2025年春北师版九年级数学下册 期末章综合测试卷

2025年春北师版九年级数学下册期末章综合测试卷限时:90分钟满分:120分一、选择题(每题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大到原来的5倍，则sinA的值(　　)A．不变B．扩大到原来的5倍C．缩小为原来的D．不能确定2．已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　　)A．图象的对称轴为直线x＝－2B．图象的顶点坐标为(2，3)C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－33．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(　　)A．msin35°B．mcos35°　C．D．4．将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为(　　)A．y＝(x＋1)2－3B．y＝(x＋1)2－2C．y＝(x－1)2－3D．y＝(x－1)2－25．半径为5cm的定圆中，长度为6cm的弦的中点的轨迹是(　　)A．此弦的垂直平分线B．此弦的垂直平分线在圆内部的部分C．以定圆的圆心为圆心，半径为4cm的圆D．以定圆的圆心为圆心，半径为3cm的圆6．[2024泸州]已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　)A．1≤a＜B．0＜a＜C．0＜a＜D．1≤a＜16 7．[2024眉山]如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　)A．B．C．D．8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上，连接CF，DF.若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为(　　)A．38°B．42°C．49°D．58°9．[2024乐山月考]如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AB＝6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是(　　)A．18cm2　B．12cm2　　C．9cm2　D．3cm210．已知二次函数y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是(　　)A．该图象的顶点坐标为(1，－4a)B．该图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)C．若该图象经过点(－2，5)，则一定经过点(4，5)D．当x＞1时，y随x的增大而增大二、填空题(每题3分，共15分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，则cosA＝________．12．[2024泸州二模]已知二次函数y＝－2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是________．13．[2024锦州一模]如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝54°，连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，则∠ACD的度数为________．16 14．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52nmile.若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离AC是________nmile.(用含三角函数的式子表示)15．[2024连云港]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)的顶点为(1，2)．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2＋bx＋c＝0的一个根为3，则a＝－；④抛物线y＝ax2＋2是由抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的．其中一定正确的是________(填序号)．三、解答题(共75分)16．(6分)计算：2cos45°－tan30°cos30°＋sin260°.16 17．(8分)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sinA＝，求菱形ABCD的周长．18．(12分)[2024商丘三模]在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上任意两点．(1)若点A的坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1，求抛物线的表达式；(2)若抛物线经过(1，m)，(3，m)两点，且A，B两点满足当点A的坐标为(0，y1)时，都有y1<y2，求点B的横坐标x2的取值范围．16 19．(10分)某市A，B两镇相距42km，分别从A，B处测得某风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，15km为半径的圆，tanα＝1.673，tanβ＝1.327.为了开发旅游，有关部门要设计修建连接A，B两镇的县级公路．问连接A，B两镇的县级公路是否穿过风景区？请说明理由．16 20．(12分)[2024深圳]如图，在△ABD中，AB＝BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E.(1)求证：DE⊥BE；(2)若AB＝5，BE＝5，求⊙O的半径．16 21．(12分)已知某学校的文化宣传栏如图①，其左视图如图②，栏高EG＝2m，FE＝1m，顶棚圆弧跨度AB＝1.2m，弓形高HG＝0.2m.(1)求顶棚圆弧所在圆的半径；(2)已知文化宣传栏的长度是10m，求顶棚铁皮面积(结果保留π)；(3)若大雨天的雨水与地面的倾斜角为60°，试判断雨水是否会淋湿宣传版面MNGF，请说明理由．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.732)22．(15分)如图，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点E16 在线段AB上，且BE＝AB.以B为顶点的抛物线记为C1：y1＝－x2＋n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2＝ax2＋bx＋c，与y轴交于点P，OP＝.(1)求抛物线C1和C2的表达式，并判断抛物线C1是否会经过点E；(2)若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；(3)在(2)的x的取值范围内，设新的函数y3＝y1－y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值？求出这个最大值，并直接写出y3的取值范围．16 答案一、1．A　2．C　3．A　4．A5．C【点拨】如图，定圆⊙O的半径为5cm，弦AB长6cm，C是弦AB的中点，连接OA，OC.由垂径定理的推论知OC⊥AB，在Rt△OAC中，AC＝AB＝3cm，OA＝5cm，由勾股定理得OC＝＝4cm，∴C点的轨迹是以O为圆心，OC长(即4cm)为半径的圆．6．A【点拨】∵二次函数的图象经过第一、二、四象限，∴a>0，a－1≥0，(2a－3)2－4a(a－1)＞0，解得1≤a＜.∴a的取值范围为1≤a＜.7．