九年级数学上册 第二章　一元二次方程 单元测试卷（北师版 2024年秋）

九年级数学上册第二章　一元二次方程单元测试卷（北师版2024年秋）一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)A．(x－1)(x－2)＝2B.－＝2C．x(x－2)＝2＋x2D．3x2－2y＝02．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有一个非零实数根c，则b＋c的值为(　　)A．1　B．－1　C．0　D．23．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁4．某食品厂生产的驴打滚由于质量过硬，市场反馈良好，1月份销售额为5万元，销售量逐月增加，一季度共销售20万元，已知2，3两个月份销售额的月增长率相同．设2月份销售额的月增长率为x，则可列方程为(　　)A．5(1＋x)2＝20B．5(1＋2x)2＝20C．5＋5(1＋x)＋5(1＋x)2＝20D．5＋5(1＋x)2＝205.(2023广安)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况为(　　)A．有两个相等的实数根　B．有两个不相等的实数根C．没有实数根　D．无法判定6．已知y为实数，且满足(y2＋m2)2－2(y2＋m2)＝24，则5(y2＋m2)的值是(　　)A．6　B．30　C．36　D．127．若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，且(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，则m＝(　　)10 A．2或6B．2或8C．2D．68.(教材P51习题T4变式)已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为(　　)A．7B．10C．11D．10或119.(2023南京师范大学附属中学月考)一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为(　　)A．48B．24C．24或40D．48或8010．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法中正确的有(　　)①当a>0，c<0时，方程一定有实数根；②当c＝0时，方程至少有一个根为0；③当a>0，b＝0，c<0时，方程的两根一定互为相反数；④当abc<0时，方程的两个根同号，当abc>0时，方程的两个根异号．A．1个　B．2个　C．3个　D．4个二、填空题(每题3分，共24分)11．若关于x的方程(m－1)xm2＋1＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值为________．12．一元二次方程(3x－1)(2x＋4)＝1化成一般形式为__________________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．13.关于x的一元二次方程x2－4x＋2a＝0有实数根，则a的值可以是________(写出一个即可)．14.(2023潍坊)用与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为.借助显示结果，可以将一元二次方程x2＋x－1＝0的正数解近似表示为________．(精确到0.001)15.定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是____________．16．在某次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组，在本组单循环赛中(每两个队之间比赛一场)共进行了10场比赛，则在A10 组中共有________个国家的女队参加了比赛．17．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{－1，3}＝3.则方程max{2x＋8，－x}＝x2的解为____________．18．观察思考结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第________个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个．三、解答题(19题16分，其余每题10分，共66分)19．用适当的方法解下列方程：(1)4(x－1)2－9＝0；　　　　　　　　　　　　(2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0；(3)x2－x－＝0;(4)y2－2y＝5.20．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根．(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？10 21.(2023常州)如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离)，上、下、左、右页边距分别为acm、bcm、ccm、dcm.若纸张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？22．【新趋势学科内综合】已知关于x的一元二次方程x2－(3m＋2)x＋2m2＋2m＝0.(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为75元，当销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．10 (1)设每件童装降价x元时，每天可销售____________件，每件盈利____________元．(用含x的代数式表示)(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．(3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．24．【新考法阅读类比法】阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．(1)问题：方程6x3＋14x2－12x＝0的解是x1＝0，x2＝________，x3＝________；(2)拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上(AP＞PD)，小华把一根长为27m的绳子一端固定在点B，把绳子拉直并固定在点P，再拉直，绳子的另一端恰好落在点C处，求AP的长．10 10 答案一、1.A　2.B　3.B　4.C　5.B　6.B　7.A　8.D　9.B　10.C　二、11.－1　12.6x2＋10x－5＝0；6；1013．2(答案不唯一)　14.0.618　15.4或－1　16.517．x1＝4，x2＝－218．7或10　点拨：根据题意，得第1个图案中★的个数为1；第2个图案中★的个数为1＋2＝3＝；第3个图案中★的个数为1＋2＋3＝6＝；…；所以第n个图案中★的个数为1＋2＋3＋4…＋n＝.第1个图案中“◎”的个数为1＋0×2＋(1＋1)＝3＝3×1；第2个图案中“◎”的个数为1＋1×2＋(2＋1)＝6＝3×2；第3个图案中“◎”的个数为1＋2×2＋(3＋1)＝9＝3×3；…；所以第n个图案中“◎”的个数为1＋(n－1)×2＋(n＋1)＝3n.由题意知＝3n×3－35，解得n＝7或n＝10.三、19.解：(1)原方程变形为(x－1)2＝，两边开平方，得x－1＝±.∴x1＝，x2＝－.(2)原方程变形为(x＋2)2－[2(x－3)]2＝0，因式分解得[(x＋2)＋2(x－3)]·[(x＋2)－2(x－3)]＝0，即(3x－4)(－x＋8)＝0，∴3x－4＝0或－x＋8＝0.∴x1＝，x2＝8.10 (3)这里a＝1，b＝－，c＝－.∵Δ＝b2－4ac＝(－)2－4×1×＝12>0.∴x＝，即x1＝＝，x2＝＝－.(4)配方，得y2－2y＋1＝5＋1，即(y－1)2＝6.两边开平方，得y－1＝±.∴y1＝1＋，y2＝1－.20．(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，∵Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．21．解：设页边距为xcm，根据题意得(16－2x)(10－2x)＝16×10×70%，整理得x2－13x＋12＝0，解得x1＝1，x2＝12(不合题意，舍去)．答：需设置页边距为1cm.22．(1)证明：∵Δ＝[－(3m＋2)]2－4×1×(2m2＋2m)＝9m2＋12m＋4－8m2－8m＝m2＋4m＋4＝(m＋2)2≥0，∴无论m取何值时，这个方程总有实数根．(2)解：x2－(3m＋2)x＋2m2＋2m＝0可化为(x－m)(x－2m－2)＝0，∴x1＝m，x2＝2m＋2.10 当m＝3时，三边为3，3，8(舍去)；当2m＋2＝3时，m＝，三边为，3，3.∴m的值为.23．解：(1)(20＋2x)；(45－x)(2)依题意得(20＋2x)(45－x)＝1200，整理得x2－35x＋150＝0，解得x1＝5，x2＝30.∵要扩大销售量，∴x＝30.答：每件童装降价30元时，平均每天盈利1200元．(3)不可能．理由如下：假设平均每天能盈利2000元．根据题意得(20＋2x)(45－x)＝2000，整理得x2－35x＋550＝0.∵Δ＝b2－4ac＝(－35)2－4×1×550＝－975<0，∴原方程无实数解．∴假设不成立，即不可能平均每天盈利2000元．24．解：(1)－3；(2)方程的两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，∴(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.当x＝－1时，＝＝1≠－1，∴x＝－1不是原方程的解．∴方程＝x的解是x＝3.(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝8m.10 设AP＝xm，则PD＝(21－x)m.∵BP＋CP＝27m，BP＝，CP＝，∴＋＝27，∴＝27－，两边平方，得(21－x)2＋82＝729－54＋82＋x2，整理，得48＋7x＝9，两边平方并整理，得x2－21x＋90＝0，解得x＝15或x＝6.当x＝6时，AP<PD，不合题意，舍去，经检验，x＝15是原方程的解，∴AP的长为15m.10