2025届高三一轮复习 第五章　机械能守恒定律第1讲　功和功率练习

【知识网络】第1讲　功和功率素养目标　1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小。2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算。3.会分析、解决机车启动的两类问题。一、功1.定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。2.必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移。3.计算公式(1)恒力F的方向与位移l的方向一致时：W＝Fl。(2)恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时：W＝Flcos__α。4.功的正负,(1)当0≤α＜时，W＞0，这表示力对物体做正功。(2)当＜α≤π时，W＜0，这表示力对物体做负功。(3)当α＝时，W＝0，力对物体不做功。二、功率1.定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。2.物理意义：描述力对物体做功的快慢。3.公式(1)P＝，P为时间t内的平均功率。(2)P＝Fv①v为平均速度，则P为平均功率。②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。基础自测1.(2023·广东深圳中学月考)如图1所示，自动卸货车始终静止在水平地面上，车厢在液压机的作用下，θ角逐渐增大且货物相对车厢静止的过程中，下列说法中正确的是(　　)图1A.货物受到的支持力对货物不做功B.货物受到的支持力对货物做正功C.货物受到的重力对货物不做功D.货物受到的摩擦力对货物做负功答案　B解析　货物受到的支持力的方向与运动方向时刻相同，做正功，故A错误，B,正确；摩擦力的方向与其运动方向时刻垂直，不做功，故D错误；货物位置升高，重力做负功，C错误。2.高铁在高速行驶时，受到的阻力Ff与速度v的关系为Ff＝kv2(k为常量)。若某高铁以160km/h的速度匀速行驶时机车的输出功率为P，则该高铁以320km/h的速度匀速行驶时机车的输出功率为(　　)A.8PB.4PC.2PD.P答案　A解析　设机车牵引力为F，由平衡条件F1＝f1＝kv，机车输出功率P＝F1v1＝kv，同理以速度v2匀速行驶时，机车输出功率P′＝kv，所以＝＝＝＝8，即P′＝8P，故A正确，B、C、D错误。考点一　恒力功的分析和计算1.功的正负的判断(1)判断力做功与否以及做功正负的方法判断依据适用情况根据力与位移的方向的夹角判断常用于恒力做功的判断根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0°≤α<90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°<α≤180°，力做负功常用于质点做曲线运动时做功的判断(2)一对作用力和反作用力的功做功情形图例备注都做正功(1)一对相互作用力做的总功与参考系无关(2)一对相互作用力做的总功W＝Flcosα。l是相对位移，α是F与l间的夹角(3)一对相互作用力做的总功可正、可负，也可为零都做负功一正一负一为正,一为零一为负2.恒力功的计算方法3.总功的计算方法方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcosα求功，此法要求F合为恒力。方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”号再求和。考向　做功与否及正、负功的判断例1如图2所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法不正确的是(　　)图2A.摩擦力对物体做正功B.摩擦力对物体做负功C.支持力对物体不做功D.合外力对物体做功为零答案　B解析　取物体为研究对象，受力分析如图所示，受重力mg、沿皮带向上的静摩擦力Ff和垂直于皮带的支持力FN，由于Ff方向与运动方向一致，做正功，A正确，B错误；FN方向与运动方向垂直，不做功，C正确；由于匀速运动，合外力为0，做功为0，D正确。,考向　恒力功的计算例2如图3所示，倾角为θ的斜劈放在水平面上，斜劈上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的质量为m的小球，当整个装置沿水平面以速度v向左匀速运动时间t时，以下说法不正确的是(　　)图3A.小球的重力做功为零B.斜劈对小球的弹力做功为C.挡板对小球的弹力做负功D.合力对小球做功为零答案　B解析　小球的重力与速度方向始终垂直，不做功，A正确；由于小球做匀速直线运动，对小球受力分析如图所示，可求得斜劈对小球的弹力为FN＝，做功为WFN＝FNsinθ·vt＝mgvt·tanθ，B错误；挡板的弹力为F＝mgtanθ，做功为WF＝－Fvt＝－mgvt·tanθ，C正确；小球受到的合力为零，则合力对小球做功为零，D正确。考点二　变力做功的四种计算方法考向　利用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段(如图4)，因每一小段很小，每一小段上作,用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。图4例3(2022·浙江舟山期中)在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成(如图5所示)，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为(　　)图5A.0B.FRC.