九年级数学上册 第23章　解直角三角形 单元测试卷（沪科版 24年秋）

九年级数学上册第23章　解直角三角形单元测试卷（沪科版2024年秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．[2024·合肥市蜀山区模拟]已知实数a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，则下列说法正确的是()A．b＞a＞cB．a＞b＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b2．[母题：教材P114例1]如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为()A.B.C.D.3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，则cosA的值为()A.B.C.D．24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为(0，3)，tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为()A．6B．6C．12D．85．[易错题]若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα－|＋(－tanβ)2＝0，则此三角形的形状是()40 A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形6.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是梯形，其中AD∥BC，AB＝DC，燕尾角∠B＝α，外口宽AD＝a，榫槽深度是b，则它的里口宽BC为()A.＋aB.＋aC．btanα＋aD．2btanα＋a7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，40 AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是()A.B.C.D.8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2－.类比这种方法，则tan22.5°的值为()A.＋1B.C.－1D.40 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足的关系式为()A．x－y2＝3B．2x－y2＝6C．3x－y2＝9D．4x－y2＝1210．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连接EF，则EF的最小值为()A.B．2－3C．3－3D．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.40 位于北京市石景山区首钢老工业园区北区的“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡AB的长为50m，坡AB的坡比为3：4，则铅直高度AH为________m.12．[母题：教材P119练习T2]已知α，β为锐角，且α＋β＝90°，cosβ＝0.76，则sinα＝________．13．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为i＝1：3，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为________米．14．利用科普书上的有关公式，发现锐角三角函数存在这样的公式：若α，β为锐角且α＋β≠90°，则tan(α＋β)＝.如：tan75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋40 ．利用此公式求解下列问题：(1)若∠A，∠B为锐角且∠A＋∠B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)＝________；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan43°)(1＋tan44°)＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：sin45°－2cos30°＋．40 16．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，sinC＝，tanB＝，AD＝2.(1)求cos∠BAD的值；(2)求△ABC的面积．40 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图①，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：(1)can30°＝________；(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．40 18.40 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造．如图②所示，改造前的斜坡AB＝200m，坡度为1：.将斜坡AB的高度AE降低AC＝20m后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4，求斜坡CD的长．(结果保留根号)40 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)若AD∥BC(D为格点)，连接CD，则线段CD的长为________；(2)请你在△ABC的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是________；(3)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是________．40 20．如图，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E.(1)求sinA的值；(2)求点E到直线BD的距离．40 六、(本题满分12分)21.我国首艘国产航母山东舰是保障国土安全，维护祖国统一的又一利器．如图，一架歼－15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航母长为315米，且B比40 C高出10米，求舰载机相对航母舰尾C的高度．(参考数据：sin11.3°≈0.20，sin14°≈0.24，tan11.3°≈0.20，tan14°≈0.25)七、(本题满分12分)2240 ．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向．(1)求∠C的度数；(2)求B，C两地间的距离．(如果运算结果有根号，请保留根号)八、(本题满分14分)40 23.阅读下列材料，解决后面的问题：我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高．在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对于△ABC，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则其面积S＝absinC＝bcsinA＝casinB.(1)如图①，在△ABC中，∠A＝30°，b＝2，c＝3，求△ABC的面积；(2)如图②，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝1，D为AC上一点，求证：BD＝；(3)正数a，b，c，d，e，f满足a＋b＝c＋d＝e＋f＝1，求证：af＋bc＋de＜1.40 40 答案一、1．A　2．D　3．A　4．D　【点拨】∵点A的坐标为(0，3)，∴AO＝3.40 ∵tan∠ABO＝，∠AOB＝90°，∴＝，∴＝40 ，∴BO＝．∴AB＝＝　＝＝240 ．∵菱形的四条边相等，∴菱形ABCD的周长为2×4＝840 ．5．C　【点拨】∵｜sinα－｜＋(－tanβ)2＝0，40 ∴sinα－＝0，－tanβ＝0，∴sinα＝，tanβ＝．又∵α，β都是锐角，∴α＝60°，β＝60°，∴此三角形的形状是等边三角形．[点易错]本题求出α，β后，很容易给出结论是等腰三角形．但第三个角也是60°，所以是等边三角形．