华师版九年级数学上册 第24章　解直角三角形 单元测试卷（2024年秋）

华师版九年级数学上册第24章　解直角三角形单元测试卷（2024年秋）一、选择题(每题3分，共30分)1．sin30°的值为(　　)A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA等于(　　)A．B．C．D．3．[2024·海南中学月考]若锐角α满足＜cosα＜，则锐角α的取值范围是(　　)A．0°＜α＜45°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．30°＜α＜60°4．[2023·益阳]如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0，1)，B(4，1)，19 C(5，6)，则sin∠BAC＝(　　)A．B．C．D．5．[2023·厦门一中月考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,D为BC的中点，若动点E以每秒1cm的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，△BDE是直角三角形，则t的值为(　　)A．2B．0.5C．2或3.5D．2或0.56．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为(　　)A．B．C．D．7．[2023·衢州]如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC＝a，AB＝b，AB的最大仰角为α.当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是(　　)A．a＋B．a＋C．a＋bcosαD．a＋bsinα8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1∶2，则等腰三角形顶角的度数为(　　)A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°9．[2024·深圳外国语学校校联考]如图，在平面直角坐标系中，连结AB并延长至C，连结OC，AB＝3，若满足OC2＝BC·AC，tanα＝2，则点C的坐标为(　　)A．(－3，6)B．(－2，4)C．D．19 10．[2023·河南]如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为(　　)A．6B．3C．4D．2二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆的影子长BC＝16m，则tanC＝________．12．[2023·内江]在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋|c－10|＋＝12a－36，则sinB的值为________．13．[2023·驻马店四中月考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC的长为________．14．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AB＝4，sinA＝，则平行四边形ABCD的面积是______．19 15．[2024·邢台市第七中学校考]如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，已知楔子斜面的倾斜角为20°，要使木桩向上移动5cm，则楔子沿水平方向前进(如箭头所示)了________cm.16．[2023·雅安]如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为________．17．[2023·成都]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若＝，则tanA＝________.18．[2023·黄冈]如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7，h)，则h＝________．三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分)19．计算：(1)tan30°cos60°＋tan45°cos30°；(2)[2022·齐齐哈尔](－1)0＋＋|－2|＋tan60°.19 20．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，根据下列已知条件，求这个三角形未知的边和角．(1)b＝2，c＝4；(2)c＝8，∠A＝60°.21．[2024·宣城市第三中学模拟]如图，在△ABC中，AC＝，BC＝，cosA＝，点D在BC边上，且CD＝2BD，DE⊥AB，垂足为E，连结CE.19 (1)求线段AB的长；(2)求∠CEA的正切值．22．[2023·泰州]如图，堤坝AB的长为10m，坡度i为1∶0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(参考数据：sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m)19 23．[2022·舟山]小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图①，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②.已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.(1)连结DE，求线段DE的长；(2)求点A，B之间的距离．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)19 24．[2023·海南]如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB＝________度，∠BCM＝________度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．19 19 答案一、1．C　2．B　3．C　4．C　5．C　6．D　7．D8．D【点拨】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sinA＝，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin(180°－∠BAC)＝，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.故选D.9．B【点拨】如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D.19 ∵tanα＝＝2，∴CD＝2DO.∵OC2＝BC·AC，∴＝.∵∠ACO＝∠BCO，∴△CBO∽△COA.∴∠CAO＝∠COB.∵∠CAO＋∠ABO＝90°，∠COD＋∠COB＝90°，∴∠ABO＝∠COD＝α.∴＝tanα＝2.∴AO＝2BO.在Rt△AOB中，AO2＋BO2＝AB2，AB＝3，∴4BO2＋BO2＝45.∴BO＝3.∴AO＝2BO＝6.∵∠CDO＝∠BOA＝90°，∠BAO＝∠CAD，∴△BAO∽△CAD.∴＝，即＝，解得OD＝2.∴CD＝4.∴点C的坐标为(－2，4)．故选B.10．A【点拨】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B.19 结合图象可知，当点P在AO上运动时，＝1，∴PB＝PC，AO＝2.又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC.∵PB＝PC，AP＝AP，∴△APB≌△APC(SSS)．∴∠BAO＝∠CAO＝30°.当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4，∴OB＝2，即AO＝OB＝2.