九年级数学上册 第22章　相似形 单元测试卷（沪科版 2024年秋）

九年级数学上册第22章　相似形单元测试卷（沪科版2024年秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)题序12345678910答案1.已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是(　　)A.＝B.＝C.＝D.＝2．下列四组线段中，成比例的是(　　)A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝3，b＝6，c＝9，d＝18C．a＝1，b＝3，c＝2，d＝8D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝63．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(　　)A．3B．4C．5D．6(第3题)　(第5题)　4．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则线段AP的长为(　　)A.＋1B.－1C.D.5．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是(　　)A．∠ADC＝∠ACBB.＝C．∠ACD＝∠BD．AC2＝AD·AB6．如图，在△ABC中，AB∥DE，若＝，则△ECD与△ACB的面积之比为(　　)A.B.C.D.13 (第6题)　(第7题)7．如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为(　　)A．±mB.mC．6mD.m8．若一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，就把这样的三角形称为和谐三角形，则下列选项中属于和谐三角形的是(　　)A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是(　　)A．DE垂直平分ACB．△ABE∽△CBAC．BD2＝BC·BED．CE·AB＝BE·CA(第9题)　(第10题)10.如图，在正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是EF的中点，连接MC，设EF与BD和DC分别相交于点G和N，下列结论：①△FGD∽△BGE；②若BF＝4，则CE＝2；③∠CME＝∠CDE；④DG2＝GN·GE，其中正确的是(　　)A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝8，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是________．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)，已知矩形OA′B′C′与矩形OABC13 位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，则点B′的坐标是____________．(第12题)　(第13题)13．如图，线段AB，CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M.若每个小正方形的边长都是1，则的值是________．14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一点，AE＝3，F为BE的中点．(第14题)(1)EF＝________；(2)若CF⊥BE，CE，DF相交于点O，则＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．已知＝.(1)求的值；(2)求的值．13 16．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.(第16题)(1)求AC的长；(2)若OE：OF＝1：3，求OB：AB.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位，△ABC的顶点都在格点上．(第17题)(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；13 (2)△A1B1C1的面积为______．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线．求证：AD2＝AC·DC.(第18题)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度．如图，他在距离旗杆40m的D处立下一根3m高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4m时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶端在同一直线上，若小明的眼睛离地面的高度AB为1.6m，求旗杆EF的高度．(第19题)20．如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处(不与B，C重合)，折痕为EF.(1)求证：△BDE∽△CFD；13 (2)若BD＝6，DC＝2，求BE的长(第20题)六、(本题满分12分)21．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF.求证：(1)AD＝DF；(2)DF2＝BE·BF.(第21题)13 七、(本题满分12分)22．阅读下列材料，并完成相应的任务．规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当n＝1时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当n＝2时，称为“2倍角三角形”．小康通过探索后发现，“2倍角三角形”的三边有如下关系：在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝2∠B，则a2－b2＝bc.下面是小康的两种探索证明过程：证法1：如图①，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.∵∠BAC＝2∠B，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∴AD＝BD.