九年级数学上册第一学期期末综合测试卷（沪科版 24秋）

九年级数学上册第一学期期末综合测试卷（沪科版24秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．tan30°的值等于()A.B.C．1D.2．抛物线y＝2(x＋9)2－3的顶点坐标是()A．(9，3)B．(9，－3)C．(－9，3)D．(－9，－3)3.[母题：教材P71练习T4]如图，直线AD∥BE∥CF，DE＝2，EF＝4.若AC＝9，则BC的长为()A．5B．5.5C．6D．6.54.30 2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于()A．一支粉笔的长度B．数学课本的长度C．一把家用扫帚的长度D．课桌的宽度5．[母题：教材P85习题T5]如图，已知△ABC∽△ADB，点D是AC的中点，AC＝4，则AB的长为()A．2B．4C．2D．46.雁门关，位于山西省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”．由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，则抛物线的函数表达式为()30 A．y＝－(x＋5)2B．y＝－(x－5)2C．y＝－(x＋5)2＋9D．y＝－(x－5)2＋97．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A，B在函数y＝(x>0)的图象上，则k的值为()A．6B．12C．24D．488.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“30 好玩三角形”，若Rt△ABC是“好玩三角形”且∠A＝90°，则tan∠ABC＝()A.B.C.或D.或9．已知反比例函数y＝与一次函数y＝－x＋b的部分图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的大致图象为()10．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论一定正确的是()30 A．若BP＝1，则OE＝2B．若BP＝1，则OQ＝C．OA2＝OE·OPD．OQ2＝OA·OF二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知△ABC中，∠A＝90°，tanB＝，则sinC＝________．12.如图，抛物线y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．当抛物线y＝－x2＋k是“美丽抛物线”时，k＝________．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x与双曲线y＝30 交于点A，B，C分别是x轴，y轴上的点，且∠BAC＝90°，若四边形OBAC的面积为5，则k＝________．14．[易错题]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作NE⊥AM于点E，连接MN，请探究下列问题：(1)＝________；(2)当△MEN与△ABM相似时，AN＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：2sin60°－3tan30°－＋(－1)2025.30 16．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为(－1，3)．(1)以点O为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；(2)点A的对应点D的坐标是________；(3)S△ABO：S四边形ABED＝________．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．[2024·合肥市包河区模拟]如图，在平面直角坐标系xOy30 中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴，y轴的交点分别为(1，0)和(0，－3)．(1)求此二次函数的表达式；(2)结合函数图象，直接写出当y＞－3时，x的取值范围．18．如图，F为四边形ABCD的边CD上的一点，连接AF30 并延长，交BC的延长线于点E，已知∠DAE＝∠E.(1)求证：△ADF∽△ECF；(2)若CF＝2，AF＝2EF，求DC的长．30 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，直线y1＝－x＋4，y2＝x＋b都与双曲线y＝交于点A(1，m)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)直接写出当x＞0时，不等式－x＋4>的解集；(3)若点P在x轴上，连接AP，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．30 20.为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺(约33cm)，胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸．如图，BD为桌面，某同学眼睛P看作业本A的俯角为50°，身体离书桌的距离BC＝9cm，眼睛到桌面的距离PC＝20cm.