浙江杭州学军中学2024年高二下学期6月月考数学试题（解析版）

2023学年第二学期高二数学学科测试卷（五）命题人：崔舒静审题人：詹长刚一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分2M={yy=ln1(−x)},N=−<<{x1x1}1.已知集合，则（）A.MNB.MN∩=−[1,0]C.MN=−(1,0)D.(RMN)=−+∞(1,)【答案】D【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.22【详解】由题意可得11≥−>⇒xx0ln1(−)≤0，即M=−∞(,0]，所以MN，MN∩=−(1,0]，(RMN)∪=−+(1,∞)，即A、B、C三选项错误，D正确.故选：D2.已知角α的终边上一点A(4,3)，且tan(αβ+=)2，则tan3(πβ−=)（）1155A.B.−C.D.−2222【答案】B【解析】tanαβ+tan【分析】先通过三角函数的定义求出tanα，代入tan(αβ+=)求出tanβ，继而求出1tantan−αβtan3(πβ−)的值.【详解】角α的终边上一点A(4,3)3∴tanα=43+tanβtanαβ+tan4tan(αβ+=)==2，1tantan−αβ31−tanβ41解得tanβ=.21∴tan3(πβ−=)−=tanβ−.2第1页/共21页学科网（北京）股份有限公司 故选：B.23.函数y=−−+ln(xx23)的单调递减区间为（）A.(−−∞,1)B.(−+1,∞)C.(−1,1)D.(1,+∞)【答案】C【解析】【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间.2【详解】令−−+>xx230得−<<31x，2故y=−−+ln(xx23)的定义域为(−3,1)，yt=ln在t∈+(0,∞)上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可得，2只需求出txx=−−+23在(−3,1)上的单调递减区间，22txx=−−+=−++23(x14)在(−1,1)上单调递减，2故数y=−−+ln(xx23)的单调递减区间为(−1,1).故选：C3m4.下列图像中，不可能成为函数fxx()=−的图像的是（）．xA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案.3m2m【详解】因为fxx()=−，{xx|0≠}，所以fxx′()=3+2xx3m2m当m=0时fxx()=−=0，{xx|0≠}无解，且fxx′()=+>302xx此时fx()在(−∞,0)，(0,+∞)单调递增，D选项符合此种情况.第2页/共21页学科网（北京）股份有限公司 43mxm−4fxx′=+>302m当m>0时fxx()=−==0有两个解±m，且()2xxx此时fx()在(−∞,0)，(0,+∞)单调递增，B选项符合此种情况.43mxm−当m<0时fxx()=−=当x<0时易知fx()<0，x>0时fx()>0xx所以函数图像不可能是C.故选：C5.已知向量a，b满足a=1，b=(1,1)，ab+=5，则a在b上的投影向量的坐标为（）112222A.,B.,C.(1,1)D.−,222222【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.222【详解】因为b=(1,1)，所以||112b=+=，又|a|1,=把||5ab+=两边平方得22||||2a+b+⋅=ab5，即122++⋅=ab5，解得ab⋅=1，ab⋅111所以a在b的投影向量坐标为⋅=b(1,1)=,，2||b222故选：A.6.“欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果ππ这些点在函数yx=4sin(ωϕω+><)0,ϕ的图象上，且图象过点,2，相邻最大值与最小值224π之间的水平距离为，则是函数的单调递增区间的是（）2第3页/共21页学科网（北京）股份有限公司 ππ75ππA.−−,B.−,34242453ππ53ππC.,D.,24884【答案】B【解析】【分析】由题意求出最小正周期，从而求出ω，再利用特殊点求出ϕ的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果．π【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为，2π2π所以函数的周期为2×=π，所以ω==2，2ππ又图象过点(，2)，24ππ1所以4sin2×+ϕ＝2，可得sin+=ϕ，24122ππππ5则有+=+ϕπ2k或+=+ϕπ2,kkZ∈，126126π3π即ϕπ=+2k或ϕπ=+∈2,kkZ，124πππ又ϕ<，所以ϕ=，所以yx=4sin2+，21212πππ75ππ令−+22kxππ≤+≤+2k，解得−+≤≤+kxππkkZ,∈，2122242475ππ所以函数的单调区间为−+kππ,,+kkZ∈，242475ππ当k=0时，函数的单调递增区间为−,，故选项B正确．