2024年高三培优讲义——四大分布：二项分布，超几何分布，正态分布

专题8-4四大分布：二项分布、超几何分布与正态分布（13类题型）题型一两点分布题型二二项分布题型三建立二项分布模型解决问题题型四服从二项分布的随机变量概率最大问题题型五利用二项分布求分布列题型六二项分布之高尔顿钉板问题题型七超几何分布题型八超几何分布与二项分布题型九正态分布：正态曲线的对称性题型十正态分布的实际应用(选填)题型十一正态分布大题专练题型十二二项分布与正态分布题型十三超几何分布与正态分布1、两点分布（1）两步法判断一个分布是否为两点分布①看取值：随机变量只取两个值：0和1.②验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是（2）若随机变量X服从两点分布，即其分布列为1/29学科网（北京）股份有限公司 X01pP1−p其中01p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．其中PX(=1)称为成功概率．注意：两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；两点分布又称01−分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、二项分布定义一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，不kknk−发生的概率qp=−1，那么事件A恰好发生k次的概率是PX(==k)Cnpq（k=0，1，2，…，n）于是得到X的分布列X01…k…n00n11n−1kknk−nn0PCnpqCnpq…Cnpq…Cnpq由于表中第二行恰好是二项式展开式n00n11n−−1kknknn0(q+p)=Cnpq+Cnpq++Cnpq++Cnpq各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～Bn()，p，并称p为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．1.独立重复试验的特点①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．2.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))①的取值为0，1，2，…，n；②P(X＝k)＝Ckk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概率)．np2/29学科网（北京）股份有限公司 注意：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．3.二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．4.二项分布的期望、方差若X～Bnp(),，则EX()=np，DX()=np(1−p)．3、超几何分布（1）本质：超几何分布的模型是不放回抽样，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．（2）超几何分布中的参数是M，N，n；（3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成.4、正态分布一、正态曲线2()x−1−21、定义：我们把函数()x=e2，x−()，+（其中是样本均值，是样本标准差）的图,2象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2、正态曲线的性质（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x=对称；1（3）曲线在x=处达到峰值（最大值）；2（4）曲线与x轴之间的面积为1；3/29学科网（北京）股份有限公司 （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示：（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：甲乙二、正态分布1、定义b随机变量X落在区间(]ab，的概率为P()aXb=,()dxx，即由正态曲线，过点(a，0)和点(b，0)的a两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X落在区间(]ab，的概率的近似值．b一般地，如果对于任何实数a，ba()b，随机变量X满足P()aXb=,()dxx，则称随机变量X服a2从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作N()，．如果随机变量X服从正态2分布，则记为XN()，．其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2、3原则+a2若XN()，，则对于任意的实数a0，P()−aX+a=,()dxx为下图中阴影部分的面积，−a对于固定的和a而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，X落在区间(−+aa,]的概率越大，4/29学科网（北京）股份有限公司 即X集中在周围的概率越大特别地，有PX(−+)=0.6826；PX(−2+2)=0.9544；PX(−3+3)=0.9974．由PX(−3+3)=0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(−+3，3)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用2中，通常认为服从于正态分布N()，的随机变量X只取(−+3，3)之间的值，并简称之为3原则．2正态分布在四个特殊区间内取值的概率若XN~（，）则（1）PX（）=PX（）=50%；（2）PX（−）=Pu（−X+）68.3%；（3）PX（−2）=Pu（−2X+2）95.4%；（4）PX（−3）=Pu（−3X+3）99.7%.三、超几何分布与二项分布的区别∶（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.5/29学科网（北京）股份有限公司 重点题型·归类精练题型一两点分布1．设随机变量X服从两点分布，若PX(=1)−PX(=0)=0.4，则EX()=（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.72．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且PX(=0)=−34PX(=1)=a，则a=（）2111A．B．C．D．323413．已知随机变量