初中数学新北师大版七年级上册5.3第1课时 几何图形问题教学课件2024秋

第五章一元一次方程5.3.1几何图形问题北师大版·七年级上册 学习目标1.能根据几何图形问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想.2.通过对几何图形问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系.3.经历运用方程解决几何图形问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识.素养目标 学习目标寻找几何图形问题中的等量关系，建立方程.学习难点抓住几何图形变化中的不变量，确定等量关系.学习重点 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱，请思考下列几个问题：(1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了?还有哪些量改变了?(2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢?创设情境，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决几何图形问题1.图形的等积变化某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?(1)这个问题中包含哪些量?它们之间有怎样的等量关系?包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、高、容积活动引入，合作探究 “容积不变”等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积容积不变，但直径(半径)和高有变改造前改造后直径(半径)减少，高如何变化？ (2)设新包装的高度为xcm，借助下面的表格梳理问题中的信息有关量旧包装新包装底面半径/cm高/cm12x容积/cm3 (3)根据等量关系，列出方程设新包装的高度为xcm根据等量关系列出方程=解得x=14.52答：新包装的高度为14.52cm1.列方程的关键找出问题中的等量关系2.解决实际问题的基本步骤理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答.有关量旧包装新包装底面半径/cm高/cm12x容积/cm3 2.图形的等长变化用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化?(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米?正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? ②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化?长方形的周长(或长与宽的和)不变①本题涉及哪些量?铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积.例题分析 ④如图，结合(1)(2)问题意，若设长方形的宽为xm，则长方形的长可怎么表示?试用含x的代数式在下面图中表示出来.③题中有怎样的等量关系?等量关系：(长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度)xm(x+1.4)mxm(x+0.8)m(1)(2) 解：(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m.根据题意，得2(x+1.4)+2x＝10解得x=1.81.8+1.4=3.2此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?xm(x+1.4)m 解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)m.根据题意，得2(x+0.8)＋2x＝10解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2)(1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)，6.09-5.76＝0.33(m2)此时(2)中长方形的面积比(1)中长方形的面积增大0.33m2(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米?此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化?xm(x+0.8)m (3)设正方形的边长为xm根据题意，得4x=10解得x=2.5正方形的边长为2.5m，面积为2.5×2.5＝6.25(m2)，比(2)中长方形的面积增大6.25-6.09＝0.16(m2)(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米?正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? 所列方程的两边分别表示长方形的周长和铁丝的长度列方程的思路先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程.思考在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量?列方程的思路是什么?总结：周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时(即为正方形时)，长方形(正方形)的面积最大. 针对练习一个梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面积为88cm2，求这个梯形的上底和下底的长度.解：设梯形的上底为xcm，则下底为(x+6)cmxcm(x+6)cm8cm(x+x+6)×8=88解得x=8x+6=14答：梯形的上底为8cm，下底为14cm.【选自教材P149随堂练习】 1.直径为30cm、高为50cm的圆柱形瓶里装满了饮料，现将饮料倒入底面直径为10cm的圆柱形水杯，刚好倒满30杯，则水杯的高度是多少?解：设水杯的高度为xcm解得x=15答：水杯的高度为15cm知识延伸，巩固升华 针对训练一个长方形的周长是40cm，若将长减少6cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则长方形的长、宽各为多少厘米?解：设长方形的长为xcm，则宽为cm.x-6=+2解得x=14所以=6.答：长方形的长为14cm，则宽为6cm. *利用一元一次方程解决一般几何图形问题(1)有一块边长为4cm的正方体形橡皮泥，要用它来捏一个长、宽分别为8cm，2cm的长方体橡皮泥，求它的高.解：设高为xcm43=8×2x解得x=4答：高为4cm (2)如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为6cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？解：设正方形的边长为xcm6x=8(x-6)解得x=24答：每一个长条的面积为144cm26×24=144 (3)用一根120cm长的铁丝围成一个长方形，使该长方形的长是宽的2倍，则这个长方形的长、宽分别为多少？解：设长方形的宽为xcm，则长为2xcm.2(x+2x)=120解得x=20答：长方形的宽为20cm，长为40cm2×20=40 *培优点利用一元一次方程解决拼接图形问题如图，周长为68的长方形ABCD被分成7个相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为多少？解：设小长方形的宽为x，则长方形ABCD的长为5x，小长方形的长为，则长方形ABCD的宽为+x=.2×5x+2×=68解得x=4答：长方形ABCD的面积为280.5×4=20×4=14×14=280 1．两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4cm和8cm，高分别为39cm和10cm.先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中.倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米?小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有xcm.列方程π×22×(39-x)=π×42×10.解得x=-1.请你对他的结果作出合理的解释.【选自教材P154习题5.3第1题】随堂训练，课堂总结 解：由题意可知，第一个容器的体积为22×39×π=156πcm2第二个容器的体积为42×10×π=160πcm2第二个容器的体积大于第一个容器的体积，因此将第二个容器装满水后再倒入第一个容器中，水会溢出，即方程π×22×（39－x）=π×42×10的解小于0. 2.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100m2，这两块试验田的面积共2900m2，两块试验田的面积分别是多少?解：设第二块试验田的面积是xm2，则第一块试验田的面积是（3x+100）m2根据题意，得x+3x+100=2900解得x=700所以3x+100=2200答：第一块试验田的面积是2200m2，第二块试验田的面积是700m2【选自教材P154习题5.3第3题】 3.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少?解：设正方形的边长为xcm根据题意，得4x=5（x－4）解得x=20所以每一个长条的面积为4×20=80(cm2)答：每一个长条的面积为80cm2.【选自教材P154习题5.3第4题】 4.如图，某种卷筒纸的外直径为14cm，内直径为6cm，每层纸的厚度为0.02cm.假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（π取3.14)?【选自教材P154习题5.3第5题】解：设卷筒纸的宽度为xcm卷筒纸的体积为=40πx卷筒纸的总长度为：40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m)答：卷筒纸的总长度为62.8m 课堂小结利用一元一次方程解决一般几何图形问题一般几何图形问题的大致类别解决方案等体积变形以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解等面积变形以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解等周长变形以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解