数学-2024年高考终极押题猜想

2024年高考数学终极押题猜想（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用.........................................................1押题猜想二导数中的零点问题................................................................................................................................2押题猜想三三角恒等变换求值问题........................................................................................................................4押题猜想四解三角形中的范围与最值问题...........................................................................................................5押题猜想五外接球、内切球、棱切球...................................................................................................................7押题猜想六立体几何中的不规则图形...................................................................................................................8押题猜想七条件概率背景下概率与实际生活密切联系.....................................................................................11押题猜想八圆锥曲线的离心率..............................................................................................................................16押题猜想九圆锥曲线中的面积问题.....................................................................................................................18押题猜想十数列新定义..........................................................................................................................................21押题猜想一函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用已知函数fx的定义域为R，对于任意实数x，y满足fxyfxy2fx1fy，且f02，则下列结论错误的是（）A．f11B．fx为偶函数1C．fx是周期函数D．f10512押题解读从近五年的高考情况来看，本部分多以选择题的压轴题呈现，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想、数形结合思想和通过合理的赋值解决，抽象函数问题是今年高考的热点之一.2x112xππ1．已知函数fxeesinx1，则不等式f2x1f2x2的解集为（）24A．,2B．2,C．2,2D．2,x2．（多选题）已知函数yxfx1为偶函数，且f1xfx3，当x0,1时，fx22，则（）A．fx的图象关于点1,0对称B．fx的图象关于直线x2对称学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 C．fx的最小正周期为2D．f1f2f3013．（多选题）已知定义城为R的函数fx．满足fxyfxfyf1xf1y，且f00，f10，则（）A．f10B．fx是偶函数202422C．fxf1x1D．fi1i4．（多选题）已知定义在R上的函数fx,gx的导函数分别为fx,gx，且fxf4x，f1xgx4,fxg1x0，则（）A．gx关于直线x1对称B．g31C．fx的周期为4D．fngn0nZ315．（多选题）已知函数f(x)的定义域为R，且xR，都有f(3x)f(1x)0，fxfx，2273f(5)2，f，当x[1,0]时，f(x)ax2bx，则下列说法正确的是（）24A．函数f(x)的图象关于点(2,0)对称B．f(1)2C．f(2023)f(2024)f(2025)2D．函数f(x)与函数y|ln|x||的图象有8个不同的公共点押题猜想二导数中的零点问题3a已知函数fxxlnx，gxx．2x(1)若fx与gx的图象有且仅有两个不同的交点，求实数a的取值范围；(2)若hxxfxgx，hx是hx的导函数，方程hxm有两个不相等的实数解x，x，求证：12xx2．12押题解读本部分多以解答题呈现，导数压轴题以零点问题为主，重点关注由函数的零点生成的各类问题（结合不等式、双变量问题、恒成立与有解问题、极值点偏移问题等）的求解思路，本质是如何构造函数以及变形函数求解难题，导数中的零点问题与不等式结合是今年高考的热点之一1．已知b0，函数fxxalnxb的图象在点1,f1处的切线方程为xln2yln20. (1)求a，b的值;111(2)若方程fx（e为自然对数的底数）有两个实数根x1,x2，且x1x2，证明：x2x11eeeln2ax12．已知函数f(x)e．x(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；2(2)设g(x)f(x)x，求函数g(x)的极大值；(3)若ae，求函数f(x)的零点个数．x3．已知函数fx1axeaR.(1)讨论fx的单调性；(2)若关于x的不等式fxa1x无整数解，求a的取值范围.x4．已知函数fxe2xcosx.(1)讨论函数gxfxcosx的单调性；π(2)求函数fx在,上的零点个数.25．已知函数fx3lnxax．