2024年高考数学一轮复习讲练测：一元函数的导数及其应用 第02讲 单调性问题（课件）

第02讲单调性问题导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024,01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟,,01PARTONE考情分析,稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．2022年甲卷第12题，5分2022年I卷第7题，5分2021年浙江卷第7题，5分高考对单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．,02PARTONE网络构建,,03PARTONE知识梳理题型归纳,1.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上;②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上;③如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.(2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.(3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f'(x)在该区间上不变号.单调递增单调递减,2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的；第2步，求出导数f′(x)的；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.定义域零点,常用结论可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.,【例1】（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．只有C选项的图象符合．故选：C．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像,【对点训练1】（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若，则单调递减，由图像可知，，若，则单调递增，由图像可知，故不等式的解集为．故选：C【解题方法总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像,【例2】（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域为．，则．令，解得．故选：D题型二：求单调区间,【对点训练2】（2023·高三课时练习）函数（a、b为正数）的严格减区间是（）．A．B．与C．与D．【答案】C【解析】由题得．由，令解得或．所以函数的严格减区间是与．选项D，本题的两个单调区间之间不能用“”连接，所以该选项错误．故选：C【解题方法总结】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求的定义域（2）求出．（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线．（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．题型二：求单调区间,【例3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．m>1【答案】B【解析】函数的定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：故选：B．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围,【对点训练3】（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是．故选：B题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围,【对点训练4】（2023·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数．若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，不妨取，则可转化为，即．令，则对任意，，且，都有，所以在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数a的取值范围是，故选：A题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围,【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故．故选：D．【解题方法总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围,【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．试判断函数在上单调性并证明你的结论；【解析】函数在上为减函数，证明如下：因为，所以，又因为，所以，，所以，即函数在上为减函数．题型四：不含参数单调性讨论,【对点训练6】（2023·贵州·校联考二模）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论在上的单调性．【解析】（1），∴，又，∴曲线在点处的切线方程是，即；（2）令，则在上递减，且，，∴，使，即，当时，，当时，，∴在上递增，在上递减，∴，当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故，∴在上是减函数．【解题方法总结】确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．题型四：不含参数单调性讨论,【例5】（2023·山东聊城·统考三模）已知函数．讨论的单调性；【解析】，，①当，即时，，在区间单调递增．②当，即时，令，得，令，得，所以在区间单调递增；在区间单调递减．③当，即时，若，则，在区间单调递增．若，令，得，令，得，所以在区间单调递减；在区间单调递增．综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；时，在区间单调递增时，在区间单调递减、在区间单调递增．题型五：含参数单调性讨论——情形一：函数为一次函数,【对点训练7】（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知函数．讨论函数的单调性；【解析】的定义域为若，则在单调递增；若，令，解得（舍去）当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，题型五：含参数单调性讨论——情形一：函数为一次函数,【例6】（2023·云南师大附中高三阶段练习）已知函数．讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，．令，解得，则有当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．题型五：含参数单调性讨论——情形二：函数为准一次函数,【对点训练8】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数．讨论的单调性；【解析】∵，∴，①当时，恒成立，此时在上单调递增；②当时，令，解得，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．题型五：含参数单调性讨论——情形二：函数为准一次函数,【例7】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数．讨论函数的单调性；【解析】因为，该函数的定义域为，．因为，由得：或．①当，即时，对任意的恒成立，且不恒为零，此时，函数的增区间为，无减区间；②当，即时，由得或；由得．此时，函数的增区间为、，减区间为；③当，即时，由得或；由得．此时函数的增区间为、，减区间为．综上所述：当时，函数的增区间为，无减区间；当时，函数的增区间为、，减区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为．题型五：含参数单调性讨论——情形三：函数为二次函数型（方向1、可因式分解）,【对点训练9】（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数，．讨论的单调区间；【解析】的定义域为，若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．若，则恒成立，在上单调递增．综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间题型五：含参数单调性讨论——情形三：函数为二次函数型（方向1、可因式分解）,【例8】（2023·河南驻马店·统考二模）已知函数，．讨论的单调性；【解析】由题意可得的定义域为，且．令，则，．当，即时，，在上单调递增．当，即或时，有两个根，．若，，，则当时，，单调递增，当时，，单调递减；若，，则当或时，，单调递增，当时，，单调递减．综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．题型五：含参数单调性讨论——情形三：函数为二次函数型（方向2、不可因式分解型）,【对点训练10】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性；【解析】函数的定义域为，求导得，①当，即时，恒成立，此时在上单调递减；②当，即时，由解得，，由解得，，由解得或，此时在上单调递增，在和上单调递减；③当，即时，由解得或（舍），由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．题型五：含参数单调性讨论——情形三：函数为二次函数型（方向2、不可因式分解型）,【例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中．讨论函数的单调性；【解析】，，当时，，函数在上单调递增，当时，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．题型五：含参数单调性讨论——情形四：函数为准二次函数型,【对点训练11】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知．（）讨论的单调性；【解析】因为，所以，若时，单调递减，时，，单调递增；若，由得或，设，则，时，单调递减，时，单调递增，所以，所以，所以时，单调递减，，时，，单调递增．综上得，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，在，上单调递增．【解题方法总结】1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3、利用草稿图像辅助说明．题型五：含参数单调性讨论——情形四：函数为准二次函数型,【例10】（2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数（，且），求函数的单调区间；【解析】的定义域为，（，且）显见，．①当时，，．若，则，，得．于是，．若，则，，得，于是，∴当时，，即在上单调递增②当时，，若，则，，得．于是，若，则，，得，于是，∴当时，．即在上单调递减综上得，的单调递增区间为，单调递减区间为题型六：分段分析法讨论,【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．判断函数的单调性．【解析】因为，定义域为，，令，因为，则，可得在上单调递减，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．【解题方法总结】1、二次型结构，当且仅当时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．2、对于不可以因式分解的二次型结构，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负．3、注意定义域以及根的大小关系．题型六：分段分析法讨论,04PARTONE真题感悟,1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（）A．B．C．D．2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（）A．B．C．D．AC,感谢观看THANKYOU