九年级数学上册 第四章　图形的相似 单元测试卷（北师版 2024年秋）

九年级数学上册第四章　图形的相似单元测试卷（北师版2024年秋）一、选择题(每题3分，共30分)1.(教材P79随堂练习T3变式)下列各组中的四条线段成比例的是(　　)A．a＝，b＝3，c＝2，d＝B．a＝3，b＝6，c＝8，d＝12C．a＝2，b＝，c＝2，d＝D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝52．已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝(　　)A．4B．6C．8D．163．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，虚线相互平行，则点P表示的数是(　　)A．2　B．3　C.　D．4(第3题)4．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不相似的是(　　)ABCD5．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是(　　)A．4B．6C．16D．1812 (第5题)　　(第6题)6.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为(　　)A.－1　B.－1　C.＋1　D.＋17．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为(　　)A．5B．6C.D.(第7题)　　(第8题)8.(2024西安期末)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，1)，(1，5)，(5，1)，(7，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(　　)A．(7，－2)B．(5，－1)C．(6，0)D．(7，3)9．如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝18，BC＝24，AC＝12，则MN的长是(　　)A．13　B.　C.　D．14(第9题)　　　　　(第10题)　　　　　10.(2023济南)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE12 .以下结论不正确的是(　　)A．∠BCE＝36°　B．BC＝AEC.＝　D.＝二、填空题(每题3分，共24分)11.(教材P80随堂练习变式)若＝＝(a≠c)，则＝________．12.(教材P93习题T3变式)如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB上(点D与A，B不重合)，若再增加一个条件就能使△ACD∽△ABC，则这个条件可以是____________．(写出一个即可)(第12题)13．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(即车尾与倒车镜的距离与车长之比为)，如果车头与倒车镜的水平距离为2米(如图)，则该车车身总长为________米．(第13题)14．已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB向右平移一个单位长度，然后将线段AB向上平移两个单位长度，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为________．15.((2024北京西城区月考)为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.6米，EF＝0.3米，目测点D到地面的距离DG＝1.7米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆AB的高度为________米．12 (第15题)　　　　　(第16题)16.((2024西南大学附中期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.CD是中线，过点A作AE⊥CD，垂足为点F，与BC相交于点E，若AC＝3，BC＝4，则CE的长是________.17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于点E，将△ADE沿DE折叠．设点A落在线段BD上的对应点为A1，DA1的中点为F，连接EF，若△FEA1∽△FBE，则AD＝________．(第17题)　　　　　(第18题)18.(2023常德)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图②的位置．则图②中的值为________．三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)19.(教材P81习题T1变式)已知a:b:c＝3:4:5.(1)求代数式的值；(2)如果3a－b＋c＝10，求a，b，c的值．20．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2:1，并直接写出点A2的坐标．12 21.(2023江西改编)如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．22．阳光明媚的一天，实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度．如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有围栏无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D，B，F，G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB.23.(2023天门)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM.(1)求证：∠AMB＝∠BMP；(2)若DP＝1，求MD的长．12 24.如图①，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E，F在边AB上(EF<AB)，且点C，D，G，H在直线AB的同侧；第二步，设置＝m，＝n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P(点P，D不重合)，射线OG与射线BC相交于点Q(点Q，C不重合)，观测DP，CQ的长度．