2024年秋季新八年级数学开学摸底考试卷（北师大版）

新八年级开学摸底考试卷（北师大版）数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：七年级下整册+八年级上册第一章4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）一、单选题1．36的平方根是（    ）A．±6B．6C．−6D．不存在2．以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（　　）A．4，5，6B．6，8，11C．1，1，2D．5，12，233．下列事件属于随机事件的是（    ）A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．打开电视，电视正在播放新闻节目C．从只有红球的袋子中，摸出1个白球D．掷一次骰子，向上的一面的点数是74．如图，直线AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为（　　）A．38°B．42°C．52°D．62°5．下列运算中正确的是（　　）A．m3+m3＝2m6B．﹣n3﹣n2＝n5C．a+b2＝a2+b2D．﹣3ab22÷3ab3＝3ab6．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，则它的腰长为（）A．5cmB．6cmC．5.5cm或5cmD．5cm或6cm24 7．某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：甲食材乙食材每克所含蛋白质0.3单位0.7单位每克所含碳水化合物0.6单位0.4单位若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（    ）A．0.3x+0.6y=210.7x+0.4y=40B．0.6x+0.3y=210.4x+0.7y=40C．0.3x+0.7y=210.6x+0.4y=40D．0.3x+0.7y=400.6x+0.4y=218．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是  A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D9．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A中纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．则下列等式中，能正确表示图2的面积关系的是（    ）A．a−b2=a2−2ab+b2B．a2=2ab+b2C．a+ba−b=a2−b2D．a+b2=a2+2ab+b210．如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连按PQ．下列结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；⑤DE＝DP．其中正确的有24 A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．若am=3，an=2，则a2m+n=．12．东方超市进了一批玩具，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其销售数量x（个）与售价y（元）之间的关系如下表：销售数量x（个）1234…售价y（元）8+0.316+0.624+0.932+1.2…则y与x的关系式为．13．如图，∠1=∠2，AB=AE，添加一个条件，使得△ABC≌△ΑED．14．若x+y=9，xy=20，则x−y=．15．在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从0,2出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2022次碰到长方形的边时，点P2022的坐标为．  三、解答题（一）：本大题共3小题，16题6分，17题7分，18题8分，共21分．24 16．计算：5÷−12000−33×−29．17．先化简，再求值：[（﹣2y）2﹣（2x﹣y）（3x+y）﹣5y2]÷（−12x），其中，x、y满足|x﹣1|+（y+3）2＝0．18．如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D．从D点引一条射线DE，若∠1=∠2，求证：∠B+∠CDE=180°．证明：∠1=∠2（已知），且∠1=____（______），∴∠BFD=∠2（______），∴BC∥DE（______），∴∠C+______=180°（______），又∵AB∥CD（已知），∴∠B=______（______），∴∠B+∠CDE=180°．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．某小区为了解业主对小区物业服务的满意度，从小区中随机抽取部分住户进行调查，调查结果分为：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意四个等级．请根据如图所示的两幅统计图中的信息回答下列问题：(1)抽样调查共抽取了多少户？(2)求本次调查中“基本满意”的有多少户？并补全条形统计图；(3)若该小区共有5000户，请估计对该小区服务表示不满意的有多少户？20．如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，CE交AD于点F．24 (1)求证：BD=FD；(2)若BD=2，当点E为AB边中点时，求AF的长．21．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A，B两种型号的帐篷．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．(1)求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），其中B种帐篷数量不少于16顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．22．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．(1)由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为（用含a，b的代数式表示）；(2)小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为(3a+b)(a+2b)的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；(3)如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB=5，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1,S2，且S1+S2＝17，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．