初中数学新华东师大版七年级下册7.3 一元一次不等式组教案（2025春）

7.3一元一次不等式组第1课时解一元一次不等式组（1）【教学目标】1.了解一元一次不等式组及其解集的概念.2.探索不等式组的解法及其步骤.3.通过对典型例题的分析，加深对解一元一次不等式组的认识.4.通过数轴表示不等式组的解集，渗透数形结合这一重要的思想方法.【教学重点】1.一元一次不等式组的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的情况.2.一元一次不等式组的解法.【教学难点】一元一次不等式组的解法.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.什么叫一元一次不等式？2.求解一元一次不等式的步骤是什么?3.解下列不等式，并把解集在数轴表示出来.（1）3x-2>1-x（2）4+x<2x+16[教学说明]对一元一次不等式的有关知识进行复习，为一元一次不等式组的教学作准备.二、思考探究，获取新知问题：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨，那么需要多少时间能将污水抽完？分析：设需要x分钟能将污水抽完，那么总的抽水量为30x吨，由题意可知在这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个不等式，我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：分别求这两个不等式的解集，得在同一数轴上表示出这两个不等式的解集，可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40≤x≤50.这就是所列不等式组的解集.所以，需要40到50分钟能将污水抽完.[归纳结论]不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集.解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，利用数轴可以帮我们得到一元一次不等式组的解集.探究：设a、b是已知实数，且a＞b，在数轴上表示下列不等式组的解集.12 你能归纳其规律吗？[归纳结论]皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解.[教学说明]教师应尽量引导学生自主探究完成，教师最后做出总结三、运用新知，深化理解1.不等式组3x-1>28-4x≤0的解集在数轴上表示为（）2.解集如图所示的不等式组为（）3.将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子分得的橘子将少于3个，则最少有个儿童，个橘子.4.在△ABC中，三边为a、b、c,（1）如果a=3x，b=4x，c=28，那么x的取值范围是；（2）已知△ABC的周长是12，若b是最大边，则b的取值范围是；（3）|a+b+c|-|b-c-a|-|c-a+b|+|b-a-c|=.5.解不等式组，并把解集表示在数轴上.12 [教学说明]通过练习，检查学生掌握情况，分析易错点及时强调.【答案】1.A2.A3.7,374.(1)4＜x＜28(2)4＜b＜6(3)2a5.解：（1）解不等式①，得x>2解不等式②，得x>4把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：则原不等式的解集为x>4.（2）解不等式①，得x≥8把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：则原不等式组无解.12 7.解①得：x≥-7，解②得：x≤8，所以不等式组的解集为：-7≤x≤8.所以不等式组的负整数解为：-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】12 1.布置作业:教材第65页“习题8.3”中第1、2题.2.完成练习册中本课时练习.第2课时解一元一次不等式组（2）【教学目标】1.一元一次不等式组与二元一次方程组的综合应用.2.根据不等式组的解集求字母的取值范围.3.通过观察、对比、思考等数学活动过程，体会化归思想和数形结合思想.4.通过小组讨论交流，培养学生的合作意识.【教学重点】一元一次不等式组的灵活运用.【教学难点】一元一次不等式组的灵活运用.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.什么是一元一次不等式组？2.什么是一元一次不等式组的解集？3.你能用什么方法确定一元一次不等式组的解集？[教学说明]通过对上节课的知识的复习，为继续探究一元一次不等式组的应用作铺垫.二、思考探究，获取新知12 [归纳结论]通过此处的讨论探索，期望学生能实现无师自通.先自主探究解题步骤，后具体解题.三、运用新知，深化理解A.m＝2B.m＞2C.m＜2D.m≥212 解，则a的取值范围是()A.a＜1B.a≤1C.1D.a≥1则k的取值范围是.解是正数，且x的值小于y的值.（1）求a的范围；（2）化简|8a+11|-|10a+1|.是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.[教学说明]学生在练习过程中，借助数轴表示解集，从而使学生更直观地掌握不等式组的解集.本组题目有一定的难度，教师应作适当的引导.【答案】1.D2.A3.B∴a＝2，b＝-1.∴a+b＝1.12 6.解：（1）根据题意，得∴8+11＞0，10a+1＜0.∴|8+11|-|10a+1|＝8a+11-［-(10a+1)］＝18a+12.7.解：解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x≥-3，解不等式③，得：x≥-2.在数轴上分别表示不等式①、②、③的解集：∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2.∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1.四、师生互动，课堂小结12 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第65页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.第3课时列一元一次不等式组解决实际问题【教学目标】1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的问题.2.通过例题的讲解，让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识解决问题，培养应用意识.3.通过解决实际问题，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.【教学重点】用一元一次不等式组的知识去解决实际问题.【教学难点】审题，根据具体信息列出不等式组.【教学过程】一、情境导入，初步认识在以前的学习中，我们曾经利用方程（组）解决了许多实际问题；在本章我们又学习了用一元一次不等式解决一些实际问题.其实，用一元一次不等式组也可以解决一些实际问题.一个人的头发大约有10万根到20万根，每根头发每天大约生长0.32mm.小颖的头发现在大约有10cm长，那么大约经过多长时间，她的头发才能生长到16cm到28cm？分析：这个问题中的不等关系是16cm≤小颖若干天后的头发长度≤28cm.小颖现在的头发长度为10cm，每根头发每天大约生长0.32mm，如果设经过x天小颖的头发可以生长到16cm到28cm之间，那么她x天后的头发长度为（100+0.32x）mm.于是，可得160≤100+0.32x≤280.解这个不等式组，得187.5≤x≤562.5.