2022-2023年高中物理竞赛 几何光学问题集成课件

光的传播\n光总沿着光程为极值的路径传播——在均匀介质里沿直线传播,因为给定两点间直线路径最短；在不均匀的介质中,光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳定的光程的路径传播,即遵从费马原理.费马原理光程原理AB\n光在反射中遵守费马原理F1F2PF1F2P\nn1n2NO光在折射中遵守费马原理光程有最值应满足\n依据费马原理求解:由基本不等式:光程有最大值即在处存在光的圆折射波道某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照n＝n0－ah的规律而减小,行星的半径为R,行星表面某一高度h0处有光波道,它始终在恒定高度,光线沿光波道环绕行星传播,试求高度h0．专题24-例1解:查阅物像公式\n依据惠更斯原理求解:MNh0hOR小试身手题13-15解:返回\n光源形成的单心光束的顶点物像公式物点实物点虚物点像点被光具作用(折射、反射）后的单心光束的会聚点或发散点称作实像点或虚像点\n近轴光球面反射成像公式用费马原理推导yPO1xQhAFCOBS根据费马原理可以推论,任一发光点所发光束经球面反射或折射后能成像于一点的条件是,从物点到达像点的所有光线的光程都相等对近轴光线\nSxS2x根据近轴光线平面折射规律:根据球面镜物象公式:解:某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己眼睛的像．他移动着玻璃板,使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起．若凸面镜的焦距为10cm,眼睛与凸面镜顶点的距离为40cm,问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？专题24-例2\n小试身手题1ABP解:圆锥面的内表面镀上反射层,构成圆锥面镜．在圆锥形内沿轴拉紧一根细丝．要使细丝发出的光线在圆锥内面上反射不多于一次,圆锥形最小的展开角α=____________．P一次反射光无入射点\n小路灯L发出的光束在离灯R0＝100m处会聚成小光斑A．在光传播的路径上放两个正方形平面镜,如图．两镜面的交线到灯的距离r＝70m,并且垂直穿过光束轴．两面镜互相垂直,其中一个平面镜与光束轴交成角α＝30°,则现在光束将会聚在离灯__________m处．小试身手题2解:L发出的光为会聚光束,A为虚物点轴以上部分光束经平面镜OM反射仍为会聚光束,顶点在A1,A1与A关于OM对称同理,L发出的轴以下部分光束先经平面镜ON反射、再经平面镜OM反射亦不改变会聚性,并由对称性知会聚于A3向A1会聚的这束光射向平面镜ON并被二次反射,反射光束会聚于A3,相当于虚物A1通过ON成实像,A3与A1关于ON对称,由于OM与ON垂直,易知A3在L发出的光束轴上且OA3=OA；则两垂直平面镜将令灯发出的光束会聚于离灯虚物LAA2NMOA1A3\n与两像情况完全相同,关于平面镜对称由点光源S发出的近轴光线经透明球形成像,像到透明球的距离为b,如图所示．如果沿垂直于水平轴将球分成两半,左边一半的平面上镀银,那么像的位置在__________,与球的距离为____________．小试身手题3解:左半平面镀银成平面镜,通过左球面的折射光线通过平面镜反射不改变光束敛散性只是再次由左球面折射而已左侧\n底水醇界面醇表面h2h1Hy对水醇界面对醇气界面深度为3cm的水面上（n1=1.33）漂浮着2cm厚的醇（n2=1.36）层,则水底距醇表面的像视深度为___________．小试身手题4解:\n不经反射,入射光能射到感光面上,入射光与轴所成最大角如图经一次反射而能入射光面上,入射光与轴所成最大角增大以最大角度入射的光线延长后应恰与接受器表面相切,如图如图所示,两块平面镜宽度均为L＝5cm,相交成角α＝12°,构成光通道．两镜的右端相距为d＝2cm,左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上．试问入射光线与光通道的轴成的最大角度为多少,才能射到光接收器上？小试身手题5解:\nyxO专题24-例3光穿过几个互相平行的、折射率不同的介质区时有yxOn1nin2n3riri+1yriO点光沿x方向,则第i层入射角ri满足由图示几何关系得如图所示,介质在一定区域x＞0、y＞0内的折射率随着y的变化而连续变化．一束细光束沿x方向垂直入射到介质表面,并沿着一个半径为R的圆弧路径穿过介质,求折射率n随y变化的规律．如果y=0时折射率n0=1,已知的材料中最大折射率（金刚石折射率）不超过2.5,圆弧所对应的圆心角最大可能达多少？