福州长乐一中2024-2025学年第一学期高一数学寒假作业 答案

长乐一中2024-2025学年第一学期高一数学寒假作业综合（1）寒假作业1限时：120分钟训练内容（必修一）满分：150分班级：___________座号：_________姓名：________________组编：高一数学集备组一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）21．已知集合Mxxx20，Nxyx21x，则MN（）A．2,2B．1,1C．2,1D．1,2222．已知不等式axbxc0解集为Ax1x2，若不等式cxbxa0解集为B，则ðRB（）1111A．，1，B．，1，C．1，D．1，222223．“关于x的不等式x2axa0的解集为R”的一个必要不充分条件是（）11A．0a1B．0aC．0a1D．a<0或a334．下列命题的否定是真命题的是（）A．2mN,m1NB．菱形都是平行四边形2C．aR，一元二次方程xax10没有实数根D．平面四边形ABCD，其内角和等于360°25．已知命题p:xR,x(a1)x10，若命题p是假命题，则a的取值范围为（）A．1≤a≤3B．－1≤a≤3C．1<a<3D．0≤a≤226．已知关于x的一元二次不等式x(a1)xa0的解中有且仅有4个正整数，则a的取值范围是（）A．3a2B．3a2C．4a5D．4a5y17．若正数x,y满足x2y2，则的最小值为（）xy5A．21B．221C．2D．2y28．若两个正实数x，y满足4xyxy且存在这样的x，y使不等式xm3m有解，则实数m的4取值范围是（）A．(1,4)B．(4,1)C．(,4)(1,)D．(,3)(0,)二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分得分，有选错的得0分）9．下面命题正确的是（）1A．“a1”是“1”的充分不必要条件a试卷第1页，共4页 22B．命题“任意xR，则xx10”的否定是“存在x0R，则x0x010”1C．函数yx的最小值为2x2D．不等式xmx40在x(1,2)上有解，则实数m的取值范围是m510．下列四个命题中，是真命题的是（）12A．xR，且x0，x2B．x0R，使得x012x0x22xy2xyC．若x0，y0，2xy2D．当1x3时，不等式xmx40恒成立，则实数m的取值范围是m4211．已知关于x的不等式axbxc0的解集为xx3或x4，则下列结论中，正确结论的序号是（）A．a0B．不等式bxc0的解集为xx411C．不等式cx2bxa0的解集为xx或xD．abc043三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）212．已知命题“x0[1,1]，x03x0a0”为真命题，则实数a的取值范围是.213．已知集合Axa1x2a4，Bxx4x120，若AB，则实数a的取值范围为.2414．若a1，且不等式xax40的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围是.a四．解答题（共5小题，共77分）xa22x215．已知全集UR，非空集合Ax0，Bx0．x3xa1(1)当a时，求ðUBA；2(2)命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．试卷第2页，共4页 216．设函数yax3a1xaaR，(1)若“xR，y0”是假命题，实数a的取值范围为集合M，求M；1(2)设不等式xaxa0的解集为N，若xN是xM的充分条件，求a的取值范围.2217．已知函数fxxax2，aR.2(1)若不等式fx0的解集为1,2，求不等式fx1x的解集；(2)若对于任意的x1,1，不等式fx2ax14恒成立，求实数a的取值范围.218．已知关于x的不等式ax7x30的解集为xx<b或x>3.(1)求a，b的值；12(2)求关于x的不等式axc2bxc0的解集.2试卷第3页，共4页 19．近日，随着暑期来临，福州市政府积极制定政策，决定政企联动，决定为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供x(x0,20)（万元）的专项补贴．某制衣有限公司在收到福州市政府x（万元）补贴后，产量将增加到t(x3)（万件）．同时某制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为8142(7t3x)（万元），并以每件(8)元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政tt府专项补贴成本．(1)求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；(2)福州市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益y（万元）最大？试卷第4页，共4页 参考答案：1．A【分析】求出集合M、N，利用并集的定义可求得集合MN.x202【详解】由Mxxx201,2，Nxyx21xx2,1，1x0故MN2,2.故选：A.2．Bb3a12B1,【分析】由不等式axbxc0解集为Ax1x2可得，从而求出，c2a2再利用集合补集的定义求解即可.2【详解】因为不等式axbxc0解集为Ax1x2，b12acb3a所以12，ac2aa0222所以cxbxa0可化为2ax3axa0，则2x3x10，1所以2x1x10，解得：1x，211所以B1,，ðRB，1，22故选：B.3．