2025年春人教版九年级数学下册 期末综合测试卷

2025年春人教版九年级数学下册期末综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．[2024湖南]如图，该纸杯的主视图是(　　)　2．[2024安徽]已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．33．如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是(　　)A．变大B．变小C．不变D．不能确定4．[2024河北一模]如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是(　　)A．点CB．点FC．点ED．点G5．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，sinB＝，则菱形的周长是(　　)20,A．10B．20C．40D．286．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为(　　)A．2mB．4mC．6mD．8m7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝7，tanB＝，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，若AB′平分∠BAC，则B′C的长为(　　)A.B.C.D.8．[2024郑州期末]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过Rt△ABC的顶点A，B，∠ACB＝90°，AC∥x轴，延长CA交y轴于点D.若AC＝2，BC＝3，DA＝1，则k的值是(　　)A．1B.C．3D.10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C20,为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是(　　)A．∠BAD＝72°B．BD＝2AEC.＝D．CA2＝CD·CB二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．若点A(－1，2)，B(4，m)，C(1，n)都在同一个反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m________n．(填“＞”“＝”或“＜”)12．将一个棱长为6cm的正方体的一个角剪去一个棱长为3cm的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为________cm2.13．[2024广州一模]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40cm，则高AD为________cm.(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)14．[2024北京西城区月考]如图，有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝25cm，BC＝54cm，CD＝30cm，且tanB＝tanC＝.木匠徐师傅要从这块余料中裁出一个矩形PQMN，其中顶点M，N在边BC20,上，要使木板余料的利用率最大，则MN的长度为________．15．如图，▱ABCD中，AC＝2AB，对角线AC，BD交于点O.M，N分别是OA，OD的中点，过点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，MF，MN.下列四个结论：①EO＝CD；②AF＝EF；③S△MON＝S△MOF；④FM⊥BD.其中正确的结论是________(填写序号)．三、解答题(共75分)16．(8分)已知函数y＝y1＋y2且y1与x成反比例函数，y2与(x－2)成正比例函数，当x＝1时，y＝－1，当x＝3时，y＝5.求当x＝5时，y的值．17．(10分)如图是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)根据图中所示数据计算这个几何体的表面积(结果保留π)．20,18．(10分)如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上．(1)请在y轴的右侧画出△A1B1C1，使其与△ABC关于点O成位似图形，且相似比为2：1；(2)在(1)的条件下，点A1的坐标为________．19．(10分)[2024南京模拟]如图，在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM.(1)请用尺规作图，在线段AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；(不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若AB＝2，求DP的长．20,20．(12分)[2024乐山]如图，已知点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C(0，1)．(1)求m，n的值和一次函数的解析式；(2)连接AB，求点C到线段AB的距离．21．