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 (1)讨论fx的单调性．(2)已知x1,x2是函数fx的两个零点x1x2．（ⅰ）求实数a的取值范围．1（ⅱ）0,,fx是fx的导函数．证明：fx11x20．2押题猜想三三角恒等变换求值问题πsin2π己知,0,，2tan2，则cos2（）2sinsin33311A．B．C．D．2222押题解读在近几年的高考中，本部分多以选择题或者填空题形式呈现，三角恒等变换是三角函数部分考查频率最高的一个知识点，考查题目灵活多变。在学习时，公式特别多，难度非常大，学好的首要条件是熟练掌握三角函数诱导公式，然后主要是理解掌握两角差的余弦公式的推导过程，进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”，因此三角恒等变换求值问题是今年高考的热点之一.1tan1902cos701．（）1tan370sin40A．tan20B．tan70C．tan10D．tan4012cos2．已知tan，则cos2（）cossin7788A．B．C．D．9999π2ππ3π3．已知x,，sinx，则tan2x（）63656247724A．B．C．D．724247 π514．已知,0,，cos，tantan，则（）264πππ2πA．B．C．D．3463sinAcosAπ5．在ABC中，已知nsinC,ncosC．若tanA3，则n（）sinBcosB4A．无解B．2C．3D．4ππ5πcos226．已知,,tan24tan，则（）2424sinsin2713199A．B．C．D．85248押题猜想四解三角形中的范围与最值问题记锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinBsinCcos2C1cos2Acos2B.(1)证明：BC2A；c(2)求的取值范围.b押题解读本部分多以解答题或者填空题呈现，解三角形问题是高考高频考点，命题多位于解答题第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”、“角转边”．解决“最值与范围问题”的基本方法：①利用正弦定理，边转角，转化为关于角的三角函数．②利用余弦定理，角转边，转化为关于边的函数，通过代入消元或基本不等式求解最值．③若条件中包含“锐角三角形”，则一般转角．④通过画图寻找思路，以及检查结果．1．在ABC中，D为BC边上一点，DCCA1，且ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB2AD，求AB的长；sinADB(2)求的取值范围．sinB学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 22asinAsinC2．已知锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a8，1，且ac．2csinB(1)求证：B2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM∠CBM，求BM的取值范围．3．ABC中，D为BC边的中点，AD1.2π(1)若ABC的面积为23，且ADC，求sinC的值；3(2)若BC4，求cosBAC的取值范围．4．已知平面四边形ABCD中，AC180,BC3.(1)若AB6,AD3,CD4，求BD；93(2)若ABC120,ABC的面积为，求四边形ABCD周长的取值范围.22AC5．ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB23cos.2(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围. 押题猜想五外接球、内切球、棱切球已知体积为36的球O与正四面体P1A1B1C1的四个面均相切，且与正四面体P2A2B2C2的六条棱均相切，则正四面体P1A1B1C1与P2A2B2C2的表面积的比值为（）A．6B．23C．3D．3押题解读纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．1．（多选题）在三棱锥PABC中，ABC与△PAC是全等的等腰直角三角形，平面PAC平面ABC,AC2,D为线段AC的中点．过点D作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（）A．πB．2πC．4πD．5π2．（多选题）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式SF6）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体EABCDF的（如图2）棱长为2，则（）8πA．正八面体EABCDF的内切球表面积为38πB．正八面体EABCDF的外接球体积为3C．若点P为棱EB上的动点，则APCP的最小值为2322D．若点Q为棱AF上的动点，则三棱锥EQBC的体积为定值33．在四面体ABCD中，BC2,ABCBCD90，且AB与CD所成的角为60.若四面体ABCD的体积为43，则它的外接球半径的最小值为.4．如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球为球O，E，F分别是棱AD，BB1的中点，G在棱学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 AB上移动，则（）A．对于任意点G，OD//平面EFGB．直线EF被球O截得的弦长为3πC．过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为2D．当G为AB的中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面的面积为235．在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB4,A1B12,AA13，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB,BC,CD,DA均相切，则球O的表面积为（）A．9πB．16πC．25πD．