23．【情景感知】（1）如图①，在正方形ABCD中，∠MBN绕着点B旋转，与AD交于点E，与CD交于点F，连接BE、BF、EF，如果∠EBF=45°，请直接写出AE、CF、EF三条线段之间的数量关系为______24 （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述问题（1）中的结论是否仍然成立？______（填“成立”或“不成立”）【探究发现】（3）如图③，在四边形ABCD中，BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述中的结论是否仍然成立？并说明理由；【拓展应用】（4）今年的5月1日，我国第三艘航母“福建舰”开启首次海试，我国东海舰队派出现代级驱逐舰“杭州舰”为其护航．如图所示，“福建舰”在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．“杭州舰”在指挥中心南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，“福建舰”向正东方向以30海里/小时的速度前进，同时“杭州舰”沿北偏东40°的方向以35海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到“福建舰”、“杭州舰”两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心雷达观测两舰艇之间的夹角∠EOF=65°．试求此时两舰艇之间的距离．  24 新八年级开学摸底考试卷（北师大版）数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：七年级下整册+八年级上册第一章4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）一、单选题1．36的平方根是（    ）A．±6B．6C．−6D．不存在【答案】A【分析】本题考查了平方根，根据平方根的概念即可求解，熟练掌握“正数有两个平方根，且它们互为相反数”是解题的关键．【详解】36的平方根是±6．故选：A．2．以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（　　）A．4，5，6B．6，8，11C．1，1，2D．5，12，23【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、52+42≠62，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、62+82≠112，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；C、12+12=22，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、52+122≠232，故不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．下列事件属于随机事件的是（    ）A．任意画一个三角形，其内角和是180°24 B．打开电视，电视正在播放新闻节目C．从只有红球的袋子中，摸出1个白球D．掷一次骰子，向上的一面的点数是7【答案】B【分析】本题主要考查必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案.【详解】解：A．任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故本选项不符合题意；B．打开电视，电视正在播放新闻节目是随机事件，故本选项符合题意；C．从只有红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故本选项不符合题意；D．掷一次骰子，向上的一面的点数是7是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：B．4．如图，直线AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为（　　）A．38°B．42°C．52°D．62°【答案】C【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD＝38°，再利用余角的定义即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∠ADC＝38°，∴∠BAD＝38°，∵AD⊥BD，∴∠ABD＝52°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质、余角的定义，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．5．下列运算中正确的是（　　）A．m3+m3＝2m6B．﹣n3﹣n2＝n5C．a+b2＝a2+b2D．﹣3ab22÷3ab3＝3ab【答案】D【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：A、原式＝2m3，故A错误．B、原式＝﹣n5，故B错误．C、原式＝a2+2ab+b2，故C错误；D、原式=9a2b4÷3ab3＝3ab，故正确．24 故选：D．【点睛】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，则它的腰长为（）A．5cmB．6cmC．5.5cm或5cmD．5cm或6cm【答案】D【分析】分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17-5）÷2=6（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5×2=7（cm），能够组成三角形．故该等腰三角形的腰长为：6cm或5cm．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：甲食材乙食材每克所含蛋白质0.3单位0.7单位每克所含碳水化合物0.6单位0.4单位若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（    ）A．0.3x+0.6y=210.7x+0.4y=40B．0.6x+0.3y=210.4x+0.7y=40C．0.3x+0.7y=210.6x+0.4y=40D．0.3x+0.7y=400.6x+0.4y=21【答案】C【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出列方程组所需的等量关系．根据题意和表格中的数据，列出方程组即可．【详解】解：由题意可得，0.3x+0.7y=210.6x+0.4y=40，故选：C．8．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是24   A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定【详解】A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．