初高中衔接数学知识点复习
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第一章乘法公式与因式分解课堂笔记§1.1乘法公式222我们知道(a+b)=a+2ab+b，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于3222(a+b)=(a+b)(a+b)=a+2ab+b(a+b)322223=a+ab+2ab+2ab+ab+b3223=a+3ab+3ab+b，因此得到和的立方公式33223(a+b)=a+3ab+3ab+b．将公式中的b全部改为-b，又得到差的立方公式33223(a-b)=a-3ab+3ab-b．上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为33223(a±b)=a±3ab+3ab±b．32【例1】化简：(x+1)-xx+3x+3．323232【解答】(x+1)-xx+3x+3=x+3x+3x+1-x-3x-3x=1．32233由完全立方公式可得(a+b)-3ab-3ab=a+b，即233(a+b)(a+b)-3ab=a+b，由此可得立方和公式2233(a+b)a-ab+b=a+b．将立方和公式中的b全部改为-b，得到立方差公式2233(a-b)a+ab+b=a-b．22【例2】对任意实数a，试比较(1+a)(1-a)1+a+a1-a+a与1的大小．22【解析】观察(1+a)(1-a)1+a+a1-a+a的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简．22【解答】(1+a)(1-a)1+a+a1-a+a22=(1+a)1-a+a(1-a)1+a+a336=1+a1-a=1-a666因为1-a-1=-a，对任意实数a，-a≤0，所以第1页,22(1+a)(1-a)1+a+a1-a+a≤1．课堂笔记222通过将完全平方公式(a+b)=a+2ab+b中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式．有兴趣的同学可以将指数推广到4，5，⋯．另外，我们也可以从项数的角度推广2222(a+b+c)=[(a+b)+c]=(a+b)+2(a+b)c+c222=a+2ab+b+2ac+2bc+c222=a+b+c+2ab+2bc+2ca．2222灵活应用等式(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便．1【例3】已知a+b+c=0，ab+bc+ca=-，求下列各式的值：2222(1)a+b+c444(2)a+b+c222【解析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a+b+c用a+b+444222222c和ab+bc+ca表示．由于a+b+c=a+b+c，由(1)得到222222启发，如果知道ab+bc+ca的值，就能得解．2222【解答】(1)(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ca．222222由上式和已知得0=a+b+c-1，即a+b+c=1．12222221(2)由ab+bc+ca=-，得ab+bc+ca+2abc(a+b+c)=．242222221因为a+b+c=0，所以ab+bc+ca=．4444222222再由(1)的结论，得a+b+c+2ab+2bc+2ca=1．4441因此a+b+c=．2233【例4】已知x+x-1=0，求证：(x+1)-(x-1)=8-6x．33【证法1】(x+1)-(x-1)3232=x+3x+3x+1-x-3x+3x-13232=x+3x+3x+1-x+3x-3x+12=6x+2．22由已知得x=1-x，故6x+2=6(1-x)+2=8-6x．因此，33(x+1)-(x-1)=8-6x．33【证法2】(x+1)-(x-1)22=(x+1-x+1)(x+1)+(x+1)(x-1)+(x-1)222=2x+2x+1+x-1+x-2x+1第2页,2=6x+2．以下同证法1课堂笔记习题1.1331.若a+b=8，ab=2，则a+b=()A.128B.464C.496D.5123332.若x+y+z=0，则x+y+z=()222A.0B.xy+yz+zx222C.x+y+zD.3xyz13313.设A=n+，B=n++6，对于任意n>0，则A，B大小关系为nn3()A.A≥BB.A>BC.A≤BD.不一定24.(5-x)25+5x+x=．5.观察下列各式的规律：22(a-b)(a+b)=a-b，2233(a-b)a+ab+b=a-b，322344(a-b)a+ab+ab+b=a-b．nn-1n-1n可得到(a-b)a+ab+⋯+ab+b=．(其中n为正整数)．336.求函数y=(x-2)-x的最大值．312117.当x=3时，求代数式2x+4x-2+-的值．xx2x322222228.已知a，b，c为非零实数，a+b+cx+y+z=(ax+by+cz)，求证：xyz==．abc第3页,§1.2因式分解课堂笔记因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法．下面我们继续学习一些分解因式的方法．1.十字相乘法我们知道，形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式，它的特1p点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p+q可以通过如1q2图1．2-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．这种方法能否推广呢？1×p+1×q=p+q如果要对2x2-7x+3分解因式，我们把二次项系数2分图1.2-1解为1×2，把常数项3分解成1×3或(-1)×(-3)，按图1．2-2至图1．2-5的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算．11131-11-323212-32-11×3+2×1=51×1+2×3=71×-3+2×-1=-51×-1+2×-3=-7图1.2-2图1.2-3图1.2-4图1.2-5可以发现图1．2-5对应的结果1×(-1)+2×(-3)=-7，恰好等于一次项2系数-7．由于(x-3)(2x-1)=2x-7x+3，从而22x-7x+3=(x-3)(2x-1)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例1】将下列各式分解因式：22(1)2x+x-3；(2)-6a+7a+5【解析】(1)因为2=1×2，-3=(-1)×3=1×(-3)，且一1-1次项系数是1，所以可按图1．2-6用十字相乘法分解23因式．图1.2-61-1(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多．因此23图1.2-72先把负号提到括号外面，即-6a+7a+5=22-6a-7a-5，然后再把6a-7a-5按图1．2-7用十字相乘法分解因式．【解答】(1)因为1×3+2×(-1)=1，恰好等于一次项系数1，所以22x+x-3=(x-1)(2x+3)．222(2)因为-6a+7a+5=-6a-7a-5，而根据十字相乘法，6a-7a-5=(2a+1)(3a-5)，所以2-6a+7a+5=-(2a+1)(3a-5)．第4页,222【例2】分解因式：x-x-x-x-2．2【解析】先将x-x视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决．课堂笔记22222【解答】x-x-x-x-2=x-x-2x-x+1=(x-2)(x+1)2x-x+1．2.分组分解法观察多项式xm+xn+ym+yn，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式．观察多项式的各项，前两项有公因式x，后两项有公因式y，分别提取后得到x(m+n)+y(m+n)．这时又有了公因式(m+n)，因此能把多项式xm+xn+ym+yn分解因式．分解过程是xm+xn+ym+yn=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)．一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式．【例3】将下列各式分解因式：32(1)x-x+x-1；22(2)x+4(xy-1)+4y．【解答】32322(1)【解法1】x-x+x-1=x-x+(x-1)=x(x-1)+(x-1)=(x-21)x+1．3232222【解法2】x-x+x-1=x+x-x+1=xx+1-x+1=x+1(x-1)．222222(2)x+4(xy-1)+4y=x+4xy-4+4y=x+4xy+4y-42=(x+2y)-4=(x+2y+2)(x+2y-2)．【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式．先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法．用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性．3【例4】分解因式：x+3x-4．【解析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解．333【解答】x+3x-4=x+3x-1-3=x-1+(3x-3)2=(x-1)x+x+1+3(x-1)2=(x-1)x+x+4．第5页,3223课堂笔记【例5】已知x-2xy-xy+2y=0，x>y>0，化简：xz-2yz+1．322322【解答】因为x-2xy-xy+2y=x(x-2y)-y(x-2y)=(x-2y)22x-y=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0．又因为x>y>0，所以x+y≠0，x-y≠0，即只有x-2y=0．从而xz-2yz+1=z(x-2y)+1=1．习题1.2221.对多项式4x+2x-y-y用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()2222A.4x+2x-y+yB.4x+2x-y-y222C.4x-y+2x-yD.4x-y+(2x-y)22.要使二次三项式x-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有()A.2个B.3个C.5个D.6个223.把多项式2ab+1-a-b分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4242224.m+m+1=m+-m+1=m+m+．5.将下列各式分解因式：2(1)4x-x-3；22(2)3x+2ax-a．6.将下列各式分解因式：3322(1)x-y-xy+xy；22(2)2a-b+ab-2a+b．3327.已知m=x-y，n=xy，试用m，n表示x+y．32328.当x=-1时，x+2x-5x-6=0．请根据这一事实，将x+2x-5x-6分解因式第6页,第一章测试题课堂笔记(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)221.多项式-3y-2yx+x分解因式的结果是()A.-(y+x)(3y+x)B.(x+y)(x-3y)C.-(y-x)(3y-x)D.(x+y)(3x-y)33222.若a-b=3ab-3ab+1，其中a，b为实数，则a-b=()A.0B.-1C.1D.±123.若多项式2x+7x+m分解因式的结果中有因式x+3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x-1B.2x+1C.x+1D.x-112341114.若a+=3，则a+a+a+++=()aa2a3a4A.7B.25C.47D.72225.多项式4-x-2xy-y分解因式的结果是()A.(2+x+y)(2-x-y)B.(2+x+y)(2-x+y)C.(1+x-y)(4-x-y)D.(1-x+y)(4+x+y)2226.若x-y-z=3，yz-xy-xz=3，则x+y+z=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有3小题，每小题8分，共24分)32246m37.若8x+12xy+6xy+y可分解为2x+y，则m=．28.若关于x的二次三项式ax+3x-9的两个因式的和为3x，则a=．211119.x+x++-4=+x++x-．x2xxx三、解答题(本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分)32310.分解因式：(1)x-5x+6x；(2)4m+m-1．2543211.已知x-x-1=0，求x-x-3x+3x+x的值．222a-9x+6xy-y12.已知=1，求证：y=6x．2(a+3x)-(ay+3xy)第7页,第二章分式与根式课堂笔记§2.1分式及其运算1.分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高．23a+7a+10a+1a+1【例1】计算：×÷．a2-a+1a2+4a+4a+2【解析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式．2a+2a+5a+1a-a+1a+2【解答】原式=××=a+5a2-a+1a+22a+1m2+n22m+n2【例2】先化简，再求值：-÷×m2+2mn+n2mnmn3223m+3mn+3mn+n，其中m=57，n=3．3223m+mn-mn-n【解析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步．本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解．m2+n22m2n2(m+n)3【解答】原式=-××(m+n)2mn(m+n)2(m+n)2(m-n)m2+n22mn(m+n)=-×22(m+n)(m+n)(m-n)m2-2mn+n2(m+n)=×2(m+n)(m-n)m-n=．m+nm-n57-39当m=57，n=3时，原式===．m+n57+3102xx【例3】已知=1，求的值．242x-3x+1x-9x+1【解析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的．2xx-3x+11【解答】因为=1，所以=1，得x+=4．x2-3x+1xxx4-9x2+11122于是=x+-9=x+-11=16-11=5．x2x2x2x1因此=．x4-9x2+152112【注】本题解答中灵活应用了x+=x+-2．x2x第8页,2.分式的证明【例4】已知b+1=1，c+1=1，求证：a+1=1，课堂笔记cab【解析】由已知两式消去c，即可得到含a，b的关系式．1111【解答】由b+=1，得=1-b；由c+=1，得c=1-．ccaa11b1b所以(1-b)1-a=1，得1-a-b+a=1，即-a-b+a=0．1两边都乘以a，得-1-ab+b=0，两边再都除以b，得--a+1=0，移项得b1a+=1．babc【例5】已知abc=1，求证：++=1．ab+a+1bc+b+1ac+c+1【解析】此题直接通分太繁，不可取．观察求证式子的左边，发现作轮换a→b→c→a，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略．【解答】【解法1】因为abc=1，所以a，b，c均不为零．aababc原式=++ab+a+1a(bc+b+1)ab(ac+c+1)aababc=++ab+a+1abc+ab+aabac+abc+abaab1=++ab+a+11+ab+aa+1+aba+ab+1==1．ab+a+1【解法2】因为abc=1，所以a，b，c均不为零．abbc原式=++ab+a+abcbc+b+1b(ac+c+1)1bbc=++b+1+bcbc+b+1bac+bc+b1bbc=++b+1+bcbc+b+11+bc+b1+b+bc==1．bc+b+13.繁分式2ab我们知道，像，，⋯这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像m1+ba11+b，，⋯这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．1bx+x1+a1繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，=1x+x第9页,xx=1x2+1课堂笔记xx+x1-x1+x【例6】化简：．1-xy1-xy【解析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式的除法．1-x1+xxyxy+y-xyy【解答】【解法1】原式===．1-xyxy-1+xy2xy-11-xyxy1-x1-xyx+1-xxy-1+xy【解法2】原式=1+x÷1-xy=x÷xy=y．2xy-1211x+-x-+312112x2x【例7】化简：x+x-x+x-1÷12．21-x-x+-2x-+3xx2x12112【解析】观察发现，上式中出现最多的是x+，而x+=x+-2，因xx2x1此设x+=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简．换元法在繁分x式化简中是一种常用的方法．121122【解答】设x+=a，则x+=x+-2=a-2．xx2x12a2-a+1a2-a+12(a-1)222原式=a-a-÷=a-×1-aa2-2a+1a-1a2-a+1221=a-a-a+1=a-1=x+-1．x第10页,习题2.11.下列运算中，错误的是()课堂笔记aac-a-bA.=(c≠0)B.=-1bbca+b0.5a+b5a+10bx-yy-xC.=D.=0.2a-0.3b2a-3bx+yy+x21x2.若x+=4，则=()xx4+x2+111A.10B.15C.D.15161223.若a+=1，b+=1，则c+=()bcaA.1B.2C.3D.414.化简：．11-11-x32a-a-a+15.化简：．32a-3a+3a-112a3+116.计算：1-a-÷×．1-aa2-2a+11-a11122227.