2024年高考真题——数学（新高考Ⅰ卷）答案

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.3Ax∣5x5,B{3,1,0,2,3}AB1.已知集合，则（）A.{1,0}B.{2,3}C.{3,1,0}D.{1,0,2}z2.若1i，则z（）z1A.1iB.1iC.1iD.1i3.已知向量a(0,1),b(2,x)，若b(b4a)，则x（）A.2B.1C.1D.24.已知cos()m,tantan2，则cos()（）mmA.3mB.C.D.3m335.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.23πB.33πC.63πD.93π2x2axa,x06.已知函数为f(x)，在R上单调递增，则a取值的范围是（）xeln(x1),x0第1页/共26页学科网（北京）股份有限公司,A.(,0]B.[1,0]C.[1,1]D.[0,)7.当xÎ[0,2]时，曲线ysinx与y2sin3x的交点个数为（）6A.3B.4C.6D.88.已知函数为f(x)的定义域为R，f(x)f(x1)f(x2)，且当x3时f(x)x，则下列结论中一定正确的是（）A.f(10)100B.f(20)1000C.f(10)1000D.f(20)10000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本2N1.8,0.12，假设推动均值x2.1，样本方差s0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布22出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,s，则（）（若随机变量Z服从正态分布Nu,，P(Zu)0.8413）A.P(X2)0.2B.P(X2)0.5C.P(Y2)0.5D.P(Y2)0.8210.设函数f(x)(x1)(x4)，则（）2A.x3是f(x)的极小值点B.当0x1时，f(x)fxC.当1x2时，4f(2x1)0D.当1x0时，f(2x)f(x)11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于2，到点F(2,0)的距离与到定直线xa(a0)的距离之积为4，则（）第2页/共26页学科网（北京）股份有限公司,A.a2B.点(22,0)在C上4C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x0,y0在C上时，y0x20三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.22xy12.设双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，Bab两点，若|F1A|13,|AB|10，则C的离心率为___________．x13.若曲线yex在点0,1处的切线也是曲线yln(x1)a的切线，则a__________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC2cosB，222abc2ab（1）求B；（2）若ABC的面积为33，求c．322xy16.已知A(0,3)和P3,为椭圆C:221(ab0)上两点.2ab（1）求C的离心率;（2）若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．17.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PAAC2，BC1,AB3．第3页/共26页学科网（北京）股份有限公司,（1）若ADPB，证明：AD//平面PBC；42（2）若ADDC，且二面角ACPD的正弦值为，求AD．7x318.已知函数f(x)lnaxb(x1)2x（1）若b0，且f(x)0，求a的最小值；（2）证明：曲线yf(x)是中心对称图形；（3）若f(x)2当且仅当1x2，求b的取值范围．19.设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和ajij后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列．（1）写出所有的i,j，1ij6，使数列a1,a2,...,a6是i,j可分数列；（2）当m3时，证明：数列a1,a2,...,a4m2是2,13可分数列；（3）从1,2,...,4m2中一次任取两个数i和jij，记数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的概率为1Pm，证明：Pm．8第4页/共26页学科网（北京）股份有限公司,绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.3Ax∣5x5,B{3,1,0,2,3}AB1.已知集合，则（）A.{1,0}B.{2,3}C.{3,1,0}D.{1,0,2}【答案】A【解析】【分析】化简集合A，由交集的概念即可得解.【详解】因为Ax|35x35,B3,1,0,2,3，且注意到3152，从而AB1,0.故选：A.z2.若1i，则z（）z1A.1iB.1iC.1iD.1i【答案】C【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.第5页/共26页学科网（北京）股份有限公司,zz1111【详解】因为11i，所以z11i.z1z1z1i故选：C.3.已知向量a(0,1),b(2,x)，若b(b4a)，则x（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.【详解】因为bb4a，所以bb4a0，22所以b4ab0即4x4x0，故x2，故选：D.4.