πFRD.2πFR答案　C解析　虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR＋，则拉力做的功为πFR，故C正确。考向　利用平均力求变力做功当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝lcosα求此变力所做的功(如图6)。,图6例4如图7所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为(　　)图7A.μMglB.μMglC.μMglD.2μMgl答案　A解析　总质量为M的小方块在进入粗糙水平面的过程中，滑动摩擦力由零开始均匀增大，当小方块全部进入粗糙水平面时摩擦力达到最大值μMg，总位移大小为l，平均摩擦力为f＝μMg，由功的计算公式可得Wf＝－μMgl，所以小方块克服摩擦力所做的功为μMgl，A正确。考向　化变力为恒力求变力做功有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcosα求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中(如图8)。图8例5如图9所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A,点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)则(　　)图9A.拉力F大小为mgB.拉力F大小为mgC.滑块由A到C过程轻绳对滑块做功mgdD.滑块由A到C过程轻绳对滑块做功mgd答案　C解析　当滑块所受的合力为零，加速度为零时，速度最大，故在C点，滑块所受合力为零，则有Fcos53°＝mg，解得F＝mg，滑块从A运动到C过程WF＝F＝mgd，故C正确，A、B、D错误。考向　利用F－x图像求变力做功在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。例6在光滑水平面上，有一质量为10kg的滑块，在变力F的作用下沿x轴做直线运动，F－x关系如图10，4～8m和12～16m的两段曲线关于坐标点(10，0)对称。滑块在坐标原点处速度为1m/s，则滑块运动到16m处的速度大小为(　　),图10A.3m/sB.5m/sC.2m/sD.4m/s答案　A解析　图线与坐标轴围成的面积表示变力F做的功，所以根据动能定理得W＝mv2－mv，代入数据解得v＝3m/s，故A正确。考点三　功率的分析和计算1.公式P＝和P＝Fv的区别P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。2.平均功率的计算方法(1)利用＝。(2)利用＝F·cosα，其中为物体运动的平均速度。3.瞬时功率的计算方法(1)利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度。(2)P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。(3)P＝Fvv，其中Fv为物体受到的力F在速度v方向上的分力。跟踪训练1.(2023·江苏省扬州期中)如图11所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不变)沿拱形路面上坡，空气阻力和摩擦阻力的大小不变。此过程中(　　),图11A.汽车的牵引力大小不变B.汽车的牵引力逐渐增大C.汽车的输出功率保持不变D.汽车的输出功率逐渐减小答案　D解析　设坡面与水平面夹角为θ，汽车速率不变，有F牵＝f＋mgsinθ，因上坡过程坡度越来越小，θ角在减小，空气阻力和摩擦阻力的大小不变，则牵引力变小，故A、B错误；由功率公式P＝F牵v可知，汽车速率不变，输出功率变小，故C错误，D正确。2.(2023·江苏苏州高三期中)如图12所示，质量为m的小球以速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则小球落到斜面时重力的瞬时功率为(重力加速度为g)(　　)图12A.B.2mgv0tanθC.D.mgv0tanθ答案　A解析　依题意小球到达斜面的位移最小，则由平抛运动位移公式，有tanθ＝，vy＝gt，联立可得vy＝，则小球落到斜面时重力的瞬时功率为P＝mgvy,，联立可得P＝，故A正确。考点四　机车启动类问题1.两种启动方式两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P－t图像和v－t图像OA段过程分析v↑⇒F＝↓⇒a＝↓a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0＝AB段过程分析F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝v↑⇒F＝↓⇒a＝↓运动性质以vm做匀速直线运动加速度减小的加速直线运动BC段过程分析F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝运动性质以vm做匀速直线运动2.三个重要关系式(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝,(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F阻)。(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。