15.3 分式方程(第2课时)教案(人教版八年级数学上)
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第十五章分式15.3分式方程第2课时一、教学目标【知识与技能】能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,列出分式方程解决简单的实际问题,并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.【过程与方法】1.以工程问题为例,能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示,提高运用方程思想解决问题的能力.2.培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】鼓励学生进行探索和交流,培养他们的创新意识和合作精神.二、课型新授课三、课时第2课时,共2课时。四、教学重难点【教学重点】实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.\n【教学难点】将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果.五、课前准备教师:课件、直尺、分式方程的解法等。学生:三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。六、教学过程(一)导入新课利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗?这节课我们来学习怎么用分式方程来解决现实生活中的问题。(出示课件2)教师问:同学们能不能说一下解分式方程的一般步骤是什么?学生回答:解分式方程的一般步骤.(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
(4)写出原方程的根.(二)探索新知1.创设情境,探究列分式方程解答实际问题教师:请同学们完成下面的题目:(出示课件4)甲、乙两人做某种机器零件,已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等,求甲、乙每小时各做多少个零件?学生小组讨论后回答:(出示课件5)\n解:设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(x–6)个零件,依题意得:解得:x=18.经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意.
由x=18,得x–6=12
答:甲每小时做18个,乙每小时做12个.
教师问:请同学们说一说列分式方程解应用题的步骤:学生讨论后回答:读题,设未知数,列方程,解答.总结点拨:(出示课件6)列分式方程解应用题的一般步骤:1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4.解:解这个分式方程.
5.验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解,又要检验是否符合实际意义.
6.答:注意单位和语言完整.教师小结:客观世界中存在着大量的问题需要用分式方程去解决,当我们掌握好相关的知识和方法后,就可以运用它们分析和解决实际问题,这也恰恰体现了我们经常谈到的一个关键词:“学以致用”.例1:两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工\n1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?
(出示课件7)师生共同解答如下:分析:本题没有具体的工作量,常常把工作量虚拟为1,工作时间的单位为“月”.甲队一个月完成总工程的,设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的,那么甲队半个月完成总工程的,乙队半个月完成总工程的,两队半个月完成总工程的+.等量关系为:甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=总工程量1,则有++=1.解:设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的,依题意得(出示课件8)方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x,解得x=1.
检验:x=1时,6x≠0,x=1是原分式方程的解.答:由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,而甲队1个月完成总工程的,可知乙队施工速度快.
例2:某列车平均提速vkm/h,用相同的时间,列车提速前行驶skm,提速后比提速前多行驶50km,提速前列车的平均速度为多少?(出示课件11)
解:设提速前列车的平均速度为xkm/h,则提速前列车行驶skm所用的时间为h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后列车运行(s+50)\nkm,所用时间为h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程:
去分母得:s(x+v)=x(s+50)(出示课件12)
去括号,得sx+sv=sx+50x.
移项、合并同类项,得50x=xv.
解得x=.检验:由于v,s都是正数,x=时,x(x+v)≠0,x=是原分式方程的解.
答:提速前列车的平均速度为km/h.
例3:关于x的方程无解,求k的值.(出示课件14)解:方程的两边同时乘(x+3)(x–3)得x+3+kx–3k=k+3
整理得:(k+1)x=4k,因为方程无解,则x=3或x=–3
当x=3时,(k+1)·3=4k,k=3,
当x=–3时,(k+1)(–3)=4k,k=-
所以当k=3或k=-时,原分式方程无解.
(三)课堂练习(出示课件17-23)1.下列方程中属于分式方程的有();
属于一元分式方程的有().\n
①②
③④x2+2x–1=0
2.解方程:3.某公司购买了一批A、B型芯片,其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元,已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等.
(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元?
(2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6280元,求购买了多少条A型芯片?
4.某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?
(2)若甲工程队单独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?
参考答案:\n1.①③;①2.解:方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1)
得:(x–1)+2(x+1)=4
∴x=1检验:当x=1时,(x+1)(x–1)=0,
所以x=1不是原方程的根.
∴原方程无解.3.解:(1)设B型芯片的单价为x元/条,则A型芯片的单价为(x–9)元/条,根据题意得:,解得:x=35,经检验,x=35是原方程的解,∴x–9=26.答:A型芯片的单价为26元/条,B型芯片的单价为35元/条.(2)设购买a条A型芯片,则购买(200–a)条B型芯片,根据题意得:26a+35(200–a)=6280,解得:a=80.答:购买了80条A型芯片.4.解:(1)设乙单独做x天完成此项工程,则甲单独做(x+30)天完成此项工程.
由题意得:20()=1
整理得x2–10x–600=0,解得x1=30,x2=–20.
经检验:x1=30,x2=–20都是分式方程的解,
但x2=–20不符合题意舍去.\n
x+30=60.
答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天,30天.
(2)设甲单独做a天后,甲、乙再合作(20–)天,可以完成此项工程.
(3)由题意得1×a+(1+2.5)(20–)≤64
解得a≥36
答:甲工程队至少要单独做36天后,再由甲、乙两队合作完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.
(四)课堂小结今天我们学了哪些内容:列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量和未知量各有几个,量与量之间的基本关系是什么.(2)设未知数,找出尽可能多的相等关系,用含有未知数的代数式表示其他未知量.注意,所设未知量的单位要明确.(3)列方程,抓住题中含有相等关系的语句,将这些语句抽象为含有未知数的等式,这就是方程.(4)解方程,检验解的合理性(包括检验是否是方程的解,是否符合实际),写出答案.注意:列分式方程与列整式方程一样,注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数,列出方程.不同之处是所列方程是分式方程,最后进行检验,既要检验其是否为所列分式方程的解,又要检验是否符合实际意义.(五)课前预习\n预习下节课157页小结的相关内容。知道本章知识结构图七、课后作业1、教材154页练习1,22、我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价贵4元,用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等.今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书?八、板书设计:九、教学反思:1.本节课整堂精心铺垫,结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开,选择生动有趣的、有现实意义的.对学生具有一定挑战性的、有助于学生实践创新的内容,使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型,并用数学模型描述日常生活,从而使数学学习过程成为数学方法的掌握和数学思想的建构的过程,让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识,能够自觉地用数学的眼光观察世界,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.\n2.本节课的内容是列分式方程解应用题,重点是建立分式方程应用题的思维模型,会根据题中的条件找出等量关系,同时列出分式方程,并解答.注重从审、找、设、列、解、验、答几个步骤对应用题进行了详细的讲解,使学生对解分式方程应用题的步骤和思路有一个清晰而深刻的认识,同时也对书写的过程有准确的概念.
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