已知cos()m,tantan2，则cos()（）mmA.3mB.C.D.3m33【答案】A【解析】【分析】根据两角和的余弦可求coscos,sinsin的关系，结合tantan的值可求前者，故可求cos的值.【详解】因为cosm，所以coscossinsinm，而tantan2，所以sinsin2coscos，故coscos2coscosm即coscosm，从而sinsin2m，故cos3m，故选：A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.23πB.33πC.63πD.93π【答案】B【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥的体第6页/共26页学科网（北京）股份有限公司,积.【详解】设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为r23，而它们的侧面积相等，所以2πr3πr3r2即233r2，1故r3，故圆锥的体积为π9333π.3故选：B.2x2axa,x06.已知函数为f(x)，在R上单调递增，则a取值的范围是（）xeln(x1),x0A.(,0]B.[1,0]C.[1,1]D.[0,)【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.x【详解】因为fx在R上单调递增，且x0时，fxelnx1单调递增，2a0则需满足21，解得1a0，0aeln1即a的范围是[1,0].故选：B.7.当xÎ[0,2]时，曲线ysinx与y2sin3x的交点个数为（）6A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数ysinx的的最小正周期为T2π，π2π函数y2sin3x的最小正周期为T，63π所以在x0,2π上函数y2sin3x有三个周期的图象，6在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：第7页/共26页学科网（北京）股份有限公司,由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为f(x)的定义域为R，f(x)f(x1)f(x2)，且当x3时f(x)x，则下列结论中一定正确的是（）A.f(10)100B.f(20)1000C.f(10)1000D.f(20)10000【答案】B【解析】【分析】代入得到f(1)1,f(2)2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当x3时f(x)x，所以f(1)1,f(2)2，又因为f(x)f(x1)f(x2)，则f(3)f(2)f(1)3,f(4)f(3)f(2)5，f(5)f(4)f(3)8,f(6)f(5)f(4)13,f(7)f(6)f(5)21，f(8)f(7)f(6)34,f(9)f(8)f(7)55,f(10)f(9)f(8)89，f(11)f(10)f(9)144,f(12)f(11)f(10)233,f(13)f(12)f(11)377f(14)f(13)f(12)610,f(15)f(14)f(13)987，f(16)f(15)f(14)15971000，则依次下去可知f(20)1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)1,f(2)2，再利用题目所给的函数性质f(x)f(x1)f(x2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.第8页/共26页学科网（北京）股份有限公司,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本2N1.8,0.12，假设推动均值x2.1，样本方差s0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布22出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,s，则（）（若随机变量Z服从正态分布Nu,，P(Zu)0.8413）A.P(X2)0.2B.P(X2)0.5C.P(Y2)0.5D.P(Y2)0.8【答案】BC【解析】【分析】根据正态分布的3原则以及正态分布的对称性即可解出.2【详解】依题可知，x2.1,s0.01，所以YN2.1,0.1，故PY2PY2.10.1PY2.10.10.84130.5，C正确，D错误；因为XN1.8,0.1，所以PX2PX1.820.1，因为PX1.80.10.8413，所以PX1.80.110.84130.15870.2，而PX2PX1.820.1PX1.80.10.2，B正确，A错误，故选：BC．210.设函数f(x)(x1)(x4)，则（）2A.x3是f(x)的极小值点B.当0x1时，f(x)fxC.当1x2时，4f(2x1)0D.当1x0时，f(2x)f(x)【答案】ACD【解析】【分析】求出函数fx的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数fx在1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.第9页/共26页学科网（北京）股份有限公司,2【详解】对A，因为函数fx的定义域为R，而fx2x1x4x13x1x3，易知当x1,3时，fx0，当x,1或x3,时，fx0函数fx在,1上单调递增，在1,3上单调递减，在3,上单调递增，故x3是函数fx的极小值点，正确；xx2x1x0，所以2对B，当0x1时，1xx0，2而由上可知，函数fx在0,1上单调递增，所以fxfx，错误；对C，当1x2时，12x13，而由上可知，函数fx在1,3上单调递减，所以f1f2x1f3，即4f2x10，正确；222对D，当1x0时，f(2x)f(x)1x2xx1x4x122x0，所以f(2x)f(x)，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于2，到点F(2,0)的距离与到定直线xa(a0)的距离之积为4，则（）A.a2B.