解:\n专题24-例4折射光具之三棱镜对光路的作用ABCOδirDE顶角偏向角δ反映三棱镜改变光传播方向的程度!i通常用阿贝数来表示光学材料的色散特性,其中nD、nC、nF分别表示材料对单色光D及单色光C及F的折射率．一束白光照射到一顶角A=60°,冕牌玻璃（n=1.500,n=1.495,）制的棱镜上,使单色光D在棱镜中的传播方向垂直于角A的平分面．求从棱镜射出的单色光C和F之间的夹角．解:解答\nAir本题比较三棱镜对C、D、F三种色光改变传播方向的程度！单色光D对称进出三棱镜,光路如示单色光D通过三棱镜偏向角为单色光C通过三棱镜偏向角小于D单色光F通过三棱镜偏向角大于D其中\n走“光对称进出三棱镜”时的路径时间最短,即沿图答中折线APQB,其中PQ∥AB,借助光折射模型：PQrDCAhBl由几何关系则最短时间为小试身手题6如图．湖湾成顶角为α的楔形,岸上住有一个渔人：他的房子在A点,从A点到他离湖最近的C点之距离为h,而到湖湾的一头,即到D点之距离为．湖对岸B点处有渔人好友的房子,点B位置与A点相对湖岸对称．渔人拥有一只小船,他可以速度沿岸步行或以速度v/2乘船在湖中划行,他从自己家出发到好友家里去．求他需要的最短时间．解:i\n从BC看到压在玻璃棱镜下的文字,需有进入棱镜的光从AC面折射到报纸,经由纸面反射回棱镜再出射到观察者视场中！若投射到AC面某部分的光发生了全反射,其下面文字就看不见了；如图,等腰直角玻璃镜的底面AC和侧面BC是光滑的,而侧面AB是毛糙的,棱镜的底面放在报纸上,一位观察者从光滑面BC看去,只看见报纸上一篇文章的一部分,这可见部分与应见部分之比为k=0.95(按面积),求玻璃的折射率．由几何关系,在三角形ADB中有,．ABCaD设全反射临界角为α,从BC面最上端进入的光线BD恰发生全反射,则AD间没有射向报纸的光线,是看不到文字的区域,即有小试身手题7解:\n假定你站在水平的大沙漠上．在远处,你会看见好似水面的东西,当你靠近“水面”时,它会同时后退,并保持你同它的距离不变,试解释这一现象．假定你的两眼离地面1.6m,且你同“水面”的距离保持为250m,试计算地表温度．空气在15℃,一个大气压下的折射率为1.0002760,假定在距地面1m以上空气温度恒为30℃,大气压强为0.1013MPa．折射率用n表示,并假定(n-1)同空气密度成正比．小试身手题16由于(n-1)∝ρ,温度T越高,空气密度越小,折射率也越小,大沙漠地表温度较高,高处景物（例如白云）的光自上向下行进,连续从光密介质向光疏介质折射,在地面附近发生全反射,反射光进入人眼的结果是看到了景物的虚像,形似水面解:沙漠蜃景解答\n,．n0,T0n30,T301m1.6m250m根据克拉珀龙方程,压强一定时有,\n,．⑴若要求此光束进入长方体能射至AD面上,折射光至少能射至D点：DABCrP⑵若要求此光束能在AD面上全反射,应满足⑶如示：图中的矩形ABCD代表一个折射率为n的透明长方体,其四周介质的折射率为1,一束单色细光束以角θ入射至AB面上的P点,．不考虑在长方体内的二次及二次以上的多次折射,试解下面三个问题:⑴若要求此光束进入长方体能射至AD面上,角θ的最小值θmin应为多大？⑵若要求此光束能在AD面上全反射,角θ应在什么范围内？长方体的折射率n应在什么范围内？⑶画出角θ小于上问中许可的最小角及大于上问中许可的最大角时的光路图.小试身手题17解:\n,．小试身手题122fR若将此透镜的平面镀银,其作用要等同于一个焦距是30cm的凹面镜,应使主轴上距球面顶点2f的物点发出的光进入球内后与镀银平面垂直地入射,则反射后光反向沿原路径到达主轴上物点处,即等效于凹面镜过曲率中心的光线反射后仍过曲率中心解:有一薄凸透镜,凸面曲率半径R=30cm,如图所示．已知在利用近轴光线成像时：⑴若将此透镜的平面镀银,其作用等同于一个焦距是30cm的凹面镜；⑵若将此透镜的凸面镀银,其作用也等同于一个凹面镜．求在⑵情况下的等效凹面镜的焦距．由图示几何关系得对近轴光线,由几何关系得续解\n,．xR若将此透镜的凸面镀银,其作用也要等同于一个凹面镜,应使进入镜中的光沿凸面的径向射至镀银球面,则反射后光沿原路径返回,设等效凹面镜曲率半径为x由图示几何关系得对近轴光线,由几何关系得查阅\n有一薄透镜如图示,S1面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面）,其焦点为F1和F2；S2面是球面,其球心C与F2重合．已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上,椭圆的偏心率为e．⑴求此透镜材料的折射率n（要论证）；⑵如果将此透镜置于折射率为n′的介质中,并能达到上述的同样的要求,椭圆应满足什么条件？