36π押题猜想六立体几何中的不规则图形如图，在菱形ABCD中，AB4,ABC120,E，F分别为CD,DA的中点，将DEF沿EF折起，使点D到达点P的位置，且BP22．(1)证明：BP平面PEF．(2)若Q为线段BC上的一点，求PQ与平面PBF所成角的正弦值的最大值．押题解读本部分多以解答题呈现，立体几何中的不规则图形问题是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程．高考中，立体几何中的不规则图形常与空间中的平行、垂直、空间角及距离相结合命题．因此，关注立体几何中的不规则图形问题是非常有必要的，也是今年高考的热点之一. 1．在菱形ABCD中，AB2,BAD60，以AB为轴将菱形ABCD翻折到菱形ABC1D1，使得平面ABC1D1平面ABCD，点E为边BC1的中点，连接CE,DD1.(1)求证：CE平面ADD1；(2)求直线CE与平面BDD1所成角的正弦值.2．如图，在圆台O1O中，A1ABB1为轴截面，AB2A1B14,A1AB60,C为下底面圆周上一点，F为下底面圆O内一点，A1E垂直下底面圆O于点E,COFEFO.(1)求证：平面O1OC//平面A1EF；(2)若△EFO为等边三角形，求平面A1EF和平面A1OC的交线l与平面A1CF所成角的正弦值.3．如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2，B1BC=60，O为BC中点，D为A1C与AC1交点．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 (1)证明：CD//平面AOB1；(2)证明：平面BCD平面AB1C1；213(3)若直线DB1与平面AOB1所成角的正弦值为，求二面角A1CB1C1的平面角的余弦值．134．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，AA1A1B．(1)求证：三棱锥A1ABC是正三棱锥；(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为22，求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值．5．如图1是由两个三角形组成的图形，其中APC90，PAC30，AC2AB，BCA30．将三角形ABC沿AC折起，使得平面PAC平面ABC，如图2．设O是AC的中点，D是AP的中点． (1)求直线BD与平面PAC所成角的大小；(2)连接PB，设平面DBO与平面PBC的交线为直线l，判别l与PC的位置关系，并说明理由．押题猜想七条件概率背景下概率与实际生活密切联系流感病毒是一种RNA病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：甲流病毒预防药品合计感染未感染未使用242145使用163955合计4060100(1)根据0.05的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性；(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为X，求X的分布列与数学期望．22n(adbc)附：,nabcd．(ab)(cd)(ac)(bd)学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 0.0500.0100.001x3.8416.63510.828押题解读回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题，是高考常用的考查形式．1．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：mg）5457606366件数（单位：件）52146253XN,2，其中2(1)求样本质量差的平均数x；假设零件的质量差16，用x作为的近似值，求P56X68的值；3(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品4率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i）求抽取的零件为废品的概率；（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.2参考数据：若随机变量XN,，则PX0.6827,P2X20.9545,P3X30.9973.2．2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85，2号生产线生产的产品优 品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引进3号生产线后，1，2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.(1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，从乙企业购进设备，每台23000元.需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.3．甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概1率分别为p和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未3抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.1(1)若n3，p，求甲获胜的概率；2(2)若n20，设甲第i题的得分为随机变量Xi，一次比赛中得到Xi的一组观测值xii1,2,,20，如下表.现利用统计方法来估计p的值：n1①设随机变量XXi，若以观测值xii1,2,,20的均值x作为X的数学期望，请以此求出p的估计ni1值p；1②设随机变量Xi取到观测值xii1,2,,20的概率为Lp，即LpPX1x1,X2x2,,X20x20；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p的变化，用使得Lp达到最大时p的取值p作2为参数p的一个估计值.求p.2题目12345678910得分100﹣111﹣1000题目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一组观测值.