2424故选：B．lnxxx+>，17.已知函数fx()=m，若gx()=fxm()−有三个零点，则实数m的取值范围是221x−+≤mx，x2（）74A.1,B.(1,2]C.1,D.[1,3]43第4页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】【分析】由题可知x>1时，函数gx()=fxm()−至多有一个零点，进而可得x≤1时，要使得2mgx()=fx()−=−−m2xmx有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得.2【详解】当x>1时，fx()=lnxx+单调递增且fx()=+>lnxx1，此时gx()=fxm()−至多有一个零点，若gx()=fxm()−有三个零点，则x≤1时，函数有两个零点；当x>1时，fx()=+>lnxx1，故m>1；2m当x≤1时，要使gx()=fx()−=−−m2xmx有两个零点，22mΔ=−−>m802m则<1，4m20−−≥m24所以0<≤m，又m>1，34所以实数m的取值范围是1,.3故选：C.8.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD中，AB=BD=23，将△ABD沿BD进行翻折，使得AC=26．按张衡的结论，三棱锥ABCD−外接球的表面积约为（）A.72B.2410C.2810D.3210【答案】B【解析】【分析】由球的性质确定三棱锥ABCD−外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积.【详解】如图1，第5页/共21页学科网（北京）股份有限公司 取BD的中点M，连接AMCM，．由AB=AD=BD=23，可得△ABD为正三角形，且2222333(+−26)1122AM==×=CM233，所以cos∠=AMC=−，则sin∠AMC=−−1=，2233××333以M为原点，MC为x轴，MD为y轴，过点M且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系如图2，则C(3,0,0)，A(1022)−，，．设O为三棱锥ABCD−的外接球球心，则O在平面BCD的投影必为222222222△BCD的外心，则设Oh(10，，)．由R=||||OA=OC可得20(++22)20−=++hh，解得22h=2，所以R=||6OC=．2π5由张衡的结论，≈，所以π≈10，168则三棱锥ABCD−的外接球表面积为24πR≈2410，故选：B．二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.19.ABC中，D为边AC上的一点，且满足AD=DC，若P为边BD上的一点，且满足2AP=+mABnACm(>>0,n0)，则下列结论正确的是（）第6页/共21页学科网（北京）股份有限公司 1A.mn+=21B.mn的最大值为12411C.+的最小值为642+D.22mn+9的最小值为mn2【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量共线定理可知A错误；1根据mn=m⋅(3n)，利用基本不等式可求得最大值，知B正确；34141由+=+(mn+3)，利用基本不等式可求得最小值，知C错误；mnmn222(mn+3)利用基本不等式可得mn+≥9，知D正确.2【详解】对于A，AP=+=+mABnACmAB3nAD，BPD,,三点共线，∴+=mn31，A错误；21131mn+对于B，mn+=31，∴=⋅mnm(3n)≤×=（当且仅当mn=3时取等号），B正确；33212414112nm12nm12nm对于C，+=+(mn+=+3)7+≥+72⋅=+743（当且仅当=，即mnmnmnmnmnmn=23时取等号），C错误；222(mn+3)1对于D，mn+≥9=（当且仅当mn=3时取等号），D正确.22故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10.对于数列{an}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有aMn≤，则称数列{an}是有界的.若这第7页/共21页学科网（北京）股份有限公司 样的正数M不存在，则称数列{an}是无界的.记数列{an}的前n项和为Sn，下列结论正确的是（）n11A.若an=，则数列{an}是无界的B.若ann=sin，则数列{Sn}是有界的n2n1C.若an=−(1)，则数列{Sn}是有界的D.