(1)通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；(2)为确保符合要求，需将作业本沿BA方向移动．当眼睛P看作业本A的俯角为37°时，求作业本移动的距离．(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果精确到0.1)30 六、(本题满分12分)21.阅读以下材料，解答问题．30 规定：两个函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称这两个函数互为“x函数”，例如：函数y1＝2x＋2与y2＝－2x－2的图象关于x轴对称，则这两个函数互为“x函数”．(1)若二次函数y1与二次函数y＝x2－2x＋3互为“x函数”，则二次函数y1的表达式为____________；(2)若二次函数y2与二次函数y＝kx2＋4x＋k－2(k为非零常数)互为“x函数”，且二次函数y＝kx2＋4x＋k－2的最大值为1，请求出二次函数y2的表达式．七、(本题满分12分)22.[2023·合肥市瑶海区期中]如图，在锐角三角形ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，连接BD交CE于点F，且EF·FC＝30 FB·DF.(1)求证：BD⊥AC；(2)求证：△AEC∽△FEB；(3)连接AF，已知EF：BE＝3：5，求AF：BC.八、(本题满分14分)30 23.如图①所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图②所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a(x－20)2＋k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为四边形ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，①求抛物线的表达式；②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B，C)，求a的取值范围．30 30 答案一、1．A　2．D　3．C　4．A　5．C　6．D　7．B　【点拨】根据图象可知，点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，设点A的坐标为(2，m)，则点B的坐标为(4，m－3)．∵点A，B在函数y＝(x>0)的图象上，∴4(m－3)＝2m，解得m＝6，∴点A的坐标为(2，6)，∴k＝2×6＝12.8．C　【点拨】①如图①.在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝a，∴AC＝a，∴tan∠ABC＝＝.②如图②.在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝a，∴AB＝30 a，∴tan∠ABC＝＝．综上所述，tan∠ABC＝或．　　　30 9．B　【点拨】∵一次函数y＝－x＋b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，∴b>0，k>0，∴函数y＝x2－bx＋k－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝>0.∵反比例函数y＝与一次函数y＝－x＋b的图象有两个交点，∴方程＝－x＋b有两个不相等的实数根，即方程x2－bx＋k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4k＞0，∴对于方程x2－bx＋k－1＝0，Δ＝b2－4k＋4＞0，∴函数y＝x2－bx＋k－1的图象与x轴有两个交点．10．B　【点拨】易知AB＝BC＝AD＝3，∠DAB＝∠ABC＝∠ADC＝90°.∵BP＝CQ＝1，∴AP＝BQ＝4.30 在Rt△APD中，AD＝3，AP＝4，∴PD＝5.∵正方形ABCD中，AD∥BC，∴△PBE∽△PAD，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴QE＝.在△DAP与△ABQ中，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P＝∠Q.∵AD∥BC，，∴∠ADP＝∠OEQ，∴△QOE∽△PAD，∴＝＝＝，∴OE＝，OQ＝，故选项A错误，选项B正确；∵△QOE∽△PAD，∴∠QOE＝∠PAD＝90°，∴∠DOA＝∠AOP＝90°，∴∠P＋∠OAP＝90°.∵∠DAO＋∠OAP＝90°，∴∠DAO＝∠P.∵∠DOA＝∠AOP，∴△DAO∽△APO，∴＝，∴AO2＝OD·OP.∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE·OP，故选项C错误；∵∠ADF＝∠DOA＝90°，∴∠DAO＋∠ADO＝∠ADO＋∠FDO＝90°，30 ∠DOF＝90°，∴∠DAO＝∠FDO.∵∠AOD＝90°＝∠DOF，∴△DAO∽△FDO，∴＝，∴OD2＝OA·OF.∵OD不一定等于OQ，∴OQ2不一定等于OA·OF，故选项D错误．二、11．　12．8　【点拨】∵y＝－x2＋k，∴抛物线的顶点A的坐标为(0，k)，点C的坐标为(0，0)，∴点D的坐标为(k，k)．将(k，k)代入y＝－x2＋k，得k＝－k2＋k，解得k＝0(舍)或k＝8.13．－5　【点拨】过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M和N.