湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

2024年5月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考数学班级：_________姓名：_________准考证号：_________（本试卷19题，考试用时120分钟，全卷满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，将答题卡上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求得．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知为虚数单位，若为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43．根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（）A．2.6B．2.3C．1.8D．1.54．已知为正实数，且满足，则的最小值为（）A．B．C．8D．65．是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（）A．2B．C．D．6．井字棋起源于古希腊，是一种在,格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（）A．144B．120C．96D．907．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若且，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．8．已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知数列的前项和为，下列说法正确的有（）A．等差数列，若，则，其中B．等比数列，若，则，其中C．若等差数列，则成等差数列D．若等比数列，则成等比数列10．已知，则下列描述正确的是（）A．B．除以5所得的余数是1C．中最小为D．11．正方体，棱长为2，点满足，其中，，则下列说法正确的是（）A．当时，的最小值为B．当与面所成角为时，则点的轨迹长度为,C．当时，的最小值为D．当时，过三点的平面与正方体的截面面积的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量，且，则_________．13．长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有的教师平均每天没有超过两节课，这些人当中只有的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为_________．14．已知是正项数列，其前项的和为，且满足表示不超过的最大整数，若恒成立，则的取值范围为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，已知为圆柱底面圆的直径，为下圆周上的动点，为圆柱母线．（1）证明：平面平面；（2）若点到平面的距离为，四棱雉的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．16．（15分）已知．且，函数的最小正周期为．（1）求函数的解析式与单调递增区间；（2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长．17．（15分）如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为．,（1）求曲线的方程；（2）已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由．18．（17分）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量．（1）证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数；（ⅱ）随机变量的数学期望；（2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．19．（17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：（1）利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位）（2）设，证明：；,（3）证明：（为奇数）．,参考答案1．【答案】D【解析】由题可知，所以有．2．【答案】B【解析】为纯虚数，故，所以．3．【答案】A【解析】将代入回归直线方程可得．4．【答案】C【解析】因为，所以有：．5．【答案】D【解析】由题可知圆心的坐标为，半径为，直线恒过定点．故圆心到直线的最大距离为，圆上的动点到直线的最大距离为．6．【答案】B【解析】当棋盘中恰好有5颗棋子时游戏结束，则说明小明的三颗棋子连成了一条直线，共有8种情况．（横三种，纵三种，斜两种），棋盘上剩余6个空格，其中两个空格要放小红的白棋，共有种．故此时棋子的分布情况共有种．7．【答案】B【解析】如图所示，由双曲线的定义可知：，所以，又有，因为，即手，,所以为等边三角形，由余弦定理可得：，解得．8．【答案】A【解析】因为，设切点坐标为，则切线过点：，方程有两不同解，令，易知时，单调递增不合理，故．当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值；要使有两解，则，即，令在上单调递增，又因为，所以，又因为为方程的解，故有，代入可得，取值范围为．9．【答案】AC【解析】对于A，易知正确；对于B，当时，成立；但当为常数列时，反之不成立；对于，故，所以成立；对于D，当时，，故不正确．10．【答案】BC【解析】对于A，当时，，而，故；对于B，，除最后一项外，其余项都可以被5整除，故余数为1；,对于C，二项式系数，可知奇数项小于零，偶数项大于零，则最小必然在奇数项中产生，，所以最小的为；对于D，，则有．11．【答案】ABD【解析】对于A，如图1所示，当时，点在上运动，在等边中，的最小值为边上的高，故最小值为；对于B，如图2所示，当与平面所成角为时，易知，所以为与平面所成角，所以，故的轨迹为，故长度为；图1图2对于C，如图3，当时，在线段上运动，对于，将平面与平面展开并绕旋转到同一平面，如图4所示：此时在三点共线时取最小值，为与的交点，过点作的垂线，垂足为点，此时；图3图4图5对于D，如图5所示，点在正方形的边与,中点连线上运动，将截面补充完整，则截面为面，由对称性可得四边形为平行四边形，故，其中为到的距离．当在或处时，此时到的距离最大为；当在中点或中点时，有最小距离，故截面面积的取值范围是．12．【答案】0.4【解析】．13．【答案】0.6【解析】设所求的概率为，由全概率公式得，，得．14．【答案】【解析】，得时，，变形得，所以有；①当为正整数时，，此时；②当为正整数时，，此时恒成立；当时，有最大值，此时恒成立，为正整数，故，综上的取值范围是．15．【答案】见解析【解析】（1）因为为直径，所以，因为为母线，所以平面，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面（2）作，因为点到平面的距离为，所以到的距离为，即，因为，所以在中，易知，在中，，,所以，设圆柱的母线长为，则四棱锥体积，得，在底面内以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系．则，设平面的法向量为，则，即，故可以为，设平面的法向量为，则，即，故可以为，因此，，所以平面与平面夹角的余弦值为．16．【答案】见解析【解析】（1）由题可得，所以，因为的周期为，故，单调递增区间：，,故单调递增区间为；（2）因为且为三角形内角，故或，又因为三角形为锐角三角形，故，因为，所以，即，由余弦定理可得，即，代入，可得，解得或（舍去），故的周长为．17．【答案】见解析【解析】（1）设点的坐标为，点，由题意可知，则由题可得，即，点在圆上运动，，即的轨迹方程为,（2）易知直线的斜率不为0，设方程为，由，得，设，则，直线的方程，得，直线的方程，得，由此得，，又因为，所以，所以存在实数，使得．18．【答案】见解析【解析】（1）（ⅰ），，（ⅱ），,令，则（2）易知，又因为随机变量，所以，，若时，其概率最大，则，得，得，所以，其数学期望小于最有可能发生得次数．19．【答案】见解析【解析】（1）由泰勒公式知，①于是有；（2）由上得，②由①②得，，所以，即；（3）当为偶数时，为奇数时，．,故原式可化为，③由上题可知，故有，③式．