2025年春九年级数学下册 期末综合测试卷（北师陕西版）

2025年春九年级数学下册期末综合测试卷（北师陕西版）一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分)1．抛物线y＝－(x＋1)2－1的顶点所在的象限是(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列结论中正确的是(　　)A．sinA＝B．tanB＝C．cosA＝D．tanA＝3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(　　)A.B.C.D.4．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3，C为⊙O上一点，∠ACB＝45°，则AB的长为(　　)A．2B．3C．3D．65．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，点B到地面EF的距离为4m，则房顶A到地面EF的距离为(　　)A．(4＋3sinα)mB．(4＋3tanα)mC.mD.m6．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象可能为(　　)26 7．[2024泰安]如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　　)A．65°B．55°C．50°D．75°8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…－2－112t…y＝ax2＋bx＋c…m343n…下列结论：①abc<0；②抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1；③0和1是方程ax2＋bx＋c－4＝0的两个根；④若t>3，则m>n.其中正确结论的个数是(　　)A．4B．3C．2D．126 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)9．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的表达式为________．10．在△ABC中，已知两锐角∠A，∠B，且cos＝，则△ABC是________三角形．11．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行秦腔演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是12米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是6米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳________名观众同时观看演出．(π取3.14，取1.73)12．若点(m，n)在二次函数y＝－x2＋1的图象上，则m＋n的最大值为________．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且满足∠BAE＝∠CBE，则线段CE长度的最小值为________．三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)[2024西安高新一中期中]计算：(1)cos30°＋tan45°－cos60°＋tan60°；(2)6tan230°－sin60°－2cos45°.26 15.(5分)根据下列条件，分别求二次函数的表达式．(1)已知二次函数的图象的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)；(2)已知二次函数的图象经过点(3，0)，(2，－3)，并以直线x＝0为对称轴．16．(5分)如图，某轮船的轮子被水面截得的弦AB的长为8m，设圆心为O，OC⊥AB于点D交⊙O于点C，轮子的吃水深度CD为2m，求该轮船轮子的直径．26 17．(5分)在“综合与实践”活动课上，某活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度(精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：≈1.73)．18．(5分)[2024常州二模]已知二次函数y＝－x2－4x＋m.(1)若该二次函数的最大值为2m，求m的值；(2)若该二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴有2个交点，求m的取值范围．19．(5分)[2024河南]如图①，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE26 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时(如图②)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．(1)请仅就图②的情形证明∠APB>∠ADB.(2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高(结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73)．20．(5分)[2024北京]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x.(1)当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知M和N是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x226 ≤4，都有y1<y2，求a的取值范围.21.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AD＝，AE＝1，求的长．22．(7分)[2024西安交大附中一模]乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图①是这辆自行车的实物图，如图②是其部分结构的示意图，车架档AC与CD的长分别为42cm，42cm，且它们互相垂直，∠CAB＝76°，AD∥BC，求车链横档AB的长．(结果保留整数．参考数据：sin76°≈0.97，cos26 76°≈0.24，tan76°≈4.01)23.(7分)[2024广东]综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图①所示：①一张直径为10cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中．【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π)26 　24．