九年级数学上册 第21章　二次函数与反比例函数 单元测试卷（沪科版 24秋）

九年级数学上册第21章　二次函数与反比例函数单元测试卷（沪科版24秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是()A．y＝ax2＋bx＋cB．y＝C．y＝50＋x2D．y＝(x＋2)(x－3)－x22.地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图①是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图②所示的坐标系，若点A(－15，－100)，点B(a，－144)是图①中沙丘左侧的两个端点，则a的值为()33 A．15B．18C．24D．363．已知(0，y1)，(1，y2)，(－2，y3)是抛物线y＝x2－2x＋1上的点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1C．y1>y3>y2D．y3>y1>y24．[2024·合肥包河区月考]对于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是()A．点(－2，1)在它的图象上B．它的图象在第二，第四象限C．图象关于原点对称D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y25．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数y与自变量x33 的部分对应值如表所示：x…－10123…y…－23676…下列说法错误的是()A．图象开口向下B．方程ax2＋bx＋c＝0的一个正根在4和5之间C．当－1＜x＜3时，－2＜y＜6D．当x＞3时，y随x的增大而减小6.已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1－M2＝0，则称函数y1和y2具有性质M.以下函数y1和y2具有性质M的是()A．y1＝x2＋2x和y2＝－x－4B．y1＝x2＋2x和y2＝－x＋4C．y1＝和y2＝－x－1D．y1＝和y2＝－x＋133 7．下面四个图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影部分的面积为3的有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b2－4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是()33 9.如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点P，Q分别从A，D同时出发，点P以每秒2cm的速度沿A→B→C运动，点Q以每秒1cm的速度沿D→C运动，P点到达点C时运动停止．设P点运动x秒时，△APQ的面积为ycm2，则y关于x的函数图象大致为()33 　10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋4在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A(－1，0)，B，P是其对称轴直线x＝1上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论：①2a＋b＝0；②x＝3是方程ax2＋bx＋4＝0的一个根；③△PAB周长的最小值是5＋；33 ④9a＋4＜3b.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②当x＜0时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是________________．12．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝－x2＋1向上平移3个单位，再向左平移5个单位，则所得抛物线的顶点是________．13．如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝________．33 14．[2024·合肥市瑶海区模拟]在同一平面直角坐标系中，已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b(ab≠0)，函数y2的图象经过y1图象的顶点．请完成下列探究：(1)函数y1＝ax2＋bx的对称轴为________；(2)若a＞0，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是________________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．已知抛物线的顶点坐标为(－1，1)，且经过点(1，－3)，求这个抛物线的表达式．33 16．[2024·合肥市庐阳区月考]已知反比例函数的图象经过点A(－6，2)．(1)求这个函数的表达式．(2)判断点B(－4，3)，C(－2，－6)是否在这个函数的图象上？(3)这个函数的图象位于哪些象限？函数值随自变量的增大如何变化？四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．已知抛物线y＝x2－4x＋3.(1)将抛物线的表达式化为顶点式；(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线；x……y……(3)结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围为________．