北师版九年级数学 第四章 图形的相似（压轴专练）（十大题型）

第四章图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在中，，点在线段的延长线上，连接，过点作交线段于点．&nbsp;&nbsp;(1)如图1，求的度数．(2)如图2，若，求的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接交线段于点，若，求的长．2．如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接．(1)直接判断与的位置关系(2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若，，求的长．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．85,(1)求证：；(2)连接，如图2，①若，求的长；②若，则．4．综合与实践已知：矩形，是边上一点．&nbsp;&nbsp;【基本图形】（1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：；【类比探究】（2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：；【扩展延伸】（3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积．题型3：翻折问题5．菱形中，，点是边上的点，点是边上的点．85,(1)如图，若点是的中点，，连接并延长交的延长线于点，连接，①求证：；②判定的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为，将菱形沿翻折，点的对应点为点．①如图，当点落在边的延长线上时，连接，交于，交于点，求的值；②如图，当，垂足为点，交于点，求四边形的面积．6．如图1，在矩形中，，，点E在上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线CD交于点G，连接．(1)当时，求的长．小星看到把沿直线翻折得到，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道，，，根据，他延长EG与AD的延长线相交于点H，可证，，再通过勾股定理即可求出的长．请用小星的方法或自己的方法求的长；(2)当G是CD的中点时，求的长；(3)如图2，已知等边的边长为6，点D在边上，连接，把沿直线AD翻折得到，直线DE与直线交于点F，若，求BD的长．7．（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：．85,（2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值．（3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长．题型4：旋转问题8．如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．(1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证：①；②；(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，．①求证：，②的面积是．9．问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接85,．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．10．如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．(1)如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数；(2)如图②，连接，，若的面积为2，求的面积；(3)如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．题型5：最值问题11．如图，在中，，点D为一点，连接．(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：；(3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值．12．如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在85,边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x．(1)如图1，连接，①求的度数；②求证：．(2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围．(3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值．②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值．13．如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F．(1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长；(2)如图②，当D是的中点时，求证：；(3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值．题型6：比值问题14．如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，．85,(1)图1中，求证：；(2)当绕点旋转到如图2所示的位置时，①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，AD=2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）．题型7：&ldquo;手拉手&rdquo;模型16．在中，，，点D是边上一动点，过点C作交于点E．85,(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，点F是上一点，连接并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：；(3)点F是边上一点，射线与射线交于点G，，点H是上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值．17．