2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第04讲 基本不等式及其应用（练习）（解析版）

第04讲基本不等式及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.2．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】对A，二次函数的对称轴为，不是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，，定义域为，所以函数是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；对D，，定义域为，所以函数是偶函数，因为，，所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值，故D正确.故选：D3．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（   ）A．12B．25C．27D．36【答案】C【解析】因为，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（    ）A．5B．9C．13D．18【答案】B【解析】由，可得，所以，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，即.对于A，成立. 对于B，，成立.对于C，，即.故C错误；对于D，成立.故选：C.6．（2023·浙江杭州·统考二模）已知，，且，则ab的最小值为（    ）A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，当且仅当即时取等号，即：，当且仅当时取等号，故的最小值为16.故选：C.7．（2023·河南安阳·统考三模）已知，则下列命题错误的是（    ）A．若，则B．若，则的最小值为4C．若，则的最大值为2D．若，则的最大值为【答案】D【解析】∵，∴，∴，故A正确；若，则，当且仅当时等号成立，故B正确；若，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：D.8．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】当，时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．所以，即．故选：A.9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ）A．B．C．若，则D．【答案】BC【解析】A选项：，由于函数在R上单调递增，则，即，已知，即，若取，，则，故A错误.B选项：因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确.C选项：若，则，且，，由于函数在上单调递增，所以，即，故C正确. D选项：令，，则，故D错误.故选：BC.10．（多选题）（2023·云南玉溪·统考一模）已知，且则下列结论一定正确的有（    ）A．B．C．ab有最大值4D．有最小值9【答案】AC【解析】A选项，，A正确；B选项，找反例，当时，，，，B不正确；C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；D选项，，D不正确.故选：AC.11．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）下列说法正确的是（    ）A．若且，则，至少有一个大于2B．，C．若，，则D．的最小值为2【答案】AC【解析】对于A,若，均不大于2，则，则，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，对于B,B.，，故B错误，对于C,由得，由得，所以，故C正确，对于D，由于，函数在单调递增，故，D错误，故选:AC12．（多选题）（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（    ）A．且B．的最大值为 C．的最小值为7D．【答案】ABD【解析】由，可得，所以且，故A正确；由，可得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9，故C错误；因为，则，所以，故D正确.故选：ABD.13．（2023·上海浦东新·统考二模）函数在区间上的最小值为_____________．【答案】．【解析】，因为，所以，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：14．（2023·上海长宁·统考二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．【答案】 【解析】设矩形植物种植园的宽、长为，所以，则，当且仅当“”时取等.故至少需要米栅栏．故答案为：．15．（2023·全国·模拟预测）已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是______（用区间表示）．【答案】（答案不唯一，是的子集即可）【解析】由题意可知，当且仅当时取得等号，所以恒成立，故正实数的一个范围可以为（答案不唯一，是的子集即可）．故答案为：16．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是______.【答案】【解析】由可得，而，当且仅当时，等号成立，即，解得，由可知，所以，令，则，函数在单调递增，在单调递减故，即的取值范围是， 故答案为：1．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．2．（2021·浙江·统考高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，， 则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.3．（2010·四川·高考真题）设，则的最小值是A．2B．4C．D．5【答案】B【解析】，，当且仅当，即时取等号，，当且仅当取等号，即，取最小值，可得的最小值：4，故选B.4．（2012·浙江·高考真题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A．B．C．5D．6【答案】C 【解析】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．5．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【解析】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.6．（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：7．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.8．（2017·山东·高考真题）若直线过点，则的最小值为________．【答案】8 【解析】因为直线过点，所以，因为所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8故答案为：89．（2019·天津·高考真题）设，则的最小值为______.【答案】【解析】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．10．（2019·天津·高考真题）设，，，则的最小值为__________.【答案】.【解析】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．