33 33 18.“珍爱生命，喝酒不开车，开车不喝酒”，喝酒之后，酒精在人体血液中达到一定浓度时，会严重干扰我们的大脑，进而导致我们对外界的反应和控制能力下降．实验数据显示，一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(单位：毫克/百毫升)与时间x(单位：时)成正比例；1.5小时后(包括1.5小时)y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)求出一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围．(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00驾车去上班，是否属于“酒后驾驶”？请说明理由．33 33 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．已知函数y＝mx2＋(m－1)x－1(m为常数)．(1)当m＝1时，设函数图象与x轴交于A，B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C.请判断△ABC的形状并说明理由；(2)求证：无论m取何值，函数图象与x轴一定有交点．20．如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n)．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象，直接写出满足k1x＋b>的x的取值范围；33 (3)若点P在y轴上，使得S△ABP＝15，请直接写出点P的坐标．六、(本题满分12分)21.33 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮所有球员在日常训练中也迎难而上，勇往直前．如图，投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，某球员进行了两次投篮训练．(1)第一次训练时，该球员投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m01234…竖直高度y/m2.03.03.63.83.6…①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运动的最高点距离地面的竖直高度，并求出y与x满足的函数关系式．③已知此时该球员距篮筐中心的水平距离为5m，该球员第一次投篮训练是否成功？请说明理由；(2)第二次训练时，该球员出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝a(x－3)2＋4.25，若投篮成功，此时该球员距篮筐中心的水平距离________5m(填“＞”“＝”或“＜”)．33 七、(本题满分12分)33 22.合肥市政府本着“人民城市人民建，人民城市为人民”，“人与自然和谐共生”“城市有机更新”等重要理念，打造了“一大主题、三大特色、四大活动、六大亮点”的合肥园博园．某商场抓住商机购进了一批以合肥园博园为主题的纪念品进行销售，纪念品的进价是每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日就会少售出10件．(1)不妨设该纪念品的销售单价为x元(x＞40)，请你用含x的代数式分别表示每日销售量y(单位：件)和每日销售该纪念品获得的利润w(单位：元)．(2)在(1)的条件下，若商场某日获得了10000元销售利润，则该纪念品的销售单价应为多少元？(3)在(1)的条件下，若经销商规定该纪念品的销售单价不低于44元，且商场每日要完成不少于540件的销售任务，则商场每日销售该纪念品获得的最大利润是多少？33 八、(本题满分14分)23.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)，直线y＝kx＋3经过点B，C.(1)抛物线的表达式为________________，直线BC的表达式为________________．(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C，B不重合)，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，CD.设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S关于m的函数表达式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值．(3)已知点M为抛物线对称轴上的一个动点，若△MBC是以BC33 为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．33 答案一、1．C　2．B　【点拨】根据题意，可设抛物线的表达式为y＝mx2，将点A(－15，－100)的坐标代入得－100＝225m，解得m＝－，则抛物线的表达式为y＝－x2.当y＝－144时，－x2＝－144，33 解得x＝±18.∵点B在第四象限，∴a＝18.3．D　4．D　5．C　【点拨】由表格可得，该函数图象的对称轴是直线x＝2，∴图象的顶点为(2，7)，函数有最大值，∴图象开口向下，故选项A不符合题意．∵对称轴为直线x＝2，∴(－1，－2)的对称点为(5，－2)，(0，3)的对称点为(4，3)，∴该函数图象与x轴的一个交点的横坐标在4和5之间，∴方程ax2＋bx＋c＝0的一个正根在4和5之间，故选项B不符合题意．∵x＝2时，函数有最大值7，∴当－1＜x＜3时，－2＜y≤7，故选项C符合题意．