如图所示，在中，D、E分别是、上的点，，如图1，然后将绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将、分别延长至M、N，使，，得到图3，请解答下列问题：(1)若，请探究下列数量关系：①在图2中，与的数量关系是；②在图3中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想；(2)若，按上述操作方法，得到图4，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．题型8：定值问题85,18．如图1，在中，，，．(1)请计算的面积；(2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度；(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：．小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为85,的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0,3，与直线OC交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)过点C作轴于点D，将沿射线平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动，当时，求m的值．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转90&deg;，得到线段，连接，．85,(1)当平分时，＝________&deg;；(2)若，求的长；(3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式．85,第四章图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在中，，点在线段的延长线上，连接，过点作交线段于点．&nbsp;&nbsp;(1)如图1，求的度数．(2)如图2，若，求的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接交线段于点，若，求的长．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）过点作于点，证，得，即，由得，从而可得；（2）过点作于点，证，得，从而即可得解；（3）过点作于点，作交的延长线于点，在延长线上取一点，使得，由()得，，证，，得，，从而，，设，则，证，得即，于是有，再利用勾股定理构造方程得，解得，从而利用勾股定理即可得解．【解析】（1）解：如图1，过点作于点，85,&nbsp;&nbsp;∵，&there4;，&there4;，&there4;，即，∵，&there4;，∵，&there4;，&there4;；（2）解：如图2，过点作于点，&nbsp;&nbsp;∵，，&there4;，，&there4;，&there4;，&there4;；（3）解：过点作于点，作交的延长线于点，在延长线上取一点，连接，使得，85,&nbsp;&nbsp;由()得，，∵，&there4;，，，，∵，&there4;，，，&there4;，，&there4;，，&there4;，&there4;，设，则，∵，，&there4;，&there4;，&there4;∵，，&there4;，&there4;即，&there4;，∵，85,&there4;，&there4;，解得(舍去)或，&there4;，&there4;，∵，&there4;．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，解一元二次方程以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．2．如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接．(1)直接判断与的位置关系(2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若，，求的长．【答案】(1)(2)，见解析(3)1【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断；（2）过点B作交于点M，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；85,（3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解析】（1）解：；理由如下：设与交于O，∵，&there4;，∵，，&there4;，&there4;，∵，&there4;，即，&there4;；（2）解：，证明：过点B作交于点M，∵，&there4;，，，∵，，&there4;，∵，&there4;，85,&there4;为等腰直角三角形，&there4;，&there4;，∵，&there4;，，，，又，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;；（3）解：∵，为等腰直角三角形，&there4;，∵，&there4;，∵，&there4;，∵，&there4;，设，&there4;，∵，&there4;，&there4;，，解得，，经检验符合题意；85,&there4;．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．(1)求证：；(2)连接，如图2，①若，求的长；②若，则．【答案】(1)证明见解析(2)①&nbsp;&nbsp;&nbsp;②【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键．（1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论；（2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明85,，得到，则，即可得到答案．【解析】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G，&there4;，∵四边形是正方形，&there4;，∵，∵，&there4;，&there4;，∵，&there4;，又，&there4;，&there4;；（2）①解：如图2，连接，∵四边形是正方形，&there4;∵，&there4;,85,&there4;，&there4;&there4;是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，&there4;，∵，&there4;，∵，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;，设，根据勾股定理，得，&there4;，&there4;或（舍去），&there4;，∵，Q是的中点，&there4;；②如图3，过F作，∵85,&there4;四边形是矩形，&there4;，∵，&there4;，由（1）知，，&there4;，设，&there4;，∵，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;（负值舍去），&there4;，∵，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;．