(1)如图②，小丽取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑动矩形EFGH，当点E，A重合时，CQ＝________.(2)小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠n，DP＝CQ总成立，请说明理由．(3)经过数次操作，小丽猜想设定m，n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP＝CQ总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．12 答案一、1.C　2.A　3.C　4.A　5.D　6.C　7.C　8.A　9．C　点拨：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB.∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∠AMN＝∠ABC.∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO.∴MO＝MB，NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝18＋12＝30.又∵∠MAN＝∠BAC，∴△AMN∽△ABC.∴＝.∴＝∴MN＝.10．C　点拨：由题意得BC＝DC，CE平分∠ACB.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝36°.故A正确．∵CE平分∠ACB，∠ACB＝72°，∴∠ACE＝36°＝∠A，∴AE＝CE.∵∠ABC＝72°，∠BCE＝36°，∴∠BEC＝72°＝∠B.∴CE＝BC.∴BC＝AE.故B正确．∵∠A＝∠BCE，∠ABC＝∠CBE，∴△ABC∽△CBE.∴＝.设AB＝1，BC＝x，则BE＝1－x，12 ∴＝，解得x＝.∴BE＝1－＝.∴＝.故C错误．过点E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，∵CE平分∠ACB，∴EG＝EH.∴＝＝＝.故D正确．二、11.　12.∠ACD＝∠ABC(答案不唯一)13．(3＋)　14.(3，4)　15.10.7　16.　点拨：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AB，∠BCD＋∠ACF＝90°.∴∠B＝∠BCD.∵AE⊥CD，∴∠CAF＋∠ACF＝90°.∴∠CAF＝∠BCD＝∠B.又∵∠ACE＝∠BCA，∴△ACE∽△BCA.∴＝.∴CE＝.∵AC＝3，BC＝4，∴CE＝.17.　18.　点拨：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝12 ＝10.在题图①中，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∠AED＝∠ACB.∴△ADE∽△ABC.∴＝.∴＝.由题图①知∠BAC＝∠DAE，∴在题图②中，∠BAD＝∠CAE.∴△ABD∽△ACE.∴＝＝＝.三、19.解：∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k.(1)＝＝.(2)∵3a－b＋c＝10，∴9k－4k＋5k＝10，解得k＝1.∴a＝3，b＝4，c＝5.20．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，A2(－2，－2)．21．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝5，AC＝8，BD＝6.∴DO＝BO＝BD＝3，AO＝CO＝AC＝4.在△AOD中，AD2＝25，AO2＋OD2＝32＋42＝25，∴AD2＝AO2＋OD2.∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°.∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形．12 (2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD，AD＝BC.∵∠E＝∠ACD，∴∠E＝∠ACB.∵∠ACB＝∠E＋∠COE，∴∠E＝∠COE.∴CE＝OC＝AC＝4.过点O作OG∥CD交BC于点G，∴＝＝1.∴CG＝BC＝AD＝.∴＝＝＝.22．解：∵CD⊥DG，EF⊥DG，∴∠EFG＝∠D＝90°.又∵∠G＝∠G，∴△GEF∽△GCD.∴＝，即＝，解得BD＝9米．∵AB⊥DG，∴∠ABF＝90°＝∠D.∵∠AFB＝∠CFD，∴△FAB∽△FCD.∴＝，即＝，解得AB＝8米．∴假山的高度AB为8米．23．(1)证明：由翻折和正方形的性质可得∠EMP＝∠EBC＝90°，EM＝EB，∴∠EMB＝∠EBM.∴∠EMP－∠EMB＝∠EBC－∠EBM，即∠BMP＝∠MBC.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠AMB＝∠MBC.∴∠AMB＝∠BMP.(2)解：如图，延长MN，BC交于点Q.12 ∵AD∥BC，∴∠DMP＝∠Q.又∵∠DPM－∠CPQ，∴△DMP∽△CQP.∵DP＝1，正方形ABCD的边长为3，∴CP＝2.∴＝＝＝.∴QC＝2MD，QP＝2MP.设MD＝x，则QC＝2x，∴BQ＝3＋2x.∵∠BMP＝∠MBC，即∠BMQ＝∠MBQ，∴MQ＝BQ＝3＋2x.∴MP＝MQ＝.在Rt△DMP中，MD2＋DP2＝MP2，∴x2＋12＝.解得x1＝0(舍)，x2＝.∴MD＝.24．解：(1)(2)如图①，∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形，∴∠B＝∠OFG＝90°，AD＝BC，GF＝HE.又∵∠GOF＝∠QOB，∴△GOF∽△QOB，12 ∴＝.同理可得＝.∵O为边AB的中点，O为EF的中点，∴OA＝OB，OE＝OF.∴＝.∴＝.又∵GF＝HE，∴BQ＝AP.又∵AD＝BC，∴DP＝CQ.(3)小丽的猜想正确，当m＝n时，滑动矩形EFGH，DP＝CQ总成立．理由如下：如图②，取AB的中点M，连接MC，MD.∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形，∴∠B＝∠OFG＝90°，AD＝BC，GF＝HE.∵＝m，＝n，m＝n，∴＝.∵O恰为边EF的中点，M是AB的中点，∴MA＝MB，OE＝OF.∴＝＝.又∵∠B＝∠OFG＝90°，∴△GOF∽△CMB.∴∠GOF＝∠CMB.∴CM∥OQ.∴＝.同理可证＝.又∵AD＝BC，BM＝AM，∴＝＝＝.∴DP＝CQ.∴小丽的猜想正确．12