∵∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝＝.设DC＝x，则AD＝BD＝a－x.(第22题)∴＝＝，∴b2＝ax，a2－ax＝bc，∴a2－b2＝bc.证法2：如图②，延长CA到点D，使得AD＝AB＝c，连接BD，∴∠ABD＝∠D.……任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出________三角形来加以证明的(填“全等”或“相似”)；(2)请补全证法2剩余的部分．13 八、(本题满分14分)23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，F，E是AC上两点，连接BE，DF交于△ABC内一点G，且∠EGF＝45°.(1)求证：∠FDC＝∠AEB；(2)若AE＝3CE＝6，求BG的长；(3)连接AG，求证：∠EAG＝∠ABE.(第23题)13 答案一、1.A　2.B　3.B　4.B　5.B　6.B　7.B　8.C　9．D　点拨：由题意得AB＝AD，AP平分∠BAC，∴∠EAB＝∠EAD.在△ABE与△ADE中，∴△ABE≌△ADE，∴BE＝ED，∠ADE＝∠ABC＝90°.∴∠EDC＝90°＝∠ABC.又∵∠C＝∠C，∴△EDC∽△ABC，∴＝，∴CE·AB＝ED·CA.∵ED＝BE，∴CE·AB＝BE·CA.A，B，C选项无法证明．故选D.10．B二、11.4：3　12.(3，2)或(－3，－2)13.　14.(1)　(2)三、15.解：由＝可得，x＝2y.(1)＝＝.(2)＝＝.16．解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴DE∶DF＝AB∶AC，即3∶(3＋6)＝4∶AC，解得AC＝12.(2)∵l2∥l3，∴OB∶OC＝OE∶OF＝1∶3，∴OC＝3OB.∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，即OC＋OB＝8，∴4OB＝8，∴OB＝2，∴OB∶AB＝2∶4＝1∶2.四、17.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．13 (第17题)(2)1418．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，∴BD＝AD，∠C＝∠BDC，∴BC＝BD＝AD.∵∠DBC＝36°＝∠A，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB.∴＝，∴＝，∴AD2＝AC·DC.五、19.解：过点A作AH⊥EF，交CD于点G，交EF于点H.由题意易得HF＝DG＝AB＝1.6m，AG＝BD＝4m，HG＝FD＝40m，∴CG＝CD－DG＝3－1.6＝1.4(m)．易知CD∥EF，∴△AGC∽△AHE，∴＝，∴＝，∴EH＝15.4m，∴EF＝EH＋HF＝15.4＋1.6＝17(m)．答：旗杆EF的高度为17m.20．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠A＝60°.由折叠的性质可得∠EDF＝∠A＝60°.∵∠FDB＝∠C＋∠DFC＝∠EDF＋∠EDB，∴∠EDB＝∠DFC，∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.(2)解：∵BD＝6，DC＝2，∴BC＝BD＋DC＝8.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8.13 由折叠的性质可知AE＝ED，AF＝FD，∴△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝BD＋AE＋BE＝BD＋AB＝6＋8＝14，△CFD的周长为CD＋DF＋FC＝CD＋AF＋FC＝CD＋AC＝2＋8＝10.∵△BDE∽△CFD，∴＝＝.∵DC＝2，∴＝，∴BE＝2.8.六、21.证明：(1)过点D作DG∥BE交AB于点G，交AC于点H，如图所示．(第21题)∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形BEDG为平行四边形，∴DE＝BG.∵点E为CD的中点，∴DE＝CD，∴易得BG＝AG.∵DG∥BE，∴＝＝1，∴点H为AF的中点．∵BE⊥AC，∴∠AFB＝90°.∵DG∥BE，∴∠DHF＝∠AFB＝90°，∴DH垂直平分AF，∴AD＝DF.(2)∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠BCE＝90°.∵AD＝DF，∴DF＝BC.∵BE⊥AC，∴∠BFC＝90°，∴∠BFC＝∠BCE.∵∠CBF＝∠EBC，∴△BCF∽△BEC，∴＝，∴BC2＝BE·BF，∴DF2＝BE·BF.七、22.解：(1)相似(2)补全证法2剩余的部分如下：∴∠BAC＝∠ABD＋∠D＝2∠D.13 又∵∠BAC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠D.又∵∠ACB＝∠BCD，∴△ACB∽△BCD，∴＝，∴BC2＝AC·DC，∴a2＝b(b＋c)，∴a2－b2＝bc.八、23.(1)证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°.∵∠BGD＝∠EGF＝45°，∴∠C＝∠BGD.∵∠FDC＝∠EBC＋∠BGD，∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠FDC＝∠AEB.(2)解：∵AE＝3CE＝6，∴CE＝2，∴AB＝AC＝8.∵∠BAC＝90°，∴BE＝＝10，BC＝＝8.∵D为BC的中点，∴BD＝4.∵∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，∴△BGD∽△BCE，∴＝，即＝，∴BG＝.(3)证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CAB＝90°.∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BD·BC.由(2)知＝，∴BG·BE＝BD·BC，∴AB2＝BG·BE，∴＝.∵∠ABG＝∠EBA，∴△ABG∽△EBA，13 ∴∠AGB＝∠BAE＝90°，∴∠EAG＋∠BAG＝∠BAG＋∠ABE＝90°，∴∠EAG＝∠ABE.13