故选C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，选择合适的判定方法是解决此题的关键．9．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A中纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．         则下列等式中，能正确表示图2的面积关系的是（    ）A．a−b2=a2−2ab+b2B．a2=2ab+b2C．a+ba−b=a2−b2D．a+b2=a2+2ab+b2【答案】D【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．由图二可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，从而得到答案，【详解】由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即(a+b)2−2ab=a2+b2．故选：D．10．如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形24 CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连按PQ．下列结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；⑤DE＝DP．其中正确的有A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知④正确；⑤根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知⑤错误.【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC＝BC∠ACD＝∠BCEDC＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；故①正确；②∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，24 ∠ACD＝∠BCEAC＝BC∠ACB＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ；故②正确；③∵△ACP≌△BCQ，∴PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE；故③正确；④∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故④正确；⑤∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE；故⑤错误；综上所述，正确的结论有：①②③④，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．二、24 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．若am=3，an=2，则a2m+n=．【答案】18【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算法则求解即可．【详解】解：∵am=3，an=2，∴a2m+n=a2m⋅an=am2⋅an=32×2=18，故答案为：18．【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，利用幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算法则是解答的关键．12．东方超市进了一批玩具，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其销售数量x（个）与售价y（元）之间的关系如下表：销售数量x（个）1234…售价y（元）8+0.316+0.624+0.932+1.2…则y与x的关系式为．【答案】y=8.3x【分析】根据表格可以得到，售价是销售数量的8+0.3倍，写出解析式即可．【详解】解：由表格可知：当x=1时，y=1×8+0.3，当x=2时，y=2×8+0.3，当x=3时，y=3×8+0.3，当x=4时，y=4×8+0.3，⋯∴y与x的关系式为y=8+0.3x=8.3x；故答案为：y=8.3x．【点睛】本题考查利用表格求函数解析式．从表格中有效的获取信息，是解题的关键．13．如图，∠1=∠2，AB=AE，添加一个条件，使得△ABC≌△ΑED．24 【答案】∠B=∠E（答案不唯一）【分析】添加条件∠B=∠E，利用ASA证明△ABC≌△ΑED即可．【详解】解：添加条件AB=DE，理由如下：∵∠1=∠2∴∠BAC=∠EAD在△ABC和△AED中，∠B=∠EAB=AE∠BAC=∠EAD，∴△ABC≌△AEDASA，故答案为：∠B=∠E（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS，HL．14．若x+y=9，xy=20，则x−y=．【答案】±1．【详解】解：(x−y)2=(x+y)2−4xy=92−4×20=1，∴x-y=±1=±1．故答案为±1．15．在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从0,2出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2022次碰到长方形的边时，点P2022的坐标为．  【答案】0,2【分析】依照题意画出图形，再根据轴对称的性质写出前面7个点的坐标，再归纳出规律，利用规律解题即可．【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．  ∵P0,2，P12,0，P26,4，24 ∴P38,2，P46,0，P52,4，P60,2，P72,0，…，∴Pn的坐标以6为循环单位循环．∵2022÷6=337，∴点P2022的坐标是0,2，故答案为：0,2．【点睛】本题考查的轴对称的性质，坐标规律探究，熟练的利用轴对称的性质得到坐标的变化规律是解本题的关键．三、解答题（一）：本大题共3小题，16题6分，17题7分，18题8分，共21分．16．计算：5÷−12000−33×−29．【答案】11【分析】先算乘方，再算乘除法，最后算减法．【详解】解：原式=5÷1−27×(−29)=5−(−6)=5+6=11．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练的掌握运算法则并弄清楚运算顺序是解题关键．17．先化简，再求值：[（﹣2y）2﹣（2x﹣y）（3x+y）﹣5y2]÷（−12x），其中，x、y满足|x﹣1|+（y+3）2＝0．【答案】12x−2y，18．【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x与y的代入原式即可求出答案．