已知++=0，求证：a+b+c=(a+b+c)．abc222118.已知xyz=1，x+y+z=2，x+y+z=16，求++xy+2zyz+2x1的值．zx+2y第11页,§2.2根式及其迲算课堂笔记1.根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母．666×5把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如，===202525×535．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号．51x-yx-yx+y【例1】化简：(1)；(2)(x≠y)；(3)-．2-3x+y3333x-yx+y【解析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号．其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分．12+32+3【解答】(1)【解】===-(2+2-3(2-3)(2+3)2-33)=-2-3．x-y(x-y)(x-y)(x-y)(x-y)(2)【解法1】===x-x+y(x+y)(x-y)x-yy．x-y(x+y)(x-y)【解法2】==x-y．x+yx+y33333333x-yx+y(x)-(y)(x)+(y)(3)【解】-=-33333333x-yx+yx-yx+y323332323332=(x)+xy+(y)-(x)+xy-(y)3=2xy1+23+55+27+3【例2】计算：+．(1+3)(3+5)(5+7)(7+3)【解析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+23+5，(5+7)+(7+3)=5+27+3．因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化．1111【解答】原式=+++1+33+55+77+31-33-55-7=++(1+3)(1-3)(3+5)(3-5)(5+7)(5-7)第12页,7-3+(7+3)(7-3)课堂笔记1=-(1-3+3-5+5-7+7-3)21=-(1-3)=121-x-122+x【例3】计算：+÷．1+x-12-xx-1【解析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便．2(1-x-1)2x-1【解答】原式=+×(1+x-1)(1-x-1)2-x2+x1-2x-1+x-12x-1x=+=．1-x+12-x2-x2211-2a+aa-2a+1【例4】已知a=，求-的值．2+3a-1a2-a2【解析】先化简再求值，同时注意(a-1)=|a-1|．1【解答】因为a==2-3<1，所以2+322(a-1)(a-1)|a-1|-(a-1)原式=-=(a-1)-=a-1-=a-a-1a(a-1)a(a-1)a(a-1)11+a=2-3-1+2+3=3.2.根式的证明2222222【例5】已知(x+c)+y+(x-c)+y=2a，且a-c=b，其中a>b>0，求2y2x证：+=1．22ab【解析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方．2222【解答】【证明】因为(x+c)+y+(x-c)+y=2a，所以2222(x+c)+y=2a-(x-c)+y222两边平方，整理得a-cx=a(x-c)+y．22222222两边再平方，整理得a-cx+ay=aa-c．2y222222222222x把a-c=b代入得bx+ay=ab，两边同除以ab，得+=1．22ab222【例6】已知a，b都是非负数，并且1-a×1-b=ab，求证：a1-b+2b1-a=1．【解析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式22再证明．但A=B，未必有A=B，因此在证明过程中必须确定A，B是第13页,否同号．222222课堂笔记【解答】【证明】将1-a×1-b=ab两边平方，得1-a1-b=ab，222222即1-a-b+ab=ab，22得a+b=1．a1-b2+b1-a22=a21-b221-a22×+b+2ab1-b21-a222222=a+b-2ab+2ab=1.22因为a，b都是非负数，所以a1-b+b1-a≥0．22因此a1-b+b1-a=1．3.n次根式n实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果x=a，那么x叫做a的n44次方根．例如，由于2=16和(-2)=16，我们把2或-2叫做16的4次方根．当nnn是偶数时，正数a的正的n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号-a表n44示，也可以把两个方根合起来写作±a．例如，16=2，-16=-2，合起来写作4±16=±2．类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内．322【例7】(1)求-的5次方根；(2)求(-8)的6次方根．243【解析】根据n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果．需要注意正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个．求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解．5552322【解答】(1)-=-=-．2433536266(2)±(-8)=±2=±2．4433【例8】(1)当x<0时，求|x|+x+2x的值．2n2n(2)若n为自然数，a=-a，a的取值范围是什么？【解析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论．4433【解答】(1)当x<0时，|x|+x+2x=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0．2n2n(2)因为n为自然数，所以2n为偶数，于是a=|a|．2n2n又因为a=-a，所以a≤0．类似于二次根式的性质，我们也可以得到n次根式的性质：nn(1)(a)=a．第14页,nnnna,a≥0；(2)当n为奇数时，a=a；当n为偶数时，a=|a|=-a,a<0.课堂笔记(3)mpamp=nam(a≥0)，nab=na⋅nb(a≥0,b≥0)，nnaanmnm=(a≥0,b>0)，a=(a)(a≥0)．bnb111nm从指数式的角度看，a=a2，3a=a3，⋯，na=an，所以am=am，a-n=1．nma第15页,习题2.2课堂笔记1.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根32.当a>0时，-ax=()A.xaxB.x-axC.-x-axD.-xaxa-b3.把(a≠b)分母有理化的结果是()a+ba+ba+b-2abA.-1B.C.a-ba-ba+b-2abD.b-a1014.(-1)的7次方根是，0的8次方根是，24(-4)的4次方根是，(-4)的4次方根是，55.计算：--1=，6(-27)2=，(2×32)4=，18÷3232=．11116.已知a=，b=，求-的值．3+223-22b-1a-13(a-b)+2aa+bb3b-3ab7.化简：-．aa+bba-bnn8.化简：(1)a-2a-1(1<a<2)；(2)(a-b)+nn∗(a+b)a<b<0,n>1,n∈N．21a21a9.证明：a++=a+-．b2(ab+1)2bab+1第16页,第二章测试题课堂笔记(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)x+y1.若分式中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值()x-y1A.不变B.是原来的3倍C.是原来的31D.是原来的6aba+b2.计算b-a÷a的结果是()a-ba+ba-ba+bA.B.C.D.abbaa+b3.把(a≠b)分母有理化的结果是()a-ba+ba+b+2abA.-1B.C.a-ba-ba+b+2abD.b-a4.下列式子错误的是()233A.(a)=aB.a=aC.(na)n=a(n>1的整数)D.nan=a(n>1的整数)|x|5.化简x-的结果是()x2A.-|x|B.-xC.xD.x6.若n为自然数，2n+1a2n+1=a，则a的取值范围是()A.a≥0B.a<0C.a≤0D.a为全体实数二、填空题(本题有4小题，每小题6分，共24分)7.64的平方根是，立方根是，6次方根是．3112x4x8.化简：+++=．x-1x+1x2+1x4+119.化简：=．11+11+x10.当x<0时，5x5+4x4+3x3=．三、解答题(本题有3小题，第11，12题各15分，第13题每题16分，共46分)24x11.若(x-10)+y-4=0，求y的10次方根．第17页,x+1x-1-x-1x+112.化简：．课堂笔记12x-1231a+6a+1a+813.当a=时，求-+1÷的值．2-1a2-1a-1a4+3a3+2a2第18页,第三章方程与方程组课堂笔记§3.1三元一次方程组我们已经学习了二元一次方程组及其解法,知道解二元一次方程组的基本思消元想是:二元一次方程组⟶一元一次方程.解二元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.在现实生活中,我们会遇到末知数不止两个的方程,下面我们就来学习三元一次方程组.像x+y+z=12,4x+2y+z=0,x+2y+5z=22,x+2y-z=3,x=4y,2x-y+2z=-4这类方程组中含有三个末知数,含末知数的项的次数都是1,这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方程组一致,通过消元转化为我消元消元们会解的方程组:三元一次方程组⟶二元一次方程组⟶一元一次方程.解三元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.【例1】解方程组x+y+z=12,①x+2y+5z=22,②x=4y.③【分析】将方程③分别代入方程①②,得到只含y,z的二元一次方程组.【解】将方程③分别代入方程①②,得方程组5y+z=12④6y+5z=22⑤y=2,解得z=2.把y=2,z=2代人方程①,得x+2+2=12,所以x=8.x=8,方程组的解是y=2,z=2.【例2】解方程组第19页,4x+2y+z=0①课堂笔记x+2y-z=3②2x-y+2z=-4③【分析】解三元一次方程组的关键是逐步消元,转化为二元一次方程组.将方程①+②,可以消去z,将方程③+②×2,也可以消去z,从而得到二元一次方程组.【解】方程①+②,得5x+4y=3.④方程③+②×2,得4x+3y=2.⑤方程④和方程⑤组成方程组5x+4y=34x+3y=2x=-1,解得y=2.把x=-1,y=2代人方程②,得-1+2×2-z=3,所以z=0.x=-1,方程组的解是y=2,z=0.x:y:z=1:2:7,【例3】解方程组本题含有三个末知数,只有两个方程,其中2x-y+3z=21.方程①含有比例.如果设x=a,则y=2a,z=7a,就得到了关于x,y,z三个末知数之间的关系,代入方程②即可求解.【解】由方程①,设x=a,y=2a,z=7a.代人方程②,得2a-2a+21a=21,即a=1.于是x=1,y=2,z=7.x=1,方程组的解是y=2,z=7.【注】本题的解答实际上用了比例的性质(第五章).虽然方程组形式上是两个方程,但方程①实际上隐含了两个方程:2x=y,7y=2z.通过上面几道例题,我们发现,三元一次方程组的解法仍是用代人法或加减法消元,化归为二元一次方程组,再化归为一元一次方程.实际上,消元是解一次方程组的主要方法.解一次方程组的消元“化归”基本思想,可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.习題3.1第20页,3x-y+2z=3,1.解方程组2x+y-4z=11,若要使运算简便,消元的方法应选取.()课堂笔记7x+y-5z=1,A.先消去x.B.先消去y.C.先消去z.D.以上说法都不对.2x-y+z=5,2.已知方程组则x+y的值是()5x+8y-z=9,A.14.B.2.C.-14.D.-2.3.已知方程3x-y-7=0,2x+3y=1,y=kx-9有公共解,则k的值是()A.6.B.5.C.4.D.3.24.当x=0,1,-1时,二次三项式ax+bx+c的值分别为5,6,10,则a=b=,c=.x-2y+z=0,5.已知方程组则x:y:z=2x+4y-z=0,6.解下列三元一次方程组:x-4y+z=-3①2x+y-z=18x-y-z=7x:y:z=2:3:5②x+y+z=10027.若|a-b-1|+(b-2a+c)+|2c-b|=0,求a,b,c的值.4x-3y-6z=0,2222x+3y+6z8.己知求的值.222x+2y-7z=0,x+5y+7z§3.2一元二次方程的根的判别式2一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)由配方法可化为b2b2-4acx+=.2a4a222因为a≠0,所以4a>0.式子b-4ac的值有以下三种情况:2①b-4ac>022b-4acbb-4ac这时>0,由①式得x+=±,方程有两个不相等的实4a22a2a数根22-b+b-4ac-b-b-4acx1=,x2=.2a2a2②b-4ac=0第21页,b2-4acb2这时=0,由①式得x+=0,方程有两个相等的实数根4a22a课堂笔记bx1=x2=-.2a2③b-4ac<0b2-4acb2这时<0,由①式得x+<0,而x取任何实数都不能使4a22ab2x+2a<0,因此方程无实数根.22这说明,根据b-4ac的值的符号,我们可以判定一元二次方程ax+bx+c=220(a≠0)的根的情况.一般地,式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)的根2的判别式,通常用希腊字母Δ表示它,即Δ=b-4ac.归纳起来,有①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;③Δ<0⇔方程没有实数根.【例1】【例1】不解方程,判别下列方程的根的情况:2②5x=2(x-10);2③8x+(m+1)x+m-7=0.2①x+2x-1=0;2【解】①因为Δ=2-4×(-1)=8>0,所以方程有两个不相等的实数根.2②将原方程整理,可得5x-2x+20=0.2因为Δ=(-2)-4×5×20=-396<0,所以方程没有实数根.222③Δ=(m+1)-4×8×(m-7)=m-30m+225=(m-15).2因为无论m取何值,都有Δ=(m-15)≥0,所以方程有两个实数根.2【例2】【例2】已知关于x的方程(k-2)x+k=(2k-1)x有两个不相等的实数根,求k的范围.【分析】将方程化成一般形式,二次项系数k-2≠0.因为一元二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ>0.22【解】方程(k-2)x+k=(2k-1)x可化为(k-2)x-(2k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根,所以第22页,k-2≠0,Δ=[-(2k-1)]2-4k(k-2)=4k+1>0.课堂笔记1解得k>-且k≠2.41所以k的取值范围是k>-且k≠2.4222【例3】证明:关于x的一元二次方程m+1x-2mx+m+4=0没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根,只要证Δ<0即可.2【证明】二次项系数m+1≠0.2224222Δ=(-2m)-4m+1m+4=-4m+4m+4=-4m+2.222因为无论m取什么实数,都有m+2>0,所以-4m+2<0,即Δ<0.因222此,一元二次方程m+1x-2mx+m+4=0没有实数根.22【例4】当m为何值时,关于x的方程m-4x+2(m+1)x+1=0有实数根.2和m-4≠0两种情形讨论.2【解】①当m-4=0,即m=±2时,2(m+1)≠0,方程为一元一次方程,总有实数根.222②当m-4≠0,即m≠±2时,要使方程m-4x+2(m+1)x+1=0有实225数根,则Δ=[2(m+1)]-4m-4=8m+20≥0,解得m≥-.25因此,当m≥-且m≠±2时,方程有实数根.25综合①②,当m≥-时,方程有实数根.2习题3.222221.方程x+1=0,x+x=0,x+x-1=0,x-x=0中,无实根的方程有()A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.22.关于x的方程ax-2x+1=0中,若a<0,则根的情况是().A.有两个相等的实数根.B.有两个不相等的实数根.第23页,C.没有实数根.D.无法确定.课堂笔记23.关于x的方程ax+bx+c=0(a≠0)中,若a与c异号,则根的情况是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.没有实数根.D.无法确定224.若关于x的一元二次方程(m-2)x+2(m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是25.若二次三项式3x-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,则k的取值范围是6.不解方程,判别下列方程的根的情况:2③5x+1-7x=0.2①2x+3x-4=0;2②16y+9=24y27.证明：关于x的方程mx-(m+2)x=-1必有实数根.228.已知关于x的方程k-1x+2(k+1)x+1=0有实数根,求k的取值范围.§3.3书达定理及其应用22-b±b-4ac方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=,不仅表示可以2a由方程的系数a,b,c决定根的值,而且反映了根与系数之间的联系.