2025年春九年级数学下册 期末综合测试卷（沪科安徽版）

2025年春九年级数学下册期末综合测试卷（沪科安徽版）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)2.文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是(　　)23,3．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D＝(　　)A．80°B．50°C．40°D．20°4．从，3.14，，－中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是(　　)A.B.C.D．15．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为(　　)A．25B．25C.D.6.A、B、C23,三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成△ABC，在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的(　　)A．三边垂直平分线的交点处B．三边中线的交点处C．三条角平分线的交点处D．三边高的交点处7．如图，点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，4)，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为(　　)A.B.C.D.8．如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，以小正方形的顶点为圆心，2为半径做了一个扇形，用该扇形围成一个圆锥的侧面，针对此做法，小明和小亮通过计算得出以下结论：小明说此圆锥的侧面积为π；小亮说此圆锥的底面周长为π，下列判断正确的是(　　)A．只有小亮对B．只有小明对C．两人都对D．两人都不对23,9.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆的面积，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.若圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形的面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3.如图，若用半径为1的圆的内接正八边形的面积作近似估计，可得π的估计值为(　　)A.B．2C．2D.10．如图，已知直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是(　　)A．8B．12C.D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)23,11．青年创意田园里的小火车共有3节车厢，且从任意一节车厢上车的机会均等，研学游期间团小瑶、团小海两位同学同时乘坐同一列小火车，则这两位同学从同一节车厢上车的概率是__________．12．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC等于________．13．如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为________．14．2024·河南如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD＝1，则AE的最大值为________，最小值为________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图所示为一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)求该几何体侧面展开图的面积．23,16．一个不透明的盒子里有3个相同的小球，将3个小球分别标上号码1、2、3，每次从盒子里随机取出1个小球且取后放回，预计取球10次．规定每次取球时，取出的球上的号码即为得分，前8次的取球得分情况如下表所示：次数12345678910得分21122323(1)设第1次至第8次取球得分的平均数为n，求n的值；(2)求事件“第9次和第10次取球得分的平均数等于n”发生的概率．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)23,17.玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分(边)，“好”指中央的孔．结合图①“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d＝2h.图②是一枚破损的汉代玉环，为修复原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图③，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧AB所对的弦AB＝12cm，半径OC⊥AB于点D，测得CD＝3cm，连接OB，求该玉环中孔半径的长．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，2)，B(－1，4)，C(－4，5)，请解答下列问题：(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(1，0)，作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；(3)若将△A1B1C1绕某一点P旋转也可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心点P的坐标．23,五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动．有A、B两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有1，3，5；B组卡片上分别写有－3，－2，－1.每张卡片除正面写有的数字不同外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张，将上面所写的数字记为x，乙从B组中随机抽取一张，将上面所写的数字记为y.(1)若甲抽出的数字是1，乙抽出的数字是－3，它们恰好是x－my＝7的解，求m的值；(2)在(1)的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程x－my＝7的解的概率．