C【分析】求出满足题意的充要条件为0a1，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案.2【详解】因为不等式x2axa0的解集为R，2所以应有2a4a4aa10，解得0a1.选择的必要不充分条件的范围，应该大于0a1包含的范围，显然只有C项满足.故选：C.答案第1页，共11页 4．C【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由m0，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．【详解】对于A，mN，22m1N，其否定为：mN，m1N，由m0时，011N，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；2对于C，aR，一元二次方程xax10没有实根，2其否定为：aR，一元二次方程xax10有实根，2由=a40，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；对于D，平面四边形ABCD，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；故选：C.5．B【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.2【详解】由题意:命题p:xR,x(a1)x10是假命题,2其否定:p:xR,x(a1)x10为真命题,2即(a1)40，解得1a3，故选：B6．D【分析】先求解不等式，根据解集中正整数的个数确定a的取值范围.2【详解】由x(a1)xa0，得(xa)(x1)0，2因为关于x的一元二次不等式x(a1)xa0的解集中有且仅有4个正整数，所以a1，不等式的解为1xa，且4a5，故选：D．答案第2页，共11页 7．A【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.【详解】因为正数x,y满足x2y2，x2y所以1.2y1yx2yyxyx所以12121,xyx2yx2yx2y22x2y当且仅当，即x222,y22时，取等号，x2y2y1当x222,y22时，取得的最小值为21.xy故选：A.8．C41y【分析】依题意可得1，再利用乘“1”法及基本不等式求出x的最小值，即可得到yx42m3m4，解一元二次不等式即可.41【详解】解：因为x0，y0且4xyxy，所以1，yxyy414xy4xy所以xx2224，44yxy4xy4x4xy当且仅当，即y4x8时等号成立，y4x2所以m3m4，即(m4)(m1)0，解得m4或m1，所以m的取值范围是(,4)(1,)．故选：C9．AB【分析】由充分、必要性定义及不等式性质判断A；写出全称命题的否定判断B；根据x02对应函数值符号判断C；利用二次函数性质求f(x)xmx40在x(1,2)上能成立求参数范围判断D.1【详解】A：a1可得1，但反之不一定成立，对；a2B：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为：存在x0R，则x0x010，对；答案第3页，共11页 1C：当x0时，yx0，即2不是最小值，错；x2D：令f(x)xmx4，开口向上且f(0)40，使f(x)0在x(1,2)上能成立，2Δm160m必有m，可得m4，故对称轴2，显然f(2)2m80恒成立，022所以m4，错.故选：AB10．BCD【分析】对A，当x0时，不成立；2对B，当x01时，x012x0成立；22222对C，将分式化整式，等价转化为证明命题xyxy8xy即可；对D，分离参数转化为求函数最值求解.11【详解】对选项A，当x0时，x0，不满足x2，故A错误；xx2对选项B，当x01时，x012x0成立，2即x0R，使得x012x0成立，故B正确；对选项C，由x0，y0，22xy2xy22222xyxy8xy.2xy2222又xy2xy0，且xy(2xy)4xy0，22222两式相乘得xyxy8xy，结论得证，故C正确；对选项D，分离参数转化为求函数最值求解即可.42mx，因为1x3，由xmx40得x4设f(x)x，x(1,3)x44则f(x)2x4，当且仅当x即x2时，等号成立.xx故f(x)的最小值为4，则m4，故D正确.故选：BCD.11．AD答案第4页，共11页 【分析】由一元二次不等式的解法得a,b,c关系，对选项逐一判断，2【详解】由axbxc0的解集为xx3或x4得22axbxca(x3)(x4)a(x7x12)，故a0,b7a,c12a,故A正确，abc6a0，故D正确，12对于B，bxc0，解得x，故B错误，71122x，故C错误.对于C，cxbxa0为12ax7axa0，解得34故选：AD12．BD【分析】由不等式的性质和基本不等式，验证各选项是否正确.1222【详解】因为a0，b0，所以2，所以21，则ab8，当且仅当a2,b4ababab时，等号成立，故A错误；1212b21a2b因为1，所以1，则，同理可得，因为ababbb2ba1abaab21ba22，所以2，当且仅当ab3时，等号成立，则Babbaa1b2ab正确；211111212131因为011，所以0，所以0，所以212，bab22babbbb2则C错误；12b4ab4a因为2ab2ab22428，当且仅当a2,b4时，等ababab号成立，所以D正确．故选：BD13．[2,)【分析】根据存在性命题为真命题，将其转化为有解问题，通过分离参数后，再转化为最值问题.2【详解】因为命题“x0[1,1]，x03x0a0”为真命题2则x[1,1]，ax3x有解，22239设f(x)x3x，则f(x)x3xx，24答案第5页，共11页 当x[1,1]时，f(x)单调递减，所以2f(x)4，所以a2.