本节我们进一步讨论根与系数的关系.22根据求根公式可知,当b-4ac≥0时,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根为22-b+b-4ac-b-b-4acx1=,x2=.2a2a由此可得22-b+b-4ac-b-b-4ac-2bbx1+x2=+==-,2a2a2aa22(-b)2-b2-4ac-b+b-4ac-b-b-4accx1x2=⋅=2=.2a2a4aa因此,方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:bcx1+x2=-,x1x2=.aa这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理.第24页,bc2反过来,如果x1,x2满足x1+x2=-,x1x2=,那么x1,x2一定是方程ax+aabx+c=0(a≠0)的两个根,这就是韦达定理的逆定理.课堂笔记特别地,2①如果方程x+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q;2②以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x-x1+x2x+x1x2=0【例1】根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程两根的和与积:2①x-5x-8=0;2②3x=1-6x;22③2x-43x-22=0.化成一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0(abc≠0),直接应用韦达定理x1+x2=-,x1x2=来求.aa【解】①x1+x2=-(-5)=5,x1x2=-8.21②方程化为3x+6x-1=0,则x1+x2=-2,x1x2=-.3-43-22③x1+x2=-=26,x1x2==-2.222【例2】已知方程5x+2x-15=0,求:①两根的倒数和;②两根的平方和.【分析】本题可以先求出方程的根,但是计算较繁.根据韦达定理,将代数式变形成念有x1+x2和x1x2形式的式子,可以筒化运算.2【解】设方程的两根为x1,x2,根据韦达定理,有x1+x2=-,x1x2=-3.52-11x1+x252①+===.x1x2x2x2-31522222154②x1+x2=x1+x2-2x1x2=-5-2×(-3)=25.22【例3】当k取何值时,关于x的方程3x-2(3k+1)x+3k-1=0,①有一根为零;②有两个互为相反数的实根;(3)两根互为倒数.22【解】要使方程有根,必须Δ=[-2(3k+1)]-4×33k-1≥0,解得k≥2-.323k-13①若方程有一根为零,则x1x2=0.x1x2==0,解得k=±.33第25页,323因为±>-,所以当k=±时,方程有一个根为零.333课堂笔记2②若方程有两个互为相反数的实根,则x1+x2=0.x1+x2=(3k+1)=0,解31121得k=-,因为->-,所以当k=-时,方程有两个互为相反数的实数3333根.23k-123③若方程两根互为倒数,则x1x2=1.x1x2==1,解得k=±.3323223223因为>-,而-<-,所以当k=时,方程的两实根互为33333倒数.2【例4】写出一个二元二次方程,使它的两个根为-5和.3【分析】方程的根是由它的系数决定的,给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程,但得到的一元二次方程不唯一,不过它们各次项的系数对应成比例.为2了方便,一般设所求的方程为x+px+q=0.22【解】设所求的方程为x+px+q=0,由根与系数的关系可知-5+=-p,321310-5×=q,得p=,q=-.333213102因此,一元二次方程为x+x-=0,即3x+13x-10=0.332221.设x1,x2是方程2x-6x+3=0的两根,则x1+x2的值是().A.15.B.6.C.12.D.3.22.以方程x+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是().22A.y+5y-6=0.B.y+5y+6=0.22C.y-5y+6=0.D.y-5y-6=0.23.若m,n是方程x+2x-2002=0的两实数根,代数式3m+mn+3n的值是().A.-2008.B.-1996.D.1996.C.2008.第26页,224.若关于x的方程m-2x-(m-2)x+1=0的两实根互为倒数,则m的值是课堂笔记25.以方程x-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是26.设x1,x2是方程2x+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系求下列各式的值:①x1+1x2+1;x1x2②+;x2x1③x1-x227.已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0,两根之比为3:5,求证:64ac2=15b.28.已知关于x的一元二次方程2x+ax-2a+1=0,两个实根的平方和为29,求a的值.4§3.4可化为一元二次方程的分式方程我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法.本节学习可化为一元二次方程的分式方程的解法.41【例1】解方程-=1.xx-1【分析】解分式方程,首先要找这个分式方程的最简公分母,然后方程两边同乘以最简公分母,约去分母,使分式方程化为整式方程.【解】方程的两边同乘最简公分母x(x-1),得4(x-1)-x=x(x-1).2整理,得x-4x+4=0.解得x1=x2=2.检验：当x=2时,x(x-1)=2(2-1)=2≠0.所以原方程的根是x=2.验根的一般方法是:把整式方程的根代人最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是增根,必须舍去.为什么要检验呢?根据方程同解原理:方程两边都乘以不等于零的同一个数,所得方程与原方程同解.而我们在解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母,它是一个整式,当这个整式为零时,就不符合方程的同解原理要求,所得整式方程的根就不一定是原方程的根,因此解分式方程必须验根.第27页,14x-5【例2】解方程-=1.x+2x2-x-6课堂笔记【分析】将分式方程的分母进行因式分解,从而确定出最简公分母是(x+2)(x-3).2【解】方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-3),得x-3-(4x-5)=x-x-62整理,得x+2x-8=0.解得x1=-4,x2=2.检验:当x=-4或x=2时,(x+2)(x-3)≠0.所以原方程的根是x1=-4,x2=2.第28页,228x+2x3x-1【例3】解方程+=11.22x-1x+2x课堂笔记【分析】按一般解法,应先去分母,整理后为一元四次方程,结果较繁.观察方程,左22x+2xx-1边的两个分式和互为倒数,可以通过“换元”,将方程化简.22x-1x+2x22x+2xx-113【解】设=y,则=,于是原方程变形为8y+=11.x2-1x2+2xyy2方程两边同乘y,得8y-11y+3=03解得y1=1,y2=.833经检验,y1=1,y2=都是方程8y+=11的根.8y2x+2x当y=1时,=1,去分母,整理,得2x-122x+2x=x-1.1解得x1=-.223x+2x3当y=时,=,去分母,整理,得8x2-1825x+16x+3=0.1解得x2=-3,x3=-.511检验:把x=-,x=-3,x=-分别代人原方程的分母,各分母都不为零.2511所以,原方程的根是x1=-,x2=-3,x3=-.25习题3.41解下列方程:2212x-6x(1)-=1;(2)=x+x2x-1x-35.2.解下列方程:x-11x(1)-=;x2-2xxx-2212x-5(2)--=0.2224x-4x-34x-8x+31-4x第29页,3.解下列方程:x2x课堂笔记(1)x+1+5x+1+6=0;2x-33x13(2)+=.xx2-32§3.5简单的根式方程22像2x-7x=x-2,3x-5-x+2=1,x+1-=3这类根号x+1内含有末知数,且根指数为2的方程,叫做二次根式方程.二次根式方程可以通过把方程的两边平方,化为整式(或分式)方程来解.不过变形有可能产生增根.因此,解二次根式方程时,必须把变形所得整式(或分式)方程的根,代人原方程进行检验.2【例1】解方程2x-7x=x-2.【分析】通过两边平方化为整式方程.【解】两边平方,得222x-7x=x-4x+42整理,得x-3x-4=0.解得x1=4,x2=-1.2检验:把x=4代人原方程,左边=2×4-7×4=2,右边=4-2=2,所以x=4是原方程的根;把x=-1代人原方程,右边=-3,而左边的算术平方根不可能是负数,x=-1是增根.原方程的根是x=4.【例2】解方程3x-5-x+2=1.【分析】方程左边有两个二次根式,如果直接平方,结果较繁.一般把其中一个根式移到方程的右边,使方程左右两边各含有一个根式.【解】移项，得3x-5=x+2+1.两边平方,得3x-5=1+2x+2+x+2.化简,得x-4=x+2.2两边再平方并整理,得x-9x+14=0.解得x1=2,x2=7.第30页,经检验,x=2是增根;x=7是原方程的根.22课堂笔记【例3】解方程x+8x+x+8x=12.22【分析】x+8x是x+8x的算术平方根,如果直接平方,结果很繁.若设2x+8x=y,则原方程就转化为关于y的一元二次方程.2222【解】设x+8x=y,那么x+8x=y,原方程就变形为y+y-12=0.解得y1=-4,y2=3.2当y=-4时,x+8x=-4无解.2当y=3时,x+8x=3,解得x1=-9,x2=1.经检验,原方程的根为x1=-9,x2=1.习题3.51.解下列方程:(1)2x-2x+1=5；(2)x+x-3=3.2.解下列方程:(1)2x-5-x-3=1；(2)5x+4-x+3=1.1解下列方程:x-15x+22(1)-=-；(2)x+x-x+22x-12x+x-2-4=0.§3.6简单的二元二次方程组2222像x+y=1,x-2y+x+3y-10这类含有两个末知数,并且含有末知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.由含有相同的两个末知数的两个二元二次方程,或一个二元二次方程和一个二元一次方程,组成的方程组叫做二元二次方程组.解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次,消元就是把二元化为一元,降次就是把二次降为一次,其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解.本节内容主要解决简单的二元二次方程组问题.【例1】解方程组第31页,22x+y=1------1x+y-1=0----(2课堂笔记【解】由方程(2),得y=1-x(3)22把方程(3)代人方程(1),得x+(1-x)=1.2整理,得x-x=0.解得x1=0,x2=1把x=0代人方程(3),得y=1;把x=1代人方程(3),得y=0.x1=0,x2=1,原方程组的解是y1=1;y2=0.【注】解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,其解法是先由二元一次方程出发,用含一个末知数的式子表示另一个末知数,再把这个式子代人二元二次方程,达到消元的目的,转化为一元二次方程求解.【例2】解方程组22x+2xy+y=1,x2+4y2=82【分析】方程(1)变形为(x+y)=1,把它化为两个二元一次方程x+y+1=0和xx+y-1=0,x+y+1=0,22+y-1=0,分别与方程(2)组成方程组x2+4y2=8,x+4y=8;两个方程22x+4y=8组即可.【解】由方程(1)得x+y+1=0,x+y-1=0.原方程组变形为x+y+1=0,x+y-1=0,x2+4y2=8;x2+4y2=8.分别解这两个方程组,得原方程的解为22x=-2,x2=,x=2,x4=-,1535y1=1;7y3=-1;7y2=-5;y4=5.【注】由两个二元二次方程组成的方程组,如果能把其中一个二元二次方程分解为两个二元一次方程,就可以转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成方程组的形式.第32页,【例3】解方程组2课堂笔记x-1-y+2=0-------1,2x-y+12=0.----------22【分析】方程(1)是根式方程,将其移项,再两边平方得x-1=y+2.这样,方程组就转化为前面已有的形式.2【解】把方程(1)移项,再两边平方,得x-1=y+2.2整理,得x-y-3=0.2方程(3)-(2),得x-2x-15=0.解得x1=5,x2=-3.把x=5代人方程(2),解得y=22;把x=-3代人方程(2),解得y=6.x=5,x=-3,将分别代人原方程组检验,它们都是原方程组的解.y=22;y=6原方程组的解是x1=5,x2=-3,y1=22;y2=6.习题3.61解下列方程组:22x-y=1(1)(2)y=x+122x-4y+x+3y+1=0,2x-y-1=02解下列方程组:22x+y=20,(1)(2)x2-5xy+6y2=0;222x-3y=1,221x+y-2x=-.33解下列方程组:第33页,11x+2=y,+=5,xy(1)(2)课堂笔记x-2y=1;1=6.xy第三章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(共6题,每小题6分,共36分)2229.设x1,x2是方程2x-8x+5=0的两根，则x1+x2的值是()A.15B.12C.11D.910.2下列方程中,有两个相等的实数根的是()22A.2y+5=6y.B.x+5=25x22C.3x-2x+2=0.D.3x-26x+1=0.2211.由二元二次方程x-4xy+4y-2x+4y-3=0转化来的两个二元一次方程为().A.x-2y=3,x-3y=-1.B.x-3y=3,x-2y=-1.C.x-2y=3,x-2y=-1.D.x-3y=3,x-3y=-1.x+y=3,12.方程组中的x,y可以看成是一个一元二次方程的两个根,这个方xy=-10程是().22A.z+3z-10=0.B.z-3z+10=0.22C.z-3z-10=0.D.z+3z+10=0.2213.若m,n是方程x+2x-2002=0的两个实数根,则代数式m+3m+n的值是().A.2004B.B.1998C.2002D.2000mx+y=3,14.已知方程组有一组实数解,则m的值为().x2+2y2=6A.-1B.1C.±1D.±2二、填空题(共4题,每小题7分,共28分)215.关于x的一元二次方程ax-2x+1=0有实数根,则a的取值范围是第34页,216.已知方程x-4x+m=0的一个根为2+3,则方程的另一根为；m的值为课堂笔记28217.若2x-5x+-5=0,则2x-5x-1的值是22x-5x+1218.写出一个一元二次方程,使它的根是方程2x-6x+1=0的根的2倍,则这个一元二次方程可以是三、计算题(共3题,每小题12分,共36分):19.解下列方程组:2x+4y+3z=9,x2+y2=10,(1)3x-2y+5z=11,(2)x2-4xy+3y2=0.5x-6y+7z=13,20.解下列方程:x2+12x2+122(1)--2=0；(2)x-x-3x+5=3x+1.xx2kxkx+121.若关于x的方程-=只有一个解(相等的解也算作一x-1x2-xx个),试求k的值与方程的解..第四章函数的图象和性质函数是反映现实世界中变量间数量关系和变化规律的一种数学模型.在高中阶段,函数将是一个重点内容.函数在学习数学的其他知识、解决实际问题中有着广泛的应用§4.1二次函数的图像和性质2我们知道,二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,其图象、性质如表4-1所示.表4-1a>0a<0图像yy0x0x对称轴x=-bx=-b2a2a22顶点b4ac-bb4ac-b-,-,2a4a2a4a最值当x=-b时，y取最小值当x=-b时，y取最大值2a2a第35页,224ac-b4ac-b4a4a课堂笔记增减性当x<-b，y随着x的增大当x<-b，y随着x的增大2a2a而减小而增大bb当x>-，y随着x的增大当x>-，y随着x的增大2a2a而增大而减小现在我们进一步从函数图象及其变化的角度探讨二次函数的一些问题.二次函数的图象和性质的应用2【例1】已知二次函数y=ax+bx+10,当x=3时的函数值与当x=2006时的函数值相等,求当x=2009时的函数值.2【分析】如图4.1-1,如果Ax1,y0,Bx2,y0是二次函数y=ax+bx+c的图象上纵坐标相同的两个点,则yAB0x图4.1-12y0=ax1+bx1+c,----1y=ax2+bx+c------202222b由(1)-(2)得ax1-x2+bx1-x2=0.因为x1≠x2,所以有x1+x2=-.对照a2bx1+x2二次函数y-ax+bx+c的图象的对称轴为x=-,有x=为二次函数2a2x1+x2图象的对称轴.反之,如果x=为二次函数的图象的对称轴,那么自变量取2x1,x2时的函数值相等.(请同学们自己证明.)用上述知识可解本题.【解】因为当x=3时的函数值与当x=2006时的函数值相等,所以二次函数y=23+20062009ax+bx+10的图象的对称轴为x==.222009+0因为对称轴为x=,所以当x=2009时的函数值与当x=0时的函数值2相等.又因为当x=0时,y=10,所以当x=2009时,y=10.222.【例2】已知二次函数y=2x+bx,当x>1时,y随着x的增大而增大,求b的取值范围.2【解答】【分析】利用二次函数y=2x+bx图像的对称轴与增减性，只要对称轴第36页,在x>1的左边即可2【解】因为二次函数y=2x+bx的拋物线开口向上,所以只要对称轴在x>1课堂笔记b的左边,即-≤1,就有y随着x的增大而增大,得b≥-4.4第37页,因此,b的取值范围为b≥-4.课堂笔记2.求二次函数的解析式我们知道,二次函数的解析式有两种形式:2(1)一般式:y=ax+bx+c(a≠0);2(2)顶点式:y=a(x-h)+k(a≠0),其中顶点坐标是(h,k).求二次函数的解析式,就是求a,b,c或a,h,k的值.通常需要通过分析二次函数的图象和性质,并运用待定系数法等才能解得.【例3】已知二次函数的图象过点(1,0),(0,-1),(2,5),求此二次函数的解析式.