若an=+22，则数列{Sn}是有界的n【答案】BC【解析】【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前n项和公式即可得解.11【详解】对于A，an==≤1恒成立，nn∴存在正数M=1，使得aM≤恒成立，n∴数列{a}是有界的，A错误；nnnn111对于B，−≤1sinn≤1，∴−≤an=⋅sin≤，n222n111−2nn111221∴=+++<+Saaa++==−11<，nn12222121−22nn1111Saa=+++a>−+++=−+11>−，nn122222所以存在正数M=1，使得SMn≤恒成立，∴则数列{S}是有界的，B正确；nn对于C，因为a=−(1)，n所以当n为偶数时，Sn=0；当n为奇数时，Sn=−1；∴≤S1，∴存在正数M=1，使得SM≤恒成立，nn∴数列{S}是有界的，C正确；n14411对于D，22=<=4−，nnnn4(2121−+)()2121nn−+第8页/共21页学科网（北京）股份有限公司 11111111∴Sn=21++++⋅⋅⋅≤241n+−+−+⋅⋅⋅+−n22223n3352121nn−+182n=+−241n=+2nn=−+22；21nnn+++2121221yx=−在(0,+∞)上单调递增，∴−n∈,+∞，21x+213n+∴不存在正数M，使得SM≤恒成立，n∴数列{S}是无界的，D错误.n故选：BC.11.已知函数fx()及其导函数fx′()的定义域均为R，若fx()是奇函数，ff(2)=−≠(10)，且对任意x，y∈R，fxyfxfyfxfy(+=)()′′()+()()，则（）1A.f′(1)=B.f(90)=22020C.∑fk()=1D.∑fk′()=−1k=1k=1【答案】BD【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令xy==1，得f(2211)=ff()′()，因为ff(2)=−≠(10)，1所以f′(1)=−，所以A错误；2令y=1，得fx(+=111)fxf()′′()+fxf()()①，所以f(1−=xfxf)(−+)′(11)fxf′(−)()，因为fx()是奇函数，所以fx′()是偶函数，所以f(1−x)=−+fxf()′′(11)fxf()()②，由①②，得fx(+=12)fxf()′(1)+−f(1x)=−fxfx()−(−1)，即fx(+=−+−21)fx()fx()，所以fx(+=−+−3211)fx()fx(+=)fx(++)fxfx()−(+=1)fx()，所以fx()，fx′()是周期为3的函数，所以ff(9)=(00)=，第9页/共21页学科网（北京）股份有限公司 20∑f(kfff)=(1236120)+()+()×+ff()+()=，k=1所以B正确，C错误；1因为fff′′(211)=−=()′()=−，2在①中令x=0得fffff(101)=()′()+′(01)()，所以f′(01)=，20∑f′(kfff)=′′(123)+()+′()×+6121ff′′()+()=−，所以D正确．k=1故选：BD．【点睛】对于可导函数fx()有：奇函数的导数为偶函数偶函数的导数为奇函数若定义在R上的函数fx()是可导函数，且周期为T，则其导函数fx′()是周期函数，且周期也为T三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z满足z=(12i1i++)()（其中i为虚数单位），则z=_____________.【答案】10【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数z，即可求得答案.【详解】由题意得z=+(12i1i)(+=−+)13i，22故z=−+=(1)310，故答案为：1013.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.3【答案】：5【解析】32【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为AA×2，若两个33第10页/共21页学科网（北京）股份有限公司 3113空中只插入1节艺术课，则排法种数为AAAA()=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3233346AA=144，而所有的排法共有A=720种，由此求得所求事件的概率．3463【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有A种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空3中，321①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为AAA=72，3323113②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为AAAA()=216，3233③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，34然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为AA=144，346而所有的排法共有A=720种，672++2161443故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，72053故答案为：．