2.2 相交与垂直—2024-2025学年四年级上册数学同步重难点讲练 北师大版（含解析）

学霸笔记—北师大版2024-2025学年北师大版数学四年级上册同步重难点讲练2.2相交与垂直第二单元线与角教学目标1.借助实际情况和操作活动，认识垂直。2.能根据点与线之间垂直的线段最短的原则，解决生活中的一些简单的问题。3、认识垂直，能用三角尺画垂线4、能根据点与线之间垂直的线段最短的原则，解决生活中的一些简单的问题教学重难点教学重点：建立相交与垂直的概念，能认识垂线；能用三角尺画垂线教学难点：根据点与线之间垂直的线段最短的原理解决问题；能根据点与线之间垂直的线段最短的原则，解决生活中的一些简单的问题【重点剖析】l相交：如果两条直线只有一个公共点，这两条直线叫相交直线。l垂直：两条直线相交成直角时，叫做两条直线相互垂直。两条直线互称为对方的垂线。l一条直线的垂线有无数条，过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。l从直线外一点到这条直线所画的垂直线最短，它的长度叫作这点到直线的距离。l 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条线是另一条线的垂线，这时两条直线的交点叫作垂足。【典例分析1】找一找，填一填．AB和　　平行，AD和　　平行，AC和　　平行，AB和　　垂直，CE和　垂直，AD和　　垂直．【思路引导】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直．据此填空即可．【完整解答】解：AB和CD平行，AD和BC（BE或CE）平行，AC和DE平行，AB和BC（BE或CE或AD）垂直，CE和DC（或AB）垂直，AD和AB（或DC）垂直．故答案为：CD，BC（BE或CE），DE，BC（BE或CE或AD），DC（或AB），AB（或DC）．【考察注意点】此题考查了垂直和平行的特征和性质，根据意义判断即可．【典例分析2】（2019秋•勃利县期末）两条平行线之间的距离处处　　．正方形的两条邻边互相．【思路引导】根据平行的性质：平行线之间的距离处处相等；根据长方形和正方形的特征：长方形和正方形的两组对边互相平行，两组邻边互相垂直；据此解答．【完整解答】解：两条平行线之间的距离处处相等．正方形的两条邻边互相垂直；故答案为：相等，垂直．【考察注意点】此题考查学生对长方形和正方形特征的理解和运用．【题干】（2019秋•新疆期末）中有　条线段，　　个锐角，　　个直角．【题干】（2019春•醴陵市期末）（1）画一条长4厘米的线段．（2）在方格纸上画一个直角（从给出的点画起）． 一、选择题1．（2018·辽宁全国·四年级期中）一条直线的垂线有（）条．A．1B．2C．无数2．（2019·广东）下图中最短的一条线段是线段（）。A．PAB．PBC．PCD．PD3．（2019·福建四年级期末）如下图，把一张正方形的纸对折两次后再展开，折痕间的关系是（）。A．一定互相平行B．互相平行或垂直C．一定互相垂直4．（2019·四川成都市·四年级期末）如果A点和B点在一条直线上，B点和C点在一条直线上，那么A、B、C三点（）。A．一定在一条直线上B．可能在一条直线上C．一定不在一条直线上5．（2020·成都高新区益民学校四年级期中）如图，以点A为一个端点的线段中，最短的是（）。A．线段ABB．线段ACC．线段AD6．（2021·山东聊城市·）在同一平面内，若两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线（　　）。 A．互相垂直B．互相平行C．不能确定7．（2019·广东）下图中共有（）组垂线。A．1B．2C．3D．48．（2021·广东四年级期末）当两条直线相交成直角时，这两条直线互相（）。A．垂直B．平行C．重合9．（2019·泉州市鲤城区实验小学）从点A到直线a画了4条线段，分别长11厘米、8厘米、6厘米、10厘米，其中有一条是垂直线段，这条垂直线段长（）。A．11厘米B．10厘米C．8厘米D．6厘米二、填空题10．（2014·全国期中）同一平面内的两条直线相交成（________）时，这两条直线叫做互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的（________），这两条直线的交点叫（________）。11．（2020·辽宁四年级课时练习）射线可以向（________）端无限延伸；直线可以向（________）端无限延伸。12．（2021·辽宁四年级单元测试）两点之间的所有连线中（________）最短，从直线外一点向这条直线引出的线段中，（________）最短。13．（2019·四川）如下图，淘气要从人行道一侧点走到另一侧，在、、三条路线中，（________）最短。14．