【解析】【分析】利用二次函数的一般式,运用待定系数法来确定二次函数的解析式.2【解】设二次函数的解析式为y=ax+bx+c,a+b+c=0,a=2,则c=-1,解得b=-1,4a+2b+c=5,c=-1.2因此,二次函数的解析式为y=2x-x-1.【例4】已知二次函数的图象过点(-2,1),(0,1),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的解析式.【解析】【分析】利用二次函数的图象的性质得到其顶点,再用二次函数的顶点式或一般式解决.【解答】【解】因为二次函数的图象过点(-2,1),(0,1),且顶点到x轴的距离为-2+02,所以其对称轴为x==-1,顶点的坐标为(-1,2)或(-1,-2).22当顶点的坐标为(-1,2)时,设二次函数为y=a(x+1)+2.因为函数图象2过点(-2,1),所以a+2=1,即a=-1.可得二次函数的解析式为y=-x-2x+1.2同理,当顶点的坐标为(-1,-2)时,可得二次函数的解析式为y=3x+6x+1.22因此,二次函数的解析式为y=-x-2x+1或y=3x+6x+1.第38页,习题4.1223.若A-4,y1,B-1,y2,C1,y3为二次函数y=-x+4x+5的图象上的课堂笔记三点,则y1,y2,y3的大小关系是().A.y1<y2<y3b.y3<y2<y1c.y3<y1<yd.y2<y1<y3224.已知二次函数y=-x+2x,当-1<x<a时,y随着x的增大而增大,则a的取值范围为().a.a>1B.-1<a≤1c.-1<a<0d.-2<a<1225.已知二次函数y=ax+bx+c,当x=m+1时的函数值与当x=1-m时的函数值相等,则二次函数的图象().a.关于y轴对称b.关于y=1轴对称c.关于x=1轴对称d.关于x=2轴对称2226.开口向下的抛物线y=m-2x+2mx+1的对称轴经过点(-1,3),则m=．27.已知某二次函数的图象过点为(-1,1),(1,1),(0,2),求此二次函数的解析式.28.已知某二次函数的图象的顶点为a(2,-18),它与x轴两个交点之间的距离为6,求此二次函数的解析式.§4.2二次函数与二㳄方程22我们知道,二次方程ax+bx+c=0的根就是二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴公共点的横坐标.22设δ=b-4ac,则当δ>0时,二次方程ax+bx+c=0有两个不等的实数2根x1和x2,二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点x1,0和2bx2,0;当Δ=0时,二次方程ax+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2=-,2a2b二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴相切于点-2a,0;当Δ<0时,二次方22程ax+bx+c=0没有实数根,二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴没有公共点.2假设二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点Ax1,0,2Bx2,0,即x1,x2是方程ax+bx+c=0的两根,那么二次函数的解析式与x1,x2有什么关系呢?由韦达定理有bcx1+x2=-,x1x2=.aa因此,22bc2y=ax+bx+c=ax+ax+a=ax-x1+x2x+x1x2=ax-x1x-x2.第39页,y=ax-x1x-x2是表示二次函数的一种解析式(两根式),其中x1,x2是二2次方程ax+bx+c=0的根.课堂笔记2【例1】求a的取值范围,使得二次函数y=x-x+a的图象与x轴分别有(1)两个公共点;(2)一个公共点;(3)没有公共点.【解析】【分析】讨论二次函数的图象与x轴的公共点,可转化为讨论相应的一元二次方程实数根的情况,于是可以利用一元二次方程的根的判别式.2【解答】【解】相应的一元二次方程为x-x+a=0,Δ=1-4a.12(1)当Δ=1-4a>0,即a<时,二次函数y=x-x+a的图象与x轴4有两个公共点;12(2)当Δ=1-4a=0,即a=时,二次函数y=x-x+a的图象与x轴4有一个公共点;12(3)当Δ=1-4a<0,即a>时,二次函数y=x-x+a的图象与x轴4没有公共点.【例2】已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的解析式.【解析】【分析】可利用二次函数的两根式解诀.【解答】【解】因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1).又因为顶点到x轴的距离等于2,所以顶点为(-1,2)或(-1,-2).1当顶点为(-1,2)时,二次函数的图象过点(-1,2),有-4a=2,得a=-.21同理,当顶点为(-1,-2)时,有-4a=-2,得a=.2123123因此,二次函数的解析式为y=x+x-或y=-x-x+.22222【例3】已知二次函数y=ax+bx+c同时满足下列条件:(1)对称轴为x=1;(2)最大值为15;(3)二次函数的图象与x轴有两个交点,其横坐标的立方和为17.求此二次函数的解析式.【解析】【分析】由于条件有对称轴和最大值,所以可利用二次函数的顶点式；由条件(3),可以联系韦达定理解决.【解答】【解】由条件得二次函数的顶点的坐标为(1,15),设二次函数的解析式2为y=a(x-1)+15.2二次函数的图象与x轴交点的横坐标是方程ax-2ax+a+15=0的两根x1和x2.a+15由韦达定理得x1+x2=2,x1x2=.a6(a+15)333由x1+x2=x1+x2-3x1x2x1+x2=8-=17,得a=-6.a第40页,22二次函数的解析式为y=-6(x-1)+15=-6x+12x+9.课堂笔记习题4.221.函数y=-x+x-1的图象与x轴的公共点个数是().A.0B.1C.2D.无法确定22.如图,已知二次函数y=ax+bx+c的图象的顶yP点P的横坐标为4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长为()A.4+mB.mC.2m-8D.8-2mOB4Ax3.已知抛物线y=(x-c)(x-d)-4与x轴交点为(6,0)和(1,0),则c=,d=．24.二次函数y=-x+4x+12的图象与x轴交于A,B两点,则A,B之间的距离为。25.求a的取值范围,使得二次函数y=x-ax+a-1的图象与x轴分别有(1)两个交点;(2)一个公共点.6.已知某二次函数的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0),且过点C(2,4),求此二次函数的解析式.§4.3函数图象的变换我们已经学会了用描点法画正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象,现在我们进一步探讨用平移和对称两种图形变换的方法来画函数的图象.1.平移变换所谓平移变换,就是将一个图形上的所有点,沿同一方向移动相同的距离得到一个新的图形.在坐标平面内,可以从函数图象中点的坐标变化来考察函数图象的整体变化.222【例1】考察函数y=(x+1),y=(x-1)与y=x的图象变换关系.【解答】【解】列出各个函数的自变量与函数值之间的部分对应值表:表4-2x⋯-2-1012⋯2y=x⋯41014⋯表4-3x⋯-3-2-101⋯第41页,2y=(x+1)⋯41014⋯课堂笔记表4-4x⋯-10123⋯2y=(x-1)⋯41014⋯利用描点法画出三个函数的图象(图4.3-1).y2y=x2y=x-12y=x+1-1O1x2从上述图、表可以发现,当点(-2,4)在y=x的图象上时,点(-2-1,4)和22(-2+1,4)分别在y=(x+1)和y=(x-1)的图象上,其他点的坐标也有2同样的规律.一般地,若点(a,b)是函数y=x图象上的任意一点,即2b=a,则有22b=[(a-1)+1],b=[(a+1)-1],2即点(a-1,b)是函数y=(x+1)图象上的点,点(a+1,b)是函数y=(x-21)图象上的点.22由此,函数y=(x+1)的图象可以看作是将函数y=x图象上的所有点,2沿x轴向负方向(左)平移1个单位后得到的图形;函数y=(x-1)的图2象可以看作是将函数y=x图象上的所有点,沿x轴向正方向(右)平移1个单位后得到的图形.22一般地,函数y=a(x+h)(h>0)的图象可以看作是将函数y=ax图象上的2所有点,沿x轴向负方向(左)平移h个单位后得到的图形;函数y=a(x-h)(h>20)的图象可以看作是将函数y=ax图象上的所有点,沿x轴向正方向(右)平移h个单位后得到的图形.类似地,还可以得到如下结论:22函数y=ax+k(k>0)的图像可以看作是将函数y=ax图象上的所有点,沿2y轴向正方向(上)平移k个单位后得到的图形;函数y=ax-k(k>0)的图象可2以看作是将函数y=ax图象上的所有点,沿y轴向负方向(下)平移k个单位后得到的图形.11【例2】【例2】(1)函数y=的图象可以由函数y=的图象如何变换得x-3x到?11(2)函数y=-3的图象可以由函数y=的图象如何变换得到?xx第42页,【解答】【解】(1)通过列表描点画出两个函数的图象(图4.3-2).1y课堂笔记设点(a,b)是函数y=图象上的任意一点,x则1-1O13xb=,a由此可得1b=,(a+3)-31即点(a+3,b)在函数y=的图象上.x-31因此,将函数y=图象上的所有点,沿x轴向正方向(右)平移3个单位,x1得到函数y=的图象.x-3(2)通过列表描点画出两个函数的图象(图4.3-y3).1设点(a,b)是函数y=图象上的任意一点,则x-1O1x1b=,a-3由此可得1b-3=-3,a1即点(a,b-3)在函数y=-3的图象上.x1因此,将函数y=图象上的所有点,沿y轴向负方向(下)平移3个单x1位,得到的函数y=-3的图象.x2.对称变换所谓对称变换,就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的图形(即两个图形关于此直线对称).2【例3】函数y=x-2x的图象是抛物线,下列的两个函数的图象与它有什么关系?y22(1)y=x2+2x;(2)y=y=x+2xy=x-2x2-x-2x.【解答】【解】通过描点法画出上述函数的图象(图4.3-4).Ox观察函数图象可以发现,若点(a,-112b)是函数y=x-2x图象上的任意一点,则点(-a,b)就在函数y2=x+2x的图象上,点(a,-b)就2y=-x+2x第43页,2在函数y=-x-2x的图象上.2课堂笔记由此可知,作函数y=x-2x图象上的所有点关于y轴的对称点后,得到函22数y=x+2x的图象;作函数y=x-2x图象上的所有点关于x轴的对称2点后,得到函数y=-x-2x的图象.一般地,将一个函数解析式中的自变量x换成-x而因变量y保持不变,得到一个新的函数,其图象可看作是原函数的图象通过关于y轴的对称变换得到.类似的,将一个函数解析式中的因变量y换成-y而自变量x保持不变,得到一个新的函数,其图象可看作是原函数的图象通过关于x轴的对称变换得到.2【例4】画出y=x-1的图象.2【解析】【分析】可寻求此函数的图象与二次函数y=x-1的图象的变换关系.2【解答】【解】二次函数y=x-1的图象是一条抛物线(图4.3-5).yy-1O1x-1O1x2x-1,x≥1或x≤-1,2y=x-1=-x2-1,-1<x<1.2由解析式的特点可知,当x≥1或x≤-1时,函数y=x-1的图象与函2数y=x-1重合,即抛物线在x轴上方部分保持不变;当-1<x<1时,222函数y=x-1即为y=-x-1,其图象与函数y=x-1的图象关于x轴对称,即抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折.这两部分共同组成函数y=2x-1的图象(图4.3-6).习题4.3221.函数y=-2x的图象经过下列某个平移变换得到函数y=-2(x-1)+3的图象,则.此平移变换是().a.向左平移1个单位,再向上平移3个单位b.向右平移1个单位,再向上平移3个单位c.向左平移1个单位,再向下平移3个单位d.向右平移1个单位,再向下平移3个单位12.如果点(a,b)是函数y=1-图象上的一点,那么下列点一定在函数yx1=1+图象上是().xa.(a,b)b.(-a,b)c.(a,-b)d.(-a,-b)第44页,3.将函数y=2x+1图象上的所有点向左平移1个单位得到一个图象,其所对应的函数解析式是().课堂笔记a.y=2x-2b.y=2x-1c.y=2x+2d.y=2x+324.将函数y=-x的图象向（左或右）平移单位,就可得到函2数y=-(x+2)的图象,再将此函数的图象向（上或下）平移单2位,就可得到函数y=-(x+2)+3的图象.5.将函数y=x+1图象上的所有点通过变换得到函数y=-x+1的图象.(只要写出一种你认为合适的图象变换即可.)116.试分析函数y=的图象与函数y=的图象的关系,并画出此函数x+3x图象.27.画出函数y=x-2x-3的图象,并通过图象的变换画出下列函数的图象:222(1)y=-x-2x-3;(2)y=x+2x-3;(3)y=x-2x-3.§4.4函数性质的应用函数是中学阶段重要的数学知识,在初中我们已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等函数的图象及其性质,而运用函数的图象和性质去解决相关问题更是一种重要的思想方法.1.求自变量在指定范围内时函数的最值【例1】将一根长为l的铁丝折成如图4.4-1所示的形状(上部为半圆形,下部为长方形),求此图形的面积的最大值.【解析】【分析】图形的面积可以随着bc长的变化而变化,由此可选取bc的长作为自变量x,并确定x的取值范围,将图形的面积y表示成x的一个函数，利用函数的知识求出y在限定范围内的最大值.lπ+22l【解答】【解】设bc=x,则ab=-x,其中0<x<.此时图24π+2形的面积lπ+21x2ly=x2-4x+2×π2=2x-π+42x8adπ+42l2l2=-8x-π+4+2π+8.2l2l显然,当x=时(满足0<x<,y有π+4π+22l最大值,最大值为.2π+82l因此,当bc长为时,折成的图形面积最大,bcπ+42l其最大值为.2π+82l【注】本题将实际应用的最值问题转化为函数问题,实质就是在0<x<π+2第45页,lπ+42的条件下,求函数y=x-x的最大值.28课堂笔记从例1中我们可以得到利用函数知识解决实际应用问题的一般步骤：(1)选取适当的变量作为自变量x,并确定x的取值范围;(2)将目标值表示成自变量x的函数;(3)在x的限定范围内,求此函数的最值.2【例2】【例2】已知-1≤x≤a(a为大于-1的常数),求函数y=x的最大值m和最小值m.2【解析】【分析】可借助函数y=x的图像，再根据条件-1≤x≤a，截取抛物线的一部分，从中观察图形中的最高点和最低点。第46页,2【解】画出函数y=x的图象,根据直线x=a与抛物线的对称轴(y轴)的相对位置，分类讨论.课堂笔记yyy1aox1oax1oax123图4.4-2(1)当-1<a≤0时，由图4.4-2(1)可知，当x=-1时,y有最大值1;当x=2a时，y有最小值a.(2)当0<a≤1时，由图4.4-2(2)可知，当x=-1时,y有最大值1;当x=0时，y有最小值0.2(3)当a>1时,由图4.4-2(3)可知，当x=a时，y有最大值a;当x=0时，y有最小值0.综合(1)(2)(3)得21,-1<a≤1,a,-1<a≤0,m=m=a2,a>1,0,a>0.2【注】本题中虽然函数y=x是确定不变的,但由于限定范围随着a的变化而2变化,导致函数y=x在-1≤x≤a范围内的图象也相应地变化,其最值需要结合函数图象,根据对称轴与取值范围内的图象的相对位置进行分类讨论.解决函数在限定范围上的最值问题,要注意体会数形结合与分类讨论思想在解题中的应用.2.利用函数的图象解不等式2观察函数y=x-5x+4图象的特点,你能由下列函数值y的范围确定自变量x的相应取值范围吗?(1)y=0；(2)y>0；(3)y<0.22函数y=x-5x+4的图象与x轴公共点的横坐标,就是使y=0,即x-5x2+4=0成立的x的值,解方程x-5x+4=0,可得x=1或x=4.2函数y=x-5x+4的图象(图4.4-3)在x轴上方的点的横坐标,就是使y2>0,即x-5x+4>0成立的x的值,观察图象可知,此x<1或x>4.22函数y=x-5x+4的图象在x轴下方的点的横坐标,就是使y<0,即x-5x+4<0成立的x的值,观察图象可知,此时1<x<4.函数值的范围,往往可以归结为关于自变量x的不等式问题.结合函数的图第47页,象,根据图象上点的纵坐标与函数值之间的内在联系,通过观y课堂笔记察可以得到相应不等式的解的情况.2【例3】试利用函数知识,解不等式:2x-5x>-3.O14x2【解】原不等式可化为2x-5x+3>0.图4.4-32画出函数y=2x-5x+3的图象(图4.4-4).23解方程2x-5x+3=0,得x=1或x=.y23观察函数的图象可得,当且仅当x<1或x>时,图象上22的点都在x轴的上方,这时有y>0,即2x-5x+3>0.23因此,不等式2x-5x>-3的解为x<1或x>2.O13x2图4.4-42【例4】对于任意的实数x,二次函数y=x-2(a-1)x+2(a-1)的函数值恒大于0,求实数a的取值范围.【分析】借助对二次函数的图象特点的分析,可获得系数a所满足的不等关系,由此可得出解答.2【解】由已知得,二次函数y=x-2(a-1)x+2(a-1)图象上的所有点都在x轴的上方,则抛物线开口向上,且与x轴没有公共点.因此Δ<y0,即4(a-1)(a-3)<0.①o13x观察二次函数y=4(x-1)(x-3)的图象(图4.4-5)可得,当1<x<3时,y<0,即4(x-1)(x-3)<0.图4.4-5因此,不等式(1)的解为1<a<3,即所求实数a的取值范围为1<a<3.习题4.411.在-1<x<2且x≠0的条件下,函数y=的函数值的取值范围是().x第48页,11a.-<y<1,且y≠0b.-1<y<且y≠02211课堂笔记c.y<-1或y>D.y>-1或y<2222.函数y=-2x+x(0≤x≤2)的最小值为().1A.0B.-1C.D.-683.使函数y=-2(x-1)(x+2)的函数值y>0的自变量x的取值范围是().A.-2<x<1b.-1<x<2c.x<-1或x>2D.x<-2或x>1y24.若已知函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则不等2式ax+bx+c<0的解集为,不等式-12x2ax+bx+c>0的解集为c>0的解为.