5【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．222214.已知Ox:+−=(y21)，Ox:3(−+−=)(y69)，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分12别是M，N，求PM+PN的最小值为_____________.【答案】57【解析】2222【分析】根据圆的切线的几何性质可推出PM+PN=(t−0)+−−0(3)+(t−3)+−(033)，可看作点Pt,(0)到AB(0,−3,)(3,33)的距离的和，结合几何意义即可求得答案.22【详解】由题意知Ox1:+−=(y21)的圆心为(0,2)，半径r1=1，22Ox2:3(−+−=)(y69)的圆心为(36),，半径r2=3，第11页/共21页学科网（北京）股份有限公司 2222设Pt,(0)，则|PM||=PO|1−=t+−=41t+3，122222PN=|PO2|−=−+−=−+3(t3)69(t3)27，222222则PM+=++−+=−+−PNt3(t3)27(t0)0(−3)+−+−(t3)(033)，设AB(0,−3,)(3,33)，则|PM|||||||||+PN=PA+PB≥AB，当且仅当PAB,,三点共线时取等号，22此时PM+PN的最小值为AB=−++=(30)(333)57，故答案为：57四.解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC的角ABC,,的对边分别为abc,,，且sin(cosAcBb+−=+cos)CcsinBcsinCbsinB，（1）求角A;（2）若AD平分∠BAC交线段BC于点D，且AD=2,BD=2CD，求ABC的周长.2【答案】（1）A=π3（2）937+【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化简cBbCcos+cos，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A，2（2）由SSSABC=BAD+CAD结合AD平分∠BAC，A=π可得bc=22b+c，作AE⊥BC于E，则3第12页/共21页学科网（北京）股份有限公司 SABDc由结合已知条件可得=2，解方程组可求得bc,，再利用余弦定理可求出a，从而可求出三角形的SACDb周长.【小问1详解】222222acb+−abc+−由余弦定理得cBbCccos+cos=×+×b=a22acab所以sin(cosAcBb+−=+cos)CcsinBcsinCbsinB可化为aAcBcCbBsin−=+sinsinsin222222再由正弦定理，得a−=+cbcb，得c+−=ba−bc，222bca+−1所以cosA==−.22bc2因为A∈(0,)π，所以A=π3【小问2详解】π因为AD平分∠BAC，所以∠=BAD∠=CAD.3121ππ1由S=S+S⇒⋅bcsinπ=⋅cADsin+⋅bADsin，ABCBADCAD232323得bc=22b+c.作AE⊥BC于E，1π1cAD⋅sinBDAE⋅SABD232cBD则==⇒==2.S11πbDCACDbAD⋅⋅sinCDAE232bc=22b+cc=6,由，解得cb=2b=3,222由余弦定理，得abc2bccosA63，所以a37故ABC的周长为937+16.如图，在正方体ABCD−ABCD中，E.F分别是棱DD，AD的中点.1111111第13页/共21页学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：BE1⊥平面ACF.（2）求二面角B−−AFC的余弦值.【答案】（1）证明见解析5（2）3【解析】【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到AFEB⋅=10，ACEB⋅=10，所以AF⊥EB1，AC⊥EB1，证明出线面垂直；法二：作出辅助线，先由线面垂直得到AC⊥EB1，再根据三角形全等得到AF⊥AE1，进而得到AF⊥平面ABE11，得到AF⊥EB1，从而证明出BE1⊥平面ACF；（2）利用空间向量求解二面角的余弦值.【小问1详解】法一：以D为坐标原点，DADCDD,,1所在直线分别为xyz,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体ABCD−ABCD1111的棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,2)，E(0,0,1)，B1(2,2,2).AF=−(1,0,2)，AC=−(2,2,0)，EB1=(2,2,1).