考向　以恒定功率启动例7连淮扬镇高铁扬州段2020年12月11日正式开通，如图13所示，“复兴号”列车正沿直线驶出扬州东站，假设列车质量为m，牵引电机的输出功率恒为P，所受阻力恒为f。某时刻速度为v1、加速度为a1，一段时间t后速度为v2，在这段时间内位移为x。下列关系式正确的是(　　)图13A.＝B.a1＝－C.x＝v1t＋a1t2D.Pt＝mv－mv答案　B解析　列车以恒定功率运动，速度增大，牵引力减小，加速度减小，不是匀变速直线运动，x＝t和x＝v1t＋a1t2不适用，故A、C错误；列车速度为v1时，牵引力F＝，根据牛顿第二定律得a1＝－，故B正确；根据动能定理可知，Pt－fx＝mv－mv，故D错误。考向　以恒定加速度启动,例8(2021·湖南卷，3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是(　　)A.动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变B.若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动C.若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vmD.若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv－Pt答案　C解析　在动车组匀加速启动的过程中，对动车组受力分析，根据牛顿第二定律有F1－F阻＝ma1，其中F阻＝kv，因加速度a1不变，v增大，则F阻增大，故牵引力F1逐渐增大，A错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，则牵引力F2＝，而F2－F阻＝ma，其中F阻＝kv，由v增大可知加速度a减小，所以动车组从静止开始做加速度减小的变加速运动，B错误；设当四节动力车厢输出的总功率为2.25P时，动车组匀速运动的速度为vm′，动车组匀速行驶时受力平衡，有F′＝F阻＝kvm′，则4P＝kv，2.25P＝kvm′2，解得vm′＝vm，C正确；当四节动力车厢输出功率均为额定值时，对动车组从启动到达到最大速度的过程，根据动能定理有4Pt－W克＝mv，解得这一过程中该动车组克服阻力做的功W克＝4Pt－mv，D错误。A级　基础对点练对点练1　功的分析和计算1.(2023·广东惠州一中月考)图1甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(,忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断中正确的是(　　)图1A.图甲中支持力对人做正功B.图甲中摩擦力对人做负功C.图乙中支持力对人做正功D.图乙中摩擦力对人做负功答案　A解析　题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误。2.两个相同物块P、Q分别在大小相等、方向如图2所示的恒力F1和F2作用下沿水平面向右运动，物块与水平面间的动摩擦因数相同。在它们前进相同距离的过程中，F1和F2做功分别为W1和W2，P、Q两物块克服摩擦力所做的功分别为Wf1和Wf2，则有(　　)图2A.W1＞W2，Wf1＞Wf2B.W1＝W2，Wf1＞Wf2C.W1＞W2，Wf1＝Wf2D.W1＝W2，Wf1＝Wf2答案　A解析　设物块运动的位移为x，F2与水平方向的夹角为θ，由功的公式可知W1＝F1x，W2＝F2xcosθ，因为F1＝F2，则W1＞W2，Wf1＝μmgx，Wf2＝μ(mg－F2sinθ)x，则Wf1＞Wf2，选项A正确。,3.(2023·广东广州市月考)一物体自t＝0时开始做直线运动，其速度图像如图3所示。下列选项正确的是(　　)图3A.在0～6s内，物体离出发点最远为30mB.在0～6s内，物体经过的路程为35mC.在0～4s内，物体的平均速率为7.5m/sD.在5～6s内，物体所受的合外力做负功答案　C解析　在5s时，图线与时间轴围成的面积最大，位移最大，离出发点最远，最远距离为x＝×(2＋5)×10m＝35m，故A错误；在0～6s内，物体经过的路程为s′＝m＋×1×10m＝40m，故B错误；在0～4s内，物体的路程为s＝m＝30m，则平均速率＝＝m/s＝7.5m/s，故C正确；在5～6s内，物体的动能增加，根据动能定理知，合外力做正功，故D错误。对点练2　变力做功的四种计算方法4.如图4所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法不正确的是(　　)图4A.重力做功为mgL,B.悬线的拉力做功为0C.空气阻力做功为－mgLD.空气阻力做功为－F阻πL答案　C解析　摆球下落过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F阻·πL，C错误，D正确。5.如图5所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为FN。重力加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为(　　)图5A.R(FN－3mg)B.R(2mg－FN)C.R(FN－mg)D.R(FN－2mg)答案　A解析　质点在B点，由牛顿第二定律，有FN－mg＝m，质点在B点的动能为EkB＝mv2＝(FN－mg)R。质点自A滑到B的过程中，由动能定理得mgR＋Wf＝EkB－0，解得Wf＝R(FN－3mg)，故A正确，B、C、D错误。对点练3　功率的分析和计算6.(2023·辽宁葫芦岛期末)如图6,所示，水平地面上不同位置的三个物体沿三条不同的路径抛出，最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　)图6A.