故答案为：[2,).14．(,3][7,)【分析】分A与A两种情况，分别讨论求解即可.2【详解】因为Bxx4x120(2,6)①当A时，a12a4，解得a5，符合题意，a12a4，a12a4，②当A时，则或2a42a16．解得5a3或a7，综上所述，实数a的取值范围为(,3][7,)．故答案为：(,3][7,)．15．(4,5]【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果.244【详解】由xax40，可得xax0，aa44由题意当1a2，即a时，不等式的解集为a,；aa4若满足解集中仅有四个整数，为2,3,4,5，则56，a24此时a，与1a2矛盾；354当a2时，即a，不等式的解集为，不符合题意；a44当a2，即a2时，不等式的解集为,a；aa若满足解集中仅有四个整数，可能为2,3,4,5，或1,2,3,4，4当为2,3,4,5时，则5a6，且12，无解，a4当整数解为1,2,3,4时，01，且4a5，a解得4a5；综上知，实数a的取值范围是4,5.答案第6页，共11页 故答案为：4,5416．/0.85a2b211【分析】由ab1可得a2b25，将与相乘，展开后5a2b2利用基本不等式可求得答案.【详解】已知正数a、b满足ab1，则a2b25，11a2b211所以，a2b25a2b21b2a21b2a24222，5a2b25a2b251当且仅当ab时，等号成立.2114因此，的最小值为.a2b254故答案为：.5917．(1)xx34(2),11,2119【分析】（1）A{x|2x3}，当a时，B{x|x}，再运用交、补集的运算，224计算求解即可；（2）由已知可得pq，故AB，计算求解即可得到结论．x2【详解】（1）不等式0的解集为{x|2x3}x3所以A{x|2x3}，14x919当a时，Bx0，化简得Bxx，24x224全集UR，19ðUBxx或x，249∴ðUBAxx3；4答案第7页，共11页 （2）由q是p的必要条件，可得pq，所以AB，2217因为a2aa0242所以a2a，2xa22所以不等式0的解集为x|axa2，xa2所以Bx|axa2，a22，解得a1或1a2，a23所以实数a的取值范围是,11,2.118．(1)[,1]511(2)[,]52【分析】（1）由题意，“xR，y0”为真命题.分类讨论二次项系数的情况即可；（2）先解出N，由xN是xM的充分条件，可得NM，再结合数轴可得.【详解】（1）由已知“xR，y0”是假命题，得“xR，y0”为真命题，2即ax3a1xa0对xR恒成立.当a0时，x0，即x0，不恒成立；2当a<0时，函数yax3a1xaaR的图象开口向下，必存在函数值小于0，故不恒成立；当a0时，要使y0恒成立，则有0，2221即(3a1)4a5a6a10，解得a1，满足a0.51综上所述，M[,1].5111（2）由xaxa0解得axa，即N[a,a]，222若xN是xM的充分条件，则NM.答案第8页，共11页 1a511所以，解得a.a1152211故所求a的取值范围为[,].52119．(1),1,21(2)a3【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a，然后解一元二次不等式即可；22x2x2（2）问题转化为a在x1,1恒成立，令h(x)，x1,1，根据函数的单调x2x2性求出a的范围即可；【详解】（1）若不等式f(x)0的解集为1,2，2即1，2是关于x的方程xax20的两个根，则12a3，即a3，2222则f(x)x3x2，由f(x)1x得x3x21x，12x，即2x3x10，得(2x1)(x1)0，解得x1或21即不等式的解集为,1,．2（2）不等式fx2ax14对于任意的x1,1恒成立，2x2即a对于任意的x1,1恒成立，x22x2令h(x)，x1,1，x22x4x2则h(x)2，(x2)令h(x)0，解得x22，当1x22时hx0，当22x1时时hx0故h(x)在1,22上单调递增，在22,1上单调递减，1又h11，h1，3答案第9页，共11页 11故hxh1，所以a．min3321．(1)见解析(2)见解析222222【分析】（1）由abc1，则abcabc2ab2ac2bc1，根据2abab，22222acac，2bcbc，即可得证；222abc（2）根据b2a，c2c，a2c，即可得证.bca2222【详解】（1）由abc1，得abcabc2ab2ac2bc1，222222又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2abab，2acac，2bcbc，1当且仅当abc时，上述不等式等号均成立，3222222所以abc2ab2ac2bc3a3b3c，222即3abc1，22211所以abc，当且仅当abc时等号成立；33（2）因为a，b，c均为正数，222abc1则b2a，c2c，a2c，当且仅当abc时，不等式等号均成立，bca3222abc则bca2a2b2c，bca222abc1即abc1，当且仅当abc时等号成立.bca3222abc所以1.bca8122．(1)y45xx3(2)6万元【分析】（1）根据收益=销售金额政府专项补贴成本即可求解；（2）利用基本不等式即可求解.428181【详解】（1）y8tx7t3xt422x．ttt8181因为tx3，所以yx3422x45x.x3x3答案第10页，共11页 8181（2）因为y45xx348．x3x381又因为x0,20，所以x30,0，x3818181所以x32x318（当且仅当x3即x6时取“”）x3x3x3所以y184830，即当x6万元时，y取最大值30万元．答案第11页，共11页