∵图象开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，∴当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．6．B　【点拨】A.令y1－y2＝0，则x2＋2x＋x＋4＝0，即x2＋3x＋4＝0，则Δ＝32－4×1×4＝－7＜0，即函数y1和y2不具有性质M，不符合题意；B．令y1－y2＝0，则x2＋2x＋x－4＝0，即x2＋3x－4＝0，则Δ＝32－4×1×(－4)＝25＞0，即函数y1和y2具有性质M，符合题意；33 C．令y1－y2＝0，则＋x＋1＝0，整理得x2＋x＋1＝0，则Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，即函数y1和y2不具有性质M，不符合题意；D．令y1－y2＝0，则＋x－1＝0，整理得x2－x＋1＝0，则Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，即函数y1和y2不具有性质M，不符合题意．[点方法]本题属于新定义类问题，根据给出的定冷义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路根据题干信息可知，直接令y-y2=0，若方程有解，则具有性质M，若无解，则不具有性质M.7．B　【点拨】第1个图中，阴影部分的面积为3，故符合题意；第2个图中，阴影部分的面积为×3＝1.5，故不符合题意；第3个图中，阴影部分的面积为2××3＝3，故符合题意；第4个图中，阴影部分的面积为4××3＝6，故不符合题意．33 [点方法]本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|，这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．本题也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．8．A　【点拨】由二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象可知a>0且b2－4ac＞0，∴一次函数y＝ax＋b2－4ac的图象经过第一，二，三象限．由二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象可知，点(2，4a＋2b＋c)在x轴上方，∴4a＋2b＋c＞0，∴反比例函数y＝的图象位于第一，三象限．据此可知，符合题意的是A.9．B　【点拨】在正方形ABCD中，BC＝CD＝AD＝AB＝4cm.当点P在AB上，即0≤x≤2时，AP＝2xcm.33 ∵S△APQ＝AP·BC，∴y＝×2x·4＝4x；当点P在BC上，即2＜x≤4时，BP＝(2x－4)cm，DQ＝xcm，∴CP＝BC－BP＝(8－2x)cm，CQ＝CD－DQ＝(4－x)cm.∵S△APQ＝S正方形ABCD－S△ABP－S△CPQ－S△ADQ＝AB2－AB·BP－CP·CQ－AD·DQ，∴y＝42－×4·(2x－4)－(8－2x)(4－x)－×4·x＝－x2＋2x＋8.综上，y＝10．D　【点拨】根据图象知，对称轴是直线x＝－＝1，则b＝－2a，即2a＋b＝0，故①正确；根据图象知，点A的坐标是(－1，0)，对称轴是直线x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)，所以x＝3方程是ax2＋bx＋4＝0的一个根，故②正确；设点A关于直线x＝1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．连接BA′，BA′与直线x＝1的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是(BA′＋AB)的长度．易知B(0，4)，∠AOB＝∠A′OB＝90°，∴OB＝4.∵A(－1，0)，A′(3，0)，∴OA＝1，OA′＝3，∴AB＝，BA′＝5，即△PAB周长的最小值是5＋，故③正确；根据图象知，当x＝－3时，y＜0，∴9a－3b＋4＜0，即9a＋4＜3b，故④正确．33 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个．二、11．y＝－x2＋x(答案不唯一)　12．(－5，4)　13．3　【点拨】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，连接OB，则CD∥BE.∵四边形OABC为平行四边形，∴CB∥OA，即CB∥DE，OC＝AB,∴四边形CDEB为平行四边形．∵CD⊥OA，∴四边形CDEB为矩形，∴CD＝BE.在Rt△COD和Rt△BAE中，∴Rt△COD≌Rt△BAE(HL)．又∵反比例函数y＝的图象经过点C，∴S△OCD＝S△ABE＝.∵OC＝AC，CD⊥OA，∴OD＝AD.∴S△OCD＝S△CAD＝，∴S平行四边形OABC＝4S△OCD＝2，∴S△OBA＝S平行四边形OABC＝1，∴S△OBE＝S△OBA＋S△ABE＝1＋＝.∵反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点B，∴k＝2×＝3.14．(1)直线x＝1　(2)x＞2或x＜133 【点拨】(1)∵y1＝ax2＋bx＝a(x＋)2－，∴函数y1图象的顶点为(－，－)．∵函数y2的图象经过y1图象的顶点，∴－＝a(－)＋b，即b＝－.∵ab≠0，∴b＝－2a，∴函数y1＝ax2＋bx的对称轴为直线x＝－＝1.(2)∵b＝－2a，∴y1＝ax2－2ax＝ax(x－2)，y2＝ax－2a.当y1＞y2时，y1－y2＝a(x－2)(x－1)＞0.∵a＞0，∴或解得x＞2或x＜1.