九年级数学上册第一学期期末综合测试卷（人教版 2024年秋）

九年级数学上册第一学期期末综合测试卷（人教版2024年秋）一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1．下列事件是必然事件的是(　　)A．明年10月有31天B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡D．在足球赛中，弱队战胜强队2.（2023潍坊)下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)3.（2023北京)若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为(　　)A．－9B．－C.D．94.（2024苏州月考)如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是(　　)A.B.C.D.(第4题)5.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是(　　)A．16(1＋x)2＝23B．23(1－x)2＝16C．23－23(1－x)2＝16D．23(1－2x)＝1614 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，连接AB1，当A1，B1，A三点共线时，AA1的值为(　　)(第6题)　　(第7题)A．12B．8C．6D．8＋47．如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是(　　)A．抛物线的对称轴为直线x＝1B．抛物线的顶点坐标为C．A，B两点之间的距离为5D．当x＜－1时，y的值随x值的增大而增大8.（2023青岛)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°.若⊙O的半径为5，则的长为(　　)A.πB.πC．πD.π(第8题)　　(第10题)9．小婷同学在研究二次函数y＝－(x－h)2－h＋1(h为常数)的性质时得到以下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝－x＋1上；②当－2<x<1时，y随x的增大而减小，则h的取值范围为h≤－2；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若|x1－h|>|x2－h|，则y1<y2；14 ④存在一个h的值，使得函数图象与x轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形．其中正确的结论有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C，D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是(　　)A．8B．6C．4D．3(第13题)　　　(第14题)　　　(第15题)　　　(第16题)二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的解为________．12．小明做试验：在平整的桌面上摆放一张30cm×30cm的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上(若大米落在白纸外，则重新试验)，统计落在圆内的米粒数a、落在正方形白纸上的米粒数b.当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在常数________(结果保留π)附近摆动．13．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y＝x2，点P的坐标是(2，4)．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为(0，3)，则此时抛物线的解析式为________________．14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，连接OE，并以OE14 为边构造正五边形OEGHK，则∠DEG＝________．15．商场卫生间旋转门锁的局部图如图①所示，图②是其工作简化图，其中OD＝3.5cm，在自然状态下，把手竖直向下(把手底端到达A处)．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是________cm.当把手旋转到OC⊥OB时，此时CH⊥EF，则点C与点B的高度差BH是________cm.16．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，与BC相交于点G，连接BD，CD.下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是________．三、解答题(本题有7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)17．(8分)解下列方程：(1)x(x－3)＝6－2x.　　　　　　　　　(2)x2－10x＋16＝0.18．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m－2＝0.(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根为x1，x2，且3x1x2＝1－x1－x2，求m的值．19．(8分)（2024无锡月考)为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A.宜兴竹海，B.宜兴善卷洞，C.阖闾城遗址博物馆，D.锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．(1)小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是________．14 (2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．20．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为点E，F，点E落在BA上，连接AF.(1)若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；(2)若AC＝8，BC＝6，求AF的长．21．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是的中点．(1)求证：BC是半圆O的切线；(2)若CE＝，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．14 22．(10分)（2023苏州)如图，二次函数y＝x2－6x＋8的图象与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T.(1)求点A，B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点(3，2)，求PM长的取值范围．23.(12分)某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，从箱外向箱内投弹珠，并建立了如图所示的平面直角坐标系(正方形ABCD为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行)，某同学将弹珠从点P(0，3)处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：y＝－x2＋bx＋c(单位长度为1m)的一部分，且抛物线经过，已知OA＝AB＝AD＝2m.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子；(3)若在自变量x的值满足m≤x≤m＋(m>0)的情况下，与其对应的函数值y14 的最大值为3.5，直接写出m的值；(4)若弹珠投入箱子后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．