2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷11【沪科版】

2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷11【沪科版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.抛物线y=12(x+1)2−3的顶点坐标是(    )A.(1,3)B.(−1,−3)C.(1,−3)D.(−1,3)2.已知函数y=−12x2+x，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是(    )A.x<12B.x>12C.x<−12D.x>−123.将抛物线y=−5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为(    )A.y=−5(x−1)2−1B.y=−5(x−1)2−2C.y=−5(x+1)2−1D.y=−5(x+1)2+34.下列对二次函数y=−x2+2x的图象的描述，正确的是(    )A.不经过原点B.对称轴是y轴C.经过点(m+1,−m2+1)D.在对称轴右侧y随x的增大而增大5.已知二次函数y=mx2+x−1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是(    )A.m>−14B.m≥−14C.m>−14且m≠0D.m≥−14且m≠06.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是(    )A.y=x2+1B.y=−x2+1C.y=2x+1D.y=−2x+17.若函数y=(m−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是(    )A.3或5B.3C.4D.58.已知二次函数y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于(x1,y1)和(x2,y2)两点，(    )A.若a<0，m<0，则x1+x2>2ℎB.若a>0，m<0，则x1+x2>2ℎC.若x1+x2>2ℎ，则a>0，m>0D.若x1+x2<2ℎ，则a>0，m<09.若关于x的二次函数y=x2−ax+1，当x≤−2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程12−x=2+1−axx−2有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有(    )A.6个B.5个C.4个D.3个15 10.新定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为实数)的“图象数”，如：y=x2−2x+3的“图象数”为[1,−2,3]，若“图象数”是[m,2m+4,2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为(    )A.−2B.14C.−2或2D.2第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.如图，抛物线y=px2−q与直线y=ax−b交于A(−2,m)，B(4,n)两点，则不等式px2−b>ax−q的解集是______．12.已知抛物线y=x2−3x−2023与x轴的一个交点为(a,0)，则代数式a2−3a−2024的值为______．13.某抛物线形隧道的最大高度为16米，跨度为40米，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，它对应的表达式为______．14.在平面直角坐标系中，关于x的函数y=−x+3a+2和y=x2−ax的图象相交于点P、Q．(1)若点P的横坐标为1，则a=______．(2)若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）15.某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时(x为正整数)，月销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；15 (2)每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？(3)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题8.0分)已知抛物线的顶点坐标为(−1,−8)，且过点(0,−6)，求抛物线的解析式．17.(本小题8.0分)如图，这是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升2米后，求水面的宽度．18.(本小题8.0分)已知函数y=2x2−(3−k)x+k2−3k−10的图象经过原点，试确定k的值．19.(本小题8.0分)已知二次函数y=x2+4x+k−1．(1)若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；(2)若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．20.(本小题10.0分)已知二次函数y=12x2+x+4．(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？21.(本小题10.0分)如图，在一面靠墙(墙足够长)的空地上，用长为24米的篱笆围成中间隔有二道篱笆的距形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2．(1)15 求S与x的函数解析式及自变量x的取值范围；(2)当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？22.(本小题12.0分)如图所示，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(−1,0)，点B(4,0)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D作DF⊥BC，垂足为点F.