点(22,0)在C上4C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x0,y0在C上时，y0x20【答案】ABD【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.22【详解】对于A：设曲线上的动点Px,y，则x2且x2yxa4，第10页/共26页学科网（北京）股份有限公司,22因为曲线过坐标原点，故0200a4，解得a2，故A正确.22对于B：又曲线方程为x2yx24，而x2，22故x2yx24.2当x22,y0时，222222844，故22,0在曲线上，故B正确.21623对于C：由曲线的方程可得y2x2，取x，x2226416416452562452则y，而10，故此时y1，494494494494故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.216216对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y02x022，x02x0244故y0，故D正确.x2x200故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.22xy12.设双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，Bab两点，若|F1A|13,|AB|10，则C的离心率为___________．3【答案】2【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.22xy【详解】由题可知A,B,F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将xc代入122ab2b2b222b2bb得y，即Ac,,Bc,，故AB10，AF5，2aaaaa第11页/共26页学科网（北京）股份有限公司,2b2又AF1AF22a，得AF1AF22a2a513，解得a4，代入5得b20，a222c63故cab36,，即c6，所以e.a423故答案为：2x13.若曲线yex在点0,1处的切线也是曲线yln(x1)a的切线，则a__________.【答案】ln2【解析】x【分析】先求出曲线yex在0,1的切线方程，再设曲线ylnx1a的切点为x0,lnx01a，求出y，利用公切线斜率相等求出x0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.xx0，【详解】由yex得ye1，y|x0e12x故曲线yex在0,1处的切线方程为y2x1；1由ylnx1a得y，x1设切线与曲线ylnx1a相切的切点为x0,lnx01a，1111由两曲线有公切线得y2，解得x，则切点为,aln，0x0122211切线方程为y2xaln2x1aln2，22根据两切线重合,所以aln20，解得aln2.故答案为：ln214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选第12页/共26页学科网（北京）股份有限公司,一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.1【答案】##0.52【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1,X2,X3,X4，四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在633该轮获胜的概率PX1，所以EXk1,2,3,4.kk44884433从而EXEX1X2X3X4EXk.k1k182记pkPXkk0,1,2,3.11如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以p04；A24411如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以p34.A2443而X的所有可能取值是0，1，2，3，故p0p1p2p31，p12p23p3EX.2113111所以pp1，p2p，两式相减即得p，故pp.1212223128224221所以甲的总得分不小于2的概率为pp.2321故答案为：.2【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC2cosB，222abc2ab（1）求B；（2）若ABC的面积为33，求c．π【答案】（1）B3（2）22第13页/共26页学科网（北京）股份有限公司,【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC，最后结合已知sinC2cosB得cosB的值即可；（2）首先求出A,B,C，然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有222222abc2abcosC，对比已知abc2ab，222abc2ab2可得cosC，2ab2ab2因为C0,π，所以sinC0，2222从而sinC1cosC1，221又因为sinC2cosB，即cosB，2注意到B0,π，π所以B.3【小问2详解】π2πππ5π由（1）可得B，cosC，C0,π，从而C，Aπ，32434125πππ232162而sinAsinsin，124622224abc由正弦定理有5πππ，sinsinsin1234623136从而a2cc,b2cc，4222由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为113162332SabsinCccc，ABC222228第14页/共26页学科网（北京）股份有限公司,332由已知ABC的面积为33，可得c33，8所以c22.322xy16.