九年级数学上册 第22章　相似形 单元测试卷（沪科版 24年秋）

九年级数学上册第22章　相似形单元测试卷（沪科版24秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．有下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．[母题：教材P69练习T3]若2x＝5y(x，y≠0)，则下列式子中错误的是()A.＝B.＝C.＝D.＝3.在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比等于(≈0.618，称为黄金分割比例)，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是()A．(－1)mB．(3－)mC．(－1)mD．(3－)m31 4．[母题：教材P71练习T3]如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD＝DF，则的值为()A．1B.C.D.5．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()6．如图四个图中，△ABC均与△A′B′C31 ′相似，且对应点连线交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝5：3，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是()A.＝B.＝C.＝D.＝8．如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝()A．8：7B．8：5C．3：2D．6：531 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E，F分别在边BC，AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为()A.B.C.或D.或10．如图，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG·CA；③BE·DH＝16；④若BF＝1，则DE＝中，正确的是()A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)31 11.钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的群岛，在一幅比例尺是1：100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.6厘米，那么它的东西走向实际长大约为________千米．12．如图，已知三个边长均为1的正方形拼成一个矩形ABCD，则∠AFE＋∠ACE＝________．13．[母题：教材P72习题T1]已知＝＝(xyz≠0)，则的值为________．14．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝9，AC＝12，点D是线段BC上的动点，从点B运动到点C.请探究下列问题：(1)当BD＝2时，CE＝________；31 (2)设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足＝＝，a＋b＋c＝30，试判断△ABC的形状，并说明理由．16．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．31 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面的距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面的距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A，B，C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔的高度CD.(平面镜的大小忽略不计)31 18．如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．31 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，1)，C(1，5)．(1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；(2)若点P(x，y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为________；(3)请用无刻度直尺将线段AB三等分．31 31 20.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E.…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．31 六、(本题满分12分)21．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N.(1)求证：BD2＝AD·CD.(2)若CD＝6，AD＝8，求DN的长．31 七、(本题满分12分)31 22.某课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，如图①，它的边BC＝12m，高线AD＝8m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m.(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程．(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．(3)如图③，如果将这块余料的形状改为Rt△ABC，已知∠A＝90°，AB＝8m，AC＝6m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使QM在BC上，P，N两点分别在AB，AC上，且PN＝8m，则平行四边形PQMN的面积为________m2.31 八、(本题满分14分)31 23.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：(1)如图①，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝90°，求CD的长．(2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，对角线BD平分∠ABC.请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；(3)运用：如图③，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°.连接EG，若△EFG的面积为8，求FH的长．31 31 答案一、1．B　2．A　3．A　4．B　5．C　6．C　7．A　8．D　【点拨】过点D作DF∥BE交AC于点F，则＝＝，＝＝3，∴AE：EC＝6：5.9．D　【点拨】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4－CE.31 当△CDE∽△CBA时，＝，∴＝，解得CE＝；当△CDE∽△CAB时，＝，∴＝，解得CE＝.综上可得，CE的长为或.10．D　【点拨】连接AE.∵四边形ABCD是边长为4的正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DBC＝∠ACD＝45°.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，∴∠EAF＝∠BCE.∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°.∵∠ABC＋∠FEC＋∠EFB＋∠BCE＝360°，∠ABC＝90°，∴∠BCE＋∠EFB＝180°.又∵∠AFE＋∠BFE＝180°，∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，∴AE＝EF.