14 答案一、1.A　2.D　3.C　4.C　5.B　6.A　7.C　8.C　9.D10．D　点拨：如图，作OQ⊥AB于点Q，连接OP，OD，OC.∵CD＝，OC＝OD＝1，∴OC2＋OD2＝CD2.∴△OCD为等腰直角三角形．由y＝－x－2得点A(－2，0)，B(0，－2)，∴OA＝OB＝2.∴△OAB为等腰直角三角形．∴AB＝2.∴OQ＝.由题意得，当P，O，Q三点共线时，S△ABP最大．∵P为等腰直角三角形OCD斜边DC的中点，∴OP＝CD＝.∴PQ＝OP＋OQ＝.∴S△ABP＝AB·PQ＝3.故选D.二、11.x1＝3，x2＝－7　12.　13.y＝(x＋2)2－114．48°15．12.5;15.514 点拨：如图，过B作BM⊥OA于点M，延长CH，AO交于点G，则∠BMO＝90°，易知CG⊥OA.由题意可得AM＝0.5cm，BM＝OD＝3.5cm.设OB＝OA＝xcm.在Rt△BOM中，OM2＋BM2＝OB2，∴(x－0.5)2＋3.52＝x2，解得x＝12.5.∴OB＝12.5cm＝OA.∴易得BD＝OM＝OA－AM＝12.5－0.5＝12cm.∵CG⊥AG，OC⊥OB，∴∠CGO＝90°，∠COB＝90°.∴∠BOM＝90°－∠COG＝∠GCO.又∵OB＝OC，∠CGO＝90°＝∠BMO，∴△BOM≌△OCG(AAS)．∴OG＝BM＝3.5cm.∴易得DH＝OG＝3.5cm.∴BH＝BD＋DH＝12＋3.5＝15.5(cm)．16．①②③④　点拨：①∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC.∴∠BAD＝∠CAD.故结论①正确．②∵点E是△ABC的内心，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB.∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝180°－60°＝120°.∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝120°.故结论14 ②正确．③如图，连接OD，由题意知BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.易知∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC＋∠EBC＝∠EBA＋∠EAB.∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.故结论③正确．④∵∠BAD＝∠CAD，∴＝.∴OD垂直平分BC.∵点G为BC的中点，∴G一定在OD上，即G为OD与BC的交点．∴∠BGD＝90°，即BG⊥GD.故结论④正确．三、17.解：(1)原方程可化为x(x－3)＝－2(x－3)，x(x－3)＋2(x－3)＝0，(x－3)(x＋2)＝0，∴x－3＝0或x＋2＝0.∴x1＝3，x2＝－2.(2)原方程可化为x2－10x＋25＝9，(x－5)2＝9，∴x－5＝±3.∴x1＝8，x2＝2.18．(1)证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9>0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．(2)解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m＋1，x1x2＝m－2，由3x1x2＝1－x1－x2，得x1＋x2＋3x1x2＝1，∴2m＋1＋3(m－2)＝1，解得m＝.14 19．解：(1)(2)画树状图如图所示．由树状图可知，一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为＝.20．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－40°＝50°.∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠FBE＝∠ABC＝50°，AB＝BF.∴∠BAF＝∠BFA＝(180°－∠ABF)＝(180°－50°)＝65°.(2)∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10.∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠BEF＝∠C＝90°，BE＝BC＝6，EF＝AC＝8.∴AE＝AB－BE＝10－6＝4.∵∠AEF＝180°－∠BEF＝180°－90°＝90°，∴在Rt△AEF中，AF＝＝＝4.21．(1)证明：连接OE，OD，如图．∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°.∵OA＝OD，14 ∴∠ADO＝∠OAD＝45°.∴∠AOD＝90°.∴∠DOF＝90°.∵点E是的中点，∴＝.∴∠DOE＝∠EOF＝∠DOF＝45°.∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°.∴OE⊥BC.∵OE是半圆O的半径，∴BC是半圆O的切线．(2)解：∵∠EOF＝∠B＝45°，∴OE＝BE.设BE＝OE＝OA＝x，则BC＝＋x，∵OE⊥BC，∴OB＝x.∴AB＝x＋x.易知AB＝BC，∴x＋x＝(＋x)，解得x＝2.即BE＝OE＝2.∴S阴影＝S△OEB－S扇形OEF＝×2×2－＝2－.22．解：(1)令y＝0，则x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴结合题意知，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(4，0)．(2)∵y＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，∴对称轴为直线x＝3.设P(m，m2－6m＋8)．∵PM⊥l，∴M(3，m2－6m＋8)，∴PM＝m－3.如图①，连接MT，则MT＝r，MT⊥PT，∴PT2＝PM2－MT2＝(m－3)2－r2，即以切线长PT为边长的正方形的面积为(m－3)2－r2.∵A(2，0)，B(4，0)，∴AB＝4－2＝2.如图①，过点P作PH⊥x轴，垂足为点H.14 ∴PH＝m2－6m＋8.∴S△PAB＝AB·PH＝m2－6m＋8.由题意得(m－3)2－r2＝m2－6m＋8，解得r＝±1.∵r＞0，∴r＝1.假设⊙M经过点N(3，2)，则有两种情况：①如图①，当点M在点N的上方时，M(3，3)，∴m2－6m＋8＝3，解得m＝5或m＝1.∵m＞4，∴m＝5.∴PM＝5－3＝2.②如图②，当点M在点N的下方时，M(3，1)，∴m2－6m＋8＝1，解得m＝3±.∵m＞4，∴m＝3＋.∴PM＝(3＋)－3＝.综上所述，PM＝2或，∴当⊙M不经过点N(3，2)时，PM长的取值范围为1＜PM＜或＜PM＜2或PM＞2.23．解：(1)将(0，3)和的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得14 解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(2)∵OA＝AB＝2m，∴OB＝4m.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD＝2m.易知点D的横坐标是2，点C的横坐标是4，令y＝2，则－x2＋2x＋3＝2，解得x1＝1＋，x2＝1－(不合题意，舍去)．∵2<1＋<4，∴该同学抛出的弹珠能投入箱子．(3)m的值为或.(4)弹珠能弹出箱子．理由：当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1(不合题意，舍去)，∴抛物线L与x轴正半轴的交点为(3，0)．根据题意设抛物线M的解析式为y′＝－(x－h)2＋3.把点(3，0)的坐标代入y′＝－(x－h)2＋3，解得h＝3＋或3－.∵抛物线M的对称轴在直线x＝3的右侧，∴h＝3－不符合题意．∴h＝3＋.∴抛物线M的解析式为y′＝－(x－3－)2＋3.当x＝4时，y′＝2－1.∵2－1>2，∴弹珠能弹出箱子．14