已知A(0,3)和P3,为椭圆C:1(ab0)上两点.222ab（1）求C的离心率;（2）若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．1【答案】（1）2（2）直线l的方程为3x2y60或x2y0.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于a,b的方程，解出即可；（2）方法一：以AP为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线l的方程；方法二：同法一得到点B到直线AP的距离，再设Bx0,y0，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B到直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线ykx3，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜率3不存在的情况，再设PB:yk(x3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设21线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可.2【小问1详解】b3b299由题意得，解得，9421a1222ab2b91所以e11.2a122【小问2详解】331法一：21，则直线AP的方程为yx3，即x2y60，kAP2032第15页/共26页学科网（北京）股份有限公司,2222335xyAP033，由（1）知C:1，2212929125d设点B到直线AP的距离为d，则355，2125则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移单位即可，5此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x2yC0，C6125则，解得C6或C18，5522xyx31x0当C6时，联立129，解得或3，x2y60y3y23即B0,3或3,，233当B0,3时，此时k，直线l的方程为yx3，即3x2y60，l22311当B3,时，此时k，直线l的方程为yx，即x2y0，l22222xy12当C18时，联立129得2y27y1170，x2y180227421172070，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x2y60或x2y0.法二：同法一得到直线AP的方程为x2y60，125点B到直线AP的距离d，5x2y612500x30x0550设Bx0,y0，则，解得3或，x2y2yy0300102129第16页/共26页学科网（北京）股份有限公司,3即B0,3或3,，以下同法一.2法三：同法一得到直线AP的方程为x2y60，125点B到直线AP的距离d，523cos6sin6125设B23cos,3sin，其中0,2，则有，553cos2cos022联立cossin1，解得或，1sin1sin23即B0,3或3,，以下同法一；2法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,3，133S639，符合题意，此时k，直线l的方程为yx3，即3x2y60，PABl222当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx3，ykx3221联立椭圆方程有x2y2，则4k3x24kx0，其中kkAP，即k，1212924k1解得x0或x，k0，k，24k322224k12k924k12k9令x2，则y2，则B2,24k34k34k34k3同法一得到直线AP的方程为x2y60，125点B到直线AP的距离d，5224k12k926322则4k34k3125，解得k=，255311此时B3,，则得到此时k，直线l的方程为yx，即x2y0，l222第17页/共26页学科网（北京）股份有限公司,综上直线l的方程为3x2y60或x2y0.3法五：当l的斜率不存在时，l:x3,B3,,PB3,A到PB距离d3，219此时S339不满足条件.ABP223当l的斜率存在时，设PB:yk(x3)，令Px1,y1,Bx2,y2，23yk(x3)22222，消y可得4k3x24k12kx36k36k270，22xy112921222kk，即Δ24k12k44k336k36k270，且APk，2224k12k2722x1x2243k13k9k4k32242,PBk1x1x24x1x22，36k36k274k3xx1224k332733k43k213k29k3kA到直线PB距离2142，d,S9PAB2k2124k3k211313k或，均满足题意，l:yx或yx3，即3x2y60或x2y0.22223法六：当l的斜率不存在时，l:x3,B3,,PB3,A到PB距离d3，219此时S339不满足条件.ABP223当直线l斜率存在时，设l:yk(x3)，23设l与y轴的交点为Q，令x0，则Q0,3k，23ykx3k2232联立2，则有34kx8k3kx36k36k270，3x24y2362223234kx8k3kx36k36k270，2第18页/共26页学科网（北京）股份有限公司,223221其中Δ8k3k434k36k36k270，且k，222236k36k2712k12k9则3x,x，B2B234k34k11312k1813则SAQxPxB3k29，解的k或k=，经代入判别式验证均满足题意.22234k2213则直线l为yx或yx3，即3x2y60或x2y0.2217.