∵EC＝AE，∴EF＝EC，故①正确；∵EF＝EC，∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴∠FAC＝∠EFC.31 又∵∠ACF＝∠FCG，∴△FCG∽△ACF，∴＝，∴CF2＝CG·CA，故②正确；∵∠ECH＝45°＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，∴△ECH∽△CDH，∴＝，∴＝.∵∠ECH＝45°＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，∴△ECH∽△EBC，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC·CD＝BE·DH＝16，故③正确；∵BF＝1，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AF＝3，AC＝4．∵∠ECF＝∠ACD＝45°，∴∠ACF＝∠DCE.又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，∴△AFC∽△DEC，∴＝，∴＝31 ，∴DE＝，故④正确．二、11．3.6　12．45°　【点拨】由题意得AE＝，EF＝1，EC＝2，∠AEB＝45°，31 ∴＝，＝，∴＝.∵∠AEF＝∠AEC，∴△AEF∽△CEA，∴∠AFE＝∠CAE，∴∠AFE＋∠ACE＝∠ACE＋∠CAE＝∠AEB＝45°.13．3或0　【点拨】∵＝＝(xyz≠0)，∴设＝＝＝k，∴y＋z＝xk，z＋x＝yk，x＋y＝zk，31 ∴2x＋2y＋2z＝xk＋yk＋zk，∴2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)．分两种情况：当x＋y＋z≠0时，k＝2，∴x＋z＝2y，∴＝＝3；当x＋y＋z＝0时，＝0.综上所述，的值为3或0.14．(1)　(2)6　【点拨】(1)∵△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝.∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝.∵BD＝2，∴CE＝.(2)∵△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠ACB＝90°，∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即∠DCE＝90°.∵P为DE的中点，∴CP＝DE.∵△ABC∽△ADE，31 ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小．∵AB＝9，AC＝12，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝15.根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD＝＝.易知＝，∴DE＝12，∴CP的最小值为×12＝6.三、15．【解】△ABC是直角三角形，理由：设＝＝＝k，则a＝3k－1，b＝4k＋4，c＝8k－3.∵a＋b＋c＝30，∴3k－1＋4k＋4＋8k－3＝30，∴k＝2，∴a＝5，b＝12，c＝13，∴b2＋a2＝c2，∴△ABC是直角三角形．16．【解】∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO.∴＝，∴＝，解得OC＝6.∵AD⊥BC，∴△COD为直角三角形，∴OC2＋OD2＝CD2，∴CD＝＝3.31 四、17．【解】由题意得∠EBA＝∠DBC.∵EA⊥AC，DC⊥AC，∴∠EAB＝∠DCB＝90°，∴△DCB∽△EAB，∴＝，∴＝，∴CD＝64.5米，∴大雁塔的高度CD为64.5米．18．【解】∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠EAC.∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC，∴∠DAE＝∠DEA，∴ED＝AD.∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA，∴＝.∵BE＝2，EC＝3，AC＝4，∴＝，∴ED＝，∴AD＝.五、19．【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)(2x，2y)(3)如图，点G，H将线段AB三等分．31 20．(1)【证明】如题图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E.∵CE∥AD，∴＝，∠DAC＝∠ACE，∠BAD＝∠E.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝.(2)　【点拨】∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5.31 ∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，∴BD＝，∴AD＝＝＝，∴△ABD的周长＝＋3＋＝．六、21．(1)【证明】∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.∵∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD，∴＝，∴BD2＝AD·CD.(2)【解】∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠CDB.又∵∠MDB＝∠CDB，∴∠MBD＝∠MDB，∴MB＝MD.∵∠ABD＝90°，∴∠A＋∠ADB＝90°，∠ABM＋∠MBD＝90°，∴∠A＝∠ABM，∴MA＝MB，∴MB＝AD＝4.∵BD2＝AD·CD，CD＝6，AD＝8，∴BD2＝8×6＝48，∴BD＝431 ．∵BM∥CD，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴DN＝．七、22．【解】(1)∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∵AD是△ABC的高线，∴AE是△APN的高线，∴＝.设正方形零件的边长为tm.∵BC＝12m，AD＝8m，∴AE＝(8－t)m，∴＝，解得t＝4.8，∴加工成的正方形零件的边长为4.8m.(2)设PN＝xm，矩形PQMN的面积为Sm2.由已知可得△APN∽△ABC，∴＝.31 易知DE＝PQ，∴＝，解得PQ＝8－x，则S＝PN·PQ＝x(8－x)＝－x2＋8x＝－(x－6)2＋24.∵－<0，∴当x＝6时，S有最大值24，∴8－x＝4.答：当矩形面积达到最大值时，零件的两条边长分别为6m，4m.(3)7.68　八、23．【解】(1)∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，∠ABC＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD或△ABC∽△DCA.在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得AC＝．当△ABC∽△ACD时，＝，31 ∴＝，∴CD＝2．当△ABC∽△DCA时，＝，∴＝，∴CD＝．综上，CD＝2或．(2)BD是四边形ABCD的“相似对角线”．理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝35°，∴∠BAD＋∠ADB＝145°.∵∠ADC＝145°，∴∠BDC＝∠BAD.又∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDC∽△BAD，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”．(3)作EQ⊥FG于Q.∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG，31 ∴△FEH∽△FHG，∴＝，∴FH2＝EF·FG.∵∠EFH＝∠HFG＝30°，∴∠EFQ＝60°，∴∠FEQ＝30°，∴FQ＝EF，由勾股定理可得EQ＝EF.∵△EFG的面积为8，∴·FG·EQ＝×FG×EF＝8，∴FH2＝32.又∵FH＞0，∴FH＝4．31