沿三条路径抛出的物体落地速率相等B.沿路径3抛出的物体在空中运动的时间最长C.三个物体抛出时初速度的竖直分量相等D.三个物体落地时重力做功的功率都相等答案　C解析　将抛体运动分为水平方向上的匀速运动和竖直方向上的匀变速运动，三条路径的最高点是等高的，可知三个物体抛出时速度的竖直分量相等，且在空中运动的时间相等，故C正确，B错误；因为运动时间相等，水平方向的速度越大，落地点与抛出点之间的距离越大，根据图像可知沿路径1抛出的物体抛出时水平分量最大，则得沿路径1抛出的物体初速率最大，根据对称性，落地的速率等于初速率，则沿路径1抛出的物体落地的速率最大，又因为抛出时竖直方向速度分量相等，所以落地时竖直方向速度分量一样大，但不知道三个小球的质量，故不能判断落地时重力做功的功率，故A、D错误。7.(2020·江苏卷)质量为1.5×103kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20m/s，受到的阻力大小为1.8×103N。此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　)A.90WB.30kWC.36kWD.300kW答案　C解析　根据汽车做匀速直线运动可得此时汽车的牵引力大小等于阻力大小，即F＝f＝1.8×103N，根据P＝Fv代入数据解得此时汽车发动机的实际输出功率为36kW，A、B、D项均错误，C项正确。对点练4　机车启动类问题8.(2023·安徽马鞍山月考)一辆质量为m的汽车在水平路面上以速度v,匀速行驶，此时发动机功率为P，汽车运动中所受阻力恒定不变。当汽车功率突然变为P的瞬间，此时加速度大小为(　　)A.0B.C.D.答案　B解析　汽车匀速行驶时，有F＝f，P＝Fv，汽车功率突然变为P的瞬间，牵引力发生变化，速度不变，则有P＝F′v，由牛顿第二定律有f－F′＝ma，由上面几式解得此时加速度a＝，所以B正确，A、C、D错误。9.复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内(　　)图7A.做匀加速直线运动B.加速度逐渐增大C.牵引力的功率P＝FvmD.牵引力做功W＝mv－mv答案　C解析　动车的功率恒定，根据P＝F牵v可知动车的牵引力减小，根据牛顿第二定律得F牵－F＝ma可知动车的加速度减小，所以动车做加速度减小的加速运动，,A、B错误；当加速度为0时，牵引力等于阻力，则额定功率为P＝Fvm，C正确；动车功率恒定，在t时间内，牵引力做功为W＝Pt，根据动能定理得Pt－Fs＝mv－mv，D错误。B级　综合提升练10.(2021·北京卷，8)如图8所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不变)通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是(　　)图8A.在ab段汽车的输出功率逐渐减小B.汽车在ab段的输出功率比bc段的大C.在cd段汽车的输出功率逐渐减小D.汽车在cd段的输出功率比bc段的大答案　B解析　汽车的输出功率等于牵引力的功率P＝Fv，汽车的速率不变，在ab段的牵引力大小不变，故汽车在ab段的输出功率不变，A错误；同理，选项C错误；汽车在ab段受到的牵引力比bc段的大，又两段的速率相等，由P＝Fv可知汽车在ab段的输出功率比bc段的大，B正确；汽车在cd段的牵引力比bc段的小，所以在cd段的输出功率比bc段的小，选项D错误。11.(2022·山东济南模拟)一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数和瞬时加速度a的关系如图9所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力不变，赛车到达终点前已达到最大速度。下列说法中正确的是(　　),图9A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动B.赛车的质量为20kgC.赛车所受阻力大小为500ND.赛车速度大小为5m/s时，加速度大小为50m/s2答案　C解析　由牛顿第二定律－f＝ma，可知赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，根据公式整理得＝a＋，可见－a图像的斜率恒定为，与纵轴的截距为，结合图像可得＝0.05s/m，＝s3/m2，解得m＝25kg，f＝500N，代入v＝5m/s，解得a＝60m/s2，故C正确，A、B、D错误。12.(2022·江苏南通模拟)如图10所示，一只质量为10g的蜘蛛在竖直墙壁与地面之间结网时，AB为拉出的第一根直线蛛丝，AB与水平地面之间的夹角为53°，A点到地面的距离为1.2m。蜘蛛从竖直墙壁上距地面1.0m的C点水平跳出，恰好能跳落到蛛丝上。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：图10(1)水平速度的大小v0；(2)刚落到蛛丝上时，蜘蛛重力的瞬时功率P。,答案　(1)1.5m/s　(2)0.2W解析　(1)设蜘蛛跳出后经过时间t到达蛛丝，根据平抛运动规律可得x＝v0t　①y＝gt2　②由题意可知，蜘蛛到达蛛丝时速度方向恰好沿蛛丝方向，所以tan53°＝　③联立①②③解得3y＝2x　④根据几何关系可得－y＝1.2m－1m　⑤联立④⑤解得y＝0.2m　⑥联立②③⑥解得v0＝1.5m/s。　⑦(2)根据③式可知刚落到蛛丝上时，蜘蛛的竖直分速度大小为vy＝gt＝v0tan53°＝2m/s　⑧此时蜘蛛重力的瞬时功率为P＝mgvy＝0.2W。