第4题图125.求函数y=x-x+1在下列范围内的最大值M和最小值m:2(1)-3≤x≤-2;(2)-2≤x≤3(3)2≤x≤36.试利用函数的图象与性质解不等式:22(1)-x+5x>6;(2)2x-x>0.27.在1≤x≤2的条件下,求函数y=-x+2ax+1(a是实常数)的最大值M和最小值m.8.某商店以每件20元的价格购进货物,然后以每件30元的价格售出,每月可售出400件.试销中发现,若每件售价每提高1元,则货物少售出20件,每件售价应为多少元,才能使利润最大?第四章测试题满分为100分，考试时间45分钟一、选择题(本题有6小题,每小题5分,共30分)21.函数y=-x+2x+3的图象的顶点坐标是().A.(-1,4)B.(-1,-4)C.(1,-4)D.(1,4)22.函数y=2(x-3)+3的图象关于直线y=2作对称后,所得图象对应的函数解第49页,析式为课堂笔记22A.y=-2(x+1)+3B.y=-2(x-3)+322C.y=-2(x-3)+1D.y=-2(x-3)-323.函数y=-x+4x+6的最值情况是().A.有最大值6B.有最小值6C.有最大值10D.有最大值224.已知函数y=2x+4x-5,当-3≤x<2时,函数值y的取值范围为().A.-3≤y≤1B.-7≤y≤1C.-7≤y≤11D.-7≤y<11115.已知原点为函数y=图象的对称中心,则函数y=+2图象的对称中xx+1心为().A.(-1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.无对称中心26.已知不等式x-6x+a<0的解为1<x<5,则a的值为().a.-5b.5c.1d.不确定二、填空题(本题有4小题,每小题6分,共24分)27.二次函数y=x-(m-4)x+2m-3,当m=时,其图象的顶点在y轴上;当m=时,图象的顶点在x轴上;当m=时,图象过原点.8.已知某二次函数的图象过点(-1,0),(0,3),(1,4),则该二次函数的解析式为.29.已知关于x的不等式mx-x+m<0的解是一切实数,则m的取值范围为.1110.要得到函数y=x-1的图象,把函数y=x的图象向(左或右)平移单位,再把得到的图象作变换得到.三、解答题(本题有3小题,第11,12题各15分,第13题每题16分,共46分)11.解下列不等式:22(1)3x-2x-1<0;(2)2x-x≥-1.12.已知二次函数的图象过点(2,0),其顶点坐标为(3,4),求该二次函数的解析式.第50页,213.已知二次函数y=x-2ax+6,当-2≤x≤2时,函数值恒大于a,求a的取课堂笔记值范围.第五章比和比例§5.1比和比例的性质ac我们知道,4个非零数a,b,c,d成比例,即a:b=c:d,也可以写成=,其中bda,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项,d叫做a,b,c的第四比例项.如果比例中两ab个比例内项相等,即a:b=b:c(或写成=)时,我们把b叫做a和c的比例中bc项.acac在=的两边同乘以bd,得到ad=bc.这个推理步骤就是:因为=,所bdbd以ad=bc.为了简明,可以把这个推理步骤写成:ac=⇒ad=bc.①bd符号“⇒””读作“推出”.ac反过来,在等式ad=bc的两边同除以bd,又得到=,即bdacad=bc⇒=.②bdac①②式合起来表明,=与ad=bc可以互相推出，它是比例的基本性质.bdac比例的基本性质=⇔ad=bc(bd≠0),即比例的两个外项的乘积等于两bd个内项的乘积.符号“⇔”读作“等价于”，表示从左端可以推出右端，并且从右端可以推出左端.ab2推论=⇔b=ac.bc根据比例的性质定理,一个比例可以得出多种不同的比例变形.例如,acbd=⇒ad=bc⇒bc=ad⇒=.bdacac由于ad=bc可以写成bc=ad,ad=cb,cb=da等多种形式,所以由=bdbdabca又可以得出=,=,=等多种不同的形式.也就是说,比例的两个内accddb项可以交换位置,两个外项也可以交换位置,比例的这个性质叫做更比定理.下面,我们再学习比例的两个重要性质：aca±bc±d合比定理=⇒=.bdbdacaca±bc±d【证明】=⇒±1=±1⇒=.bdbdbdacma+c+⋯+ma等比定理==⋯=(b+d+⋯+n≠0)⇒=.bdnb+d+⋯+nbacm【证明】设==⋯==k,那么a=bk,c=dk,⋯,m=nk.bdna+c+⋯+mbk+dk+⋯+nk(b+d+⋯+n)ka===k=.b+d+⋯+nb+d+⋯+nb+d+⋯+nb第51页,【注】像这样设k的方法是解决比例问题的一种常用方法.课堂笔记a-b3a11【例1】(1)已知=,求证:=.b8b8aca+cb+d(2)已知=(b±d≠0),求证:=.bda-cb-da-b3a-b+b3+8a11【证明】(1)因为=,则=,所以=.b8b8b8aca+caa-caa+ca-c(2)因为=(b±d≠0),则=,=,所以=,bdb+dbb-dbb+db-d即a+cb+d=a-cb-dace【例2】已知===3,b+d+f=4,求a+c+e的值.bdfacea+c+e【解】因为===3,则=3,所以bdfb+d+fa+c+e=3(b+d+f)=3×4=12.习题5.1ace2a-c+3e1.已知===2,则=()bdf2b-d+3f11a.1b.2c.d.23x+yy+zz+x(x+y)(y+z)(z+x)2.已知==,则=()zxyxyza.1b.8c.-1d.-1或83.已知a:b:c=2:3:4,且2a+b-c=6,则a-b+2c=.a+b-cc+a-bb+c-a4.已知==,则2a:3b:4c=.23422225.已知(x+y):4=y:3,求x-2xy+3y:x+y的值.6.根据下列各式,求a:b的值:a+b3a5(1)=;(2)=.b8b-a7a+2bc+2d7.已知ad=bc(a≠2b,c≠2d),求证:=.a-2bc-2d5-13-58.已知线段a=1,b=,c=,求证:线段b是a和c的比例中项.22§5.2比和比利的应用在图5.2-1中,如果a,b,c,d,e,f这组平行线在直线ad上截得五条相等的线段,那么这组平行线在直线ad上截得的五条线段也相等吗?请你给出证明.提示:过点a做ae⎳ab,交直线b于点e;过点b做bf⎳ab,交直线c第52页,于点f.由平行四边形和全等三角形的性质可证明aaabbbab=bc.c课堂笔记cc下面我们来看a,b,f在ad,ad这两条直线上截de得的四条线段ab,bd,ab,bd是否成比例.因为ddfab1ab1abab=,=,所以=.bd4bd4bdbd图5.2-1abab同理可得=.adad一般地,有平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.【例1】如图5.2-2，在△abc中，已知de⎳bc，分别交ab，ac于点d，e，求adaeadae证:=,=.bdecabacpaq【证明】过点a作直线pq⎳de,则pq⎳de⎳bc.adae所以=(平行线分线段成比例定理).bdecdeadae同理可得=.abacbc由例1,得到图5.2-2推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例.bdab【例2】已知在△abc中,ad是角平分线,求证:=.dcacbdab【分析】在比例式=中,ac是bd,dc,ab的第四比例项.从图5.2-3dcac中又可以看出,如果过点c作ce⎳da,交ba的延长线于点e,就可以得到bdabbd,dc,ba的第四比例项ae,要证明=,只dcac要证明ac=ae即可.【证明】如图5.2-3,过点c作ce⎳da,交ba的延长线a于点e.12∠1=∠23∠1=∠ece⎳da⇒∠2=∠3⇒∠e=∠3,bdc图5.2-3∠e=∠3⇒ae=acce⎳da⇒bd=ba⇒bd=abdcaedcac由例2，得到三角形内角平分线性质定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.我们已经学习了相似三角形的一些性质：相似三角形对应边成比例、对应角相等;相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高线的比都等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.可以发现,相似三角形的这些性质都和比例有关.第53页,【例3】如图5.2-4,e,g,f,h分别是矩形abcd四条边上的点,ef⊥gh.若课堂笔记ab=2,bc=3,ef=3.3,求hg的长.【分析】本题中ab,bc,ef,gh之间没有直接的联系,通过添辅助线构造相似三角形得到比例式是解题的关键.had【解】过点b作bn⎳ef交dc于点n,过点a作fam⎳hg交bc于点m,am,bn相交于点r.因为在矩形abcd中ab⎳dc,ad⎳bc,所以四边er形ebnf和四边形amgh都是平行四边形,ef=bmgcbn,hg=am.图5.2-4因为ef⊥hg,bn⎳ef,am⎳gh,所以bn⊥am.因此∠abr+∠bar=∘90.∘∘因为在矩形abcd中,∠abc=∠c=90,所以∠abr+∠cbn=90,∠bar=bnbc3∠cbn.于是△abm∾△bcn,==.amab2因此ef:hg=3.3:hg=3:2,得hg=2.2.习题5.21.如图,在rt△abc中,ab⊥ac,ab=3,ac=4,p是bc边上一点,pe⊥ab于点e,pd⊥ac于点d.设bp=x,则pd+pe=().2xx712x12xa.+3b.4-c.d.-552525第54页,dadac课堂笔记rqeppbebc(第1题)(第2题)2.如图,四边形abcd和四边形aced都是平行四边形,r为de的中点,br分别交ac,cd于点p,q,则bp:pq:qr等于()a.3:2:1b.2:1:2c.3:1:2d.2:1:13.已知在△abc中,ad是角平分线,ab=5cm,ac=4cm,bc=7cm,则bd=cmdc=cm4.如图,斜拉桥是利用一组钢索,把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁,它不需要建造桥墩,其中a1b1,a2b2,a3b3,a4b4是斜拉桥上互相平行的钢索,且a1a2=a2a3=a3a4.若最长的钢索a1b1=80m,最短的钢索a4b4=20m,那么钢索a2b2=m,a3b3=m.aa1a2ma3a4b1b2b3b4bnc(第4题)(第5题)5.如图,已知在△abc中,ab=6,bc=8,ac=7,mn⎳ac,分别交ab,bc于点m,n,且am=bn,求mn的长.∘6.如图,在等边△abc中,p为bc上一点,d为ac上一点,且∠apd=60,bp2=1,cd=,求△abc的边长.3aaefd°60bpcbdc(第6题)(第7题)第55页,7.如图,在△abc中,de垂直平分bc,ab=ad,求证:f是ad的中点.课堂笔记∘8.如图,在△abc中,∠bac=90,ad是高,且∠bae=∠c,求证:bd⋅ec=ae⋅ad.aebdc(第8题)第56页,第五章测试题(满分为100分,考试时间45分钟)课堂笔记一、选择题(本题有6小题,每小题6分,共36分)xyz2.若==≠0,则下列各式中正确的是().234x+yzx+y+za.=b.2x=3yc.=1549x+4z+3d.=343.下列命题:∘(1)有一个角等于30的两个等腰三角形相似;∘(2)有一个角等于120的两个等腰三角形相似;(3)相似三角形一定是全等三角形;(4)相似三角形角平分线的比等于周长比.其中正确命题的个数是()a.4b.3c.2d.14.如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是s1,s2,那么s1,s2的大小关系是()a.s1>S2B.S1=S2C.S1<s2d.s1,s2的大小关系无法确定as2s1bde(第3题)(第4题)5.如图,在斜坡的顶部有一铁塔ab,b是cd的中点,cd是水平的,在阳光的照射下,塔影de留在坡面上．已知铁塔底座宽cd=12m，塔影长de=18m,小明和小华的身高都是1.6m.同一时刻,小明站在点e处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高ab为()a.24mb.22mc.20md.18m∘6.如图,在平行四边形abcd中,∠dbc=45,de⊥bc于点e,bf⊥cd于点f,de,bf相交于点h,bf,ad的延长线相交于点g,有下列结论:(1)db=2be;(2)∠a=∠bhe;(3)ab=bh;(4)△bhd∼△bdg.其中正确的结论是()a.(1)(2)(4)b.(1)(2)(3)c.(1)(2)(4)d.(2)(3)(4)第57页,qd课堂笔记adamhfbecbpc(第5题)(第6题)∘7.如图,在四边形abcd中,∠b=∠d=90,mp⊥bc于点p,mq⊥ad于点mpmqq,则+的值为()abcd789a.b.c.d.1877二、填空题(本题有4小题,每小题7分,共28分)8.在一张比例尺为1:50000的地图上,一块多边形地区面积22是120cm,这个地区的实际面积是cm(用科学ad记数法表示).9.如图,ad⎳be⎳cf,ab:bc=3:4,ad=8,cf=12,则bebe=.f10.已知d,e分别是△abc的ab,ac边上的点,且△adec第8题与△abc相似.若ad=8cm,db=5cm,ac=12cm,则ec=cm.11.如图,对面积为1的△abc逐次进行以下操作：第一次操c1作,分别延长ab,bc,ca至点a1,b1,c1,使得a1b=2ab,b1c=2bc,c1a=2ca,顺次连接a1,b1,c1,得到△a1b1c1,记其面积为s1;第二次操作,分别延长a1b1,bab1c1,c1a1至点a2,b2,c2,使得a2b1=2a1b1,b2c1=cb12b1c1,c2a1=2c1a1,顺次连接a2,b2,c2,得到△a2b2c2,第10题记其面积为s2⋯⋯按此规律继续下去,可得到△a5b5c5,则其面积s5=.三、解答题(本题有3小题,每小题12分,共36分)12.如图,将正方形abcd的bc边延长到e,使ce=ac,ae与dc边相交于点f,求ce:fc的值.adfbce(第11题)13.如图,在rt△abc中,ab⊥ac,ad⊥bc,e为ac的中点,ed的延长线与ab的延长线交于点f,求证:ab⋅fa=ac⋅fd.第58页,a课堂笔记ebcdf(第12题)14.已知ad是△abc的角平分线,bh⊥ad,垂足为h,ck⊥ad，垂足为k,求abdh证:=.acdkakcbdh(第13题)第59页,课堂笔记第六章三角形的几个性质§6.1射影定理从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.在图6.1-1中,aa⊥mn,垂足a是点a在直线mn上的正射影.如果点a是mn上的点,那么a在mn上的正射影就是它本身.一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.在图6.1-2中,线段ab的两个端点a和b在直线mn上的正射影分别是a和b,线段ab是线段ab在直线mn上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.baamanmabn图6.1-1图6.1-2如图6.1-3,△abc是直角三角形,cd为斜边abc上的的高.在这个图形中,由于线段ad与cd,bd与cd,bc与ac等相互垂直,因此可以从射影的角度来考察它们的关系.你能发现这些线段之间的某些关系吗?adb实际上,有些关系是非常明显的.例如,由△bdc为直角三角形可知bd<11bc;因为s△abc=ac⋅bc=cd⋅ab,所以ac⋅bc=cd⋅ab;等等.22∘∘考察rt△acd和rt△cbd:因为∠acd=90-∠bcd,∠b=90-∠bcd,所以∠b=∠acd.于是△acd∾△cbd.adcd因此=,即cdbd2cd=ad⋅bd1考察rt△bdc和rt△bca:因为∠b是公共角,所以△bdc∾△bca.bdbc因此=,即bcab第60页,2bc=bd⋅ab2课堂笔记同理,由△cda∾△bca,有2ac=ad⋅ab.3123式反映了直角三角形的两直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系,因而把这三个等式统称为直角三角形的射影定理.射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.【例1】如图6.1-4,圆o上一点c在直径ab上c的射影为d,ad=2,db=8,求cd,ac和bc的长.【解析】【解】因为∠acb是半圆上的圆周角,所abdo∘以∠acb=90,即△abc为直角三角形.由射影定理可得2cd=ad⋅db=2×8=16,cd=4；2图6.1-4ac=ad⋅ab=2×10=20,ac=25;2bc=bd⋅ab=8×10=80,bc=45.e【例2】如图6.1-5,一个矩形abcd的两边分别为5和12,将△abc沿对角线ac折叠后为△ace,其中cd与ae相交,求de的长.dc【分析】图形折叠后,前后图形必全等,由此要善n于找出相等的角与线段.可利用直角三角形射影定理计算am的长.amb【解】分别过点d,e作ac的垂线dm,en,垂图6.1-5足为m,n.因为△adc≅△cea,所以dm=en,am=cn.而dm⎳en,得四边形dmne为矩形,de=mn.225在rt△adc中,ac=13,ad=am⋅ac,得am=.1350119从而mn=ac-2am=13-=.1313119因此de=.13【例3】如图6.1-6，在△abc中,cd⊥ab,de⊥ac,df⊥bc,垂足分别为d,e,f,求证:∠cab=∠cfe.【分析】要证明∠cab=∠cfe,只需证明△cef∽△cba.2【证明】在rt△adc中,cd=cce⋅ca.e2在rt△bdc中,cd=cf⋅cb.cef故ce⋅ca=cf⋅cb,即=cfcb.adbca图6.1-6又因为∠acb为公共角,所以△cef∽△cba.第61页,于是∠cab=∠cfe.课堂笔记习题6.11.在直角三角形中,两直角边在斜边上的射影分别是2和6,则两条直角边分别为和,斜边上的高为.2.一个直角三角形的两条直角边的比是1:2,则它们在斜边上的射影之比是bc=.3.cd是rt△abc斜边上的高,s△abc=20,ab=10,则ad=4.如图,已知线段a,b,求用尺规作线段a和b的比例中项.ab(第4题)25.在△abc中,顶点c在ab边上的射影为d,且cd=ad⋅db,求证:△abc是直角三角形.6.