故答案为：4．综合与实践85,已知：矩形，是边上一点．&nbsp;&nbsp;【基本图形】（1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：；【类比探究】（2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：；【扩展延伸】（3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12【分析】（1）由四边形是矩形得，从而得到，，进而得到，，由就可得到结论；（2）延长、交于点，如图，由三角形相似可证到，再由可得，再由垂直平分线的性质可得到，结合就可得．（3）延长、交于点，如图，由（2）得，进而证到，再由可证到，进而得到．根据就可求出的面积．【解析】解：（1）证明：∵四边形是矩形，&there4;．&there4;，．&there4;，．∵，85,&there4;．（2）证明：延长、交于点，如图，&nbsp;&nbsp;∵四边形是矩形，&there4;．&there4;，．&there4;，．&there4;．∵，&there4;．∵四边形是矩形，&there4;，即．&there4;．&there4;．∵，&there4;，．&there4;．（3）延长、交于点，如图，&nbsp;&nbsp;同理可得：．∵四边形是矩形，&there4;，．85,&there4;．&there4;．&there4;．&there4;．∵，，&there4;．&there4;．∵，，&there4;．&there4;．&there4;．&there4;的面积为12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余等知识．本题在解决问题的过程中，用已有的经验得到角相等，用割补法和整体思想求出三角形的面积，综合性强，有一定的难度．而由平行线（矩形的性质）、角平分线（结论）联想到构造等腰三角形是解决第二小题的关键．题型3：翻折问题5．菱形中，，点是边上的点，点是边上的点．85,(1)如图，若点是的中点，，连接并延长交的延长线于点，连接，①求证：；②判定的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为，将菱形沿翻折，点的对应点为点．①如图，当点落在边的延长线上时，连接，交于，交于点，求的值；②如图，当，垂足为点，交于点，求四边形的面积．【答案】(1)①证明见解析；②△是等腰三角形，理由见解析；(2)①；②．【分析】（）①利用证明即可；②由全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半得，即可求解；（）①由对称可得，，由菱形的面积可得，进而由勾股定理得，得到，，即得，再由，，，可得，，，由可得，即得，设，则，则，可得，进而得，得到，即得，据此即可求解；②如图，过点作于，由，可得，由折叠的性质得，，，进而可得是等腰直角三角形，得到，又由菱形的面积可得，即得，由勾股定理得，再证明，得到，即可得，得到，同理由可得，再根据85,即可求解．【解析】（1）①证明：∵为中点，&there4;，∵四边形是菱形，&there4;，&there4;，又∵，&there4;；②解：是等腰三角形，理由如下：∵，&there4;，∵，&there4;，&there4;是斜边上的中线，&there4;，&there4;是等腰三角形；（2）解：①∵点与点关于对称，&there4;，，∵，，&there4;，在中，根据勾股定理可得，，&there4;，，85,&there4;，∵四边形是菱形，&there4;，，&there4;，，，&there4;，，，∵，&there4;，即，&there4;，设，则，则，∵，，&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;，&there4;，即，&there4;，&there4;，即的值为；②如图，过点作于，85,∵，，&there4;，由折叠可知，，，，&there4;是等腰直角三角形，&there4;，∵，，&there4;，&there4;，在中，由勾股定理得，，∵，，&there4;，&there4;，即&there4;，&there4;，∵，，&there4;，&there4;，&there4;，设，则，&there4;，85,&there4;，&there4;，&there4;，&there4;．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．6．如图1，在矩形中，，，点E在上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线CD交于点G，连接．(1)当时，求的长．小星看到把沿直线翻折得到，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道，，，根据，他延长EG与AD的延长线相交于点H，可证，，再通过勾股定理即可求出的长．请用小星的方法或自己的方法求的长；(2)当G是CD的中点时，求的长；(3)如图2，已知等边的边长为6，点D在边上，连接，把沿直线AD翻折得到，直线DE与直线交于点F，若，求BD的长．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）延长EG与AD的延长线相交于点H，可证，，在85,中根据勾股定理即可求出的长．（2）延长EG与AD的延长线相交于点H，设，则，证明，得，求出，，在中根据勾股定理，，求出x即可；（3）分两种情况：当点F在线段上时，当点F在延长线上时，根据等边三角形及相似三角形解决问题【解析】（1）解：延长EG与AD的延长线相交于点H，由翻折得，，，∵四边形是矩形，&there4;，&there4;，∵&there4;&there4;，∵，，&there4;，&there4;，∵，&there4;，&there4;在中，，&there4;解得或（舍去）；（2）延长EG与AD的延长线相交于点H，设，则85,∵G是CD的中点，&there4;，∵四边形是矩形，&there4;，&there4;，∵&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;，&there4;，&there4;在中，，&there4;解得或（舍去）即；（3）当点F在线段上时，设，，则，，∵是等边三角形，&there4;，，由翻折得，，85,&there4;，∵，&there4;，&there4;，&there4;，解得或；当点F在延长线上时，设，则，∵是等边三角形，&there4;，，由折叠得，，&there4;，∵，&there4;，∵，&there4;&there4;&there4;，解得或（舍）．