专题24-例7符合要求的透镜形成光路如示S1S2F2F1CO1ir由几何关系透镜置于折射率为n1的介质中时N解:\nCEAB①②③④⑤⑥OFKG解:如图表示一条光线经过薄会聚透镜折射的光路ABC和透镜的后焦点F．试用圆规和直尺,作出透镜所在位置和它的主光轴．小试身手题8①连接B、F两点；②以BF为直径作圆；③延长入射线AB；④用有刻度的直尺零刻线对准点F,以F为轴转动直尺,当FK=GE时,作线段EF；⑤过F点作EF的垂线为主轴,与圆交于O即为光心；⑥OB为透镜所在位置∵BG⊥EF则OK∥AB为副光轴EF为焦平面AB经透镜折射后的光线过副焦点K,即为BC\n,．小试身手题9LODEGCAB根据题意BD放大率为根据公式利用薄凸透镜得到三齿的像,如图．三齿ABCEDG的底边AC位于主光轴上,AB=BC．AB部分成像放大率β1=6,而BC部分的放大率β2=3,试求BD部分成像的放大率．解:\n,．小试身手题10S1S2物直接经透镜成放大虚像物经平面镜的反射光再经透镜成放大实像设前一像之像距v1,后一像之像距v2,蜡烛距透镜u,则两像放大率为解:在不透光的箱内直立着一根蜡烛,箱的后壁是平面镜,前壁嵌有透镜,如图,箱长为L,在这光具组中观察到蜡烛火焰的两个像,并且像的大小相等．试求透镜的焦距．\n,．小试身手题11物、像位置重合是平面镜使光路可逆而成！LOLO由透镜成像公式：解:凸透镜后面距离L=4cm（大于焦距）处放置一块垂直于主光轴的平面镜,透镜前面垂直于主光轴放一页方格纸,如图．当这页纸相对透镜移动两个位置时（这两个位置相距=9cm）,纸上均得到其方格的像．试求凸透镜的焦距．\n,．小试身手题14F2L1L2F1对L1成S的等大倒立实像:对L2成S1的缩小倒立实像:SS2L3S1如图所示的薄透镜系统中,透镜L1和L2的焦距f1=f2=10cm,两透镜的间距为70cm,物在L1的前方20cm处,试求最后像的位置、大小与正倒；为提高光能利用率（增加系统的聚光能力以增加像亮度）,可增加第三个会聚透镜L3,为了使最后像的位置仍保持不变,试问L3应放在何处？试借助特殊光线用作图法解释L3能提高聚光能力的原因.解:\nyO1-sn1n2xhPCOAB近轴光球面折射成像公式用费马原理推导根据费马原理可以推论,任一发光点所发光束经球面折射后能成像于一点的条件是,从物点到达像点的所有光线的光程都相等\n近轴光透镜成像公式d-R2-sn1n2OABnR1P对球面AOB运用球面折射公式:对球面AO′B运用球面折射公式:薄透镜d→0物方焦距像方焦距\n专题24-例5hn对球面所成第1个像运用高斯公式:其中2R即球面一次折射后成平行光!被平面镜反射后仍为平行光再次由球面折射:等大倒立实像如图所示,一玻璃半球的曲率半径为R,折射率n=1.5,其平面的一边镀银．一物高为h,放在曲面顶点前2R处．求⑴由球面所成的第一个像的位置；⑵这一光具组的最后一个像在哪里?解:\n专题24-例6水中的发光体位于距盛水器皿壁x处,从外面往器皿壁上贴一个平凸透镜,透镜在空气中的焦距等于f．透镜和器皿壁是非常薄的,水的折射率为,而玻璃的折射率．物体位于透镜的主光轴上．求出并讨论像的位置y与物体的位置x的关系．作为特例,求出x＝f时的像的位置和放大倍数．如果透镜是贴在器皿内壁,那时候情况是否变化？怎样变化？解:n水n0Pn玻-R-x透镜在空气中焦距为f由薄透镜成像普适公式实像虚像放大虚像续解\n透镜是贴在器皿内壁的Pn水n0n玻由薄透镜成像普适公式-xR放大虚像\n如图所示,两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起,中空,其中一块涂银成为球面反射镜．屏上小孔Q为点光源,它发出的光经反射后成像于点．调整屏与表壳间的距离L,当L=20cm时,像点正好落在屏上．然后在表壳玻璃间注满折射率的水．试问,当L为何值时,像点仍落在屏上？小试身手题13解:设球面曲率半径R,当L=20cm时,球面镜反射成像物距等于像距,由球面镜反射成像公式QLR在表壳玻璃间注水使成一水凸透镜!n0n水n0其像方焦距由R续解\nRQn0n水n0RQ对水透镜一次成像Q1,由薄透镜成像公式Q1对球面镜二次成像Q2Q2对水透镜三次成像在屏查阅\n如图所示,薄壁球形玻璃鱼缸的半径为R,所盛水的折射率n＝4/3．鱼缸左侧与轴线垂直的平面反射镜离球心的距离为3R．一条位于左球面顶点处的小鱼沿缸壁以速度v游动．从鱼缸右侧观察鱼的直接像与反射像（先经平面镜反射,再经鱼缸所成的像）．试求两像之间的相对速度．小试身手题15解:R3RPO俯视直接成像光路-2Rri由球面折射高斯公式-3R对近轴光线,由几何关系得2r-i俯视反射像光路P1P2-4R由球面折射高斯公式P3PO续解\nOP4RP3P1P2v2v3vv查阅