（2021·辽宁四年级单元测试）两条互相垂直的直线可以组成（______）个直角。15．（2021·绍兴市越城区马山街道中心小学四年级期末）在长方形中，相邻的两条边互相（________），相对两条边互相（___________）。三、判断题16．（2018·辽宁全国·四年级课时练习）相交的两条直线是互相垂直的。（______）17．（2020·江苏四年级单元测试）右图中有2组垂线。（________） 四、解答题18．（2021·辽宁四年级单元测试）学校要修一条水泥路到公路，怎样修最近？请你在图上画出来，并说明理由。19．（2014·全国期中）在下面这两条平行线间画几条与平行线垂直的线段，量一量这些线段的长度，你发现了什么?20．（2019·辽宁全国·四年级课时练习）看一看下图中哪两条直线互相平行，哪两条直线互相垂直．21．（2021·四川四年级期末）画一画，填一填。①在直线a上截取线段OM，使线段OM长1cm；②过点M作直线a的垂线b；③在直线b上除M点外任取一点P，过P点作直线b的垂线c。直线c与直线a的交点个数是（）。 22．（2021·四川成都市·四年级期末）四个小朋友玩“抢凳子”的游戏，下图是他们所在的位置，谁最有可能先坐到凳子上？在图上画一画，并用我们这学期学到的知识来说明理由。理由：23．（2019·福建四年级期末）为了方便小区居民生活，怎样安排最合理？（1）画出一条从幸福小区到超市最近的路，这样画的理由是____________。（2）在公路上设一个离小区最近的公交车站，设在哪里最合适？请在图中画出来并用“△”表示公交车站的位置。 一、选择题1．（2020·上海四年级单元测试）下列各图中，两条直线互相垂直的是（　　）A．B．C．D．2．（2021·全国四年级单元测试）在桌面上把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，那么这两根小棒（  ）。A．互相平行                                    B．互相垂直                                    C．相交3．（2021·广西四年级期末）同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线（）。A．相交B．互相垂直C．互相平行D．不确定4．（2014·全国期中）下面图形中，只有一组平行线的图形是（）A．B．C．D．5．（2020·四川四年级单元测试）下面说法不正确的是（  ）．A．同一平面内不相交的两条直线是平行线B．平行的两条直线永远都不会相交C．两条直线相交就一定互相垂直二、填空题6．（2020·江苏四年级单元测试）找一找，填一填．AB平行________ ,AD平行________.7．（2020·山东四年级单元测试）从直线外一点向这条直线引________，顶点和垂足间的________叫做点到直线的距离．8．（2020·山东四年级单元测试）下面的直线中 A、   B．  C．        D．（1）哪组是平行线？________ （2）哪组直线互相垂直？________9．（2020·河北四年级专题练习）从直线外一点到这条直线画了3条线段，分别长4.3厘米，4.8厘米，4.1厘米，（______）的线段可能是垂线段，因为（______）。10．（2019·辽宁全国·四年级课时练习）图中，有________组互相垂直的线.三、判断题11．（2020·山东四年级期中）从直线外一点向这条直线可以做无数条垂线．（___）12．（2019·辽宁四年级期中）两条相交的直线不一定垂直．（___）13．（2020·全国六年级专题练习）过一点可以向已知直线画无数条垂线．（____）四、作图题14．（2021·吉林四年级期末）想从点A处向小河边修路，如何修最近？请画出来。 15．（2020·河南四年级期末）先画出从淘气家到小明家最近的路，再画出从小明家到公路最近的路。16．（2020·辽宁二年级单元测试）按要求在图形中画一条线。增加3个直角　　　增加4个直角17．（2019·辽宁全国·四年级课时练习）小明在一个池塘里的A处游泳，如果小明想尽快上岸，应该怎样游呢？五、解答题18．（2020·四川四年级单元测试）把直线外一点A与直线上任意一点连接起来，可以画出很多条线段，哪一条最短呢?如图所示，我们可以画好多条这样的线段，不过，最短的只有一条哦!19．（2020·辽宁四年级课时练习）图中哪些是直线？哪些是射线，哪些是线段？ 20．（2020·河北四年级专题练习）要在某村和省道之间修一条路，怎样修最短？在图中画出来，并说明最短的原因。21．（2020·江苏四年级单元测试）观察下面正方形的对角线（即线段AC和BD），你能发现什么？再画一些正方形，看它们的对角线是不是存在同样的关系，然后把你的发现写下来．