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高中数学人教A版必修二第二章2.2.3直线与平面平行的性质教学设计

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§2.2.3直线与平面平行的性质一、教材分析上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度,进而明确告诉学生:线面平行的性质定理是高考考查的重点,也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.二、教学目标1.知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2.过程与方法学生通过观察与类比,借助实物模型性质及其应用.3.情感、态度与价值观(1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力.(2)进一步体会类比的作用.(3)进一步渗透等价转化的思想.三、教学重点与难点教学重点:直线与平面平行的性质定理.教学难点:直线与平面平行的性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计(一)复习回忆直线与平面平行的判定定理:(1)文字语言:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(2)符号语言为:(3)图形语言为:如图1.图1(二)导入新课思路1.(情境导入)教室内日光灯管所在的直线与地面平行,是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行?思路2.(事例导入)观察长方体(图2),可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中,线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行,你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗?\n图2(三)推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间两直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行,探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么?⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用排除法.问题⑤引导学生找出应用的难点.问题⑥鼓励学生总结,教师归纳.讨论结果:①空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面.②若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明),所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面.怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢(排除异面的情况)?经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为:这个定理用图形语言可表示为:如图3.图3④已知a∥α,aβ,α∩β=b.求证:a∥b.证明:⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面.⑥应用线面平行性质定理的要诀:“见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线”.\n(四)应用示例思路1例1如图4所示的一块木料中,棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线与面AC是什么位置关系?活动:先让学生思考、讨论再回答,然后教师加以引导.分析:经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解:(1)如图5,在平面A′C′内,过点P作直线EF,使EF∥B′C′,图5并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.则EF、BE、CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于面A′C′,平面BC′与平面A′C′交于B′C′,所以BC∥B′C′.由(1)知,EF∥B′C′,所以EF∥BC.因此BE、CF显然都与平面AC相交.变式训练如图6,a∥α,A是α另一侧的点,B、C、D∈a,线段AB、AC、AD交α于E、F、G点,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG.图6解:Aa,∴A、a确定一个平面,设为β.∵B∈a,∴B∈β.又A∈β,∴ABβ.\n同理ACβ,ADβ.∵点A与直线a在α的异侧,∴β与α相交.∴面ABD与面α相交,交线为EG.∵BD∥α,BD面BAD,面BAD∩α=EG,∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.∴.(相似三角形对应线段成比例)∴EG=.点评:见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线,直线与交线平行,如果再需要过已知点,这个平面是确定的.例2已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外.求证:b∥α.证明:过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.∵a∥α,aβ,α∩β=c,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c.∵cα,bα,∴b∥α.变式训练如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点,平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证:EH∥FG.图8证明:连接EH.∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD.又BD面BCD,EH面BCD,∴EH∥面BCD.\n又EHα、α∩面BCD=FG,∴EH∥FG.点评:见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线,则直线与交线平行.思路2例1求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知a∥b,aα,bβ,α∩β=c.求证:c∥a∥b.证明:变式训练求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知:如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b,求证:a∥b.证明:如图10,过a作平面γ、δ,使得γ∩α=c,δ∩β=d,那么有点评:本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例2如图11,平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,求证:BD∥面EFGH,AC∥面EFGH.\n图11证明:∵EFGH是平行四边形变式训练如图12,平面EFGH分别平行于CD、AB,E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.图12(1)求证:EFGH是矩形;(2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.(1)证明:∵CD∥平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF,∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.同理HE∥GF,∴四边形EFGH为平行四边形.由CD∥EF,HE∥AB,∴∠HEF为CD和AB所成的角.又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.(2)解:由(1)可知在△BCD中EF∥CD,DE=m,EB=n,∴.又CD=a,∴EF=.由HE∥AB,∴.又∵AB=b,∴HE=.又∵四边形EFGH为矩形,∴S矩形EFGH=HE·EF=.点评:线面平行问题是平行问题的重点,有着广泛应用.(五)知能训练求证:经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知:a、b是异面直线.求证:过b有且只有一个平面与a平行.证明:(1)存在性.如图13,\n图13在直线b上任取一点A,显然Aa.过A与a作平面β,在平面β内过点A作直线a′∥a,则a′与b是相交直线,它们确定一个平面,设为α,∵bα,a与b异面,∴aα.又∵a∥a′,a′α,∴a∥α.∴过b有一个平面α与a平行.(2)唯一性.假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面,则bγ.∵A∈b,∴A∈γ.又∵A∈β,∴γ与β相交,设交线为a″,则A∈a″.∵a∥γ,aβ,γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′,∴a′∥a″.这与a′∩a″=A矛盾.∴假设错误,故过b且与a平行的平面只有一个.综上所述,过b有且只有一个平面与a平行.变式训练已知:a∥α,A∈α,A∈b,且b∥a.求证:bα.证明:假设bα,如图14,图14设经过点A和直线a的平面为β,α∩β=b′,∵a∥α,∴a∥b′(线面平行则线线平行).又∵a∥b,∴b∥b′,这与b∩b′=A矛盾.∴假设错误.故bα.(六)拓展提升已知:a,b为异面直线,aα,bβ,a∥β,b∥α,求证:α∥β.证明:如图15,在b上任取一点P,由点P和直线a确定的平面γ与平面β交于直线c,则c与b相交于点P.图15\n变式训练已知AB、CD为异面线段,E、F分别为AC、BD中点,过E、F作平面α∥AB.(1)求证:CD∥α;(2)若AB=4,EF=,CD=2,求AB与CD所成角的大小.(1)证明:如图16,连接AD交α于G,连接GF,图16∵AB∥α,面ADB∩α=GFAB∥GF.又∵F为BD中点,∴G为AD中点.又∵AC、AD相交,确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点,G为AD中点,∴EG∥CD.(2)解:由(1)证明可知:∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=.在△EGF中,由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.(七)课堂小结知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面,把线面平行转化为线线平行”.(八)作业课本习题2.2A组5、6.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-08-19 09:00:03 页数:8
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文章作者:182****8598

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