心填60÷3=20，则有下图（为其中一个解）．172419222018211623超常班学案【超常班学案1】在下面的花瓣图的空格里填上不同的正整数，使每条直线上的三个数相加的和都等于12.第7级下超常体系教师版17\n【分析】124=48，1+2++9=45…，（48-45）3=1，故中心圆圈填1，从而有【超常班学案2】把1~9这9个数，分别填在下图的9个○中，使得三角形每条边上的4个○内数之和都是23.【分析】观察每个○中数被加的次数，不难发现除了三角形三个顶点上的数（a、b、c）加两次外，其余各个内的数都只加过一次；三条边上三个和相加得：（1＋2＋3＋…＋9）＋（a＋b＋c）=3×23；所以45＋a＋b＋c=69；那么a＋b＋c＝24；又因为a、b、c都是在1~9中取值；所以只有7＋8＋9＝24；设a=7，b=8，c=9，将7、8、9填入三角形的三个顶点后，经试验可得到两个解，如下图：【超常班学案3】将1~9填入下图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上．【分析】每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有915和924，分别对应右下图的两个解．18第7级下超常体系教师版\n第8讲991452376786834215【超常班学案4】请你将1~25这二十五个自然数填入55的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等．【分析】罗伯法：“一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样”．见第二个图．这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．17241815235714164613202210121921311182529123班学案【超常123班学案1】将1~7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．【分析】设中心○内填a，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a一共加了3次，所以12345672a282a一定是3的倍数．而28391，那么2a3的余数应该是2，因此，a1，4或7．（1）当a1时，28230，30310，1019，除中心外，其他两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7六个数按“和”是9分成三组填入相应的○内就可以了．填法如图1；（2）当a4时，28836，36312．填法如图2；第7级下超常体系教师版19\n（3）当a7时，281442，42314．填法如图3．776211147433232565645⑴⑵⑶【超常123班学案2】把1至6这六个数字填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？【分析】如图所示：设每边之和为k，kkk123456abc3k21abck最大时3k21456k12k最小时3k21123k9即最小是9，最大是12，具体填法见下图：【超常123班学案3】下图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等．【分析】每个正三角形顶点的三数之和为（129）315，每条直线上的三数之和为（4515）320．将1～9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种：⑴1，5，9；2，6，7；3，4，8；20第7级下超常体系教师版\n第8讲⑵1，6，8；2，4，9；3，5，7．对于⑴，中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得左下图的解；对于⑵，中心小正三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右下图的解．226455317893817964【超常123班学案4】图中有10个小三角形、4个大三角形，请把0~9十个数分别填入图中的小三角形内，使4个大三角形内的数字和相等且最小．【分析】每个大三角形内有4个小三角形，中心位置的小三角形用到的次数最多，有4次．则由它的特殊位置决定，它一定为0．acbd0iehfg由题意知abcdefghibeh，12945．那么每一个大三角形的数字和为45315，1~9中，和为15的不重复数字的组合有：1、6、8；3、5、7；2、4、9．从此三组中分别取一个数字使其和仍为15的是4、5、6，即它们为b、e、h．所以结果如图所示．2943085671第7级下超常体系教师版21