参考答案变式训练答案【变式训练1】【思路引导】线上两个点和它们之间的部分叫做线段，由此数出线段的条数；直角：90°的角；锐角：小于直角的角叫做锐角；由此求解．【完整解答】解：中有7条线段，2个锐角，5个直角．故答案为：7，2，5．【考察注意点】解决本题关键是熟练掌握线段、角的概念，以及角的分类．【变式训练2】【思路引导】（1）先画一个点，用直尺的“0”刻度和这点重合，然后在直尺上找出4厘米的刻度，点上点，然后过这两点画线段即可；（2）方格纸上水平的线（横线）和竖直的线（竖线）是互相垂直的，因此所夹的角都是直角；所以要在方格纸上画直角，只要以所给的点为顶点，描出经过这一点的水平线和竖直线当作角的边即可得到直角．【完整解答】解：画图如下： 【考察注意点】本题考查了学生用直尺画线段的能力以及在方格纸上画直角，理解方格纸中横线和竖线互相垂直的位置关系是解决问题的关键．基础达标练答案解析参考答案1．C2．C【思路引导】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此解答即可。【完整解答】最短的一条线段是线段PC。故答案为：C。【考察注意点】本题考查垂直的性质，而这个性质常用于解决求最短路线的问题。3．C【思路引导】根据图意，图中是沿着对角线折叠的，根据互相垂直的定义，两条直线相交所成的角是直角，这两直线互相垂直，即可解答。【完整解答】图中折痕间的关系是互相垂直；故答案为：C【考察注意点】解答此题的关键在于掌握互相垂直的定义，具体操作一下会更简捷。4．B【思路引导】 A点和B点在一条直线上，B点和C点在一条直线上，那么A点和C点可能在一条直线上，也可能不在一条直线上。【完整解答】根据分析直线AB和直线BC可能是一条直线，也有可能相交，所以B选项是正确的；故答案为：B。【考察注意点】运用直线相交的特点来解决此类问题。5．C【思路引导】连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；简称：垂线段最短。由此判断即可得出答案。【完整解答】连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，AD⊥BD，即线段AD最短。故答案为：C【考察注意点】考查垂线的性质，注意理解和掌握相关概念。6．B【完整解答】根据平行的性质：在同一平面内两条直线同时垂直于一条直线，那么，这两条直线相互平行。故答案为：B7．D【思路引导】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。据此解答即可。【完整解答】图中共有4组垂线。故答案为：D。【考察注意点】解决本题的依据是垂直的定义，关键是找直角。8．A【完整解答】根据垂直的性质可得：当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一个条直线的垂线；故答案为A。 9．D【思路引导】根据垂直的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短；垂线段也就是点到已知直线的距离，由此进行解答即可。【完整解答】由垂直的性质得：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短，垂线段也就是点到已知直线的距离；所以点A到已知直线的距离是6厘米；故答案为：D【考察注意点】此题考查了垂直的性质，要熟练掌握。10．直角垂线垂足【思路引导】根据垂直、垂线、垂足的定义解答即可。【完整解答】同一平面内的两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。【考察注意点】本题考查垂直的相关知识，属于基础题，需熟练掌握。11．一两【思路引导】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可。【完整解答】根据分析：射线可以向一端无限延伸；直线可以向两端无限延伸。【考察注意点】此题应根据直线、射线的含义进行解答。12．线段垂线段【完整解答】直线上任意两点之间的一段叫做线段，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间，线段最短。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离，这个点与垂足之间的线段叫做垂线段，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。13． 【思路引导】根据垂直的性质可知，从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此解答即可。【完整解答】在、、三条路线中，最短。