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PAAC2，BC1,AB3．（1）若ADPB，证明：AD//平面PBC；42（2）若ADDC，且二面角ACPD的正弦值为，求AD．7【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）先证出AD平面PAB，即可得ADAB，由勾股定理逆定理可得BCAB，从而AD//BC，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D作DEAC于E，再过点E作EFCP于F，连接DF，根据三垂线法可知，DFE即为二面角ACPD的平面角，即可求得tanDFE6，再分别用AD的长度表示出DE,EF，即可第19页/共26页学科网（北京）股份有限公司,解方程求出AD．【小问1详解】（1）因为PA平面ABCD，而AD平面ABCD，所以PAAD，又ADPB，PBPAP，PB,PA平面PAB，所以AD平面PAB，而AB平面PAB，所以ADAB.222因为BCABAC，所以BCAB，根据平面知识可知AD//BC，又AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD//平面PBC．【小问2详解】如图所示，过点D作DEAC于E，再过点E作EFCP于F，连接DF，因为PA平面ABCD，所以平面PAC平面ABCD，而平面PAC平面ABCDAC，所以DE平面PAC，又EFCP，所以CP平面DEF，根据二面角的定义可知，DFE即为二面角ACPD的平面角，42即sinDFE，即tanDFE6．722x4x因为ADDC，设ADx，则CD4x，由等面积法可得，DE，2222x4x4x24x又CE4x2，而EFC为等腰直角三角形，所以EF，42222x4x2故tanDFE6，解得x3，即AD3．24x22x318.已知函数f(x)lnaxb(x1)2x第20页/共26页学科网（北京）股份有限公司,（1）若b0，且f(x)0，求a的最小值；（2）证明：曲线yf(x)是中心对称图形；（3）若f(x)2当且仅当1x2，求b的取值范围．【答案】（1）22（2）证明见解析（3）b3【解析】【分析】（1）求出fx2a后根据f(x)0可求a的最小值；min（2）设Pm,n为yfx图象上任意一点，可证Pm,n关于1,a的对称点为Q2m,2an也在函数的图像上，从而可证对称性；2（3）根据题设可判断f12即a2，再根据f(x)2在1,2上恒成立可求得b.3【小问1详解】xb0时，fxlnax，其中x0,2，2x112则fxa,x0,2，x2xx2x22xx因为x2x1，当且仅当x1时等号成立，2故fx2a，而fx0成立，故a20即a2，min所以a的最小值为2.，【小问2详解】x3fxlnaxbx1的定义域为0,2，2x设Pm,n为yfx图象上任意一点，Pm,n关于1,a的对称点为Q2m,2an，m3因为Pm,n在yfx图象上，故nlnambm1，2m2m3m3而f2mlna2mb2m1lnambm12a，m2mn2a，第21页/共26页学科网（北京）股份有限公司,所以Q2m,2an也在yfx图象上，由P的任意性可得yfx图象为中心对称图形，且对称中心为1,a.【小问3详解】因为fx2当且仅当1x2，故x1为fx2的一个解，所以f12即a2，先考虑1x2时，fx2恒成立.x3此时fx2即为ln21xbx10在1,2上恒成立，2xt13设tx10,1，则ln2tbt0在0,1上恒成立，1tt13设gtln2tbt,t0,1，1t222t3bt23b则gt23bt2，221t1t2当b0，3bt23b3b23b20，故gt0恒成立，故gt在0,1上为增函数，故gtg00即fx2在1,2上恒成立.2b0时，2当3bt23b23b0，3故gt0恒成立，故gt在0,1上为增函数，故gtg00即fx2在1,2上恒成立.22当b，则当0t11时，gt033b2故在0,1上gt为减函数，故gtg00，不合题意，舍；3b2综上，fx2在1,2上恒成立时b.32而当b时，32而b时，由上述过程可得gt在0,1递增，故gt0的解为0,1，3即fx2的解为1,2.第22页/共26页学科网（北京）股份有限公司,2综上，b.3【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和ajij后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列．（1）写出所有的i,j，1ij6，使数列a1,a2,...,a6是i,j可分数列；（2）当m3时，证明：数列a1,a2,...,a4m2是2,13可分数列；（3）从1,2,...,4m2中一次任取两个数i和jij，记数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的概率为1P，证明：P．mm8【答案】（1）1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据i,j可分数列的定义即可；（2）根据i,j可分数列的定义即可验证结论；2（3）证明使得原数列是i,j可分数列的i,j至少有m1m个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列a1,a2,...,a4m2的公差为d，则d0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，aak1故我们可以对该数列进行适当的变形a1k1,2,...,4m2，kd得到新数列akkk1,2,...,4m2，然后对a1,a2,...,a4m2进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设akkk1,2,...,4m2，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和jij，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.