如图,在△abc中,ad⊥bc,de⊥ab,df⊥ac,垂足分别为d,e,f,则下列结论中,哪些是成立的?哪些是不成立的?为什么?1de2222=ae⋅be;2ad=af⋅ac;3ad=ae∙ab;4ad=bd∙cd;22abaf5bd+cd=be∙ab+cf∙ac;6=;acae7若ab>AC,则AB22-AC=BD-CD∙BC;8AD∙BC=DE∙AB+DF∙AC.AEFBDCCEAMDB(第6题)(第7题)∘7.如图,在△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于点D,M是AB的中点,点E在CD上,且ME⊥BE于点E,求证:BC=2BE.第62页,§6.2三角形的“心”1.内心课堂笔记如图6.2-1,在△ABC中,AD,BE,CF分别是三A内角的平分线.记AD和BE的交点为I,过I分别作AB,BC,CA三边的垂线,垂足分别为M,N,P.MF根据角平分线性质,IP=IM,IM=IN,所以IP=EPIN.因此,点I在角C的平分线上,即CF通过点II.也就是说三条内角平分线交于一点,这交点叫做BCDN三角形的内心.图6.2-1内心与各顶点的连线平分各角,内心到三角形三边的距离相等,因此内心是三角形内切圆的圆心.【例1】已知直角三角形的斜边长为c,两直角边长分别Aa+b-c为a,b,内圆的半径为r,求证:r=.2F【证明】如图6.2-2,设D,E,F为切点,由圆的切线性质可知,CDIE为正方形,因此CD=CE=r.于是EBD=a-r,AE=b-r.又因为BD=BF,AE=AF,IBF+AF=AB,所以(a-r)+(b-r)=c,即r=a+b-cBDC2图6.2-22.外心如图6.2-3,在△ABC中,直线l,m,n分别A为三条边的垂直平分线.记l,m的交点为lO,则根据垂直平分线性质,得到AO=nBO,BO=CO,所以AO=CO,得到O也在直线n上.这样,我们就知道了,三角形的三条垂直平分线交于一点,其交点叫做三O角形的外心.BC根据垂直平分线的性质,我们可以得到外心m的性质:图6.2-3(1)外心到三顶点的距离相等,因此外心就是三角形外接圆的圆心;(2)过外心作一边的垂线平分此边;(3)外心与一边中点的连线垂直于此边;第63页,(4)直角三角形的外心就是斜边的中点,锐角三角形的外心在三角形内,而钝角三角形的外心在三角形外.课堂笔记3重心如图6.2-4,在△ABC中,AD,BE,CF分别A是BC,AC,AB边上的中线.设BE,CF交于点G,BG,CG中点为M,N.因为E,F分别是AC,AB的中点,所以EF平行且等于FEMN.因此,四边形MNEF为平行四边形.于G是,得GM=MB=GE,GF=GN=NC.MNB所以BG:GE=2:1,CG:GF=2:1.DC图6.2-4同理,若BE与AD相交于点G,则必有AG:GD=2:1,BG:GE=2:1,所以点G与G重合.因此,三角形三条中线相交于一点,此点就叫做三角形的重心.重心到顶点与到对边中点的距离之比为2:1.第64页,【例2】如图6.2-5,已知△ABC的重心G与内心I的连线GI⎳BC,求证:AB+AC=2BC课堂笔记【证明】连接AG,AI,并延长它们,延长线分别交BC于点D,E,连接IC,则AD为中线,AE,CI为角平分线.AIAG因为GI⎳BC,所以==2.IEGDACAI在△CAE中,有==2,即AC=2CE.CEIE同理可得AB=2BE.图6.2-5因此,AB+AC=2(BE+CE)=2BC.【注】上面我们利用重心把中线分为1:2的比和内角平分线定理解答.除此之外,也可以利用面积法来解决,我们将在6.3节证明.垂心如图6.2-6,在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边的高,过A作BC边的平行线,过B作CA边的平行线,过C作边AB的平行线,三条平行线相交成△ABC.于是四边形ABCB,ACBC,CABA均为平行四边形,故AD,BE,CF为△ABC三边的垂直平分线.根据三条垂直平分线交于一点,即交点为△ABC的外心.图6.2-6因此,AD,BE,CF交于一点.因此,三角形三条高线交于一点,这点叫做三角形的垂心.顶点与垂心的连线垂直于对边;直角三角形的垂心即为直角顶点,锐角三角形的垂心在三角形内,而钝角三角形的垂心在三角形外.等腰三角形和等边三角形等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因此在等腰三角形中,三角形的内心I、重心G、垂心H、外心O必在同一条直线上.而正三角形作为特殊的等腰三角形,四心(内心、重心、垂心、外心)合一,这点称为正三角形的中心.【例3】在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:(1)△ABC的面积S△ABC;(2)△ABC的内切圆的半径r;(3)△ABC的外接圆的半径R.【分析】等腰三角形底边上三线合一,因而在等腰三角形ABC中,三角形的内心I、外心O在底边的高线上.【解】(1)如图6.2-7,作AD⊥BC于点D.因为AB=AC,所以D为BC的中点,于是22AD=AB-BD=4,1S△ABC=×6×4=12.2图6.2-7(2)如图6.2-8,I为内心,则I到三边的距离均为r,连接IA,IB,IC.第65页,因为S△ABC=S△IAB+S△BC+S△IAC,即111课堂笔记12=2AB⋅r+2BC⋅r+2CA⋅r.3解得r=.2(3)如图6.2-9,因为△ABC是等腰三角形,所以外心O在AD上,连接BO.222在Rt△OBD中,OD=AD-R,OB=BD+OD,所以222R=(4-R)+3.25解得R=.8图6.2-9【例4】一个正三角形的边长为6,求此三角形的外接圆和内切圆的半径.能否得出任意一个正三角形的外接圆和内切圆的半径与高的比是定值?【解】如图6.2-10,AD为BC边上的高,则外接圆和内切圆的圆心O在AD上,AD=33.设外接圆半径为R,内切圆半径为r,那么R+r=AD=33①在Rt△OBD中,222R-r=BD=9②由①②式解得R=23,r=3.对于一般的正三角形,我们只要设其边长为a,可以求出图6.2-10333R其高h=a.根据上面的方法,求出R=a,r=a.由此可以得到=236h2r1,=.3h3【注】实际上,正是由于正三角形的四心合一,所以内心和外心也就是重心.根R2r1据重心的性质,重心把高分成了两段,它们的比为1:2,所以=,=.h3h3习题6.2∘15.如图,在△ABC中,∠C=90,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E.若AB=6cm,则△DEB的周长为().A..5cmB.B.6cmC.C.7cmD.D.8cm16.圆的外切正三角形的边长是圆内接正三角形的边长的().A.2倍B.3倍C.2倍D.3倍17.如图,BD,CE是△ABC的中线,P,Q分别是BD,CE的中点,则PQ:BC等于().第66页,A.1:4B.1:3C.1:5D.1:6课堂笔记18.等腰三角形底边上的高等于18,腰上的中线等于15,则它的面积等于19.等腰三角形的底边长为10,腰长为13,则它的内切圆半径为，外接圆的半径为第3题20.已知△ABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c,I为△ABC的内心,且I在△ABC的边BC,AC,AB上的射影分别为D,b+c-aE,F,求证:AE=AF=.221.证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形.GI22.在△ABC中,G为重心,I为内心.若AB=6,BC=5,CA=4,求的BC值.第67页,§6.3面积法课堂笔记我们学习过三角形的面积公式,一边与这边上的1高的乘积的一半就是三角形的面积,即S=aha=211bhb=chc、如图6.3-1,在△ABC中,AD是221边BC上的高,那么S△ABC=BC⋅AD,而AD=2AB⋅sinB,所以我们就得到三角形的面积为S△ABC1=BC⋅AB⋅sinB.2同理,我们也能得到111S=absinC=bcsinA=acsinB(a,b,c为角A,B,C所对的边).222上述结论可以叙述为:三角形的面积等于三角形中任两边以及它们夹角正弦的乘积的一半.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换.运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法,简称它为面积法.我们知道,一个三角形可以分割成若干个小三角形,那它的面积就等于这儿个小三角形的面积之和;等底等高的三角形的面积相等;等底(或等高)的三角形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比;两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方.利用上述的结论,可以解决有关平面几何问题.【例1】已知△ABC的三边分别为a,b,c,内切圆的1半径为r,求证:S△AC=(a+b+c)r2【证明】如图6.3-2,设内切圆的圆心为I,连接IA,IB,IC.记△IBC,△ICA,△IAB的面积分别为S1,S2,S3.111因为S△ABC=S1+S2+S3=ar+br+cr,2221所以S△ABC=(a+b+c)r.2图6.3-2【例2】已知点P是正三角形ABC内的一点,设点P到三边AB,BC,AC的距离分别为h1,h2,h3,求证:h1+h2+h3为定值.【证明】如图6.3-3,连接AP,BP,CP,记△ABC的边长为a,高为h.第68页,1因为S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△CAP=ah1+211课堂笔记ah2+ah3221=ah,2所以h1+h2+h3=h(定值).【例3】如图6.3-4,AD,BE,CF交于△ABC内图6.3-3的一点P,并将△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出,求△ABC的面积.【分析】如果能把末给出的两个小三角形的面积求出,那么△ABC的面积即可得知.根据面积的比例关系,可求出这两个面积.【解】设末知的两个小三角形的面积为x和yBD4084+x84+x4==,即=;①DC3070+y70+y3AE=70=84+x,即84+x=70②.图6.3-4ECy40+3040+30y由①②2式得x=56,y=35.因此S△ABC=84+70+56+35+40+30=315.【例4】如图6.3-5,用x,y,z表示△ABC内一点P到三边的距离,h,k,l分别表示其对应的△ABCxyz的高,求证:++为定值.hkl【分析】可以发现h与x分别是△ABC和△BPC的高,而且这两个三角形同底,x于是可以将h用这两个三角形的面积比来表示.其他图6.3-5两个比类同.11【证明】因为h⋅BC=S△ABC,x⋅BC=S△BPC,所22xS△BPC以=.hS△ABCyS△CPAzS△APB同理有=,=.kS△ABClS△ABCxyzS△BPC+S△CPA+S△APB所以++==hklS△ABCS△ABC=1.S△ABCxyz故++为定值1.hkl图6.3-6我们最后看看6.2节例2的另一解法.如图6.3-6,连接AG交BC于点D,作IE⊥BC于点E,AH⊥BC于点H,则IE为内切圆I的半径,设IE=r.11因为S△ABC=BC⋅AH,S△ABC=(AB+BC+CA)⋅IE,22IEDG1因为GI⎳BC,所以==,即AH=3r.AHAD3第69页,11所以BC⋅3r=(AB+BC+CA)⋅r,即AB+AC=2BC.22课堂笔记习题6.3∘1.在△ABC中,b,c是角B,C所对的边,若∠A=60,b=2,c=3,则此三角形的面积为().333A.B.3C.D.33222.若直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有().1111112A.+=B.+=C.ab=ha2b2h2abh222D.a+b=2h3.不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12.如果第三条高也为整数,那么它的长度是().A.4B.5C.6D.74.如图,点A在平行四边形的对角线上,S1,S2表示图中两个三角形的面积，则S1,S2之间的大小关系是(第4题)5.在△ABC中,若AB=BC=2,面积为3,则∠B=.6.证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.7.(1)设G是△ABC的重心,证明:△GBC,△GAC,△GAB的面积相等.(2)利用(1)的结论,证明:三角形顶点到重心的距离,等于重心到对边中点的距离的2倍.8.如图,设P是△ABC内任一点,线段AD,BE,CF过点P且分别交边BC,CA,AB于点D,E,F,求证:PDPEPF++=1.ADBECF(第8题)第六章测试题(满分为100分,考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题,每小题6分,共36分)1.如果一个正三角形的内切圆的半径为1,那么它的外接圆半径为().第70页,A.2B.3C.2D.3课堂笔记2.如图,正三角形ABC的周长为12,CD是边AB上的中线,E是CB延长线上一点,且BD=BE,则△CDE的周长为().A.6+43B.6+23C.18+123D.18+433.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线,这个三角形的形状最准确的判断是().A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.在△ABC中,BD,CE是两条中线,BD=4,CE=6,且BD⊥CE,则△ABC的面积是().A.12B.14C.16D.185.若CD是Rt△ABC斜边上的高,AD=3,CD=4,则BC=().162025A.5B.C.D.3336.如图,Rt△ABC被斜边上的高CD和直角平分线CE分成3个三角形,S△ACE=30,S△CED=6,则△BCD的面积为().A.4B.9C.4或8D.4或9(第6题)二、填空题(本题有4小题,每小题7分,共28分)7.若△ABC三边a,b,c上的高分别是ha=6,hb=4,hc=3,则a:b:c=.8.已知三角形三边长分别为3,4,5,则其内切圆半径为,外接圆半径为.9.直角三角形的两条直角边在斜边上的射影分别是4和6,则这个三角形的面积为.10.如图,正方体的棱长为2,O为边AD的中点,则以O,A1,B三点为顶点的三角形面积为.三、解答题(本题有3小题,每小题12分,共(第10题)36分)11.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,DE⊥AC于点E,CD=10,AE=3,分别求DE,BD,BC的长.12.如图,MN是△ABC的中位线,点P在MN上,BP,CP的延长线分别第71页,课堂笔记(第11题)(第12题)AEAD交对边于点D,E,求证:+=1.BEDC13.如图,点G为△ABC的重心,从各顶点及G向三角形外一直线l引垂线AA,BB,CC,GG,(第13题)垂足为A,B,C,G.(1)求证:AA+BB+CC=3GG.(2)若AA,BB,CC,GG不垂直于l,但仍保持互相平行时,结论(1)是否还成立?试说出你的猜想,并加以证明.第七章基本轨迹问题平面上的曲线可以看成是由满足一定条件的点所组成的,我们把满足某种条件的点组成的集合叫做具有这种性质的点的轨迹.例如,圆可以看成是到某个定点的距离等于定长的点的轨迹.我们学习过平面上的几何图形如三角形、平行四边形等,这些图形也都是点的集合.对于这些平面图形而言,我们是先了解其形状,再去探求其性质.而基本轨迹问题则是探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形.这使得我们能更加理性地去研究平面图形,并且有助于我们进人高中以后更好地为学习解析几何.【例1】求过两定点A,B的圆的圆心的轨迹.【解】(1)设过两定点A,B的任一圆的圆心为O,由圆的性质有OA=OB.若点O恰为AB的中点,则它在线段AB的垂直平分线上.若点O不为AB的中点,如图7-1,设AB的中点为O1,由于AO1=BO1,于是∘△AOO1≅△BOO1,所以∠AO1O=∠BO1O=90,即圆心O在线段AB的垂直平分线上.(2)反之点O为线段AB的垂直平分线上任一点,图7-1则OA=OB.于是以点O为圆心,OA为半径作圆必过两定点A,B.由此我们就可以说过两定点A,B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线.第72页,基本轨迹问题中,我们要寻求“满足某条件的点的轨迹是图形F,必须做到以下两步:课堂笔记(1)任取满足某条件的一点A,它一定落在图形F上;(2)在图形F上任取一点A,它一定满足某条件.以上是求轨迹问题必不可少的两步,第一步是证明完备性,第二步是证明纯粹性.完备性和纯粹性是轨迹的两个基本属性,是判断轨迹是否为适合某条件图形的不可缺少的两个基本要素.事实上,我们已经学习过“线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等”;并且“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”.因此,我们可以总结为:定理1与两定点距离相等的点的轨迹是连接两定点线段的垂直平分线.利用有关轨迹的基本定理,我们可以求出满足一定条件的点的轨迹.我们现在讨论的轨迹问题就是根据动点所满足的条件,判断点的轨迹的图形的形状、位置等.在表达的过程中,为了突出主题,对于纯粹性的讨论往往省略.根据初中阶段所学平面几何的内容,我们可以总结出以下关于轨迹的结论,称之为轨迹基本定理.定理2与一条直线的距离等于定长的点的轨迹,是平行于已知直线且位于此直线两侧并和这直线的距离等于定长的两条平行线.定理3与两条平行直线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线距离相等的一条平行线.定理4与相交两直线距离相等的点的轨迹,是分别平分两已知直线交角的互相垂直的两条直线.定理5与一个定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆.∘∘定理6与已知线段两端点所连线段的交角等于定角α0<α<180的点的轨迹,是以已知线段为弦,所含圆周角等于α的两段圆弧(图7-2).