∵点A在直线y＝－x上，则设A(a，－a)．∴AM＝AN.又∵AM⊥x轴，AN⊥y轴，∠MON＝90°，∴四边形AMON是正方形．∴∠MAN＝90°，∴∠MAC＋∠CAN＝90°.又∵∠BAC＝90°，∴∠BAM＋∠MAC＝90°，30 ∴∠BAM＝∠CAN.又∵AM＝AN，∠AMB＝∠ANC＝90°，∴△ABM≌△ACN(ASA)．∴S△ABM＝S△ACN.∴S正方形AMON＝S四边形ABOC＝5.故－a·(－a)＝5，得a2＝5.∵a<0，∴a＝－，即A(－，)．将A点的坐标代入y＝，得k＝－5.[点方法]本题考查反比例函数的图象与性质及全等三角形的判定，将四边形ABOC的面积转化为正方形AMON的面积是解题的关键．把不规则图形转为矩形和直角三角形，从而建立特殊图形与的联系．14．(1)　(2)2或5【点拨】(1)∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AB＝BC＝4，BC∥AD，∠B＝∠BAD＝90°.30 ∵点M是BC的中点，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2．∵BC∥AD，∴∠BMA＝∠MAN.∵EN⊥AM，∴cos∠MAN＝cos∠BMA＝＝＝，∴＝.(2)∵EN⊥AM，∴∠ABM＝∠MEN＝90°.当∠AMB＝∠EMN时，△ABM∽△NEM，∴∠AMB＝∠EMN＝∠MAN，∴AN＝MN.30 ∵EN⊥AM，∴AE＝．∵＝，∴AN＝5.当∠BAM＝∠EMN时，△ABM∽△MEN.∵∠BAM＋∠MAN＝90°，∴∠MAN＋∠AMN＝90°，∴∠ANM＝90°.∵∠B＝∠BAD＝90°，∴四边形ABMN是矩形，∴BM＝AN＝2.综上所述，AN的长为2或5.[点易错]　利用分类讨论思想是解题的关键．尤其是相似是不是严格对应的相似．三、15．【解】原式＝2×－3×－1－130 ＝－－1－1＝－2.16．【解】(1)如图，△DEF即为所求．30 (2)(－2，6)　(3)13四、17．【解】(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴，y轴的交点分别为(1，0)和(0，－3)，∴解得∴此二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3.(2)当y＞－3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.18．(1)【证明】∵∠DAE＝∠E，∠DFA＝∠CFE，∴△ADF∽△ECF.(2)【解】由(1)知△ADF∽△ECF，∴＝.∵CF＝2，AF＝2EF，∴＝，解得DF＝4，∴DC＝DF＋CF＝4＋2＝6.五、19．【解】(1)把A(1，m)的坐标代入y1＝－x＋4，30 得m＝－1＋4＝3，∴A(1，3)．把A(1，3)的坐标代入y＝，得k＝1×3＝3，∴y与x之间的函数关系式为y＝.(2)当x＞0时，不等式－x＋4>的解集为1＜x＜3.(3)y1＝－x＋4，令y1＝0，则x＝4，∴点B的坐标为(4，0)．把A(1，3)的坐标代入y2＝x＋b，得3＝＋b，∴b＝，∴y2＝x＋.令y2＝0，则x＝－3，即C(－3，0)，∴BC＝7.∵AP把△ABC的面积分成1:3两部分，∴CP＝BC＝或BP＝BC＝，∴P的坐标为(－，0)或(，0)．20．【解】(1)易知∠ACP＝90°，∠PAC＝50°.在Rt△APC中，sin∠PAC＝sin50°＝，∴PA＝≈≈26(cm)．∵26＜33，∴这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求．30 (2)如图，在Rt△APC中，tan∠PAC＝tan50°＝，∴AC＝≈≈16.8(cm)．易知∠PA′C＝37°.在Rt△A′PC中，tan∠PA′C＝tan37°＝，∴CA′＝≈≈26.7(cm)，∴CA′－CA≈9.9cm.答：作业本移动的距离约为9.9cm.六、21．【解】(1)y1＝－x2＋2x－3(2)∵二次函数y＝kx2＋4x＋k－2的最大值为1，∴＝1，解得k＝4(舍去)或k＝－1，∴y＝－x2＋4x－3.∵二次函数y2与二次函数y＝kx2＋4x＋k－2(k30 为非零常数)互为“x函数”，∴二次函数y2的表达式为y2＝x2－4x＋3.七、22．(1)【证明】∵EF·FC＝FB·DF，∴＝.∵∠BFE＝∠CFD，∴△BFE∽△CFD，∴∠FEB＝∠FDC.∵CE⊥AB，∴∠FEB＝90°，∴∠FDC＝90°，即BD⊥AC.(2)【证明】由(1)得△BFE∽△CFD，∴∠EBF＝∠DCF.∵CE⊥AB，∴∠FEB＝∠AEC＝90°，∴△AEC∽△FEB.(3)【解】由(2)得△AEC∽△FEB，∴＝.∴＝.∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°，∴△AEF∽△CEB，∴＝.∵EF：BE＝3：5，∴AF：BC＝3：5.八、23．【解】(1)①由题意知，抛物线的表达式为y＝a(x－20)2＋10，把(0，0)代入表达式，得400a＋10＝0，解得a＝－，30 ∴抛物线的表达式为y＝－(x－20)2＋10，即y＝－x2＋x.②易知点C与点O的水平距离为30米，垂直距离为6米．当x＝30米时，y＝－×900＋30＝7.5(米)．∵7.5＞6，∴石块能飞越防御墙．(3)由题可知抛物线y＝a(x－20)2＋k，B(28，6)，C(30，6)．把O(0，0)，B(28，6)的坐标代入表达式，得解得把C(30，6)，O(0，0)的坐标代入表达式，得解得30