附：若随机变量X，Y的期望EX，EY都存在，则EXYEXEY.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 4．为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为p1；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为p2.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.(1)若p10.8,p20.02.（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到0.001）；(2)若监测系统在监测识别中，当0.8p10.9时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求p2的范围（精确到0.001）.35.0435.012（参考数据：0.9866,0.9861,0.980.9604）66 5．入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况．日期t12345678910销售量y（千张）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.410101012经计算可得：yyi2.2，tiyi118.73，ti385．10i1i1i1(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；23(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B55套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn，求Pn；*(3)记（2）中所得概率Pn的值构成数列PnnN．①求Pn的最值；②数列收敛的定义：已知数列an，若对于任意给定的正数，总存在正整数N0，使得当nN0时，ana，（a是一个确定的实数），则称数列an收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列Pn收敛．nnxixyiyxiyinxybˆi1i1参考公式：nn，aˆybˆx．222xixxinxi1i1学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 6．某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；②依据以上分析，求随机变量X的数学期望的最大值.押题猜想八圆锥曲线的离心率22xy如图，已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F，点P是双曲线C的渐近线上的一点，点22abM是双曲线C左支上的一点.若四边形OFPM是一个平行四边形，且OMOP，则双曲线C的离心率是（）A．3B．2C．5D．3押题解读圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点．因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考查考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考查数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养，灵活多变，综合性强．求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等，是高考常用的考查形式．双曲线的离心率是今年高考的热点之一. 22xy1．已知F1，F2分别是双曲线E:221a0,b0的左、右焦点．若双曲线右支上存在一点P，使abPF1PF25，则双曲线E的离心率的取值范围为（）PFPF221A．1,5B．1,3C．5,D．3,22xy2．已知点A，B，C都在双曲线：1a0,b0上，且点A，B关于原点对称，CAB90.过22abA作垂直于x轴的直线分别交，BC于点M，N.若AN3AM，则双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2D．2322xy3．已知双曲线C:221(a0,b0)的左，右顶点分别为A1,A2,P是双曲线上不同于A1，A2的一点，设直aba线A1P,A2P的斜率分别为k1,k2，则当lnk1k2取得最小值时，双曲线C的离心率为（）b5A．B．2C．3D．2222xy4．已知F1，F2分别为双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C左支相交于A，abB两点，若sinAF1F22sinAF2F1，sinBF1F23sinBF2F1，则双曲线C的离心率为（）21A．5B．3C．D．2322xy15．已知椭圆C:1(ab0)，直线l:yxa与椭圆C交于A,B两点（B点在A点上方），O为22ab2坐标原点，以O为圆心，OB为半径的圆在点B处的切线与x轴交于点D，若BDABAD，则C的离心率的最大值为（）1123A．B．C．D．3222学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 押题猜想九圆锥曲线中的面积问题2某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线Γ:y8x进行了深人研究．已知点Px0，y0在曲线Γ上，曲线Γ在点P处的切线方程为y0y4x4x0．请同学们研究以下问题，并作答．(1)问题1：过曲线Γ的焦点F的直线与曲线Γ交于A,B两点，点A在第一象限．（i）求AOB（O为坐标原点）面积的最小值；（ii）曲线Γ在点A，B处的切线分别为l1，l2，两直线l1，l2相交于点M，证明MFAB．(2)问题2：若A，B是曲线Γ上任意两点，过AB的中点N作x轴的平行线交曲线Γ于点C，记线段AB与曲S的面积C线Γ围成的封闭区域为SC，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出SABC这个定值．押题解读本部分多以解答题呈现，圆锥曲线面积问题的题目思路会比较顺畅，重点会在计算上面设置障碍，要利用几何关系转换所求的面积，复习过程中要关注如何简化计算和转化思想．