【考察注意点】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。14．4【完整解答】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，则我们就说这两条直线互相垂直，所以两条互相垂直的直线可以组成4个直角。15．垂直平行【完整解答】根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，即相邻两条边垂直，故在长方形中，相邻的两条边互相（垂直），相对两条边互相（平行）。16．×【完整解答】【完整解答】略17．×【思路引导】在两条直线相交成四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。据此判断。【完整解答】由图可知，相邻的两条边两两垂直，有4组垂线，原题说法错误。故答案为：×【考察注意点】掌握垂直的概念是解题关键。属于基础类题目。18．图见详解；直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短【思路引导】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要作出学校到公路的垂线段即可。【完整解答】 直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，作学校到公路和垂线段，图如下：【考察注意点】本题主要考查学生对垂线特征的掌握和灵活运用。19．所画的平行线之间的垂线段的长度叫做这两条平行线之间的距离，这样的垂线段有无数条，它们彼此既平行又相等．【完整解答】做垂线：用直角三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直线外的已知点重合，再过这个点沿直角边做垂线即可．观察可得结论．20．a∥b，d∥e，f⊥d，f⊥e【完整解答】【解答】a∥b，d∥e，f⊥d，f⊥e【思路引导】当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足，在平面上两条直线空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行．21．图见详解；0个【思路引导】①把直尺上的0对准O，量1cm的线段，OM＝1cm；②三角板的一条直角边和a重合，然后平移三角板，让其另一条边和M点重合，过M点和三角板的直角顶点作直线b；③在直线b上除M点外找一点P，三角板的一条直角边和b重合，然后平移三角板，让其另一条边和P点重合，过P点和三角板的直角顶点作直线c；直线c和直线a平行，由此解答。【完整解答】①②如下图： ③直线c与直线a的交点个数是（0个）。【考察注意点】本题考查做已知直线的垂线，规范画图是解题的关键。22．小龙；图和理由见详解【思路引导】我们可以把凳子当作直线外的一点，从直线外一点到直线上各点的线段中，垂线段是最短的，可知凳子离小龙是最近的，所以小龙最有可能先坐到凳子上。【完整解答】如图：由图可知：小龙最有可能先坐到凳子上。理由：从直线外一点到直线上各点的线段中，垂线段是最短的，可知凳子离小龙是最近的，所以小龙是最有可能先坐到凳子上。【考察注意点】本题主要考查了垂线段最短的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养。 23．见详解【思路引导】（1）根据两点之间，线段最短，即可画出最近的路；（2）根据点到直线的所有连线中，垂直的线段最短，从幸福小区作公路的垂线即可。【完整解答】（1）理由：两点之间线段最短（1）（2）作图如下：【考察注意点】此题主要考查两点之间，线段最短和线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短的实际应用，要熟练掌握。强化提优练答案解析1．B2．A3．B【完整解答】同一平面内，两条直线的位置关系有：相交或平行，当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫另一条直线的垂线，据此解答。4．D5．C【完整解答】【解答】解：A、根据平行的特征可知，同一平面内不相交的两条直线是平行线；此选项正确；B、根据平行的特征可知，平行的两条直线永远都不会相交，此选项正确；C、两条直线相交成直角时才互相垂直，此选项错误.故答案为C【思路引导】同一平面内，两条直线有两种情况，永不相交的两条直线互相平行；相交成直角的两条直线互相垂直.6．DC；BC 【思路引导】平行四边形中两组对边是互相平行的，根据平行四边形的特征及平行线的特征判断即可.【完整解答】根据平行线的特征判断：AB平行DC，AD平行BC.故答案为DC；BC7．垂线线段【完整解答】根据点到直线的距离定义进行解答即可.8．