定理7与已知线段两端点所连线段相互垂直的点的轨迹,是以已知线段为直径的一个圆.【例2】已知P为定直线l外一点,Q是l上任意一点,求线段PQ中点的轨迹.【解】如图7-3,过点P作直线l的垂线,设垂足为F,连接PQ和PF的中点A和E.由三角形的中位线定理可知,AE⎳l,于是点A到l的距离等于点E到l的距离d(定长).根据轨迹基本定理2,点A的轨迹为经过定点E且平行于直线l的直线.【注】探求点的轨迹,重要的是分析动点所满足的条件,分析这些条件与轨第73页,迹基本定理中条件的关系,从而了解轨迹的形状.课堂笔记【例3】设有一动线段的长度为a,它的两端点在一定直角的两边上移动,求这线段中点的轨迹.【解】如图7-4,设长度为a的线段为PQ,点R为PQ的中点，联接点R与1直角顶点O，由直角三角形性质知OR=PQ,于是点R的轨迹是以直角顶点O21为圆心,半径等于a的圆在定直角内的一段圆弧.2【注】虽然我们是利用轨迹基本定理去探求点的轨迹的,但是,我们一定要认真分析所求的轨迹是整条曲线,还是其中的一部分.【例4】如图7-5,设菱形ABCD的AB边固定,其他边可动,O是AB的中点,P是CO与BD的交点,求动点P的轨迹.【分析】【解】过点P作PQ⎳CB,交AB于点Q,因AB边固定,不妨设AB=a.在菱PO形ABCD中,有AB=BC=a,且O为AB中点,由△PBON~△PDC,有=PCOB1PQOQOP1=.又因为△OPQ∽△OCB,===.于是点Q为定点,CD2BCOBOC31分OB为1:2,且PQ=a.因此,根据基本定理5,点P的轨迹是以Q为圆心,31以AB长为半径的圆.3【注】求动点的轨迹就要“动中求静,静中察动”,从特殊到一般,在变化中求规律.习题14.与一定直线l相切于一定点P的圆,其圆心的轨迹是().A.与l平行的直线B.以点P为圆心的圆C.过点P且垂直于l的直线D.过点P且垂直于l的直线,P点除外15.共底等高的三角形中,其重心的轨迹是().A.平行于底边的一条直线B.垂直于底边的一条直线C.平行于底边的两条直线D.垂直于底边的两条直线16.过定圆内一定点的弦,这条弦中点的轨迹是().A.圆的一条弦B.圆的两条相交弦C.圆D.圆弧17.已知直角三角形的斜边固定,那么这个直角三角形重心的轨迹是_____________.第74页,18.若一点与相交两直线的距离之比为常数,则该点的轨迹是_______________.课堂笔记19.以定线段AB为腰作等腰三角形,求三角形的重心的轨迹.20.设正三角形有一个顶点为定点A,另一顶点B在定圆⊙O上,点A与点O不是同一点,求第三个顶点C的轨迹.21.在△ABC中,∠A位置固定,AB+AC=l为定长,AP平行于BC且交△ABC的外接圆于点P,求点P的轨迹.参考答案第一章乘法公式与因式分解习题1.11.B.2.D.3.A.3n+1n+14.125-x,5.a-b6.-2.7.24.8.由已知得222222222222222222ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz222222=ax+by+cz+2abxy+2acxz+2bcyz,222即(bx-ay)+(cy-bz)+(az-cx)=0.222因为(bx-ay)≥0,(cy-bz)≥0,(az-cx)≥0,bx=ay,xyz所以cy=bz,即==.abcaz=cx,习题1.21.C.2.B.3.B.24.2m,1+m,1-m.5.(1)(x-1)(4x+3)；(2)(x+a)(3x-a).226.(1)(x-y)x+y；(2)(a+b-1)(2a-b).2227.m+4nm+n.8.(x+1)(x-2)(x+3).第一章测试题1.B.2.C.3.B.4.D.5.A.6.B.7.2.8.2.9.3,2.210.(1)x(x-2)(x-3)；(2)(2m-1)2m+m+1.11.1.12.略.第二章分式与根式第75页,习题2.11.D.2.C.3.B.课堂笔记2a+1-a+2a4.1-x.5.,6..a-11-a27.提示：由结论可知只需证ab+bc+ca=0,这可由已知转化得到.8.提示:xy+2z=xy+2(2-x-y)=xy-2x-2y+4=(x-2)(y-2)，原式4=-.13习题2.21.B.2.C.3.C.1364.-1,0,±2,±4.5.,3,82,32,6.2.2227.提示:设a=p,b=q,则a=p,b=q,把问题转化为分式的变形,原式=3.8.(1)1-a-1.(2)n为偶,原式=-2a;n为奇,原式=2a.9.提示:等式右边平方后等于左边的被开方式,再考虑符号.第二章测试题1.A.2.A.3.C.4.D.5.D.6.D.78xx+17.±8,4,±2.8.9..10.xx8-12x+12a32+411.±4.12.4x.13.=.a-12第三章方程与方程组习题3.11.B.2.B.3.C.4.3,-2,5.5.-2:3:8.x=7,x=20,6.(1)y=2,(2)y=30,z=-2z=507.因为三个非负数的和等于零,所以可得方程组a-b-1=0,a=-3,b-2a=c=0,解得b=-4,2c-b=0c=-28.原方程组可化为4x-3y=6z,①x+2y=7z,②方程②×4-①,得11y=22z,即y=2z,把y=2z代人方程②,得x=3z.当x=3z,y=2z时,2x2+3y2+6z22(3z)2+3(2z)2+6z2236z===1.x2+5y2+7z222236z2(3z)+5(2z)+7z第76页,习题3.21.A.2.B.3.A.课堂笔记124.m>且m≠2.5.k≤.236.(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根.127.分两种情况讨论:(1)当m=0时,x=;(2)当m≠0时,Δ=m+4>0.综2合(1)(2),方程必有实数根.218.(1)令k-1=0,得k=±1.当k=1时,得x=-;当k=-1时,方程没有4实数根.2(2)当k-1≠0,即k≠±1时,方程是一元二次方程,要使它有实数根,则Δ≥220.由Δ=[2(k+1)]-4k-1≥0,得k≥-1.因此,当k>-1且k≠1时,方程有实数根.综合(1)(2),当k>-1时,方程有实数根.习题3.31.B.2.B.3.A.24.3.5.y-11y+1=0.5146.(1)-;(2)-;(3)10.237.设方程的两根分别为3r和5r,由韦达定理得3r+5r=-b,8r=-b,aab2cc化简得c即15-8a=a.23r×5r=a,15r=a,2所以64ac=15b.a-2a+18.设方程的两根分别为x1,x2,由韦达定理得x1+x2=-,x1x2=.22221229方程的两个实数根的平方和x1+x2=a+8a-4=,解得a=-1144或3.因为x1,x2是方程的两个实数根,所以Δ≥0.2当a=-11时,Δ=(-11)+4×2×(22+1)=-63<0;2当a=3时,Δ=3-4×2×(-6+1)=49>0.因此,a的值为3.习题3.41.(1)x=1;(2)x=5.2.(1)x=±1.3(2)方程两边同乘最简公分母(2x+1)(2x-1)(2x-3),解得x1=,x2=22.第77页,3经检验,x=是增根,x=2是原方程的根.2课堂笔记233.(1)x1=-,x2=-.342x-33131(2)设=y,则原方程化为y+=,解得y1=,y2=6.xy2221x-313当y=时,=,解得x1=2,x2=-;2x222x-3当y=6时,=6,解得x3=3+23,x4=3-23.x2经检验,x1=2,x2=-,x3=3+23,x4=3-23都是原方程的解.3习题3.51.(1)4；(2)3.2.(1)3,7；(2)1.x-15113.(1)设=y,则原方程化为y-=-,解得y1=2,y2=.x+22y2x-11当y=2时,=2,解得x=-3;当y=时,x+22x-11=,解得x=2.x+22经检验,原方程的解为x1=-3,x2=2.22(2)设x+x-2=y,则原方程化为y-y-2=0,解得y1=-1,y2=2.22当y=-1时,x+x-2=-1,无解；当y=2时,x+x-2=2,解得x1=-3,x2=2.经检验,原方程的解为x1=-3,x2=2.习题3.616x=-1,x1=3,x2=5,1.(1)y=0.(2)17y1=-3;y2=5.x1=4,x2=-4,x3=32,x4=-32,2.(1)y1=2;y2=-2;y3=2;y4=-2.66x1=5,x2=5,(2)141141y1=15;y2=-15.x=7,3.(1)y=3.11a+b=5,a=2,a=3,(2)设=a,=b,原方程组可化为解得xyab=6,b=3;b=2.11x1=2,x2=3,原方程组的解是11y1=3;y2=2.第三章测试题第78页,1.C.2.B.3.C.4.C.5.D.6.C.7.a≤1且a≠0.8.2-3,1.9.0或2.课堂笔记2210.答案不唯一,x项系数为1的方程为x-6x+2=0.x=-1,111.(1)y=,2z=3.x1=3,x2=-3,x3=5,x4=-5,(2)y1=1;y2=-1;y3=5;y4=-5.12.(1)x=1;(2)x1=4,x2=-1.213.原方程化为kx-3kx+2x-1=0.1当k=0时,原方程有唯一解x=.22222当k≠0时,方程kx-3kx+2x-1=0,Δ=9k-8k+4=5k+4(k-1)>0,所以方程总有两个不相等的实数根.由题意知,必有一根是原方程的增根.由原方程的最简公分母x(x-1)知,增根只能是0或1.显然x=0不是方程22kx-3kx+2x-1=0的增根,x=1是方程的增根.把x=1代人方程kx-13kx+2x-1=0,解得k=.2第四章函数的图像和性质习题4.11.A.2.B.3.C.4.m=-1.25.设二次函数解析式为y=ax+bx+c,则a-b+c=1,a=-1,a+b+c=1,解得b=0,c=2c=2.2二次函数的解析式为y=-x+2.6.由已知得二次函数图象与x轴的交点为(-1,0)和(5,0).2设二次函数的解析式为y=a(x-2)-18,把(-1,0)代人得9a=2218,即a=2,所以二次函数的解析式为y=2(x-2)-18=2x-8x-10.习题4.21.A.2.C.3.2,5.4.8.5.(1)a≠2;(2)a=2.6.设二次函数为y=a(x+2)(x-1),又因为过点C(2,4),所以4a=4,得a=1.2二次函数的解析式为y=(x+2)(x-1)=x+x-2.习题4.31.B.2.B.3.D.第79页,4.左,2,上,3.5.关于y轴的对称.11课堂笔记6.函数y=的图象是将反比例函数y=的图象上的所有点向左平移3x+3x个单位得到.图略.7.各图象如下:习题4.41.C.2.D.3.A.4.x<-1或x>2,-1<x<2.17155.(1)m=,m=5;(2)m=5,m=;(3)m=,m=1.22216.(1)2<x<3；(2)x>或x<0.22227.y=-x+2ax+1=-(x-a)+a+1,抛物线的对称轴为直线x=a,在抛物线上按自变量的范围1≤x≤2截取其中一段图象,按a的大小分类讨论:(1)当a≥2时,M=4a-3,m=2a；32(2)当<a<2时,m=a+1,m=2a；232(3)当1<a≤时,m=a+1,m=4a-3;2(4)当a≤1时,m=2a,m=4a-3.(第7题)综合以上,可得所求函数的最大值和最小值分别为第80页,4a-3,a≥32a,a≥3,22m=a+1,1<a<2,m=3课堂笔记2a,a≤14a-3,a<2.8.设售价为(30+x)元,则每件的利润为(10+x)元,货物可售出的件数为(400-20x),所以总的利润为y=(10+x)(400-20x),0≤x<20,则当x=5时,y有最大值4500,即当售价为25元时,最大利润为4500元.第四章测试题1.d.2.c.3.c.4.d.5.c.6.b.3217.4,2或14,.8.y=-x+2x+3.9.m<-.2210.右,1,在x轴下方部分关于x轴作对称变换,x轴上方部分不变的.111.(1)-<x<1;(2)1-2≤x≤1+2.3212.y=-4x+24x-32.2213.y=(x-a)+6-a.22(1)当-2≤a≤2时,y的最小值为6-a,所以只要6-a>a,即-3<a<2.所以当-2≤a<2时,结论成立.(2)当a<-2时,当x=-2时,y的最小值为10+4a,所以只要10+4a>a,1010即a>-.所以当-<a<-2时,结论成立.33(3)当a>2时,当x=2时,y的最小值为10-4a,所以只要10-4a>a,即a<2.与a>2矛盾,所以无解.102由(1)(2)(3)得:当-</a<-2时,结论成立.33(3)当a></a<2.所以当-2≤a<2时,结论成立.(2)当a<-2时,当x=-2时,y的最小值为10+4a,所以只要10+4a></a<2时,m=a+1,m=2a；232(3)当1<a≤时,m=a+1,m=4a-3;2(4)当a≤1时,m=2a,m=4a-3.(第7题)综合以上,可得所求函数的最大值和最小值分别为第80页,4a-3,a≥32a,a≥3,22m=a+1,1<a<2,m=3课堂笔记2a,a≤14a-3,a<2.8.设售价为(30+x)元,则每件的利润为(10+x)元,货物可售出的件数为(400-20x),所以总的利润为y=(10+x)(400-20x),0≤x<20,则当x=5时,y有最大值4500,即当售价为25元时,最大利润为4500元.第四章测试题1.d.2.c.3.c.4.d.5.c.6.b.3217.4,2或14,.8.y=-x+2x+3.9.m<-.2210.右,1,在x轴下方部分关于x轴作对称变换,x轴上方部分不变的.111.(1)-<x<1;(2)1-2≤x≤1+2.3212.y=-4x+24x-32.2213.y=(x-a)+6-a.22(1)当-2≤a≤2时,y的最小值为6-a,所以只要6-a></x<2.17155.(1)m=,m=5;(2)m=5,m=;(3)m=,m=1.22216.(1)2<x<3；(2)x></s2d.s1,s2的大小关系无法确定as2s1bde(第3题)(第4题)5.如图,在斜坡的顶部有一铁塔ab,b是cd的中点,cd是水平的,在阳光的照射下,塔影de留在坡面上．已知铁塔底座宽cd=12m，塔影长de=18m,小明和小华的身高都是1.6m.同一时刻,小明站在点e处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高ab为()a.24mb.22mc.20md.18m∘6.如图,在平行四边形abcd中,∠dbc=45,de⊥bc于点e,bf⊥cd于点f,de,bf相交于点h,bf,ad的延长线相交于点g,有下列结论:(1)db=2be;(2)∠a=∠bhe;(3)ab=bh;(4)△bhd∼△bdg.其中正确的结论是()a.(1)(2)(4)b.(1)(2)(3)c.(1)(2)(4)d.(2)(3)(4)第57页,qd课堂笔记adamhfbecbpc(第5题)(第6题)∘7.如图,在四边形abcd中,∠b=∠d=90,mp⊥bc于点p,mq⊥ad于点mpmqq,则+的值为()abcd789a.b.c.d.1877二、填空题(本题有4小题,每小题7分,共28分)8.在一张比例尺为1:50000的地图上,一块多边形地区面积22是120cm,这个地区的实际面积是cm(用科学ad记数法表示).9.如图,ad⎳be⎳cf,ab:bc=3:4,ad=8,cf=12,则bebe=.f10.已知d,e分别是△abc的ab,ac边上的点,且△adec第8题与△abc相似.若ad=8cm,db=5cm,ac=12cm,则ec=cm.11.如图,对面积为1的△abc逐次进行以下操作：第一次操c1作,分别延长ab,bc,ca至点a1,b1,c1,使得a1b=2ab,b1c=2bc,c1a=2ca,顺次连接a1,b1,c1,得到△a1b1c1,记其面积为s1;第二次操作,分别延长a1b1,bab1c1,c1a1至点a2,b2,c2,使得a2b1=2a1b1,b2c1=cb12b1c1,c2a1=2c1a1,顺次连接a2,b2,c2,得到△a2b2c2,第10题记其面积为s2⋯⋯按此规律继续下去,可得到△a5b5c5,则其面积s5=.三、解答题(本题有3小题,每小题12分,共36分)12.如图,将正方形abcd的bc边延长到e,使ce=ac,ae与dc边相交于点f,求ce:fc的值.adfbce(第11题)13.如图,在rt△abc中,ab⊥ac,ad⊥bc,e为ac的中点,ed的延长线与ab的延长线交于点f,求证:ab⋅fa=ac⋅fd.第58页,a课堂笔记ebcdf(第12题)14.已知ad是△abc的角平分线,bh⊥ad,垂足为h,ck⊥ad，垂足为k,求abdh证:=.acdkakcbdh(第13题)第59页,课堂笔记第六章三角形的几个性质§6.1射影定理从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.在图6.1-1中,aa⊥mn,垂足a是点a在直线mn上的正射影.如果点a是mn上的点,那么a在mn上的正射影就是它本身.一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.在图6.1-2中,线段ab的两个端点a和b在直线mn上的正射影分别是a和b,线段ab是线段ab在直线mn上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.baamanmabn图6.1-1图6.1-2如图6.1-3,△abc是直角三角形,cd为斜边abc上的的高.在这个图形中,由于线段ad与cd,bd与cd,bc与ac等相互垂直,因此可以从射影的角度来考察它们的关系.你能发现这些线段之间的某些关系吗?adb实际上,有些关系是非常明显的.例如,由△bdc为直角三角形可知bd<11bc;因为s△abc=ac⋅bc=cd⋅ab,所以ac⋅bc=cd⋅ab;等等.22∘∘考察rt△acd和rt△cbd:因为∠acd=90-∠bcd,∠b=90-∠bcd,所以∠b=∠acd.于是△acd∾△cbd.adcd因此=,即cdbd2cd=ad⋅bd1考察rt△bdc和rt△bca:因为∠b是公共角,所以△bdc∾△bca.bdbc因此=,即bcab第60页,2bc=bd⋅ab2课堂笔记同理,由△cda∾△bca,有2ac=ad⋅ab.3123式反映了直角三角形的两直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系,因而把这三个等式统称为直角三角形的射影定理.射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.