(12分)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程【模型抽象】某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：【测绘过程与数据信息】①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；20,②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4m；③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40.请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：(1)求线段CE和BC的长度；(2)求底面矩形ABCD的面积．22．(13分)在△ABC中，点P在最长边AC上，点Q在射线AB上，连接BP，PQ，若△AQP∽△BCP，则称点P，Q为AC，AB边上的一对“相似点”．初步运用(1)如图①，在△ABC中，点P，Q为AC，AB边上的一对“相似点”，证明：△APQ∽△ABC；(2)如图①，在△ABC中，点P，Q为AC，AB边上的一对“相似点”，若AP＝BC，求的值；20,拓展提升(3)如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝12，AC＝18，在线段AC上找出一点P，在射线AB找出一点Q，使点P，Q为AC，AB边上的一对“相似点”．画出图形并求PQ和BQ的长．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20,答案一、1.A　2.A　3.B　4.D5．C【点拨】∵在Rt△ABE中，sinB＝＝，∴设AE＝4x，则AB＝5x.∴BE＝3x.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5x.∴CE＝2x.又∵CE＝4，∴2x＝4.∴x＝2.∴AB＝10.∴菱形的周长＝10×4＝40.6．B【点拨】如图，根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m.∴∠E＋∠F＝90°.∵CD⊥EF，∴∠EDC＝∠FDC＝90°.∴∠E＋∠ECD＝90°.∴∠ECD＝∠F.∴△EDC∽△CDF.∴＝，即＝.∴CD＝4m.7．B【点拨】由平移得AB∥A′B′，∴∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C.∵tanB＝，∴tan∠EB′C＝tanB＝.20,∴在Rt△B′EC中，tan∠EB′C＝＝.∴设EC＝4x，则B′E＝3x.∴B′C＝＝＝5x.∵AB′平分∠BAC，∴∠BAB′＝∠B′AC.∴∠AB′E＝∠B′AC.∴AE＝EB′＝3x.在Rt△ABC中，AB＝7，∴tanB＝＝＝，解得x＝.∴B′C＝5x＝.8．B【点拨】①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ACB∽△ADE，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意；③＝，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD·BC＝DE·AC可得＝，此时不确定∠ADE是否等于∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意．故选B.9．D【点拨】由题意设B(3，n)，则A(1，3＋n)．∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过Rt△ABC的顶点A，B，∴k＝3n＝1×(3＋n)．∴n＝.∴k＝.10．C【点拨】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，20,∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝(180°－108°)＝36°.由作图可知，MN为AC的垂直平分线，∴AD＝CD.∴∠DAC＝∠C＝36°.∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝108°－36°＝72°.∴选项A正确，不符合题意．∵MN为AC的垂直平分线，∴AC＝2AE.∵AB＝AC，∴AB＝2AE.∵∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BDA＝∠DAC＋∠C＝72°.∵∠BAD＝72°，∴∠BAD＝∠BDA.∴AB＝BD.∴BD＝2AE.∴选项B正确，不符合题意．设CD＝x，CB＝a(x＜a)，则BD＝CB－CD＝a－x，∴AC＝AB＝BD＝a－x.∵∠B＝180°－∠BAD－∠BDA＝36°，∠DAC＝36°，∴∠DAC＝∠B.又∵∠DCA＝∠ACB，∴△CDA∽△CAB.∴CD：CA＝CA：CB，即x：(a－x)＝(a－x)：a，解得x1＝a，x2＝a(不符合题意，舍去)．∴x＝a.∴＝，即＝.∴选项C不正确，符合题意．∵CD：CA＝CA：CB，∴CA2＝CD·CB.∴选项D正确，不符合题意．故选C.20,二、11.＞【点拨】∵点A(－1，2)，B(4，m)，C(1，n)都在同一个反比例函数的图象上，∴(－1)×2＝4m＝n，解得m＝－，n＝－2.∵－2＜－，∴m＞n.12．3613．10.2【点拨】∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝40cm，∴BD＝BC＝20cm.在Rt△ABD中，∠ABC＝27°，∴AD＝BD·tan27°≈20×0.51＝10.2(cm)．