综上，的长为或或．85,【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，是综合性较强的一题，综合掌握各种图形的性质，正确引出辅助线分类讨论是解题的关键．7．（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：．（2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值．（3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【分析】（1）由折叠性质得，再证明即可；（2）连接，过N作于G，依题意得四边形是矩形；首先证明四边形是平行四边形，从而得；设，由面积关系得，从而由勾股定理得；依题意得四边形是矩形，则有，在直角三角形中由勾股定理求得，即可求得结果；（3）分两种情况考虑：①时；②时，分别利用勾股定理建立方程求解．【解析】（1）证明：正方形中，；由折叠性质得，；，；，，；；（2）如图，连接，过N作于G，则，85,在矩形中，，，；则四边形是矩形，；，，，，故四边形是平行四边形，，；由折叠知，，设，由于的面积与的面积比为，即，；，，；由勾股定理得，，在中，由勾股定理求得，；（3）由于四边形是菱形，则；①如图，当时；85,延长交于点Q，过点Q作于点H，过点E作于M，于N，过点A作于R；设，则；，，，则；由折叠知：，，平分，；，，上两式相比并化简得：，即，故有：；，，，；在中，由勾股定理得：，即，解得：（舍去），；85,②当时，如图，延长交延长线于点，过点作于，则；设，则；，，，；由折叠性质得：，；与前一情况同理，得：，即，；，，；在中，由勾股定理得：，即，解得：或（舍去），85,；综上，的长为或．【点睛】本题是相似三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，正方形的性质，矩形及菱形的性质，平行四边形的性质等知识，涉及分类讨论思想，综合性强，难度大，正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质、相似三角形的判定与性质是关键．题型4：旋转问题8．如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．(1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证：①；②；(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，．①求证：，②的面积是．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①见解析；②【分析】（1）①利用定理证明；②根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明结论；（2）①证明，根据全等三角形的性质得到，利用相似三角形的判定定理证明即可；②根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算，得到答案．85,【解析】（1）证明：①，，即，在和中，，；②，，，，即；（2）①证明：在和中，，，，，；②解：在中，，，，&there4;，在中，，，，，&there4;，在中，，由勾股定理得：，由（1）②可知，，，，85,，，即，解得：，，，．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形的面积计算，灵活运用相似三角形的判定定理是解题的关键．9．问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．【答案】问题背景：见解析；尝试应用：等边三角形，理由见解析；拓展创新：6【分析】问题背景：由得，利用即可证明全等；尝试应用：取中点P，连接，则是等边三角形，得；由三角形中位线定理得，，则，从而可得，从而可证明，则可得，，问题即可证明；拓展创新：过C作，垂足为C，且，连接，可得，从而；.取的中点G，连接，则，由可得，即的最大值为6．【解析】问题背景：证明：，，即，85,，；尝试应用：解：等边三角形；证明如下：取中点P，连接，如图，，，，，，是等边三角形，；，；为的中点，中点为P，，，，，，，，，是等边三角形；拓展创新：解：如图，过C作，垂足为C，且，连接，则；由旋转知，，；，；85,，，，；取的中点G，连接，则；点是的中点，，由勾股定理得：，，即，的最大值为6．【点睛】本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，构造辅助线证明三角形全等与相似是本题的关键．10．如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．(1)如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数；(2)如图②，连接，，若的面积为2，求的面积；(3)如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B85,按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．【答案】(1)(2)(3)线段长度的最大值为与最小值为．【分析】（1）由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数；（2）由旋转的性质可得：，易证得，利用相似三角形的性质可得答案；（3）由①当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小；②当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值．【解析】（1）解：由旋转的性质可得：，，&there4;，&there4;．（2）解：由旋转的性质可得：，&there4;，，，&there4;，，&there4;，&there4;，而，，&there4;，∵的面积为2，&there4;．85,（3）解：过点B作，D为垂足，∵为锐角三角形，&there4;点D在线段上，在中，，，&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;，解得：或（舍去），∵点E为线段中点，&there4;；①如图1，当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，，此时最小，且最小值为：；②如图，当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，且最大值为：．