【详解】解：原式=4y2−6x2+2xy−3xy−y2−5y2÷(−12x)，=4y2−6x2−2xy+3xy+y2−5y2÷(−12x)，=−6x2+xy÷(−12x)，=12x−2y∵|x−1|+(y+3)2=0，∴x-1=0，y+3=0，∴x=1，y=-3，当x=1，y=-3时，原式=12×1−2×−3=18．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算．18．如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D．从D点引一条射线DE，若∠1=∠2，求证：24 ∠B+∠CDE=180°．证明：∠1=∠2（已知），且∠1=____（______），∴∠BFD=∠2（______），∴BC∥DE（______），∴∠C+______=180°（______），又∵AB∥CD（已知），∴∠B=______（______），∴∠B+∠CDE=180°．【答案】见详解【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，对顶角相等，先由已知条件证明∠BFD=∠2，即可得出BC∥DE，再由平行线的性质可得出∠C+∠CDE=180°，再利用平行线的性质得出∠B=∠C，等量代换可得出结论．【详解】证明：∠1=∠2（已知），且∠1=∠BFD（对顶角相等），∴∠BFD=∠2（等量代换），∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠C+∠CDE=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），∴∠B+∠CDE=180°故答案为：∠BFD，对顶角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行，∠CDE，两直线平行，同旁内角互补，∠C，两直线平行，内错角相等．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．某小区为了解业主对小区物业服务的满意度，从小区中随机抽取部分住户进行调查，调查结果分为：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意四个等级．请根据如图所示的两幅统计图中的信息回答下列问题：24 (1)抽样调查共抽取了多少户？(2)求本次调查中“基本满意”的有多少户？并补全条形统计图；(3)若该小区共有5000户，请估计对该小区服务表示不满意的有多少户？【答案】(1)50户(2)16户，图见解析(3)400户【分析】（1）用“非常满意”的户数除以其所占的百分比即可求的调查总户数；（2）用总户数减去其它等级的户数可求解；（3）用该区总人数乘以抽样调查中表示不满意的户数所占的百分比即可求解．【详解】（1）解：10÷20%=50（户），答：抽样调查共抽取了50户；（2）解：50−10−20−4=16（户），∴本次调查中“基本满意”的有16户，补全条形统计图如图所示：（3）解：5000×450=400（户），答：估计对该小区服务表示不满意的有400户．【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中准确获取所需信息是解答的关键．20．如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，CE交AD于点F．24 (1)求证：BD=FD；(2)若BD=2，当点E为AB边中点时，求AF的长．【答案】(1)见详解(2)AF=22【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的重心：（1）通过ASA证明△BDA≌△FDC，即可作答．（2）设AF=x，则AD=DC=2+x，因为点E为AB边中点，CE⊥AB，所以EC是AB的中垂线，即BC=AC=4+x，根据勾股定理，建立等式，即可作答．【详解】（1）证明：∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，则∠DFC+∠DCF=90°，∠ACD=∠ACB=45°，即AD=DC，∵CE⊥AB，∴∠EAF+∠AFE=90°，∵∠AFE=∠DFC，∴∠EAF=∠DCF，即△BDA≌△FDCASA所以BD=FD；（2）解：由（1）知△BDA≌△FDCASA，则AD=DC设AF=x，则AD=DC=2+x，∵点E为AB边中点，CE⊥AB，∴EC是AB的中垂线，即BC=AC=4+x，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2故4+x2=2+x2+2+x2解得x=22（x=−22<0，舍去）24 即AF=2221．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A，B两种型号的帐篷．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．(1)求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），其中B种帐篷数量不少于16顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【答案】(1)每A顶14种型号帐蓬600元,每顶B种型号帐䈽1000元(2)购买A种型号帐篷4顶，购买B种型号帐篷16顶，总费用最低，最低总费用为18400元【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．（1）设每顶A种型号帐蓬m元,每顶B种型号帐蓬n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，列出方程，即可解得答案；（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，B种帐篷数量不少于16顶，可x≤4，而w=600x+100020−x=−400x+20000，根据一次函数性质可得答案．【详解】（1）解:设每顶A种型号帐蓬m元,每顶B种型号帐蓬n元,根据题意得:2m+4n=52003m+n=2800,解得:m=600n=1000,故：每A顶14种型号帐蓬600元,每顶B种型号帐䈽1000元；（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷20−x顶，∵B种帐蓬数量不少于16顶∴20−x≥16,解得：x≤4,根据题意得:w=600x+1000(20−x)=−400x+20000,∵−400<0,∴w随x的增大而减小,∴当x=4时,w取最小值,最小值为−400×4+20000=18400(元),∴20−x=20−4=16,答：购买A种型号帐篷4顶，购买B种型号帐篷16顶，总费用最低，最低总费用为18400元．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．24 22．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．