(8分)[2024西安交大附中六模]已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(1，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点F是该抛物线对称轴上一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△POF是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.25.(8分)[2024盐城]请根据以下素材，完成探究任务．制定加工方案生产背景背景1◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．26 ◆因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.背景2每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.信息整理现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：服装种类加工人数/人每人每天加工量/件平均每件获利/元风y224雅x1正148探究任务任务1探寻变量关系求x、y之间的数量关系.任务2建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式.任务3拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案.26 　　(注：任务1和任务2不必写出自变量的取值范围)26．(10分)【问题提出】(1)如图①，AB为半圆O的直径，点P为上一点，BC切半圆O于点B，若AB＝10，BC＝12，则CP的最小值为________；　【问题探究】(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P为矩形ABCD内一点，连接PB，PC，若矩形ABCD的面积是△PBC面积的3倍，求PB＋PC的最小值；26 　【问题解决】(3)如图③，平面图形ABCDEF为某校园内的一片空地，经测量，AB＝BC＝20m，∠B＝60°，∠BAF＝∠BCD＝150°，DE⊥DC，CD＝20m，所对的圆心角为90°，且所在圆的圆心在AF的延长线上，AF＝10m．某天活动课上，九(1)班的同学准备在这块空地上玩游戏，每名同学在游戏开始前，在BC上选取一点P，在上选取一点Q，并在点P和点Q处各插上一面小旗，从点A出发，先到点P处拔下小旗，再到点Q处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程AP＋PQ应最短，请你求出AP＋PQ的最小值．26 答案一、1.C　2.B　3.D　4.C　5.B　6.A　7.A　8.B二、9.y＝(x－3)2＋5　10.直角　11.265　12.13．8　点拨：∵∠BAE＝∠CBE，∠CBE＋∠ABE＝∠ABC＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°，∴E在以AB的中点为圆心，AB为直径的圆上，设该圆的圆心为O，作⊙O如图．连接OC，交⊙O于E′，易知当E与E′重合时，线段CE的长度最小，最小值为CE′的长．∵AB＝10，∴OB＝OE′＝×10＝5，∵BC＝12，∴OC＝＝13，∴CE′＝OC－OE′＝13－5＝8，∴线段CE长度的最小值为8.三、14.解：(1)cos30°＋tan45°－cos60°＋tan60°＝＋1－＋＝＋.26 (2)6tan230°－sin60°－2cos45°＝6×－×－2×＝6×－－＝2－－＝－.15．解：(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(－1，－8)，∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－8，把(0，－6)代入，得－6＝a－8，解得a＝2，∴二次函数的表达式为y＝2(x＋1)2－8＝2x2＋4x－6.(2)根据题意设二次函数的表达式为y＝a′x2＋c′，把(3，0)与(2，－3)代入，得解得∴二次函数的表达式为y＝x2－.16．解：设⊙O的半径为rm，则OA＝OC＝rm，∵CD＝2m，∴OD＝(r－2)m.∵AB＝8m，OC⊥AB，∴AD＝AB＝4m.在Rt△ODA中，有OA2＝OD2＋AD2，26 即r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5，∴该轮船轮子的直径为5×2＝10(m)．17．解：如图，延长AB交DC于H，则∠AHD＝90°，∵∠BCH＝30°，BC＝6米，∴BH＝BC＝3米，CH＝BC·cos30°＝3米．∵∠ADC＝45°，CD＝4米，∴易得AH＝DH＝CD＋CH＝(4＋3)米，∴AB＝AH－BH＝4＋3－3＝1＋3≈6.2(米)．答：杨树AB的高度约为6.2米．18．解：(1)∵y＝－x2－4x＋m＝－2＋m＋4，∴当x＝－2时，二次函数取得最大值m＋4.∵该二次函数的最大值为2m，∴m＋4＝2m，∴m＝4.(2)把二次函数y＝－2＋m＋4的图象向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新二次函数图象的表达式为y＝－2＋m＋4－4＝－x2＋m，∵新二次函数的图象与x轴有2个交点，且－1<0，26 ∴新二次函数图象的顶点一定在x轴上方，∴m>0.19．(1)证明：如图，设AD与经过A，B两点的圆交于点M，连接BM.则∠AMB＝∠APB.∵∠AMB>∠ADB，∴∠APB>∠ADB.(2)解：在Rt△AHP中，∠APH＝60°，PH＝6m，tan∠APH＝，∴AH＝PH·tan60°＝6×＝6(m)．∵∠APB＝30°，∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝60°－30°＝30°.在Rt△BHP中，tan∠BPH＝，∴BH＝PH·tan30°＝6×＝2(m)．∴AB＝AH－BH＝6－2＝4≈4×1.73≈6.9.答：塑像AB的高约为6.9m.20．解：(1)把a＝1代入y＝ax2－2a2x，得y＝x2－2x＝2－1，∴抛物线的顶点坐标为.26 (2)抛物线的对称轴是直线x＝－＝a.分两种情况：①当a>0时，如图①，此时3a<3，∴a<1，又∵a>0，∴0<a<1.　②当a<0时，如图②，此时－a>4，解得a<－4.综上，a的取值范围是0<a<1或a<－4.21．(1)证明：连接OD，如图．在△OBD和△OBC中，∴△OBD≌△OBC，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，∴OD⊥AB，∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)解：设⊙O的半径为R，则OE＝OD＝R.在Rt△OAD中，AD＝，AO＝AE＋OE＝1＋R，26 OD＝R，AD2＋OD2＝AO2，∴()2＋R2＝(1＋R)2，解得R＝1，∴OD＝1.