85,综上分析可知，线段长度的最大值为与最小值为．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．题型5：最值问题11．如图，在中，，点D为一点，连接．(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：；(3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）过点D作于点K，则，可得是等腰直角三角形，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解；85,（2）证明，可得，作交于点Q，再证明，可得，即可求证；（3）取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q．证明，可得，设，则，设，则，根据，&there4;，可得，再由勾股定理可得，然后根据点M为的中点，，可得，从而得到，进而得到，即可求解．【解析】（1）解：如图，过点D作于点K，则，∵，&there4;，，&there4;是等腰直角三角形，&there4;，∵，&there4;，&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;∵，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;；（2）证明：∵，，85,&there4;，∵，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，作交于点Q，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;；（3）解：如图，取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q．由轴对称的性质得：，垂直平分，&there4;，&there4;，85,∵，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;，即，&there4;，&there4;，设，则，设，则，同理，&there4;，&there4;，即，解得：或（舍去），&there4;，&there4;，&there4;，∵点M为的中点，，&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;，当且仅当点A，H，M三点共线时，取得最小值，最小值为．85,【点睛】本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、几何变换、解直角三角形等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键．12．如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x．(1)如图1，连接，①求的度数；②求证：．(2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围．(3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值．②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值．【答案】(1)①&ang;CBD=90&deg;；②见解析(2)0<x<43(3)①x=13；②ℎ最小=245【分析】（1）①由勾股定理求出bd=10，再由勾股定理逆定理得bc2+bd2=cd2，则得∠cbd=90°；②由题意易得bdbc=abad，从而得△abd∽△bdc，即有∠dba=∠cdb，则可证明平行；（2）过p作ph⊥cd．易得四边形adhp是矩形，则ph=ad=6，dh=ap；由dm=2得am=4，由折叠性质得a'm=am=4，a'p=ap；在rt△a'dm中由勾股定理求得a'd；在rt△pha'中，由勾股定理求得ap的长，从而确定x的范围；（3）①当点a'落在ad的延长线上时，则pm⊥a'a，过b作bg⊥cd于g，交pm于h．由cg∥ph，得bpbc=bhbg=23，求得bp=5，从而求得x的值；②分当p在ab上与当p在bc上两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求解．85,【解析】（1）解：①∵∠a=90°，∴bd=ab2+ad2=10．∵bc2+bd2=1522+102=6254=cd2，∴bc2+bd2=cd2，∴∠cbd=90°．②证明：∵bdbc=10152=43，abad=86=43，∴bdbc=abad，又∠cbd=∠a=90°，∴△abd∽△bdc，∴∠dba=∠cdb，∴ab∥cd．（2）解：当a'落在cd上时，过p作ph⊥cd．则ph∥ad，∵ab∥cd，∠a=90°，∴四边形adhp是矩形，∴ph=ad=6，dh=ap．∵dm=2，∴am=4，由翻折得a'm=am=4，a'p=ap，∵ab∥cd，∠a=90°，∴∠cda=90°，∴a'd＝a'm2−dm2=23，∴a'h=dh−a'd=ap−23，∵ph2+a'h2=a'p2，∴62+(ap−23)2=ap2，85,∴ap=43，故点a'落到四边形abcd内部时，0<x<43．（3）①解：当点a'落在ad的延长线上时，则pm⊥a'a，过b作bg⊥cd于g，交pm于h．则四边形abhm是矩形，四边形abgd为矩形，∴bh=am=4，bg=ad=6，∵cg∥ph，∴bpbc=bhbg=46=23，即bp=23bc=5，∴ab+bp=8+5=13，∴x=13．②当p在ab上时，过m作mh⊥cb于h，过m作mg⊥bd于g．由垂线段最短，知m、a'、h共线时，a'h最短．则四边形bhmg是矩形，∴hm=bg；∵∠mgd=∠a=90°，∠gdm=∠adb，∴△dgm∽△dab，∴dmdb=dgda，∴210=dg6，85,∴dg=65，∴hm=bg=bd−dg=10−65=445，∴a'h=hm−a'm=445−4=245．当p在cb上时，由于点a'到点b的距离是定值8，故a'离bd的距离越短越好，故p与b重合时，ph最短，则a'h就最小．过m作mq⊥ha'，交ha'延长线于q，交bd于g，过a'作a'r⊥bd．则得四边形a'hbr、a'rgq都是矩形，∴ha'=br，a'q=rg，∵∠ha'b+∠hba'=∠ha'b+∠qa'm=90°，∴∠hba'=∠qa'm，∵∠a'hb=∠q=90°，∴△a'hb∽△mqa'，∴a'qbh=a'ma'b=48=12，设bh=m，∴a'q=rg=12m，由上一问知dg=65，∴ha'=br=bd−rg−dg=445−12m，∵bh2+a'h2＝a'b2，∴m2+445−12m2=82，∴125m2−880m+1344=0，∴m1=5625，m2=245，85,∴bh最小5625，a'h=a'b2−bh2=19225．