第23页/共26页学科网（北京）股份有限公司,所以所有可能的i,j就是1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,4m2中取出2和13后，剩余的4m个数可以分为以下两个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②15,16,17,18,19,20,21,22,...,4m1,4m,4m1,4m2，共m3组.（如果m30，则忽略②）故数列1,2,...,4m2是2,13可分数列.【小问3详解】定义集合A4k1k0,1,2,...,m1,5,9,13,...,4m1，B4k2k0,1,2,...,m2,6,10,14,...,4m2.下面证明，对1ij4m2，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,4m2一定是i,j可分数列：命题1：iA,jB或iB,jA；命题2：ji3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果iA,jB，且ji3.此时设i4k11，j4k22，k1,k20,1,2,...,m.1则由ij可知4k114k22，即k2k1，故k2k1.4此时，由于从数列1,2,...,4m2中取出i4k11和j4k22后，剩余的4m个数可以分为以下三个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k13,4k12,4k11,4k1，共k1组；②4k12,4k13,4k14,4k15,4k16,4k17,4k18,4k19,...,4k22,4k21,4k2,4k21，共kk组；21③4k23,4k24,4k25,4k26,4k27,4k28,4k29,4k210,...,4m1,4m,4m1,4m2，共mk组.2第24页/共26页学科网（北京）股份有限公司,（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,4m2是i,j可分数列.第二种情况：如果iB,jA，且ji3.此时设i4k12，j4k21，k1,k20,1,2,...,m.1则由ij可知4k124k21，即k2k1，故k2k1.4由于ji3，故4k214k123，从而k2k11，这就意味着k2k12.此时，由于从数列1,2,...,4m2中取出i4k12和j4k21后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k13,4k12,4k11,4k1，共k1组；②4k11,3k1k21,2k12k21,k13k21，3k1k22,2k12k22,k13k22,4k22，共2组；③全体4k1p,3k1k2p,2k12k2p,k13k2p，其中p3,4,...,k2k1，共k2k12组；④4k23,4k24,4k25,4k26,4k27,4k28,4k29,4k210,...,4m1,4m,4m1,4m2，共mk组.2（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k2k12个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：4k13,4k14,...,3k1k2，3k1k23,3k1k24,...,2k12k2，2k12k23,2k12k23,...,k13k2，k13k23,k13k24,...,4k2.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍4k11,4k12,...,4k22中除开五个集合4k11,4k12，3k1k21,3k1k22，2k12k21,2k12k22，k13k21,k13k22，4k21,4k22中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的4k12和4k21以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m2是i,j可分数列.至此，我们证明了：对1ij4m2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m2一定第25页/共26页学科网（北京）股份有限公司,是i,j可分数列.然后我们来考虑这样的i,j的个数.2首先，由于AB，A和B各有m1个元素，故满足命题1的i,j总共有m1个；而如果ji3，假设iA,jB，则可设i4k11，j4k22，代入得4k224k113.1但这导致kk，矛盾，所以iB,jA.212设i4k12，j4k21，k1,k20,1,2,...,m，则4k214k123，即k2k11.所以可能的k1,k2恰好就是0,1,1,2,...,m1,m，对应的i,j分别是2,5,6,9,...,4m2,4m1，总共m个.2所以这m1个满足命题1的i,j中，不满足命题2的恰好有m个.2这就得到同时满足命题1和命题2的i,j的个数为m1m.当我们从1,2,...,4m2中一次任取两个数i和jij时，总的选取方式的个数等于4m24m12m14m1.22而根据之前的结论，使得数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的i,j至少有m1m个.所以数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的概率Pm一定满足21122mmm2m1mmm1421.Pm2m14m12m14m12m14m222m12m18这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.第26页/共26页学科网（北京）股份有限公司