因为AFEB⋅=10，ACEB⋅=10，所以AF⊥EB1，AC⊥EB1.第14页/共21页学科网（北京）股份有限公司 因为AFAC=A，AFAC,⊂平面ACF，所以BE1⊥平面ACF.法二：连接AE1，BD，BD11.在正方体ABCD−ABCD1111中，BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC.因为BD⊥AC，BB1∩=BDB，BBBD1,⊂平面BBDD11，所以AC⊥平面BBDD11.因为EB1⊂平面BBDD11，所以AC⊥EB1.因为AB11⊥平面ADDA11，AF⊂平面ADDA11，所以AB11⊥AF.在正方形ADDA11，E，F分别是边DD1，AD11的中点，可得△AAF1≌△DAE11，所以∠∠AAF1=DAE11，∠∠∠∠EAA1+=+=AAF1EAA1DAE1190，所以AF⊥AE1.因为AB11AE1=A1，ABAE111,⊂平面ABE11，所以AF⊥平面ABE11.因为EB1⊂平面ABE11，所以AF⊥EB1.因为AC∩=AFA，AFAC,⊂平面ACF，所以BE1⊥平面ACF.【小问2详解】结合（1）可得EB为平面ACF的一个法向量.1AB=(0,2,0).ABn⋅=(0,2,0)⋅(xyz,,)==2y0设平面ABF的法向量为n=(xyz,,)，则，AFn⋅=−(1,0,2)⋅(xyz,,)=−+=x2z0解得y=0，令x=2，得z=1，所以n=(2,0,1)，EBn⋅(2,2,1)⋅(2,0,1)41+51cosEBn1,====.EB⋅n4++×+414135315由图可知二面角B−−AFC为锐角，故二面角B−−AFC的余弦值为.3第15页/共21页学科网（北京）股份有限公司 17.已知某系统由一个电源和并联的ABC,,三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布N(404，)，且X的累积分布函数为FxPXx()=(≤)，求FF(44)−(38).（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为00，t<Gt()=PTt(≤=)1.10−≥，tt4（ⅰ）设tt12>>0，证明：PTtTtPTtt(>1>=2)(>−12)；（ⅱ）若第n天只有元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的条件概率.2附：若随机变量Y服从正态分布N(µσ，)，则PY(−µ<σ=)0.6827，PY(−µ<σ=2)0.9545，PY(−µ<σ=3)0.9973.【答案】（1）0.81867（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）16【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合FxPXx()=(≤)的定义求解;（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合FxPXx()=(≤)的定义以及Gt()的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.．【小问1详解】由题设得P(38<<X42)=0.6827，P(36<<X44)=0.9545，所以F(44)−F(38)=FX(≤−44)FX(≤=38)F(40≤≤+X44)F(38≤≤X40)1=+=(0.68270.9545)0.81862【小问2详解】（ⅰ）由题设得：tt12>>0第16页/共21页学科网（北京）股份有限公司 PTtTt[(>∩>12)()]PTt(>−≤−1)1(PTt11)1()GtPTtTt(>>=12)===PTt(>)PTt(>−≤−)1(PTt)1()Gt2222111(1−−)tt11=44==4tt21−，111(1−−)44tt22PTtt(>−=−)1PTtt(≤−=−)1(Gtt−=)4tt21−,121212所以PTtTtPTtt(>1>=2)(>−12)．（ⅱ）由（ⅰ）得1PTn(>+>=1Tn)PT(>=−1)1PT(≤=−1)1G(1)=，41所以第n+1天元件BC,正常工作的概率均为．4为使第n+1天系统仍正常工作，元件BC,必须至少有一个正常工作，172因此所求概率为1(1−−=).41622xy2218.已知双曲线Γ:−=>>1(ab0,0)的实轴长为2，离心率为3，圆O的方程为xy+=2，过22ab圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A，B两点.