抛物线的面积问题是今年高考的热点之一.22xy1．已知椭圆C：221ab0短轴长为2，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交ab 于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，MPPF1，NQQF1，直线PF2与直线MO交于点G1，直线QF2与直线NO交于点G2．11(1)若G1的坐标为,，求椭圆C的方程；36(2)在（1）的条件下，过点F2并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足F2A，F2B，FD成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；2(3)若4SMNG23SNF1G15SMNG2，求实数a的取值范围．2x222．如图，已知椭圆C1:y1和抛物线C2:x2pyp0，C2的焦点F是C1的上顶点，过F的直线4交C2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两点，连接AB，设OMN、OAB的面积分别为S△OMN、SOAB．(1)求p的值；(2)求OMON的值；SOMN(3)求的取值范围.SOAB22xy33．已知椭圆：1ab0的上顶点为A0,1，离心率e，过点P2,1的直线l与椭圆交22ab2于B，C两点，直线AB、AC分别与x轴交于点M、N.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 (1)求椭圆的方程；(2)已知命题“对任意直线l，线段MN的中点为定点”为真命题，求AMN的重心坐标；(3)是否存在直线l，使得S△AMN2S△ABC？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.（其中SAMN、SABC分别表示AMN、ABC的面积）24．已知O为坐标原点，抛物线C:y2pxp0，过点G1,0的直线交抛物线于A，B两点，OAOB1．(1)求抛物线C的方程；(2)若点D1,0，连接AD，BD，证明：ADBGBDAG；(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求AMN面积的最小值．22xy5．已知双曲线C:1(a0,b0)的虚轴长为4，渐近线方程为y2x.22ab(1)求双曲线C的标准方程；(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的左､右两支分别交于点A,B，点M是线段AB的中点，过点F且与l垂直的直线l交直线OM于点P，点Q满足PQPAPB，求四边形PAQB面积的最小值. 押题猜想十数列新定义*定义：若对kN,k2,ak1ak12ak恒成立，则称数列an为“上凸数列”．2(1)若an1，判断an是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．n*(2)若an为“上凸数列”，则当mn2m,nN时，amanam1an1．n（ⅰ）若数列Sn为an的前n项和，证明：Sna1an；22nn（ⅱ）对于任意正整数序列x,x,x,,x,,x（n为常数且n2,nN*），若x21x1恒123iniii1i1成立，求的最小值．押题解读继九省联考结束后，各省相继发布高考新命题结构通知，往年的新高考没出现这类题型，由于题型上的变动较大，所以都会引起大部分考生的焦虑心态．回顾往年高考历程，创新题北京卷几乎每年都考，其它地区每年都有，但不是“跳板式”的新，而是循序渐进式的新，因为高考出题非常重视高考卷的区分度，因此在最后的备考阶段要踏踏实实地总结复习，多做、多想、多悟真题．本部分多以解答题压轴题形式呈现，数列新定义是今年高考的热点之一*221．已知d为非零常数，an0，若对nN,an1and，则称数列an为D数列．(1)证明：D数列是递增数列，但不是等比数列；d(2)设bnan1an，若an为D数列，证明：bn；4n3n1(3)若a为D数列，证明：nN*，使得2024．ni1ai学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 2．已知数列A:a1,a2,,aN(N3)的各项均为正整数，设集合Tx∣xajai，1ijN}，记T的元素个数为P(T).(1)若数列A:1，3，5，7，求集合T，并写出P(T)的值;(2)若A是递减数列，求证:“P(T)N1”的充要条件是“A为等差数列”;N(N1)2N(3)已知数列A:2,2,,2，求证:P(T).2*3．a,b表示正整数a，b的最大公约数，若x1,x2,,xk1,2,,mk,mN，且xx1,x2,,xk，x,m1，则将k的最大值记为m，例如：11，54.(1)求2，3，6；(2)已知m,n1时，mnmn.n（i）求6；16（ii）设bnn，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn.361254．在n个数码1,2,,nnN,n2构成的一个排列j1j2jn中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如j2j5，则j2与j5构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为Tj1j2jn，例如，T3122，(1)计算T(51243)；(2)设数列an满足an1anT51243T3412,a12，求an的通项公式；111(3)设排列j1j2jnnN,n2满足jin1ii1,2,,n,bnT1jj2jn,Sn，求Sn，bbb23n1 **5．若数列xn满足：存在等差数列cn，使得集合xnc∣nnN元素的个数为不大于kkN，则称数列xn具有Qk性质.nπnπ*nπ(1)已知数列an满足a12，an1an2cossinnN.求证：数列ancos是等差数列，且222数列an有Q3性质；(2)若数列an有Qk1性质，数列bn有Qk2性质，证明：数列anbn有Qk1k2性质；(3)记T为数列f的前n项和，若数列T具有Qk性质，是否存在mN*，使得数列fn具有Qm性nnn质？说明理由.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司