（1）A（2）B【完整解答】【解答】(1)A、两条直线是永不相交的，互相平行；B、两条直线相交，不互相平行；C、不是直线，就不互相平行；D、不是直线，就不互相平行；(2)A、两条直线不相交，不互相垂直；B、两条直线相交乘直角，互相垂直；C、不是直线，就不互相垂直；D、不是直线，就不互相垂直.故答案为A；B【思路引导】同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；相交成直角的两条直线互相垂直；由此根据平行和垂直的定义判断即可.9．4.1厘米垂线段最短【思路引导】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。【完整解答】4.8＞4.3＞4.1所以4.1厘米的线段可能是垂线段，因为垂线段最短。【考察注意点】本题考查了垂直的性质，注意基础知识的理解和掌握。10．5【完整解答】【解答】两条直线相交成直角这两条直线就互相垂直，图中一共有5组互相垂直的线. 故答案为5.【思路引导】两条直线相交成直角这两条直线就互相垂直，据此找出相交是直角的线即可.11．×【完整解答】从直线外一点向这条直线可以做一条垂线，而且只有一条．故答案为×．12．√13．×【完整解答】因为过直线外一点只有一条直线和这条直线垂直，所以题干说法不对．故答案为：×．14．见详解【思路引导】从直线外一点到已知直线的连线中，垂线段最短；从A点向这条小河作垂线段，这样走路最近，即可解答。【完整解答】【考察注意点】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握画垂线段的能力。15．见详解【思路引导】（1）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此可知，要求从淘气家到小明家最近的路，只需要过淘气家和小明家这两点画一条线段即可。（2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要求从小明家到公路最近的路，则从小明家向公路作垂线，这条垂线即为所求。【完整解答】 【考察注意点】两点之间线段最短。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。16．【思路引导】此题的梯形、平行四边形的相互平行的两条边都是平行于水平面的，这就方便我们去思考，只要垂直于水平面画一条线，此垂线就能增加直角，至于个数，画法并不唯一。【完整解答】梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。【考察注意点】比较灵活的一道题，垂线的画法，小学只要求学生依靠三角板，沿三角板的直角边画直线即可，只是还要符合题目要求，分别增加不同个数的直角就有一定的难度了。17．解：方法很简单，根据从一点到一条直线的垂直线段的长度是最短的距离可知，只要从A处向池塘的四周分别画垂线，最短的那条就是小明最快上岸的路线.可见，沿AB游能最快上岸.【完整解答】解：方法很简单，根据从一点到一条直线的垂直线段的长度是最短的距离可知，只要从A处向池塘的四周分别画垂线，最短的那条就是小明最快上岸的路线.可见，沿AB游能最快上岸.点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，过点A向四边形的四条边分别作垂线段，垂线段最短的就是最快上岸的路线. 18．解：用直尺量一量这些线段的长度，可以发现第3条线段最短．用三角尺上的直角量量它们与已知直线相交组成的角，会发现第3条线段与已知直线是垂直的，第3条线段的长度就是点A到这条直线的距离．【完整解答】把直线外一点A与直线上任意一点连接起来，可以画出很多条线段,最短的是经过A点，与直线垂直的线段．19．①和⑤是射线，②是直线，③是线段。【思路引导】我们在做分辨线段、直线和射线的时候，要明确这三个之间的区别和联系。知道线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。线段和射线都是直线的一部分，据此解答。【完整解答】根据分析：①和⑤是射线，②是直线，③是线段，④、⑥、⑦、⑧都不符合要求。【考察注意点】解答此题应根据线段、射线和直线的特点进行解答即可。20．按图中虚线修最短。原因：垂线段最短。【思路引导】根据直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短；进而把某村看做一点，把省道看做一条直线，画出垂线段即可。【完整解答】按图中虚线修最短，原因：点到直线的所有线段中，垂线段最短。【考察注意点】解答此题应明确：从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短。21．发现：正方形的对角线互相垂直．