因此，大约需要188天到563天，小颖的头发才能生长到16cm到28cm.[教学说明]通过一个学生熟悉的问题情景引入新课，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面对本节课的内容作一个铺垫.二、思考探究，获取新知例1用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4t,则剩下20t货物；若每辆汽车装满8t，则最后一辆汽车不满也不空.请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？分析：这个问题中的不等关系是：货物的总质量<全部汽车载重量之和，货物的总质量>减少1辆后剩余汽车的载重量之和.解：设有x辆汽车，那么这批货物共有（4x+20）t.于是，可得解这个不等式组，得5<x<7.因为x只能取整数，所以x=6，即有6辆汽车运这批货物.例2一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.解：设小朋友的人数为x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得12 解不等式组，得4＜x≤6因为x是整数，所以x=5,6，则2x+3为13，15.因此，当有5个小朋友时，玩具数为13个；当有6个小朋友时，玩具数为15个.例3某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆.（1）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；（2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？分析：本题的不等关系比较隐蔽，好像与不等式没有什么关系，但仔细分析题意并结合实际可知：A、B两种造型所需甲种花卉不能超过349盆，乙种花卉不能超过295盆，依此便能够建立不等式组求解.解：（1）设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个.根据题意得解不等组得：31≤x≤33因为x为整数，所以x=31,32,33所以共有三种方案：①A：31，B：19；②A：32，B：18；③A：33，B：17（2）由于搭配一个A种造型比B种成本低，则应该搭配A种33个，B种17个.成本是：33×200+17×360=12720（元）.[教学说明]用不等式组解决实际问题类似于列方程组解决实际问题，同样要经历“审”“设”“找”“列”“解”“答”等几个步骤.其中找出实际问题中的不等关系是解决问题的关键.例4已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？解：生产N型号的时装套数为x时，则生产M型号的时装套数为（80-x），根据题意，得解不等式组，得40≤x≤44.因为x是整数，所以x的取值为40，41，42，43，44.因此，生产方案有五种.（1）生产M型40套，N型40套；（2）生产M型39套，N型41套；（3）生产M型38套，N型42套；（4）生产M型37套，N型43套；（5）生产M型36套，N型44套.[教学说明]让学生更进一步体会数学知识生活化，并能利用不等式组解决实际问题.你能总结用不等式组解决实际问题的步骤吗？[归纳结论]列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤：（1）审：审题，分析题目中已知是什么，求什么，明确各数量之间的关系.（2）设：设适当的未知数.（3）代：用代数式表示题中的直接量和间接量.（4）列：依据不等关系列不等式(组).（5）解：求出不等式(组)的解集.（6）答：写出符合题意的答案.三、运用新知，深化理解12 1.一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？2.某市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐赠一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件.（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件,有哪几种方案可供选择？（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？3.“8.3”云南地震后，我市立即组织医护工作人员赶赴云南灾区参加伤员抢救工作.拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区.经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李.(1)设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；(2)若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案.4.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位.（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元.根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）.请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金.[教学说明]对所学知识进行巩固提高.【答案】1.解：设这件商品原价为x元，根据题意可得：解得：37.5≤x<40.答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内.所以饮用水和蔬菜分别为200件和120件.（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车(8-m)辆.解得2≤m≤4.又因为m为整数，所以m＝2或3或4.所以安排甲、乙两种货车时有3种方案：方案①：安排甲车2辆，乙车6辆；方案②：安排甲车3辆，乙车5辆；方案③：安排甲车4辆，乙车4辆.（3）设计方案费用分别为：①2×400+6×360＝2960（元）；②3×400+5×360＝3000（元）；12 ③4×400+4×360＝3040（元）.所以方案①运费最少，最少运费是2960元.3.解：（1）设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车(8-x)，则：∵应为整数，∴x=7或8，∴有两种租车方案，分别为：方案1：租甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；方案2：租甲种汽车8辆，乙种汽车0辆.（2）租车费用分别为：方案1:8000×7＋6000×1＝62000（元）；方案2：8000×8＝64000（元）.∴方案1花费最低，所以选择方案1.4.解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：35x=55(x-1)-45,解得：x=5.∴35x=35×5=175（人）.答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人.（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4-y）辆，由题意得：∵y取正整数，∴y=2，∴4-y=4-2=2，∴320×2＋400×2=1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】完成练习册中本课时练习.12