∴∠BAO＝∠ABO＝30°.过点O作OD⊥AB于点D，易得AD＝BD，∵AD＝AO·cos30°＝3，∴AB＝AD＋BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6.故选A.二、11．12．【点拨】∵a2＋|c－10|＋＝12a－36，∴a2－12a＋36＋|c－10|＋＝0.∴(a－6)2＋|c－10|＋＝0，∴a－6＝0，c－10＝0，b－8＝0，解得a19 ＝6，b＝8，c＝10.∴a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2.∴∠C＝90°.∴sinB＝＝＝.13．4【点拨】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，CD＝3，AC＝2，∴AB＝2CD＝6.∴BC＝＝＝4.14．3【点拨】∵AD⊥BD，∴△ABD为直角三角形，sinA＝.∵sinA＝，AB＝4，∴BD＝3.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2＝AD2＋BD2，即16＝AD2＋9，∴AD＝，∴S▱ABCD＝AD·BD＝×3＝3.15．【点拨】设楔子沿水平方向前进了xcm，则tan20°＝，解得x＝，即楔子沿水平方向前进了cm.16．2【点拨】如图，连结AC，BD交于点O.又∵BC＝DC，∠C＝60°.∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝CD＝8.∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO＝BD＝4，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°.又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，∴AE＝EC＝6，19 过点E作EF⊥AC于点F，∴CF＝CE·cos30°＝6×＝3，AF＝AE·cos30°＝6×＝3，∴AC＝CF＋AF＝6.∵CO＝BC·cos30°＝8×＝4，∴AO＝AC－CO＝6－4＝2.∴在Rt△BOA中，AB＝＝＝2.17．【点拨】如图，过点G作GM⊥DE于点M.∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴ED＝EC.∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠1.又∵∠DGE＝∠CGD，∴△DGE∽△CGD，∴＝，∴DG2＝GE·GC.∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴AD⊥DE，∴AD∥GM，∴＝＝，∠MGE＝∠A.设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，∴EC＝DE＝10n，∴DG2＝GE·GC＝GE·(GE＋EC)＝3k×(3k＋10n)＝9k2＋30kn.在Rt△DGM中，GM2＝DG2－DM2，在Rt△GME中，GM2＝GE2－EM2，∴DG2－DM2＝GE2－EM2，19 即9k2＋30kn－(7n)2＝(3k)2－(3n)2，解得n＝k，∴EM＝k.∴GM＝＝＝k，∴tanA＝tan∠EGM＝＝＝.18．【点拨】如图，在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x轴于点F.∵点C的坐标为(7，h)，∴OF＝7，CF＝h.在Rt△CEF中，∠CEF＝180°－∠AEC＝60°，CF＝h，∴EF＝＝h，CE＝＝h.∵∠BAC＝∠ADB＝120°，∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD.∴∠CAE＝∠ABD.∵AB＝CA，∴△CAE≌△ABD(AAS)．∴AD＝CE＝h，AE＝BD.∵点A(3，0)，∴OA＝3.∴OD＝OA－AD＝3－h.在Rt△BOD中，∠BDO＝180°－∠ADB＝60°，∴BD＝＝2＝6－h.19 ∴AE＝BD＝6－h.∵OA＋AE＋EF＝OF，∴3＋6－h＋h＝7，解得h＝.三、19．【解】(1)原式＝×＋1×＝＋＝.(2)原式＝1＋9＋2－＋＝12.20．【解】(1)∵b＝2，c＝4，∴a＝＝＝2.∵sinA＝＝＝，∴∠A＝30°.∴∠B＝90°－∠A＝60°.(2)∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∵sinB＝sin30°＝＝，c＝8，∴b＝×8＝4.∴a＝＝＝4.21．【解】(1)如图，过点C作CF⊥AB于点F.∵AC＝，cosA＝＝，∴AF＝1.∴CF＝＝2.在Rt△BCF中，FB＝＝＝3，∴AB＝AF＋FB＝1＋3＝4.(2)∵CD＝2BD，BC＝，∴BD＝CB＝.∵FB＝3，CB＝，∴cosB＝＝＝＝，∴BE＝DB·cosB＝×＝1.∴EF＝2.19 又∵CF＝2，CF⊥AB，∴tan∠CEA＝tan∠CEF＝＝1.22．【解】如图，过点B作BH⊥AE于点H.∵坡度i为1∶0.75，∴设BH＝4xm，则AH＝3xm，∴AB＝＝5xm．∵AB＝10m，∴x＝2，∴AH＝6m，BH＝8m.过点B作BF⊥CE于点F，则EF＝BH＝8m，BF＝EH.设DF＝am，∵α＝26°35′，∴BF＝≈＝2am，∴AE≈(6＋2a)m.∵坡度i为1∶0.75，∴CE∶AE＝1∶0.75≈(20＋a＋8)∶(6＋2a)．∴a≈12.∴DF≈12m，∴DE＝DF＋EF≈12＋8＝20(m)．∴堤坝高为8m，山高DE约为20m.23．【解】(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F.∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°，∴∠DCF＝∠DCE＝20°，DF＝EF.∴DF＝CD·sin20°≈5×0.34＝1.7(cm)，∴DE＝2DF≈3.4cm，∴线段DE的长约为3.4cm.19 (2)如图，横截面是一个轴对称图形，延长CF交AD，BE的延长线于点G，连结AB.由题意易得DE∥AB，AG＝BG，∴∠A＝∠GDE，CG⊥AB.∵AD⊥CD，∴∠GDF＋∠FDC＝90°.又∵∠DCF＋∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DCF＝20°.∴∠A＝20°，DG＝≈≈1.81(cm)．∴AG＝AD＋DG≈10＋1.81＝11.81(cm)．∴易得AB＝2AG·cos20°≈2×11.81×0.94≈22.2(cm)．∴点A，B之间的距离约为22.2cm.24．【解】(1)30；45【点拨】如图，过点C作CD⊥AB交AB于D.∵∠DBM＝∠A＋∠AMB＝30°＋∠AMB＝60°，∴∠AMB＝30°.∵AB，CM都是正北方向，∴AB∥CM.∴∠DBC＝∠BCM.∵∠DBC＝45°，∴∠BCM＝45°.(2)如图，过点M作ME⊥AB交AB于点E.由(1)可得∠A＝∠BMA＝30°，19 ∴BM＝AB＝20海里，在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴EM＝BM·sin∠EBM＝20×sin60°＝20×＝10(海里)，∴灯塔M到轮船航线AB的距离为10海里．(3)∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB，CM都是正北方向，∴四边形CDEM是矩形，∴CD＝EM＝10海里，DE＝CM.在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴BE＝BM·cos∠EBM＝20×cos60°＝20×＝10海里．∵在Rt△CDB中，∠DBC＝45°，∴△CDB是等腰直角三角形，∴CD＝BD＝10海里，∴CM＝DE＝BD－BE＝10－10＝10(－1)海里．∴港口C与灯塔M的距离为10(－1)海里．19