类比：△ABC的两个内角∠A＝45°，∠B＝45°，△ABC是等腰直角三角形．40 6．B　【点拨】如图，过点A，D分别作BC的垂线段，垂足分别为E，F.易得∠DCB＝∠B＝α，EF＝AD＝a，AE＝DF＝b.在Rt△AEB中，BE＝＝，在Rt△DFC，CF＝＝，∴BC＝BE＋EF＋FC＝＋a＋＝＋a.7．A　【点拨】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°.∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE.在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，∴CF＝BC－BF＝5－4＝1.设CE＝x，则DE＝EF＝3－x.在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，40 ∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝，∴EF＝3－x＝，∴cos∠EFC＝＝.8．C　【点拨】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，∴tan22.5°＝＝＝－1.40 9．C　【点拨】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE.∵AB＝AC，BC＝8，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，CQ＝4，∴AQ＝4y.∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x.∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM.又∵E为AC的中点，∴MC＝CQ＝2，∴EM＝2y，DM＝8－2－x＝6－x.在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝(2y)2＋(6－x)2，即3x－y2＝9.10．C　【点拨】取BC的中点Q，连接EQ，FQ.∵F为AB的中点，∴FQ＝AC.40 ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AC＝＝＝6，∴FQ＝3．∵∠BEC＝90°，Q为BC的中点，∴EQ＝BC＝3.当E，F，Q三点共线时，EF的值最小，40 ∴EF＝FQ－EQ＝3－3.二、11．30　　12．0.76　13．(25－25)　【点拨】作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F.在Rt△AOC中，AO＝100米，∠CAO＝60°，∴CO＝AO·tan40 60°＝100米．设PE＝x米，易知FO＝x米．∵＝，∴AE＝3x米．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝(100－x)米，PF＝OE＝OA＋AE＝(100＋3x)米．∴PF＝CF，∴100＋3x＝10040 －x，解得x＝25－25.∴PE＝(25－25)米．40 14．(1)2　(2)222【点拨】(1)当∠A＋∠B＝45°时，tan(∠A＋∠B)＝＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.(2)由(1)可知(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝…＝2，∴原式＝222.三、15．【解】原式＝×－2×＋＝1－＋(tan60°－1)40 ＝1－＋－1＝0.16．【解】(1)在Rt△ABD中，tanB＝＝，AD＝2，∴BD＝4，∴AB＝＝2，∴cos∠BAD＝＝.(2)∵sinC＝，∴∠C＝45°，∴tanC＝＝1，40 ∴CD＝2，∴BC＝BD＋CD＝6，∴S△ABC＝×AD·BC＝6.四、17．【解】(1)(2)过点A作AE⊥BC于点E.∵canB＝，∴可设BC＝8x，则AC＝5x＝AB.易知BE＝4x，∴AE＝＝3x.∵S△ABC＝24，∴BC·AE＝12x2＝24，解得x＝(负值已舍去)，故AB＝AC＝5，BC40 ＝8．∴△ABC的周长＝5＋5＋840 ＝18．18．【解】∵∠AEB＝90°，AB＝200m，斜坡AB的坡度为1：，∴tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100m.∵AC＝20m，∴CE＝80m.∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为14，∴＝，即＝，40 ∴ED＝320m.∴CD＝＝80(m)．∴斜坡CD的长是80m.五、19．【解】(1)　(2)∠ACB；(答案不唯一)【点拨】利用网格构造直角三角形易得AB＝，AC＝2，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，∴sin∠ACB＝＝.(3)20．【解】(1)∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝5.在Rt△ABF中，BF＝＝12.∴sinA＝＝.(2)过点E作EG⊥BD，垂足为G.∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，∴EF＝EG.在Rt△ABF中，sin∠ABF＝＝.在Rt△EBG中，sin∠EBG＝sin∠ABF＝＝＝，40 BF＝12，∴EG＝.∴点E到直线BD的距离是.六、21．【解】设过A，B，C的水平线分别为AP，BM，CN，过A作AD⊥BM于D，交CN于E，则DE＝10米，∠BAP＝11.3°，∠PAC＝14°，AP∥BM∥CN，∴∠ABD＝∠BAP＝11.3°，∠ACE＝∠PAC＝14°.设AE＝x米，则AD＝AE－DE＝(x－10)米．在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝tan11.3°≈0.20，∴BD≈5AD＝5(x－10)米．在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝tan14°≈0.25，∴CE≈4AE＝4x米．易知BD－CE＝315米，∴5(x－10)－4x≈315，解得x≈365，即AE≈365米，∴舰载机相对航母舰尾C的高度约为365米．七、22．【解】(1)如图．由题意得∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，∴∠ABE＝∠BAD＝45°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠FBC＝75°.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝60°，40 ∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.(2)如图，过点B作BG⊥AC，垂足为G.在Rt△ABG中，AB＝10千米，∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝10×＝5(千米)．在Rt△BGC中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝5(千米)，∴B，C40 两地间的距离为5千米．八、23．(1)【解】由面积公式可知S△ABC＝bcsinA＝bcsin30°＝×2×3×＝.(2)【证明】∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴AB·BD·sin∠1＋BC·BD·sin∠2＝AB·BC·sin(∠1＋∠2)，∴2BD·sin∠1＋BD·sin∠2＝2sin(∠1＋∠2)，∴BD＝.40 (3)【证明】如图，作边长为1的等边三角形ABC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且AD＝a，BD＝b，BE＝c，EC＝d，CF＝e，AF＝f，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵S△ADF＋S△BDE＋S△CEF＜S△ABC，∴af·sin60°＋bc·sin60°＋de·sin60°<AB·AC·sin60°，∴af＋bc＋de＜1.40