23,20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA交BC于点D.(1)求证：∠OAC与∠B互余；(2)若AD＝6，BD＝10，CD＝8，求⊙O的半径．六、(本题满分12分)21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O交BC于点E，连接DE.(1)当⊙O的半径为时，⊙O与直线AD的位置关系是怎样的？请说明理由；(2)若DE是⊙O的切线，请求出线段DE的长．23,七、(本题满分12分)22．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，统计发现各班参加夏令营的学生人数有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况，并将其制成了如图所示的两幅不完整的统计图：(1)该校一共有________个班，在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级数所对应的扇形圆心角的度数是________；(2)请将条形统计图补充完整；(3)为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率．23,八、(本题满分14分)23．如图①，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，点E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，连接AE，EP，EA＝EP.(1)求证：△PAE是等腰直角三角形；(2)如图②，连接DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由；(3)若DE＝4，当点P是BC的三等分点时，求BC的长．23,答案一、1.C　【点拨】A.是轴对称图形，不是中心对称图形；B.是轴对称图形，不是中心对称图形；C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C.2.C3.B　【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝40°，∴∠B＝50°.∴∠D＝∠B＝50°.故选B.4.A　【点拨】从，3.14，，－中随机抽取一个数共有4种等可能的结果，抽到无理数的结果只有这1种，所以此数是无理数的概率是.故选A.5.D　【点拨】连接OC，∵C是的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴S四边形AOBC＝2××52＝．故选D.【点方法】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，利用等边三角形的面积公式即可解决问题．6.A　【点拨】为使游戏公平，应使凳子到三名同学的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，凳子应放在三边垂直平分线的交点处．故选A.23,7.B　【点拨】如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T.∵点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，4)，∴AT＝2，OT＝1，OB＝4，∴OA＝＝，∴OA′＝OA＝，由题易知S△OA′B′＝S△OAB＝×4×2＝4，∴OA′·B′H＝4，∴B′H＝＝，∴点B′到x轴的距离为．故选B.8.A　【点拨】如图，由题意知，OB＝2，OA＝1，∠OAB＝90°，∵cos∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，∴该扇形的圆心角为60°＋90°＝150°，∴S扇形＝＝π，l扇形＝＝π，∴圆锥的侧面积为π，圆锥的底面周长为π，∴小明不对，小亮对．故选A.9.B　【点拨】如图，过点A作AC⊥OB于点C，23,∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，∴∠AOB＝45°，OA＝1，∴AC＝，∴△AOB的面积为×1×＝)，∴正八边形的面积为8×＝2，∴π的估计值为2．故选B.【点方法】作AC⊥OB于点C，利用等腰直角三角形的性质求出△AOB的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题．10.C　【点拨】过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴易得A点的坐标为(4，0)，B点的坐标为(0，－3)，∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得AB＝5.∵C(0，1)，∴BC＝4.由三角形面积公式得S△ABC＝AB·CM＝BC·OA，23,∴5CM＝16，∴CM＝，∴⊙C上点到直线y＝x－3的最大距离是1＋＝，∴△PAB面积的最大值是×5×＝.【点技巧】本题考查线圆最值问题，当动点P、圆心C和垂足M三点共线时，点P到直线的距离取得最大值或最小值.)二、11.　【点拨】3节车厢用A、B、C表示，根据题意画树状图如图：所有等可能的情况有9种，其中两位同学从同一节车厢上车的情况有3种，∴P＝＝.故答案为.12.120°　【点拨】如图，设点O关于直线AC的对称点是Q，连接AQ，OQ，OQ交AC于点M，则AC垂直平分OQ，∴AQ＝AO，OM⊥AC.又∵OQ＝OA，23,∴OQ＝AQ＝OA，∴△AQO是等边三角形，∴∠AOQ＝60°，∵OM⊥AC，OA＝OC，∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，∴AOC＝60°＋60°＝120°.13.3cm　【点拨】设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2π·r＝，解得r＝6，所以这个圆锥的高为＝3(cm)．14.2＋1；2－1　【点拨】∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴点E是在以AB为直径的圆上运动．∵CD绕点C旋转，且CD＝1，∴点D是在以C为圆心，1为半径的圆上运动．由题易得AB＝AC＝3，AE＝AB·cos∠BAE，∴当cos∠BAE最大时，AE最大；当cos∠BAE最小时，AE最小．①如图①，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC内部时，∠BAE最小，∴cos∠BAE最大，∴AE最大，连接CE.∵AE与⊙C相切于点D，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，∴AD＝＝2.