A【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6.∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，∴AF＝AD＝8，EF＝DE.∴BF＝＝＝2.∴CF＝BC－BF＝8－2.在Rt△EFC中，CE＝DC－DE＝6－EF，由勾股定理得EF2＝CE2＋CF2，∴EF2＝(6－EF)2＋(8－2)2.∴EF＝.∴CE＝6－＝.∴cos∠CEF＝＝＝.8．C【点拨】如图，连接OE，OD，CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝(5－2)×180°÷5＝108°.∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE－∠CDF＝108°－95°＝13°.16 ∴∠FCE＝13°.∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°.∴∠ECD＝∠EOD＝36°.∴∠FCD＝∠FCE＋∠ECD＝13°＋36°＝49°.9．C【点拨】设经过ts后，△PBQ的面积为Scm2，由题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝(6－t)cm.则S＝×2t×(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9.∵点P：0<t<6，点Q：0<t≤4，∴当t＝3时，S有最大值为9，即△PBQ的最大面积为9cm2.10．D【点拨】y＝ax2－2ax－3a＝a(x2－2x－3)＝a(x－3)(x＋1)．令y＝0，则x＝3或x＝－1，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)，故B成立；易知该图象的对称轴为直线x＝1，将x＝1代入y＝ax2－2ax－3a，得y＝a－2a－3a＝－4a，∴顶点坐标为(1，－4a)，故A成立；∵点(－2，5)与(4，5)关于直线x＝1对称，∴若该图象经过点(－2，5)，则一定经过点(4，5)，故C成立；当x＞1，a＞0时，y随x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随x的增大而减小，故D不一定成立．二、11．　12．x＜－113．27°　14．52×cos64°15．②③【点拨】∵顶点为(1，2)，∴a＋b＋c＝2，－＝1.∴b＝－2a.∴c＝2－a－b＝2－a－(－2a)＝2＋a.∵a<0，∴b>0，c无法判断，故①错误；∵16 a＜0，∴抛物线开口向下．由题易知抛物线的对称轴为直线x＝1，∵a<0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；∵b＝－2a，c＝2＋a，∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－2ax＋2＋a＝0.∵ax2＋bx＋c＝0的一个根为3，即ax2－2ax＋2＋a＝0的一个根为3，∴9a－6a＋2＋a＝0，∴a＝－，故③正确；∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x－1)2＋2，∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到抛物线y＝a(x－1＋1)2＋2－2＝ax2，故④错误．三、16.【解】原式＝2×－××＋()2＝－＋＝.17．【解】∵DE⊥AB，∴△ADE是直角三角形．∴sinA＝＝.∵DE＝6，∴AD＝10.又∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的周长＝10×4＝40.18．【解】(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c上的点A的坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1，∴点A(1，－4)为抛物线的顶点．∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.(2)∵抛物线经过(1，m)，(3，m)两点，∴抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝＝2.∴(0，y1)关于抛物线对称轴(直线x＝2)的对称点为(4，y1)．易知抛物线开口向上．16 ∴当x>2时，y随x的增大而增大，当x<2时，y随x的增大而减小，且离对称轴越远函数值越大．如图，∴当y1<y2时，x2>4或x2<0.19．【解】连接A，B两镇的县级公路穿过风景区．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB.∴CD＝＝＝14(km)．∵14km＜15km，∴连接A，B两镇的县级公路穿过风景区．20．(1)【证明】连接BO并延长交AD于点H，如图．∵AB＝BD，OA＝OD，∴BH垂直平分AD，∴∠BHD＝90°.∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE.∴∠OBE＝90°.16 ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴四边形BEDH为矩形，∴∠E＝90°.∴BE⊥DE.(2)【解】∵BH垂直平分AD，∴AH＝DH＝AD.∵四边形BEDH为矩形，∴DH＝BE＝5.在Rt△BDH中，∵BD＝AB＝5，DH＝5，∴BH＝＝5.连接OD，如图，设⊙O的半径为r，则OH＝5－r，OD＝r，∴在Rt△ODH中，有(5－r)2＋52＝r2，解得r＝3，即⊙O的半径为3.21．【解】(1)设顶棚圆弧所在圆的半径为Rm，圆心为O，连接OA，如图，根据题意可知GE⊥AB，则AG＝0.6m，OG＝(R－0.2)m，在Rt△AGO中，(R－0.2)2＋0.62＝R2，解得R＝1.∴顶棚圆弧所在圆的半径为1m.(2)连接OB，如图，由(1)可知OG＝1－0.2＝0.8(m)．在Rt△AGO中，tan∠AOG＝＝＝0.75，∴∠AOG≈37°.∴易得∠AOB≈74°.∴l＝≈＝(m)．∴顶棚铁皮面积≈×10＝(m2)．(3)雨水不会淋湿宣传版面MNGF.理由如下：如图，由大雨天的雨水与地面的倾斜角为60°，可知∠KBG＝60°，∴tan∠KBG＝＝＝，16 ∴KG＝0.6×≈1.04(m)．∵宣传版面高GF＝2－1＝1(m)<1.04m，∴雨水不会淋湿宣传版面MNGF.22．【解】(1)∵直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(3，0)，B(0，3)．∵抛物线C1：y1＝－x2＋n以点B(0，3)为顶点，∴n＝3.∴抛物线C1的表达式为y1＝－x2＋3；如图，作直线EF⊥x轴于点F，则EF∥OB.∵A(3，0)，∴OA＝3.∵BE＝AB，∴＝＝，∴OF＝OA＝×3＝1.∴F(1，0)．∴E(1，2)．16 抛物线C1：y1＝－x2＋3，当x＝1时，y＝2，∴抛物线C1经过点E.∵抛物线C2：y2＝ax2＋bx＋c以点E(1，2)为顶点，∴抛物线C2：y2＝a(x－1)2＋2.∵OP＝，∴P.∵抛物线C2：y2＝a(x－1)2＋2经过点P(0，)，∴a＋2＝，解得a＝.∴抛物线C2的表达式为y2＝(x－1)2＋2，即y2＝x2－x＋.(2)x的取值范围是0＜x＜1.(3)由(1)得y1＝－x2＋3，y2＝x2－x＋，∴y3＝y1－y2＝(－x2＋3)－(x2－x＋)＝－x2＋x＋.∵y3＝－x2＋x＋＝－(x－)2＋，且－＜0，0＜＜1，∴当x＝时，y3有最大值，最大值为.∵0＜x＜1，∴当0＜x＜时，y随x的增大而增大；当＜x＜1时，y随x的增大而减小，若x＝0，则y3＝；若x＝1，则y3＝0，且0＜，∴当0＜x＜1时，0＜y3≤.16 16