∴tan∠AOD＝＝，∴∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°.由(1)知△OBD≌△OBC，∴∠BOD＝∠BOC＝∠COD＝60°，∴的长为＝.22．解：如图，过点B作BF⊥AC于F，∵AC＝DC，AC⊥DC，∴∠CAD＝∠CDA＝45°.∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝45°.设AF＝xcm，则CF＝cm，在Rt△ABF中，BF＝AF·tan∠BAF＝AF·tan76°＝x·tan76°cm，在Rt△CBF中，BF＝CF·tan∠BCF＝CF·tan45°＝cm，∴x·tan76°＝42－x，∴x＝，∴AF＝cm，26 在Rt△ABF中，AB＝＝≈35(cm)，∴车链横档AB的长约为35cm.23．解：(1)能．理由如下：如图①所示，△DEF，△ABC分别是滤纸所围成的圆锥形和圆锥形漏斗的主观图．由题意可知DE＝DF＝5cm，AB＝BC＝AC＝7cm.∴△ABC是等边三角形．由实践操作可知，滤纸所围成的圆锥形底面周长是滤纸周长是，即π·EF＝π×10.∴EF＝5cm.∴EF＝DE＝DF.∴△DEF是等边三角形．∴∠D＝∠A.又∵EF<BC，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．　　(2)如图②，过点D作DH⊥EF，垂足为H，则∠DHE＝90°.26 ∴EH＝EF＝cm.在Rt△DEH中，由勾股定理，得DH＝＝(cm)．∴滤纸围成圆锥形的体积为π××＝πcm3.24．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，B，∴解得∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3.(2)存在．∵y＝x2－4x＋3＝2－1＝，∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线x＝2，与x轴的两个交点坐标为，.∵点P是抛物线对称轴右侧的点，∴设P，其中p>2.过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥GP，交GP的延长线于点H，延长HF交y轴于点K.26 第一种情况：当2<p<3时，如图①所示，易知OG＝KH，G，点H的横坐标为p，KF＝2，∴OG＝KH＝p，GP＝－.∵△POF是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴PO＝FP，∠FPO＝90°，∴∠OPG＋∠FPH＝∠FPH＋∠PFH＝90°，∴∠OPG＝∠PFH，又∵∠OGP＝∠PHF＝90°，∴△OPG≌△PFH.∴PG＝FH＝－，∵OG＝HK＝p＝KF＋FH，∴2－＝p，解得p＝，∵2<p<3，∴p＝，∴p2－4p＋3＝2－4×＋3＝，∴P.第二种情况：当p>3时，如图②所示，26 易知OG＝KH，G，点H的横坐标为p，KF＝2，∴OG＝KH＝p，GP＝p2－4p＋3.同第一种情况可得△OPG≌△PFH，∴PG＝FH＝p2－4p＋3，∴KH＝KF＋FH＝2＋＝p，解得p＝，∵p>3，∴p＝，∴p2－4p＋3＝2－4×＋3＝，∴P.综上所述，满足条件的点P的坐标为或.25．解：任务1：∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，共有70名工人，∴加工“正”服装的有名工人．∵“正”服装总件数和“风”服装相等，∴×1＝2y，26 整理得y＝－x＋.任务2：根据题意得“雅”服装每天获利为[100－2(x－10)]x元，∴w＝2y×24＋×48＋[100－2(x－10)]x＝70×48－48x＋120x－2x2＝－2x2＋72x＋3360，∴w关于x的函数表达式为w＝－2x2＋72x＋3360.任务3：由任务2得w＝－2x2＋72x＋3360＝－2(x－18)2＋4008，∵－2<0，∴当x＝18时，获得最大总利润，此时y＝－×18＋＝，不符合题意，∴x不能取18.∵w关于x的函数图象开口向下，对称轴为直线x＝18.∴取x＝17或x＝19，当x＝17时，y＝，不符合题意；当x＝19时，y＝＝17，符合题意，此时70－x－y＝34.综上，使每天总利润最大的加工方案为：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装．26．解：(1)8(2)过点P作PH⊥BC，如图①，26 ∵矩形ABCD的面积是△PBC面积的3倍，AB＝3，BC＝5，∴S△PBC＝×3×5＝5，∴易得PH＝2.过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，则CF＝PH＝2，延长CD至点C′，使C′F＝CF，则点C′为点C关于直线EF的对称点，连接C′P，则CP＝C′P，∴BP＋CP＝BP＋C′P.连接BC′交EF于点P′，易知当点P与点P′重合时，BP＋C′P的值最小，即为BC′的长度．∵C′F＝CF＝2，∴CC′＝CF＋C′F＝4，又∵BC＝5，∴BC′＝＝，即PB＋PC的最小值为.(3)连接AC，作点A关于BC的对称点A′，连接PA′，A′Q，AA′，AA′交BC于H，过A′作A′N⊥ED，分别交ED，AC的延长线于点N，M，分别延长AF，DE交于点O，连接OQ，OA′，OA′交于点Q′，如图②.26 ∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝20m，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°.∵∠BAF＝∠BCD＝150°，DE⊥DC，A′N⊥ED，∴∠CAO＝∠ACD＝∠CDE＝∠CDN＝∠DNM＝90°，∴∠MCD＝90°，△OA′N是直角三角形，∴四边形OACD和四边形CDNM都是矩形，∴∠CMN＝∠AOD＝90°.∴∠A′MA＝90°，∴△AA′M是直角三角形．∵∠AOD＝90°，所对的圆心角为90°，∴点O为所在圆的圆心，则OQ＝OQ′＝OF.∵点A与点A′关于BC对称，∴AP＝A′P，即AP＋PQ＝A′P＋PQ≥A′Q，∴当A′Q取得最小值时，AP＋PQ的值最小．∵A′Q＋OQ≥OA′＝A′Q′＋OQ′，∴A′Q的最小值为A′Q′.∵点A与点A′关于BC对称，26 ∴BC垂直平分AA′，AH＝A′H.∵△ABC为等边三角形，∴点H为BC的中点，∠BAH＝∠CAH＝×60°＝30°.∵AB＝20m，∴AH＝AB·cos30°＝30m，则AA′＝2AH＝60m.∵△AA′M和△OA′N都是直角三角形，四边形OACD和四边形CDNM都是矩形，∴A′M＝AA′＝30m，MN＝CD＝20m，∴A′N＝A′M＋MN＝50m，易得ON＝AM＝A′A·cos30°＝30m，∴OA′＝＝＝20(m)．∵OQ′＝OF＝AO－AF＝CD－AF＝10m，∴A′Q′＝OA′－OQ′＝(20－10)m，即AP＋PQ的最小值为(20－10)m.26