设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？23.(本小题14.0分)已知抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的对称轴为直线x=1．(1)求a的值；(2)若点M(x1,y1)，N(x2,y2)都在此抛物线上，且−1<x1<0，1<x2<2.比较y1与y2的大小，并说明理由；(3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=ax2−2x+1交于点A、B，与抛物线y=3(x−1)2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．15 答案和解析1.【答案】B 【解析】解：抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为(−1,−3)．故选：B．已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式直接求出顶点坐标．本题考查了二次函数的性质．抛物线解析式的顶点式：y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标为(ℎ,k)．2.【答案】A 【解析】解：∵−12<0故函数开口向下，对称轴为x=−b2a=−12×−12=12，故当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是x<12．故选：A．根据二次函数的性质，得到函数的对称轴以及函数的开口方向，即可得到函数的单调性．本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，知道函数的开口方向以及对称轴是解题的关键．3.【答案】C 【解析】解：将抛物线y=−5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为：y=−5(x+1)2+1−2，即y=−5(x+1)2−1．故选：C．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4.【答案】C 【解析】解：将(0,0)代入二次函数y=−x2+2x得到0=−02+2×0，故二次函数经过原点，故选项A错误；对称轴x=−b2a=−2−1=2，故选项B错误；将x=m+1代入二次函数得y=−(m+1)2+2(m+1)=−m2+1，故选项C15 正确；由于−1<0，故函数图象开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，故选项D错误．故选：C．根据二次函数的图象与性质可以得到答案．本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．5.【答案】C 【解析】解：∵原函数是二次函数，∴m≠0．∵二次函数y=mx2+x−1的图象与x轴有两个交点，则△=b2−4ac>0，△=12−4m×(−1)>0，∴m>−14．综上所述，m的取值范围是：m>−14且m≠0，故选C．根据二次函数y=mx2+x−1的图象与x轴有两个交点，可得△=12−4m×(−1)>0且m≠0．本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟记当△=b2−4ac>0时图象与x轴有两个交点；当△=b2−4ac=0时图象与x轴有一个交点；当△=b2−4ac<0时图象与x轴没有交点．6.【答案】D 【解析】解：选项A中，函数y=x2+1，x<0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；选项B中，函数y=−x2+1，x>0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；选项C中，函数y=2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；选项D中，函数y=−2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；故选：D．根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．本题考查二次函数，一次函数的性质，解题关键是掌握二次函数，一次函数图象与系数的关系．7.【答案】A 【解析】解：①当m−3=0，即m=3时，y=−4x+2，令y=0，则−4x+2=0，解得x=12，∴15 此时函数y=(m−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个交点，②当m−3≠0时，∵二次函数y=(m−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个交点，∴Δ=(−4)2−8(m−3)=0，解得m=5．综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5．故选：A．分m−3=0及m−3≠0两种情况考虑：当m=3时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出m=3符合题意；当m≠3时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上即可得出结论．本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，分m−3=0及m−3≠0两种情况考虑是解题的关键．8.【答案】A 【解析】解：∵y=a(x−ℎ)2+k，∴抛物线对称轴为直线x=ℎ，∵a<0，m<0，∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，设x1<x2，则y1>y2，∴x1+x22>ℎ，∴x1+x2>2ℎ．故选：A．由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x=ℎ，由函数图象与系数的关系讨论(x1,y1)和(x2,y2)两点中x1+x2与2ℎ的关系．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握函数与方程的关系．9.