（1）求双曲线Γ的方程；π（2）求证：∠=AOB；2（3）若直线l与双曲线的两条渐近线的交点为C，D，且AB=λCD，求实数λ的范围.22y【答案】（1）x−=122（2）证明见解析（3）λ∈,22第17页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】（1）由题意列式求出2a=132,c=,b=，即可得答案；22（2）分类讨论，求出y0=0和x0=0时，结论成立；当xy00≠0时，利用圆xy+=2在Pxy(00,)处的切线方程为xxyy00+=2，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算OAOB⋅的值，即可证明结论；283−x（3）求出弦长AB以及CD的表达式，可得λ=0，再结合特殊情况下的取值，即可确定答案.2【小问1详解】22xy由题意知双曲线Γ:−=>>1(ab0,0)的实轴长为2，离心率为3，22ab22a=c故=3，解得a=132,c=,b2=，a222cab=+22y故双曲线Γ的方程为x−=1；2【小问2详解】22证明：设Pxy(00,)，则xy00+=2，当y0=0时，不妨取P(2,0)，π此时不妨取AB(2,2,)(2,−2)，则OAOB⋅=0，即∠=AOB；2π同理可证当x0=0时，有∠=AOB；2x22yy−=−0xx−，当xy00≠0时，圆xy+=2在Pxy(00,)处的切线方程为00()y0即xxyy00+=2；22yx−=1222由2可得(34x0−)x−4xx00+−82x=0，xxyy+=200因为切线l交双曲线于A，B两点，22222故02<<x0，3x0−≠40,Δ=16xx00−43(−482)(−x0)>0，24xx82−00设AxyBxy(11,,,)(22)，则xx12+=22,xx12⋅=，34xx−−3400第18页/共21页学科网（北京）股份有限公司 1故OAOB⋅=+xx12yy12=+xx122(22−xx01)(−⋅xx02)y012=+xx12242−xx01(++x2)xxx0122−x082xx2218xx22(82−)−00=+−+0042222342x−−xx3434−x−00002282−−xx8200=−=0，223434xx−−00故OA⊥OB，π综合上述可知∠=AOB；2【小问3详解】2x022由（2）可得当xy00≠0时，02<<x0，AB=+−1()(x12+x)−⋅4xx12y022xx002482−x0=+−1()−⋅422yx34−−34x0004(xx22−−238)()483−x2000==；22yx⋅−3434x−00022yx−=1的渐近线方程为yx=±2，2yx=2222联立，得C,，xxyy+=222yx++yx0000002−22同理可得C,，−+−+22yxyx00002x0222则CD=+−1()−y022yx00+−+yx008|y|80=22=2，|y||xy−−2||34x|0000第19页/共21页学科网（北京）股份有限公司 2483(−x0)22AB34x−83−x由于AB=λCD，故λ==0=0，CD82234x−0283−x220由于02<<x0，则λ=∈,2；22当y0=0时，不妨取P(2,0)，则|AB|=22,|CD|=4，2此时λ=；2当x0=0时，不妨取P(0,2)，则|AB|=22,|CD|=2，此时λ=2；2综合上述可知λ∈,2.2*19.给定常数c>0，定义函数fx()2=++−+xc4xc，数列aaa123,,,满足ann+1=fanN(),∈.（1）若ac1=−−2，求a2及a3；*（2）求证：对任意nNa∈,nn+1−≥ac，；（3）是否存在a1，使得aa12,,an,成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由.【答案】见解析【解析】【详解】（1）因为c>0，ac1=−+(2)，故afa211=()2=ac++−+=4ac12，afa=()=2ac++−+=+4acc103122（2）要证明原命题，只需证明fxxc()≥+对任意xR∈都成立，fxxc()≥+⇔++−+≥+2xc4xcxc即只需证明24+xc++≥+xcxc+若xc+≤0，显然有2xc++≥+4xcxc++=0成立；若xc+>0，则24+xc++≥+xcxcxc+⇔++>+4xc显然成立第20页/共21页学科网（北京）股份有限公司 *综上，fxxc()≥+恒成立，即对任意的n∈N，aacnn+1−≥（3）由（2）知，若{}an为等差数列，则公差dc≥>0，故n无限增大时，总有an>0此时，afannn+1=()=2(ac++−+=++4)(acacnn)8即dc=+8故afa211=()2=ac++−+=++4acac118，即24ac1++=++++acac118，当ac1+≥0时，等式成立，且n≥2时，an>0，此时{}an为等差数列，满足题意；若ac1+<0，则ac11++=⇒=−−44ac8，此时，aac23==0,+8,,ancn=−+(2)(8)也满足题意；综上，满足题意的a1的取值范围是[,)−+∞∪−−cc{8}．【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司