14．27cm【点拨】如图，延长BA，CD交于点E，在AB上取点Q，过点Q作QP∥BC，过点E作EH⊥BC于点H，交PQ于点F，分别过Q，P作QM⊥BC，PN⊥BC，交BC于M，N，则四边形PQMN为矩形．∵tanB＝tanC，∴∠B＝∠C.∴EB＝EC.又∵BC＝54cm，且EH⊥BC，20,∴BH＝CH＝BC＝27cm.∵在Rt△EBH中，tanB＝＝，∴EH＝36cm.设PN＝xcm，矩形PQMN的面积为Scm2，则易得EF＝(36－x)cm.∵PQ∥BC，∴△EQP∽△EBC.∴＝，即＝.∴QP＝(54－1.5x)cm.∴S＝PN·PQ＝x(54－1.5x)＝－x2＋54x＝－(x－18)2＋486.∵－＜0，∴当x＝18时，矩形面积最大，此时MN＝QP＝27cm.15．①③④【点拨】如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CO＝AO＝AC，AB＝CD.∴∠1＝∠2.∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)．∴EO＝FO＝EF.20,∵AC＝2AB，即AB＝AC，∴AB＝AO.∴∠3＝∠4.∵EF∥AB，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∠3＝∠5.∴EF＝AB，∠4＝∠5.∴EF＝CD.∴EO＝CD.故结论①正确；由前面知FO＝EF＝AB＝AO.∵M是OA的中点，∴MO＝AO.∴FO＝MO.根据等腰三角形“三线合一”可知FM⊥BD，故结论④正确；如图，过点B作BP∥AC，与EF的延长线交于点P，则四边形ABPO是平行四边形，∠2＝∠6.∴BP＝AO＝CO.∵∠BFP＝∠CFO，∴△BPF≌△COF(AAS)．∴BF＝CF.∴F是BC的中点．同理点E也是AD的中点．如图，连接ME，NE，根据中位线定理和平行四边形的性质可知，S△MON＝S△OAD＝×S▱ABCD＝S▱ABCD，20,设△MOF的边MO上的高为h，则S△MOF＝MO·h＝×AO·h＝××AC·h＝S△ACF＝×S△ABC＝××S▱ABCD＝S▱ABCD，∴S△MON＝S△MOF，故结论③正确；如果AF＝EF，那么AF＝AB＝AO＝AC，题中没有给出相应的条件，故结论②不正确．故答案为①③④.三、16.【解】设y1＝，y2＝k2(x－2)．根据题意得y＝＋k2(x－2)，把x＝1，y＝－1，x＝3，y＝5分别代入得解得∴y＝＋4x－8.∴当x＝5时，y＝＋4×5－8＝.17．【解】(1)由三视图得这个几何体为圆锥．(2)圆锥的表面积＝π×(4÷2)2＋π×(4÷2)×6＝16π(cm2)．18．【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．20,(2)(2，4)19．【解】(1)如图，点P即为所求．(2)如图．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝2.∵M是BC边的中点，∴BM＝BC＝1.∴AM＝＝＝.∵△DPA∽△ABM，∴＝.∴＝.∴PD＝.20,20．【解】(1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴m＝3，n＝3.∵一次函数y＝kx＋b过点A(1，3)，C(0，1)，∴代入，得解得∴一次函数的解析式为y＝2x＋1.(2)如图，连接BC.过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，垂足为点E.∵C(0，1)，B(3，1)，∴BC∥x轴，BC＝3.∵A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC，∴易得D(1，1)，AD＝2，DB＝2.∴在Rt△ADB中，AB＝＝＝2.又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，即×3×2＝×2×CE，∴CE＝，即点C到线段AB的距离为.20,21．【解】(1)∵GH⊥CE，EF的长为4m，∠CFG＝60.3°，∴tan∠CFE＝tan60.3°＝≈1.75.∴CE≈7m.∵∠BFG＝45°，∠BEF＝90°，∴∠EBF＝45°＝∠BFG.∴BE＝EF＝4m.∴CB＝CE－BE≈3m.(2)过点A作AM⊥GH于点M，如图所示．易得四边形AMEB为矩形，∴AM＝BE＝4m，AB＝ME.∵∠AFG＝21.8°，∴tan∠AFG＝tan21.8°＝≈0.40.∴MF≈10m.∴AB＝ME≈10－4＝6(m)．∴底面矩形ABCD的面积约为3×6＝18(m2)．22．(1)【证明】易知△AQP∽△BCP，∴∠AQP＝∠ACB.20,又∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABC.(2)【解】易知△AQP∽△BCP，∴∠CBP＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△BPC∽△ABC.∴＝.设CP＝x，AP＝BC＝y.∴＝，解得x＝y(负值已舍去)．∴＝＝.(3)【解】如图，过点B作∠CBP＝∠A，使BP交AC于点P；过点P作∠APQ＝∠BPC，使PQ交AB的延长线于点Q.易知△AQP∽△BCP∽△ACB，∴∠Q＝∠C，＝，＝，即＝，＝.∴CP＝8，AQ＝15.20,∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∴∠A＝∠Q.∴PQ＝PA＝AC－CP＝18－8＝10，BQ＝AQ－AB＝15－12＝3.20