∵19225>245，&there4;ℎ最小=245．【点睛】本题是一道几何综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程等知识点，涉及的知识较多，综合性较强，注意分类讨论．13．如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F．(1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长；(2)如图②，当D是的中点时，求证：；(3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据等边对等角可得，，继而可得，则，根据即可得证；（2）过点D作于点N，作于点M，证明，得到，进而得证；（3）根据对称的性质和已知可得出，当最短时，点，，三点共线，过点D作于点Q，过点D，M作的垂线，垂足为P，N，则，，根据平行线成比例，可得85,，设，则，在中，，证明，继而得到，设，则，，由（1）可得，设，在中，，可推出，，证明，表示出，再根据勾股定理求出，代入化简即可．【解析】（1）解：如图①，过点D作于点G，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，．（2）证明：如图②，过点D作于点N，作于点M．由（1）知，，，，85,，，，，．（3）解：．依题意，将沿着翻折，得到，，点在以C为圆心、的长为半径的圆上运动，&there4;点M是上一点，当最短时，点，，三点共线，此时如图③所示，过点D作于点Q，过点D，M作的垂线，垂足为P，N，则，，是等腰直角三角形，，，，，，设，则，在中，，，，，，设，则，，由（1）可得，设，在中，，85,，即，在中，，则，又，，，，，，在中，，，．【点睛】本题是折叠变换综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，本题难度大，通过作适当的辅助线并综合运用以上知识是解题的关键．题型6：比值问题14．如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，．85,(1)图1中，求证：；(2)当绕点旋转到如图2所示的位置时，①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值．【答案】(1)(2)①仍然成立，见解析；②【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理解决问题即可．（2）①证明，推出，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．②由，推出，推出，求出，，的面积即可解决问题．【解析】（1）解：如图1，在中，，点、分别在边、上，，，即，点、、分别为、、的中点，85,，，，（2）解：①仍然成立，如图2，连接，，由题意知，，，，，点、、分别为、、的中点，，分别是和的中位线，，，；②如图2中，，，，，，，，，，，，同法可得，，85,，，，．故答案为：．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，AD=2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据证明即可；（2）证明，得出，根据勾股定理，根据85,，得出，求出，得出，求出；（3）先求解，作于点N，证明，得出．证明，得出，求出．【解析】证明：（1）在正方形中，，，&there4;，∵，&there4;，&there4;，&there4;．&there4;；（2）如图2，作于点N，如图所示：&nbsp;&nbsp;∵，，&there4;四边形是矩形，&there4;，，∵，&there4;，&there4;，∵，&there4;，&there4;，∵，，，&there4;，85,∵AD=2DB，&there4;，∵，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;；（3）∵，，&there4;，&there4;．∵，&there4;，如图3，作于点N，&nbsp;&nbsp;∵，&there4;，&there4;．∵，&there4;，&there4;，∵，&there4;，85,&there4;．∵，，&there4;，&there4;，&there4;&there4;．【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正方形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．题型7：&ldquo;手拉手&rdquo;模型16．在中，，，点D是边上一动点，过点C作交于点E．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，点F是上一点，连接并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：；(3)点F是边上一点，射线与射线交于点G，，点H是上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到85,，最后根据三角形外角性质得到，即可解题；（2）利用直角三角形性质得到，结合等腰三角形性质得到，进而得到，，证明，得到，，推出，作，交延长线于点，证明，得到，证明，得到，再进行等量代换即可解题；（3）根据题意得到在的中垂线上，当时，最小，且此时四边形为矩形，当取得最小值时，、关于对称，且，得到的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，则当过圆心，且、分别在的两侧时，的值最大，作，交的延长线于点，证明，得到，，进而证明，利用全等三角形性质推出为中点，设，则，（即），，利用勾股定理和相似三角形性质得到，，，，作于点，结合勾股定理和等腰直角三角形性质得到，，，，进而推出，即可解题．【解析】（1）解：，，，，，，；（2）证明：，点P为的中点，，，，，，，，，，85,，，，作，交延长线于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，即；（3）解：，理由如下：根据题意画出图形，，，85,作于点，即在的中垂线上，，，当时，最小，易得此时四边形为矩形，当取得最小值时，、关于对称，，的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，则当过圆心，且、分别在的两侧时，的值最大，如图所示：作，交的延长线于点，，，，，，，，，85,，，，，，，，，即为中点，设，，四边形为矩形，，（即），，，，，，，，，，，，，又，，，，85,，作于点，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形外角性质，垂直平分线性质，轴对称性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．