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB＝45°.∵＝，∴∠CEA＝∠CBA＝45°，∴DE＝CD＝1，此时AE＝2＋1，即AE的最大值为2＋1.23,②如图②，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC外部时，∠BAE最大，∴cos∠BAE最小，∴AE最小，连接CE.同理可得AD＝2，DE＝1，此时AE＝2－1，即AE的最小值为2－1.三、15.【解】(1)这个几何体的名称为圆锥．(2)底面周长为π×8＝8π(cm)，母线长为＝4(cm)，∴该几何体侧面展开图的面积为×4×8π＝16π(cm2)．16.【解】(1)n＝(2＋1＋1＋2＋2＋3＋2＋3)÷8＝2.(2)第9次和第10次取球得分的平均数等于n也就是两次取出的球上的数的和为4，用列表法列出所有可能出现的情况如下：23,第9次123第10次1(1，1)(2，1)(3，1)2(1，2)(2，2)(3，2)3(1，3)(2，3)(3，3)共有9种等可能的情况，其中和为4的有3种，∴P(两数和为4)＝＝，∴事件“第9次和第10次取球得分的平均数等于n”发生的概率为.四、17.【解】∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝×12＝6(cm)．设OB＝OC＝rcm，在Rt△ODB中，由勾股定理得，OB2＝OD2＋BD2，∴r2＝(r－3)2＋62，∴r＝7.5.∴由题意得该玉环中孔半径的长为×7.5＝3.75(cm)．18.【解】(1)△A1B1C1如图所示．点A1(3，－3)，点B1(4，－1)．(2)△A2B2C2如图所示．(3)P(5，0)．　【点拨】如图，点P即为所求的旋转中心，∴旋转中心点P的坐标为(5，0)．23,【点方法】由旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即点P是A1A2、B1B2、C1C2这三条线段的垂直平分线的交点．)五、19.【解】(1)∵x＝1，y＝－3是x－my＝7的解，∴1－(－3m)＝7，∴m＝2.(2)列表如下：乙－3－2－1甲1(1，－3)(1，－2)(1，－1)3(3，－3)(3，－2)(3，－1)5(5，－3)(5，－2)(5，－1)共有9种等可能的情况，其中是方程x－2y＝7的解的有(1，－3)，(3，－2)，(5，－1)，共3种，∴甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程x－my＝7的解的概率为＝.20.(1)【证明】如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE，∵AE是圆的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠OAC＋∠E＝90°，∵∠B＝∠E，∴∠OAC＋∠B＝90°，即∠OAC与∠B互余．(2)【解】∵∠B＝∠E，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴＝，即＝，23,∴DE＝，∴AE＝＋6＝，∴⊙O的半径为×＝.六、21.【解】(1)⊙O与直线AD相切．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴在Rt△ADB中，BD＝＝10.∵⊙O的半径为，∴BO＝，∴DO＝BD－BO＝.如图，过点O作OF⊥AD于点F，∴OF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴＝，即＝，∴OF＝.∵⊙O的半径为，∴⊙O与直线AD相切．(2)如图，连接OE，23,∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，∴∠OEB＋∠DEC＝90°，在矩形ABCD中，∵∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6，∴∠DEC＋∠EDC＝90°，∴∠OEB＝∠EDC.∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠DBC，∴∠EDC＝∠DBC，∴cos∠EDC＝＝cos∠DBC＝，∴＝，∴DE＝.七、22.【解】(1)20；90°　【点拨】该校一共有的班级数为6÷30%＝20(个)，在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级数所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝90°.(2)参加夏令营的学生人数为2名的班级数为20－5－6－5－2＝2(个)，将条形统计图补充完整如图．(3)把参加夏令营的学生人数为2名的其中一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，画树状图如图：23,共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，∴所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为＝.八、23.(1)【证明】∵点E在△ABP的外接圆上，∴四边形ABPE内接于圆，∴∠AEP＋∠B＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴∠AEP＝90°，又∵EA＝EP，∴△PAE是等腰直角三角形．(2)【解】DE＝PF.理由如下：如图，延长FE交AD于点H，∵EF⊥BC，BC∥AD，∴EH⊥AD，∴∠AHE＝∠EFP＝90°，∴∠EAH＋∠AEH＝90°.∵∠AEP＝90°，∴∠PEF＋∠AEH＝90°，∴∠EAH＝∠PEF，又∵EA＝EP，∴△EAH≌△PEF，∴AH＝EF，EH＝PF.∵AD＝DC＝HF，∴AH＋HD＝EF＋HE，∴HD＝HE＝PF，∴DE＝HE＝PF.(3)【解】由(2)知DE＝PF.∵DE＝4，∴PF＝2．23,∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠HDC＝90°，∵EH⊥AD，∴∠EHD＝∠C＝∠HDC＝90°，∴四边形HDCF是矩形，∴FC＝HD＝PF＝2，∴PC＝PF＋FC＝4．∵点P是BC的三等分点，∴BC＝3PC＝12或BC＝PC＝6．【点方法】本题为考查圆的综合题，同时也考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解答本题需要我们熟练运用各部分的知识，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.23