【答案】B 【解析】解：∵二次函数y=x2−ax+1的对称轴为：x=−−a2=a2，当x≤−2时，y随着x的增大而减小，∴a2≥−2，∴a≥−4；方程两边同时乘(x−2)得：−1=2(x−2)+1−ax，解得：x=−2a−2，∴−2a−2>015 ，且−2 a−2≠2，∴a<2且a≠1，∴−4≤a<2且a≠1，∵a为整数，∴a=−4，−3，−2，−1，0．故选：B．根据二次函数的性质列出不等式求得a的范围，解分式方程，根据分式方程的解为正数且不是增根，列出不等式，求出a的范围，最后根据a为整数，写出a的值即可．本题考查了二次函数的性质，分式方程的解，注意分式方程要检验．10.【答案】C 【解析】解：二次函数的解析式为y=mx2+(2m+4)x+2m+4，根据题意得△=(2m+4)2−4m(2m+4)=0，解得m1=−2，m2=2，故选：C．根据新定义得到二次函数的解析式为y=mx2+(2m+4)x+2m+4，然后根据判别式的意义得到△=(2m+4)2−4m(2m+4)=0，从而解m的方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．11.【答案】−2<x<4 【解析】解：观察图象可知当x=4，x=−2时，px2−b=ax−q．在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即px2−b>ax−q，所以不等式px2−b>ax−q的解集是−2<x<4．故答案为：−2<x<4．首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．本题考查了不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象点的坐标特征和数形结合思想是解题关键．12.【答案】−1 15 【解析】解：∵抛物线y=x2−3x−2023与x轴的一个交点为(a,0)，∴a2−3a−2023=0，∴a2−3a=2023，∴a2−3a−2024=2023−2024=−1．故答案为：−1．利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可．本题考查抛物线与x轴的交点，代数求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．13.【答案】y=−125(x−20)2+16 【解析】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为(20,16)，过(0,0)，设抛物线对应的表达式为y=a(x−20)2+16，将(0,0)代入y=a(x−20)2+16得，0=a(0−20)2+16，解得，a=−125，∴y=−125(x−20)2+16，故答案为：y=−125(x−20)2+16．由题意知，抛物线的顶点坐标为(20,16)，过(0,0)，设抛物线对应的表达式为y=a(x−20)2+16，将(0,0)代入y=a(x−20)2+16得，0=a(0−20)2+16，解得，a=−125，进而可得结果．本题考查二次函数的应用，解题的关键是灵活应用抛物线的顶点式解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】0 a>0或−23<a<0 【解析】解：(1)令−x+3a+2=x2−ax，把x=1代入−x+3a+2=x2−ax，得−1+3a+2=1−a，解得a=0．(2)函数y=x2−ax的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为(0,0)和(a,0)．①当a>0时，若P、Q两点都在x轴的上方，此时当x=a时，y=−x+3a+2=−a+3a+2=2a+2>0，∴a>−1，∵a>0a>−1∴a>0．②当a<0时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图2：此时当x=0时，y=−x+3a+2=3a+2>0，解得a>−23，故−23<a<015 ，综上所述，实数a的取值范围是a>0或−23<a<0．故答案为a>0或−23<a<0．(1)令−x+3a+2=x2−ax，把x=1代入−x+3a+2=x2−ax，求得a；(2)设抛物线与x轴相交的的点的坐标(a,0)，分二种情况讨论，①当a>0时，若P、Q两点都在x轴的上方，②当a<0时，若P、Q两点都在x轴的上方，x=0时，y的函数值用a表示，求出a的取值范围．主要考查图象与二次函数系数之间的关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这几个知识点的熟练应用，分情况讨论是解题关键．15.【答案】解：(1)根据题意得：y=(30+x−20)(230−10x)=−10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0<x≤10且x为正整数；(2)当y=2520时，得−10x2+130x+2300=2520，解得x1=2，x2=11(不合题意，舍去)当x=2时，30+x=32(元)答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．(3)根据题意得：y=−10x2+130x+2300=−10(x−6.5)2+2722.5，∵a=−10<0，∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，∵0<x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720(元)，当x=7时，30+x=37，y=2720(元)，答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元． 【解析】(1)根据题意知一件文具的利润为(30+x−20)元，月销售量为(230−10x)，然后根据月销售利润=一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．15 (2)把y=2520时代入y=−10x2+130x+2300中，求出x的值即可．(3)把y=−10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0<x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．16.【答案】解：由题意设函数的解析式是y=a(x+1)2−8．