17．如图所示，在中，D、E分别是、上的点，，如图1，然后将绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将、分别延长至M、N，使，85,，得到图3，请解答下列问题：(1)若，请探究下列数量关系：①在图2中，与的数量关系是；②在图3中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想；(2)若，按上述操作方法，得到图4，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．【答案】(1)①；②，，理由见解析(2)，【分析】本题考查三角形全等的判定方法和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用全等三角形的证明方法解题是解题的关键．（1）①运用证明，所以；②根据题意可得，，，所以得到，在和中，，，可证，所以，即．（2）直接类比（1）中结果可知，．【解析】（1）（1）①∵，，&there4;，&there4;，∵，&there4;图2中，，即∵，，85,&there4;，&there4;，故答案为：；②，，理由如下：，&there4;，即，在和中，，，，，，在和中，，，，&there4;，即；（2）结论：，．理由如下：∵，，，，，，85,，，，，，，，，，，，，，，，，，．综上所述：，．题型8：定值问题18．如图1，在中，，，．(1)请计算的面积；(2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度；(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)85,(2)的长度为；(3)的长度是定值，这个定值为．【分析】（1）作，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得高的长，再根据平行四边形的面积公式即可求解；（2）先证明，再在中，由勾股定理列式计算即可求解；（3）利用勾股定理求得，证明，求得，再求得，过点作交的延长线于点，得到的长度是的长度，据此求解即可．【解析】（1）解：作交延长线于点，∵四边形是平行四边形，&there4;，，，，在中，，，&there4;的面积为；（2）解：∵四边形是平行四边形，&there4;，&there4;，由折叠的性质得，&there4;，&there4;，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长度为；85,（3）解：∵，，&there4;，∵，，&there4;，&there4;，&there4;，由折叠的性质得，∵，&there4;，过点作交的延长线于点，∵，&there4;，，&there4;，，&there4;，&there4;的长度是的长度，过点作交的延长线于点，&there4;四边形是矩形，&there4;，由折叠的性质得，又，&there4;，&there4;．综上，的长度是定值，这个定值为．85,【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，第3问求得是解题的关键．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：．小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________．85,【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明．（2）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明．（3）过点作，垂足为，根据矩形的性质可得，，，，推得，根据折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理求得，推得，根据矩形的判定和性质可得，由问题情景中的结论即可求得：．（4）延长，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据相似三角形的判定和性质可得，根据等角对等边可得，由问题情景中的结论可得：，设，则，根据勾股定理可得，即可求得，85,，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，，根据三角形的周长公式即可求得与的周长之和．【解析】（1）证明：小明的证明：连接，如图，&nbsp;&nbsp;∵，，，&there4;，&there4;，∵，&there4;．小颖的证明：过点作，垂足为，如图，&nbsp;&nbsp;∵，，，&there4;，&there4;四边形为矩形，&there4;，，&there4;，∵，&there4;，85,&there4;，∵，&there4;，&there4;，∵，&there4;，&there4;，在和中，，&there4;，&there4;，&there4;．（2）证明：小明的证明：连接，如图，&nbsp;&nbsp;∵，，，&there4;，&there4;，∵，&there4;．小颖的证明：过点作，垂足为，如图，85,&nbsp;&nbsp;∵，，，&there4;，&there4;四边形是矩形，&there4;，，∵，&there4;，&there4;，∵，，&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;，∵，&there4;，在和中，，&there4;，&there4;，&there4;．故答案为：（3）解：过点作，垂足为，如图，85,&nbsp;&nbsp;∵四边形是矩形，&there4;，，，，又∵，&there4;，由折叠有，，∵，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，∵，&there4;，&there4;，∵，，&there4;四边形是矩形，&there4;，由问题情景中的结论可得：，&there4;．&there4;的值为．（4）解：延长，交于点，过点作，垂足为，如图⑤，85,&nbsp;&nbsp;∵，&there4;，∵，，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，由问题情景中的结论可得：，设，&there4;，∵，&there4;，&there4;，∵，，&there4;，解得：&there4;，&there4;，&there4;BH=5，&there4;，∵，、分别为，的中点，&there4;，，85,&there4;与的周长之和为，&there4;与的周长之和．