(1)由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为（用含a，b的代数式表示）；(2)小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为(3a+b)(a+2b)的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；(3)如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB=5，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1,S2，且S1+S2＝17，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．【答案】(1)a2+2ab+b2=a+b2(2)所需A、B两种纸片各2张，C种纸片7张(3)S阴影=2【分析】本题考查多项式乘以多项式，完全平方公式的几何背景．（1）图②的正方形的边长为(a+b)，是由1张A卡片，1张B卡片，2张C卡片拼成的，根据面积法可得答案；（2）计算(3a+b)(a+2b)的结果可得答案；（3）设AC=a，BC=b，可得出a+b=5，a2+b2=17，由（1）的结论可求出ab,进而求出三角形的面积．【详解】（1）根据题意得，a2+2ab+b2=a+b2，故答案为：a2+2ab+b2=a+b2；（2）∵3a+ba+2b=3a2+7ab+2b2，∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片7张；（3）设AC=a，BC=CF=b，则a+b=5，∵S1+S2=17，∴a2+b2=17，∵a+b2=a2+2ab+b2，∴a2+b2=a+b2−2ab，24 ∴17=52−2ab，∴ab=4，∴S阴影=12ab=2．23．【情景感知】（1）如图①，在正方形ABCD中，∠MBN绕着点B旋转，与AD交于点E，与CD交于点F，连接BE、BF、EF，如果∠EBF=45°，请直接写出AE、CF、EF三条线段之间的数量关系为______（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述问题（1）中的结论是否仍然成立？______（填“成立”或“不成立”）【探究发现】（3）如图③，在四边形ABCD中，BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述中的结论是否仍然成立？并说明理由；【拓展应用】（4）今年的5月1日，我国第三艘航母“福建舰”开启首次海试，我国东海舰队派出现代级驱逐舰“杭州舰”为其护航．如图所示，“福建舰”在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．“杭州舰”在指挥中心南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，“福建舰”向正东方向以30海里/小时的速度前进，同时“杭州舰”沿北偏东40°的方向以35海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到“福建舰”、“杭州舰”两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心雷达观测两舰艇之间的夹角∠EOF=65°．试求此时两舰艇之间的距离．  【答案】（1）EF=AE+CF；（2）成立；（3）成立；理由见解析；（4）130海里【分析】（1）延长DC到点G，使CG=AE，连接BG，可证明△BCG≌△BAE，可得BG=BE,∠ABE=∠CBG，再根据∠EBF=45°，可得∠FBG=∠EBF，然后证明△BGF≌△BEF，可得FG=EF，即可；24 （2）延长DC到点G，使CG=AE，连接BG，可证明△BCG≌△BAE，可得BG=BE,∠ABE=∠CBG，再根据∠ABC=2∠MBN，可得∠FBG=∠EBF，然后证明△BGF≌△BEF，可得FG=EF，即可；（3）延长DC到点G，使CG=AE，连接BG，可证明△BCG≌△BAE，可得BG=BE,∠ABE=∠CBG，再根据∠ABC=2∠MBN，可得∠FBG=∠EBF，然后证明△BGF≌△BEF，可得FG=EF，即可；（4）连接EF，延长AE,BF相交于点G，根据题意可得∠EOF=12∠AOB，OA=OB,∠OAG+∠OBG=180°，可得符合（3）中的条件，再由（3）的结论，即可求解．【详解】（1）解：如图，延长DC到点G，使CG=AE，连接BG，  在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠A=∠BCG=90°，在△BCG和△BAE中，∵AB=BC,∠A=∠BCG=90°，CG=AE，∴△BCG≌△BAESAS，∴BG=BE,∠ABE=∠CBG，∵∠EBF=45°，∴∠CBF+∠ABE=90°−∠EBF=45°，∴∠FBG=∠CBF+∠CBG=45°，∴∠FBG=∠EBF，在△BGF和△BEF中，∵BG=BE，∠FBG=∠EBF，BF=BF，∴△BGF≌△BEFSAS，∴FG=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF；故答案为：EF=AE+CF（2）解：如图，延长DC到点G，使CG=AE，连接BG，则∠BAD=∠BCD=90°，24   在△BCG和△BAE中，∵AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，CG=AE，∴△BCG≌△BAESAS，∴BG=BE,∠ABE=∠CBG，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠CBF+∠ABE=∠ABC−∠EBF=12∠ABC，∴∠FBG=∠EBF，在△BGF和△BEF中，∵BG=BE，∠FBG=∠EBF，BF=BF，∴△BGF≌△BEFSAS，∴FG=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF；故答案为：成立（3）结论成立，理由如下：如图，延长DC到点G，使CG=AE，连接BG，    ∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BAD=∠BCG，在△BCG和△BAE中，∵AB=BC,∠BAD=∠BCG，CG=AE，∴△BCG≌△BAESAS，∴BG=BE,∠ABE=∠CBG，∵∠ABC=2∠MBN，24 ∴∠CBF+∠ABE=∠ABC−∠EBF=12∠ABC，∴∠FBG=∠EBF，在△BGF和△BEF中，∵BG=BE，∠FBG=∠EBF，BF=BF，∴△BGF≌△BEFSAS，∴FG=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF；（4）连接EF，延长AE,BF相交于点G，    ∵∠AOB=30°+90°+90°−80°=130°,∠EOF=65°，∴∠EOF=12∠AOB，∵OA=OB,∠OAG+∠OBG=90°−30°+80°+40°=180°，∴符合（3）中的条件，由（3）得：EF=AE+BF，由题意得：AE=30×2=60海里/小时，BF=35×2=70海里/小时，∴EF=AE+BF=60+70=130（海里）答：此时两舰艇之间的距离为130海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．24