九年级数学上册 第24章　解直角三角形 单元测试卷（华师版 2024年秋）

九年级数学上册第24章　解直角三角形单元测试卷（华师版2024年秋）一、选择题(每题3分，共24分)题序12345678答案1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝2，则BC＝(　　)A．2B．2C．4D．62．用计算器求cos15°的值，正确的按键顺序是(　　)A.B.C.D.3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，D为AC的中点，BD＝2，则BC的长为(　　)A.B．2C．2D．4(第3题)　　　(第4题)　　　4．如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB的中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将(　　)A．变大B．变小C．不变D．先变大后变小5.如图是我们经常看到的一种折叠桌子的示意图，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成的，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是(　　)(第5题)A．30cmB．60cmC．40cmD．60cm11 6．在△ABC中，∠B，∠C都是锐角，tanB＝1，cosC＝，则对△ABC的形状最确切的判断是(　　)A．锐角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形7．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则sinA＋cosA的值为(　　)A.B.C.D.8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点F是AB的中点，连结CF，将线段CF沿射线BC方向平移到ED，且点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过的区域(四边形CFDE)的周长和面积分别是(　　)(第8题)A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16二、填空题(每题3分，共18分)9．如果α是锐角，sinα＝cos30°，那么α为________．10．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为________．(第10题)　(第11题)　(第12题)　(第14题)11．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则cos∠BAC11 的值为______．12．如图，一束光线照在坡度i＝1的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．13．若三角形两边长分别为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________．14．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝______________．三、解答题(15，16题每题8分，17～19题每题10分，20题12分，共58分)15．计算：(1)；　　　(2)2tan30°＋tan45°－4cos30°.16．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；(2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝3，解这个直角三角形．11 17．如图，某人为了测量小山顶上的塔DE的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进48m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为37°，求塔DE的高度.(第17题)18．如图①，某款线上教学设备由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．(1)当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝________°；(2)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？(3)已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)(第18题)11 19．为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170m处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100m，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．(1)求步道DE的长度；(2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D，他走哪条路较近？请说明理由．(结果精确到个位，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73)(第19题)11 20．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q.(1)tan∠ACB＝________；(2)在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果发生变化，请求出其变化范围；如果不发生变化，请求出其值；(3)若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，请直接写出PC的长．(第20题)11 答案一、1.B　2.A　3.C　4.C　5.D　6.B　7.B　8．C　点拨：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8.∵点F是AB的中点，∴CF＝AF＝AB＝5.∵DF∥CE，∴＝＝，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°，∴点D是AC的中点，CD＝AC＝4，∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝BC＝3.∴四边形CFDE的周长为2(DF＋CF)＝2×(3＋5)＝16，四边形CFDE的面积为DF·CD＝3×4＝12.二、9.60°　10.135°　11.　12.30　13.12　14．3或3或3三、15.解：(1)原式＝＝＝3＋.(2)原式＝2×＋1－4×＝＋1－2＝1－.16．解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，11 ∴AB＝＝＝，AC＝＝＝.(2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝3，∴tanA＝＝＝，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2，∠B＝90°－∠A＝60°.17．解：由题意知∠BCD＝90°，∠EBC＝37°，∠A＝45°，∠DBC＝60°.设BC＝xm，在Rt△BCE中，EC＝BC·tan∠EBC＝BC·tan37°≈xm，在Rt△BCD中，DC＝BC·tan∠DBC＝BC·tan60°＝xm．∵∠A＝45°，∴易得AC＝CD，∴x＋48＝x，解得x＝24＋24，∴EC≈(18＋18)m，DC＝(72＋24)m，∴DE＝DC－EC≈(72＋24)－(18＋18)＝54＋6(m)．答：塔DE的高度约为(54＋6)m.18．解：(1)58(2)如图，过点C作CF⊥l，垂足为点F，过点B作BN⊥CF，垂足为点N，则易得四边形ABNF是矩形，∴FN＝AB＝18cm，∠ABN＝90°.∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC－∠ABN＝148°－90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40cm，∴CN＝40·sin58°≈40×0.85＝34(cm)，∴CF＝CN＋FN≈34＋18＝52(cm)，∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm.(第18题)(3)如图，过点D作DE⊥l，垂足为点E，过点D作DM⊥CF，垂足为点M11 ，则易得四边形DEFM是矩形，∴MF＝DE.由题意得DE＝30cm，∴MF＝30cm，∴CM＝CF－MF≈52－30＝22(cm)，在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM≈22cm，∴cos∠DCM＝≈，∴∠DCM≈60°.在Rt△CBN中，∵∠CBN＝58°，∴∠BCN＝32°，∴∠BCD＝∠DCM－∠BCN≈60°－32°＝28°.∴此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为28°.19．解：(1)如图，过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F.(第19题)由题易得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170m，在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝≈＝200(m)，∴步道DE的长度约为200m.(2)从点A出发，经过点B到达点D的路较近．理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170m，∴EF＝≈＝106.25(m)．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170m，∴BC＝AC·tan60°＝170m，AB＝＝＝340(m)．∵BD＝100m，∴CD＝BC＋BD＝(170＋100)m.11 ∵四边形ACDF是矩形，∴AF＝CD＝(170＋100)m，∴AE＝AF－EF≈170＋100－106.25≈288(m)．因此，某人从点A出发，经过点B到达点D的路程为AB＋BD＝340＋100＝440(m)，从点A出发，经过点E到达点D的路程为AE＋DE≈288＋200＝488(m)．∵440＜488，∴从点A出发，经过点B到达点D的路较近．20．解：(1)(2)的值不发生变化．过点P作PF⊥OA于点F，反向延长PF交BC于点E，∴PE⊥BC，∴易得四边形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝4.设PE＝a，则PF＝EF－PE＝4－a.在Rt△CEP中，tan∠ACB＝＝，∴CE＝2PE＝2a.∴BE＝BC－CE＝8－2a＝2(4－a)．∵PQ⊥PB，∴∠BPE＋∠FPQ＝90°.∵∠BPE＋∠EBP＝90°，∴∠FPQ＝∠EBP.∵∠PFQ＝∠BEP＝90°，∴△PFQ∽△BEP，∴＝.又∵PF＝4－a，BE＝2(4－a)，∴＝＝.11 (3)PC＝.11