把(0,−6)代入函数解析式得a−8=−6，解得：a=2，则抛物线的解析式是y=2(x+1)2−8． 【解析】设函数的解析式是y=a(x+1)2−8，把(0,−6)代入函数解析式即可求得a的值，则函数的解析式即可求得．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．17.【答案】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=ax2+3，∵函数图象过点A(−32,0)，∴0=a(−32)2+3，解得：a=−43，∴抛物线的解析式为：y=−43x2+3，当y=2时，2=−43x2+3，解得：x1=32，x2=−32，∴则水面的宽为32−(−32)=3(米)，15 答：水面的宽度是3米． 【解析】以AB所在直线的x轴、线段AB的中垂线为y轴建立坐标系，再利用待定系数法求得函数解析式，求出函数解析式y=2时x的值，据此可得．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．18.【答案】解：∵函数y=2x2−(3−k)x+k2−3k−10的图象经过原点，∴0=2×02−(3−k)×0+k2−3k−10，∴k2−3k−10=0，∴(k−5)(k+2)=0，解得，k1=5，k2=−2，即k的值是5或−2． 【解析】根据函数y=2x2−(3−k)x+k2−3k−10的图象经过原点，可以得到关于k的一元二次方程，从而可以求得k的值．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2+4x+k−1的图象与x轴有两个不同的交点∴b2−4ac=42−4×1×(k−1)=20−4k>0∴k<5，则k的取值范围为k<5；(2)根据题意得： 4ac−b24a=4(k−1)−164×1=0，解得k=5． 【解析】(1)根据抛物线y=x2+4x+k−1与x轴有两个不同的交点，得出b2−4ac>0，进而求出k的取值范围．(2)根据顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0，求出即可．此题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数的判断以及图象顶点在坐标轴上的性质，熟练掌握其性质是解题关键．15 20.【答案】解：(1)∵a=12>0，∴抛物线开口向上，∵−b2a=−12x(−12)=−1，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵当x=−1时，y=72∴顶点坐标为(−1,72)；(2)∵抛物线开口向上且对称轴为x=−1，∴当x<−1时，y随x的增大而减小，当x≥−1时，y随x的增大而增大． 【解析】(1))由a=12>0，则抛物线开口向上，则抛物线的对称轴为直线x=−1，顶点坐标为(−1,72)；(2)因为抛物线开口向上且对称轴为x=−1，根据函数的性质可得：当x<−1时，y随x的增大而增小，当x≥−1时，y随x的增大而增大．本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵AB=xm，∴BC=(24−4x)m，∴S=AB⋅BC=x(24−4x)=−4x2+24x(0<x<6)；(2)S=−4x2+24x=−4(x−3)2+36，∵0<x<6，∴当x=3时，S有最大值为36m2． 【解析】(1)根据AB为xm，BC就为(24−4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式．(2)由S和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长．本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围．22.【答案】解：(1)A(−1,0)，B(4,0)分别代入y=ax2+bx+4(a≠0)得a−b+4=016a+4b+4=0，解得：a=−1b=3，∴抛物线的表达式为：y=−x2+3x+4；(2)把x=015 代入y=−x2+3x+4得y=4，∴C(0,4)，设BC所在直线解析式为y=kx+b，把B(4,0)，C(0,4)代入y=kx+b得：0=4k+b4=b，解得k=−1b=4，∴y=−x+4，设M(m,0)，则D(m,−m2+3m+4)，E(m,−m+4)，∴DE=−m2+3m+4+m−4=−m2+4m，∵OB=OC=4，OC⊥OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵DM⊥x轴，∴∠DEF=∠BEM=45°，又∵DF⊥BC，∴DF=22DE=22(−m2+4m)=−22(m−2)2+22，∵−22<0，∴当m=2时，DF有最大值为22． 【解析】(1)利用待定系数法求函数解析式．(2)先求出B，C所在直线解析式可得∠OBC=∠OCB=45°，通过DF=22DE可得表示DF长度的代数式，再配方求解．本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值．23.【答案】解：(1)根据题意可知，抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的对称轴直线x=−−22a=1a=1，∴a=1．(2)由(1)可知，抛物线的解析式为：y=x2−2x+1=(x−1)2，∵a=1>0， ∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，抛物线图象开口向上，∴15 抛物线上点的横坐标离对称轴越远，对应的点的纵坐标越大，∵−1<x1<0，1<x2<2，∴x1−1>x2−1，∴y1>y2．(3)联立y=m(m>0)与y=x2−2x+1=(x−1)2，可得交点为(1+m,m)和(1−m,m)，∴AB=1+m−1+m=2m，联立y=m(m>0)与y=3(x−1)2，可得交点为(1+m3,m)和(1−m3,m)，∴CD=1+m3−1+m3=233m，∴ABCD=3． 【解析】本题主要考查二次函数的性质，数形结合思想等，题目难度适中，(1)根据对称轴公式，代入数据即可求出a；(2)根据二次函数的开口方向和对称轴可得出结论；(3)分别联立直线y=m与两抛物线的解析式，得出线段AB和线段CD的长度，即可得出结论．15