【例1】如图6.1-4,圆o上一点c在直径ab上c的射影为d,ad=2,db=8,求cd,ac和bc的长.【解析】【解】因为∠acb是半圆上的圆周角,所abdo∘以∠acb=90,即△abc为直角三角形.由射影定理可得2cd=ad⋅db=2×8=16,cd=4；2图6.1-4ac=ad⋅ab=2×10=20,ac=25;2bc=bd⋅ab=8×10=80,bc=45.e【例2】如图6.1-5,一个矩形abcd的两边分别为5和12,将△abc沿对角线ac折叠后为△ace,其中cd与ae相交,求de的长.dc【分析】图形折叠后,前后图形必全等,由此要善n于找出相等的角与线段.可利用直角三角形射影定理计算am的长.amb【解】分别过点d,e作ac的垂线dm,en,垂图6.1-5足为m,n.因为△adc≅△cea,所以dm=en,am=cn.而dm⎳en,得四边形dmne为矩形,de=mn.225在rt△adc中,ac=13,ad=am⋅ac,得am=.1350119从而mn=ac-2am=13-=.1313119因此de=.13【例3】如图6.1-6，在△abc中,cd⊥ab,de⊥ac,df⊥bc,垂足分别为d,e,f,求证:∠cab=∠cfe.【分析】要证明∠cab=∠cfe,只需证明△cef∽△cba.2【证明】在rt△adc中,cd=cce⋅ca.e2在rt△bdc中,cd=cf⋅cb.cef故ce⋅ca=cf⋅cb,即=cfcb.adbca图6.1-6又因为∠acb为公共角,所以△cef∽△cba.第61页,于是∠cab=∠cfe.课堂笔记习题6.11.在直角三角形中,两直角边在斜边上的射影分别是2和6,则两条直角边分别为和,斜边上的高为.2.一个直角三角形的两条直角边的比是1:2,则它们在斜边上的射影之比是bc=.3.cd是rt△abc斜边上的高,s△abc=20,ab=10,则ad=4.如图,已知线段a,b,求用尺规作线段a和b的比例中项.ab(第4题)25.在△abc中,顶点c在ab边上的射影为d,且cd=ad⋅db,求证:△abc是直角三角形.6.如图,在△abc中,ad⊥bc,de⊥ab,df⊥ac,垂足分别为d,e,f,则下列结论中,哪些是成立的?哪些是不成立的?为什么?1de2222=ae⋅be;2ad=af⋅ac;3ad=ae∙ab;4ad=bd∙cd;22abaf5bd+cd=be∙ab+cf∙ac;6=;acae7若ab></x<5,则a的值为().a.-5b.5c.1d.不确定二、填空题(本题有4小题,每小题6分,共24分)27.二次函数y=x-(m-4)x+2m-3,当m=时,其图象的顶点在y轴上;当m=时,图象的顶点在x轴上;当m=时,图象过原点.8.已知某二次函数的图象过点(-1,0),(0,3),(1,4),则该二次函数的解析式为.29.已知关于x的不等式mx-x+m<0的解是一切实数,则m的取值范围为.1110.要得到函数y=x-1的图象,把函数y=x的图象向(左或右)平移单位,再把得到的图象作变换得到.三、解答题(本题有3小题,第11,12题各15分,第13题每题16分,共46分)11.解下列不等式:22(1)3x-2x-1<0;(2)2x-x≥-1.12.已知二次函数的图象过点(2,0),其顶点坐标为(3,4),求该二次函数的解析式.第50页,213.已知二次函数y=x-2ax+6,当-2≤x≤2时,函数值恒大于a,求a的取课堂笔记值范围.第五章比和比例§5.1比和比例的性质ac我们知道,4个非零数a,b,c,d成比例,即a:b=c:d,也可以写成=,其中bda,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项,d叫做a,b,c的第四比例项.如果比例中两ab个比例内项相等,即a:b=b:c(或写成=)时,我们把b叫做a和c的比例中bc项.acac在=的两边同乘以bd,得到ad=bc.这个推理步骤就是:因为=,所bdbd以ad=bc.为了简明,可以把这个推理步骤写成:ac=⇒ad=bc.①bd符号“⇒””读作“推出”.ac反过来,在等式ad=bc的两边同除以bd,又得到=,即bdacad=bc⇒=.②bdac①②式合起来表明,=与ad=bc可以互相推出，它是比例的基本性质.bdac比例的基本性质=⇔ad=bc(bd≠0),即比例的两个外项的乘积等于两bd个内项的乘积.符号“⇔”读作“等价于”，表示从左端可以推出右端，并且从右端可以推出左端.ab2推论=⇔b=ac.bc根据比例的性质定理,一个比例可以得出多种不同的比例变形.例如,acbd=⇒ad=bc⇒bc=ad⇒=.bdacac由于ad=bc可以写成bc=ad,ad=cb,cb=da等多种形式,所以由=bdbdabca又可以得出=,=,=等多种不同的形式.也就是说,比例的两个内accddb项可以交换位置,两个外项也可以交换位置,比例的这个性质叫做更比定理.下面,我们再学习比例的两个重要性质：aca±bc±d合比定理=⇒=.bdbdacaca±bc±d【证明】=⇒±1=±1⇒=.bdbdbdacma+c+⋯+ma等比定理==⋯=(b+d+⋯+n≠0)⇒=.bdnb+d+⋯+nbacm【证明】设==⋯==k,那么a=bk,c=dk,⋯,m=nk.bdna+c+⋯+mbk+dk+⋯+nk(b+d+⋯+n)ka===k=.b+d+⋯+nb+d+⋯+nb+d+⋯+nb第51页,【注】像这样设k的方法是解决比例问题的一种常用方法.课堂笔记a-b3a11【例1】(1)已知=,求证:=.b8b8aca+cb+d(2)已知=(b±d≠0),求证:=.bda-cb-da-b3a-b+b3+8a11【证明】(1)因为=,则=,所以=.b8b8b8aca+caa-caa+ca-c(2)因为=(b±d≠0),则=,=,所以=,bdb+dbb-dbb+db-d即a+cb+d=a-cb-dace【例2】已知===3,b+d+f=4,求a+c+e的值.bdfacea+c+e【解】因为===3,则=3,所以bdfb+d+fa+c+e=3(b+d+f)=3×4=12.习题5.1ace2a-c+3e1.已知===2,则=()bdf2b-d+3f11a.1b.2c.d.23x+yy+zz+x(x+y)(y+z)(z+x)2.已知==,则=()zxyxyza.1b.8c.-1d.-1或83.已知a:b:c=2:3:4,且2a+b-c=6,则a-b+2c=.a+b-cc+a-bb+c-a4.已知==,则2a:3b:4c=.23422225.已知(x+y):4=y:3,求x-2xy+3y:x+y的值.6.根据下列各式,求a:b的值:a+b3a5(1)=;(2)=.b8b-a7a+2bc+2d7.已知ad=bc(a≠2b,c≠2d),求证:=.a-2bc-2d5-13-58.已知线段a=1,b=,c=,求证:线段b是a和c的比例中项.22§5.2比和比利的应用在图5.2-1中,如果a,b,c,d,e,f这组平行线在直线ad上截得五条相等的线段,那么这组平行线在直线ad上截得的五条线段也相等吗?请你给出证明.提示:过点a做ae⎳ab,交直线b于点e;过点b做bf⎳ab,交直线c第52页,于点f.由平行四边形和全等三角形的性质可证明aaabbbab=bc.c课堂笔记cc下面我们来看a,b,f在ad,ad这两条直线上截de得的四条线段ab,bd,ab,bd是否成比例.因为ddfab1ab1abab=,=,所以=.bd4bd4bdbd图5.2-1abab同理可得=.adad一般地,有平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.【例1】如图5.2-2，在△abc中，已知de⎳bc，分别交ab，ac于点d，e，求adaeadae证:=,=.bdecabacpaq【证明】过点a作直线pq⎳de,则pq⎳de⎳bc.adae所以=(平行线分线段成比例定理).bdecdeadae同理可得=.abacbc由例1,得到图5.2-2推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例.bdab【例2】已知在△abc中,ad是角平分线,求证:=.dcacbdab【分析】在比例式=中,ac是bd,dc,ab的第四比例项.从图5.2-3dcac中又可以看出,如果过点c作ce⎳da,交ba的延长线于点e,就可以得到bdabbd,dc,ba的第四比例项ae,要证明=,只dcac要证明ac=ae即可.【证明】如图5.2-3,过点c作ce⎳da,交ba的延长线a于点e.12∠1=∠23∠1=∠ece⎳da⇒∠2=∠3⇒∠e=∠3,bdc图5.2-3∠e=∠3⇒ae=acce⎳da⇒bd=ba⇒bd=abdcaedcac由例2，得到三角形内角平分线性质定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.我们已经学习了相似三角形的一些性质：相似三角形对应边成比例、对应角相等;相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高线的比都等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.可以发现,相似三角形的这些性质都和比例有关.第53页,【例3】如图5.2-4,e,g,f,h分别是矩形abcd四条边上的点,ef⊥gh.若课堂笔记ab=2,bc=3,ef=3.3,求hg的长.【分析】本题中ab,bc,ef,gh之间没有直接的联系,通过添辅助线构造相似三角形得到比例式是解题的关键.had【解】过点b作bn⎳ef交dc于点n,过点a作fam⎳hg交bc于点m,am,bn相交于点r.因为在矩形abcd中ab⎳dc,ad⎳bc,所以四边er形ebnf和四边形amgh都是平行四边形,ef=bmgcbn,hg=am.图5.2-4因为ef⊥hg,bn⎳ef,am⎳gh,所以bn⊥am.因此∠abr+∠bar=∘90.∘∘因为在矩形abcd中,∠abc=∠c=90,所以∠abr+∠cbn=90,∠bar=bnbc3∠cbn.于是△abm∾△bcn,==.amab2因此ef:hg=3.3:hg=3:2,得hg=2.2.习题5.21.如图,在rt△abc中,ab⊥ac,ab=3,ac=4,p是bc边上一点,pe⊥ab于点e,pd⊥ac于点d.设bp=x,则pd+pe=().2xx712x12xa.+3b.4-c.d.-552525第54页,dadac课堂笔记rqeppbebc(第1题)(第2题)2.如图,四边形abcd和四边形aced都是平行四边形,r为de的中点,br分别交ac,cd于点p,q,则bp:pq:qr等于()a.3:2:1b.2:1:2c.3:1:2d.2:1:13.已知在△abc中,ad是角平分线,ab=5cm,ac=4cm,bc=7cm,则bd=cmdc=cm4.如图,斜拉桥是利用一组钢索,把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁,它不需要建造桥墩,其中a1b1,a2b2,a3b3,a4b4是斜拉桥上互相平行的钢索,且a1a2=a2a3=a3a4.若最长的钢索a1b1=80m,最短的钢索a4b4=20m,那么钢索a2b2=m,a3b3=m.aa1a2ma3a4b1b2b3b4bnc(第4题)(第5题)5.如图,已知在△abc中,ab=6,bc=8,ac=7,mn⎳ac,分别交ab,bc于点m,n,且am=bn,求mn的长.∘6.如图,在等边△abc中,p为bc上一点,d为ac上一点,且∠apd=60,bp2=1,cd=,求△abc的边长.3aaefd°60bpcbdc(第6题)(第7题)第55页,7.如图,在△abc中,de垂直平分bc,ab=ad,求证:f是ad的中点.课堂笔记∘8.如图,在△abc中,∠bac=90,ad是高,且∠bae=∠c,求证:bd⋅ec=ae⋅ad.aebdc(第8题)第56页,第五章测试题(满分为100分,考试时间45分钟)课堂笔记一、选择题(本题有6小题,每小题6分,共36分)xyz2.若==≠0,则下列各式中正确的是().234x+yzx+y+za.=b.2x=3yc.=1549x+4z+3d.=343.下列命题:∘(1)有一个角等于30的两个等腰三角形相似;∘(2)有一个角等于120的两个等腰三角形相似;(3)相似三角形一定是全等三角形;(4)相似三角形角平分线的比等于周长比.其中正确命题的个数是()a.4b.3c.2d.14.如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是s1,s2,那么s1,s2的大小关系是()a.s1></x<1b.-1<x<2c.x<-1或x></y0,即4(a-1)(a-3)<0.①o13x观察二次函数y=4(x-1)(x-3)的图象(图4.4-5)可得,当1<x<3时,y<0,即4(x-1)(x-3)<0.图4.4-5因此,不等式(1)的解为1<a<3,即所求实数a的取值范围为1<a<3.习题4.411.在-1<x<2且x≠0的条件下,函数y=的函数值的取值范围是().x第48页,11a.-<y<1,且y≠0b.-1<y<且y≠02211课堂笔记c.y<-1或y></x<4.函数值的范围,往往可以归结为关于自变量x的不等式问题.结合函数的图第47页,象,根据图象上点的纵坐标与函数值之间的内在联系,通过观y课堂笔记察可以得到相应不等式的解的情况.2【例3】试利用函数知识,解不等式:2x-5x></a≤1,a,-1<a≤0,m=m=a2,a></x<1.2由解析式的特点可知,当x≥1或x≤-1时,函数y=x-1的图象与函2数y=x-1重合,即抛物线在x轴上方部分保持不变;当-1<x<1时,222函数y=x-1即为y=-x-1,其图象与函数y=x-1的图象关于x轴对称,即抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折.这两部分共同组成函数y=2x-1的图象(图4.3-6).习题4.3221.函数y=-2x的图象经过下列某个平移变换得到函数y=-2(x-1)+3的图象,则.此平移变换是().a.向左平移1个单位,再向上平移3个单位b.向右平移1个单位,再向上平移3个单位c.向左平移1个单位,再向下平移3个单位d.向右平移1个单位,再向下平移3个单位12.如果点(a,b)是函数y=1-图象上的一点,那么下列点一定在函数yx1=1+图象上是().xa.(a,b)b.(-a,b)c.(a,-b)d.(-a,-b)第44页,3.将函数y=2x+1图象上的所有点向左平移1个单位得到一个图象,其所对应的函数解析式是().课堂笔记a.y=2x-2b.y=2x-1c.y=2x+2d.y=2x+324.将函数y=-x的图象向（左或右）平移单位,就可得到函2数y=-(x+2)的图象,再将此函数的图象向（上或下）平移单2位,就可得到函数y=-(x+2)+3的图象.5.将函数y=x+1图象上的所有点通过变换得到函数y=-x+1的图象.(只要写出一种你认为合适的图象变换即可.)116.试分析函数y=的图象与函数y=的图象的关系,并画出此函数x+3x图象.27.画出函数y=x-2x-3的图象,并通过图象的变换画出下列函数的图象:222(1)y=-x-2x-3;(2)y=x+2x-3;(3)y=x-2x-3.§4.4函数性质的应用函数是中学阶段重要的数学知识,在初中我们已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等函数的图象及其性质,而运用函数的图象和性质去解决相关问题更是一种重要的思想方法.1.求自变量在指定范围内时函数的最值【例1】将一根长为l的铁丝折成如图4.4-1所示的形状(上部为半圆形,下部为长方形),求此图形的面积的最大值.【解析】【分析】图形的面积可以随着bc长的变化而变化,由此可选取bc的长作为自变量x,并确定x的取值范围,将图形的面积y表示成x的一个函数，利用函数的知识求出y在限定范围内的最大值.lπ+22l【解答】【解】设bc=x,则ab=-x,其中0<x<.此时图24π+2形的面积lπ+21x2ly=x2-4x+2×π2=2x-π+42x8adπ+42l2l2=-8x-π+4+2π+8.2l2l显然,当x=时(满足0<x<,y有π+4π+22l最大值,最大值为.2π+82l因此,当bc长为时,折成的图形面积最大,bcπ+42l其最大值为.2π+82l【注】本题将实际应用的最值问题转化为函数问题,实质就是在0<x<π+2第45页,lπ+42的条件下,求函数y=x-x的最大值.28课堂笔记从例1中我们可以得到利用函数知识解决实际应用问题的一般步骤：(1)选取适当的变量作为自变量x,并确定x的取值范围;(2)将目标值表示成自变量x的函数;(3)在x的限定范围内,求此函数的最值.2【例2】【例2】已知-1≤x≤a(a为大于-1的常数),求函数y=x的最大值m和最小值m.2【解析】【分析】可借助函数y=x的图像，再根据条件-1≤x≤a，截取抛物线的一部分，从中观察图形中的最高点和最低点。第46页,2【解】画出函数y=x的图象,根据直线x=a与抛物线的对称轴(y轴)的相对位置，分类讨论.课堂笔记yyy1aox1oax1oax123图4.4-2(1)当-1<a≤0时，由图4.4-2(1)可知，当x=-1时,y有最大值1;当x=2a时，y有最小值a.(2)当0<a≤1时，由图4.4-2(2)可知，当x=-1时,y有最大值1;当x=0时，y有最小值0.2(3)当a></a≤1c.-1<a<0d.-2<a<1225.已知二次函数y=ax+bx+c,当x=m+1时的函数值与当x=1-m时的函数值相等,则二次函数的图象().a.关于y轴对称b.关于y=1轴对称c.关于x=1轴对称d.关于x=2轴对称2226.开口向下的抛物线y=m-2x+2mx+1的对称轴经过点(-1,3),则m=．27.已知某二次函数的图象过点为(-1,1),(1,1),(0,2),求此二次函数的解析式.28.已知某二次函数的图象的顶点为a(2,-18),它与x轴两个交点之间的距离为6,求此二次函数的解析式.§4.2二次函数与二㳄方程22我们知道,二次方程ax+bx+c=0的根就是二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴公共点的横坐标.22设δ=b-4ac,则当δ></y2<y3b.y3<y2<y1c.y3<y1<yd.y2<y1<y3224.已知二次函数y=-x+2x,当-1<x<a时,y随着x的增大而增大,则a的取值范围为().a.a></a<2)；(2)(a-b)+nn∗(a+b)a<b<0,n>
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