【点睛】本题考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0,3，与直线OC交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)过点C作轴于点D，将沿射线平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动，当时，求m的值．【答案】(1)(2)1或【分析】（1）使用待定系数法即可求函数表达式；根据已知条件，使用相似三角形的性质分别求出和E的纵坐标，作差即可；（2）根据已知条件，使用相似三角形的性质分别求出和E的纵坐标，作差表示出，然后列出S关于m的表达式，当时，直接将S代入表达式即可得出答案，当时，此时的面积均大于85,故不符合条件，当时，根据相似三角形求出重叠面积的表达式，令即可得到答案．【解析】（1）解：设直线的函数表达式为∵直线过点B0,3、，&there4;解得：&there4;函数的表达式为：；（2）由（1）知所在的直线函数表达式为：，且点A在直线上&there4;&there4;&there4;A点坐标为&there4;，&there4;过C作，交于F∵轴，&there4;&there4;&there4;&there4;点E的横坐标为∵点C坐标为&there4;设所在直线的表达式为将代入得，解得&there4;所在直线的表达式为85,∵E在上，&there4;E的纵坐标为∵在上，&there4;的纵坐标为&there4;当时，E的坐标为&there4;此时点E在上&there4;当时（如图1），点E在下方此时当时，解得或（舍）当与B点重合时，由图2知，时，S恒大于，故此时无m符合题意；当与B重合时，，如图3，85,当时，解得或∵，故舍掉，&there4;综上所述，或．【点睛】本题考查了一次函数以图像组合面积，涉及了相似三角形等知识，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，仔细计算，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转90&deg;，得到线段，连接，．(1)当平分时，＝________&deg;；(2)若，求的长；85,(3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式．【答案】(1)22.5(2)(3)【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，列函数的解析式，掌握旋转变换的特征是解题的关键．（1）根据旋转的性质和角平分线的定义求解即可；（2）根据旋转的性质证，根据相似三角形的性质求解即可；（3）根据等腰直角三角形的性质证，根据全等三角形的性质，结合三角形的面积公求解即可．【解析】（1）解：由旋转性质，得，，&there4;，∵AB平分，&there4;，由题意，得，&there4;．故答案为：22.5；（2）∵，，&there4;，，由旋转性质，得，，&there4;，，&there4;，即，又∵，&there4;，&there4;，即．85,由题意知，，∵，&there4;；（3）如图，设AD与CE交于点F，连接，由对称性质，得，．由题意，得是等腰直角三角形，&there4;F为AD中点，即．由（2）知，&there4;，&there4;，&there4;，&there4;，，∵，&there4;，即．∵，，&there4;在中，，&there4;，又∵，&there4;．过点D作轴于点G，∵，&there4;，&there4;．在和中，85,，&there4;，&there4;，，&there4;，即，．85</x<43(3)①x=13；②ℎ最小=245【分析】（1）①由勾股定理求出bd=10，再由勾股定理逆定理得bc2+bd2=cd2，则得∠cbd=90°；②由题意易得bdbc=abad，从而得△abd∽△bdc，即有∠dba=∠cdb，则可证明平行；（2）过p作ph⊥cd．易得四边形adhp是矩形，则ph=ad=6，dh=ap；由dm=2得am=4，由折叠性质得a'm=am=4，a'p=ap；在rt△a'dm中由勾股定理求得a'd；在rt△pha'中，由勾股定理求得ap的长，从而确定x的范围；（3）①当点a'落在ad的延长线上时，则pm⊥a'a，过b作bg⊥cd于g，交pm于h．由cg∥ph，得bpbc=bhbg=23，求得bp=5，从而求得x的值；②分当p在ab上与当p在bc上两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求解．85,【解析】（1）解：①∵∠a=90°，∴bd=ab2+ad2=10．∵bc2+bd2=1522+102=6254=cd2，∴bc2+bd2=cd2，∴∠cbd=90°．②证明：∵bdbc=10152=43，abad=86=43，∴bdbc=abad，又∠cbd=∠a=90°，∴△abd∽△bdc，∴∠dba=∠cdb，∴ab∥cd．（2）解：当a'落在cd上时，过p作ph⊥cd．则ph∥ad，∵ab∥cd，∠a=90°，∴四边形adhp是矩形，∴ph=ad=6，dh=ap．∵dm=2，∴am=4，由翻折得a'm=am=4，a'p=ap，∵ab∥cd，∠a=90°，∴∠cda=90°，∴a'd＝a'm2−dm2=23，∴a'h=dh−a'd=ap−23，∵ph2+a'h2=a'p2，∴62+(ap−23)2=ap2，85,∴ap=43，故点a'落到四边形abcd内部时，0<x<43．（3）①解：当点a'落在ad的延长线上时，则pm⊥a'a，过b作bg⊥cd于g，交pm于h．则四边形abhm是矩形，四边形abgd为矩形，∴bh=am=4，bg=ad=6，∵cg∥ph，∴bpbc=bhbg=46=23，即bp=23bc=5，∴ab+bp=8+5=13，∴x=13．②当p在ab上时，过m作mh⊥cb于h，过m作mg⊥bd于g．由垂线段最短，知m、a'、h共线时，a'h最短．则四边形bhmg是矩形，∴hm=bg；∵∠mgd=∠a=90°，∠gdm=∠adb，∴△dgm∽△dab，∴dmdb=dgda，∴210=dg6，85,∴dg=65，∴hm=bg=bd−dg=10−65=445，∴a'h=hm−a'm=445−4=245．当p在cb上时，由于点a'到点b的距离是定值8，故a'离bd的距离越短越好，故p与b重合时，ph最短，则a'h就最小．过m作mq⊥ha'，交ha'延长线于q，交bd于g，过a'作a'r⊥bd．则得四边形a'hbr、a'rgq都是矩形，∴ha'=br，a'q=rg，∵∠ha'b+∠hba'=∠ha'b+∠qa'm=90°，∴∠hba'=∠qa'm，∵∠a'hb=∠q=90°，∴△a'hb∽△mqa'，∴a'qbh=a'ma'b=48=12，设bh=m，∴a'q=rg=12m，由上一问知dg=65，∴ha'=br=bd−rg−dg=445−12m，∵bh2+a'h2＝a'b2，∴m2+445−12m2=82，∴125m2−880m+1344=0，∴m1=5625，m2=245，85,∴bh最小5625，a'h=a'b2−bh2=19225．∵19225>