人教A版高中数学必修二：《2.1.1平面》精品教案

第一课时平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言难点：平面基本性质的掌握与运用（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？培养学生感性认识,师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确加深学生对平面概念的理解探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍如果一个平面被另一个平面遮挡住我们常把被遮挡的部分用垂线画出来（2）平面的表示法1：平面，平面法2：平面ABCD，平面AC或平面BD（3）点与平面的关系师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面师：大家画一下学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力,平面内有无数个点，平面可看成点的集合点A在平面内，记作：A点B在平面外，记作：B探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C直线AB存在惟一的平面，使得师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作Pl；如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作l，否则就说直线l在平面外，记作下面请同学们用符号表示公理1通过实验，培养学生观察、归纳能力加深学生对公理的理解与记忆加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力,注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线学生板书，教师点评并完善大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（板书）这就是我们要学的公理3学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性,（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：（3）公理3作用：判断两个平面是否相交典例分析例1如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来解：在（1）中，，，在（2）中，，，，，学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识随堂练习1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面学生独立完成答案：1．D2．（1）不共面的四点可确定4个平面,D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）共点的三条直线可以确定几个平面？3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点（）（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（）（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面（）（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（）4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A在平面内，但点B在平面外；（2）直线a经过平面外的一点M；（3）直线a既在平面内，又在平面内（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面3．（1）×（2）√（3）√（4）√4．（1）A，B（2）M，M（3）a，a巩固所学知识,归纳总结1．平面的概念，画法及表示方法2．平面的性质及其作用3．符号表示4．注意事项学生归纳、总结教学、补充完善回顾、反思、归纳知识，提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力课后作业21第一课时习案学生独立完成备选例题例1已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但AÏd，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，αbadcGFEAabcdαHK图1图2则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又H，K∈c，∴c,则cα．,同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线MOB1C1D1A1DCBA分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可解答：如图所示A1A∥C1C确定平面A1CO∈平面A1CA1C平面A1C又O∈A1C平面BC1D∩直线A1C=OO∈平面BC1DO在平面A1C与平面BC1D的交线上AC∩BD=MM∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C=C1MO∈C1M，即O、C1、M三点共线,评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上