∴若a＞0，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＞2或x＜1.三、15．【解】设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋1，把点(1，－3)的坐标代入，得a·(1＋1)2＋1＝－3，解得a＝－1，所以抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋1.16．【解】(1)设反比例函数的表达式为y＝.∵反比例函数的图象经过点A(－6，2)，∴k＝－6×2＝－12，33 ∴这个函数的表达式为y＝－.(2)∵－4×3＝－12，－2×(－6)＝12，∴点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上．(3)∵k＝－12＜0，∴这个函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．四、17．【解】(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)－4＋3＝(x－2)2－1.∴抛物线的顶点式为y＝(x－2)2－1.(2)列表：x…01234…y…30－103…抛物线如图所示．33 (3)－1≤y＜318．【解】(1)由题意可得，当0≤x＜1.5时，设函数关系式为y＝kx，则150＝1.5k，解得k＝100，故y＝100x(0≤x＜1.5)；当x≥1.5时，设函数关系式为y＝，则a＝150×1.5＝225，故y＝(x≥1.5)．综上所述，y与x之间的函数关系式为y＝(2)第二天早上7：00驾车去上班属于“酒后驾驶”．理由如下：∵晚上20：00到第二天早上7：00有11个小时，∴当x＝11时时，y＝毫克/百毫升．∵>20，∴第二天早上7：00驾车去上班属于“酒后驾驶”．33 五、19．(1)【解】△ABC为等腰直角三角形．理由如下：对于函数y＝mx2＋(m－1)x－1，当m＝1时，有y＝x2－1，∴当x＝0时，y＝－1，∴C(0，－1)，当y＝0时，有x2－1＝0，解得x1＝－1，x2＝1.又∵A在B左侧，∴A(－1，0)，B(1，0)，∴OA＝OB＝OC＝1，∴AB＝2.易知∠AOC＝∠BOC＝90°.∴AC＝＝，BC＝＝33 ，∴AC2＋BC2＝AB2，AC＝BC.∴△ABC为等腰直角三角形．(2)【证明】①当m＝0时，此时函数y＝－x－1为一次函数，令y＝0，则x＝－1，即此时一次函数图象与x轴交点为(－1，0)．②当m≠0时，此时函数为二次函数，令y＝0，则mx2＋(m－1)x－1＝0.∴Δ＝(m－1)2－4×m×(－1)＝(m＋1)2≥0，∴mx2＋(m－1)x－1＝0有解．∴函数图象与x轴有交点．综上所述，无论m取何值，函数图象与x轴一定有交点．20．【解】(1)把点A(－1，4)的坐标代入反比例函数y＝，得4＝，∴k2＝－4，∴反比例函数的表达式为y＝－.33 将点B(4，n)的坐标代入y＝－，得n＝－＝－1，∴B(4，－1)．将A，B的坐标代入y＝k1x＋b，得解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋3.(2)由图象可知，满足k1x＋b>的x的取值范围是0＜x＜4或x＜－1.(3)点P的坐标为(0，9)或(0，－3)．六、21．【解】(1)①如图．②篮球运动的最高点距离地面的竖直高度是3.8m.设y与x满足的函数关系式为y＝m(x－3)2＋3.8，把点(0，2)的坐标代入得2＝m(0－3)2＋3.8，解得m＝－0.2，33 ∴y与x满足的函数关系式为y＝－0.2(x－3)2＋3.8.③成功．理由如下：当y＝3m时，3＝－0.2(x－3)2＋3.8，解方程得x＝5或1(舍去)，即篮球运动的水平距离为5m时，竖直高度为3m，∴该球员第一次投篮训练成功．(2)＞七、22．【解】(1)每日销售量y＝550－10(x－45)＝1000－10x，∴每日销售该纪念品获得的利润w＝(1000－10x)(x－30)＝－10x2＋1300x－30000.(2)根据题意得－10x2＋1300x－30000＝10000，解得x1＝50，x2＝80.答：纪念品的销售单价为50元或80元．(3)由题意知1000－10x≥540且x≥44，解得44≤x≤46.w＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250.∵－10＜0，图象的对称轴是直线x＝65，∴当44≤x≤46时，w随x的增大而增大．∴当x＝46时，w有最大值8640.答：商场每日销售该纪念品获得的最大利润是8640元．八、23．【解】(1)y＝－x2＋2x＋3；y＝－x＋3【点拨】∵直线y＝kx＋3经过点C，33 ∴x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋3.∵抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，∴－1－b＋3＝0，解得b＝2，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.当y＝0时，x＝3或x＝－1，∴B(3，0)．∵直线y＝kx＋3经过点B(3，0)，∴3k＋3＝0，∴k＝－1，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.(2)由题意知D(m，－m2＋2m＋3)，E(m，－m＋3)，∴DE＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m.∵B(3，0)，∴OB＝3.∴S＝OB·DE＝(－m2＋3m)＝－m2＋m＝－(m－)2＋(0＜m＜3)．∵－<0，∴当m＝时，S有最大值，最大值为.(3)点M的坐标为(1，－2)或(1，4)．33