8.3 简单几何体的表面积与体积（分层练习）（解析版）

第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积精选练习基础篇1．将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为______.π【答案】6【分析】求出正方体的内切球的半径后可求体积【详解】将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球为原正方体的内切球，4π故其半径为，故体积为×π×=.23862．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）A．6πB．62πC．63πD．64π【答案】A【分析】先求得圆台的高，然后根据圆台的体积公式求得正确答案.【详解】求得直径为0，半径为5，圆台的下底面半径为5，∴圆台的高为52−42=3，22∴圆台的体积为π×4+4×5+5×3=6π.3故选：A3．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（）A．8B．6C．4D．3【答案】B【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.【详解】如图所示，原长方体ABCD−ABCD，设矩形BCCB的面积为S，CD=，鳖臑D−BCC的体积为，即×S×=，∴S=6，即原长方体的体积是6.324．一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（）256π32πA．B．32πC．6πD．33 【答案】A【分析】根据球半径，球心距与底面圆半径构成直角三角形求解.【详解】从图得半径OA=；又∵球心到这个平面的距离为3，即OO=3∴球半径OA=OO2+OA2=4；∴该球的体积为：4π×43=256π，故选：A335．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）56282A．20+23B．282C．D．33【答案】D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，∵该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，∴该棱台的高=22−(22−2)2=2，下底面面积S=6，上底面面积S2=4，28∴该棱台的体积V=(S+S2+SS2)=×2×(6+4+64)=2.故选：D.3336．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为______．8【答案】π3【分析】根据圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题意可知麦门冬的体积为两个底面直径为2，高为4的圆锥的体积之和，28故该麦门冬的体积V=×π××4×2=π337．古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆3柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）．现有球与圆柱22的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱2又是球的内接圆柱，设球，圆柱2的表面积分别为2，体积分别为2，则2=__________；2=_________．【答案】43423【分析】设相关的量，利用题所给的条件进行分析计算即可.【详解】设球O的半径为r，体积为V3，表面积为S3， 则圆柱OO的底面半径为r，高为2r，球O半径为2r，233由阿基米德得出的结论V2=V3S2=S3，22又球O与球O的半径比为2，∴V=22VS=2S，∴SS=43VV=423.33228．如图，在棱长为2的正方体正方体−正方体中，E是侧面正正方方内的一个动点，则三棱锥体−体的体积为_________.4【答案】3【分析】根据三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】点E到平面ADD的距离为2，4∴VD−AED=VE−ADD=3S△ADD⋅2=3×2×2×2×2=3.9.如图，正方体正方体−正方体的棱长为，连接方，体，正，正体，正方，方体，得到一个三棱锥．则三棱锥−正方体的体积是_________．a3【答案】3【分析】利用正方体的体积减去三棱锥A−ABD，C−BCD，D−ADC，B−ABC的体积即可.【详解】三棱锥A−ABD，C−BCD，D−ADC，B−ABC是完全一样的．332a3且正方体的体积为V=a，故VA−BCD=V−4VA−ABD=a−4××a×a=．32310．如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的体积及表面积．【答案】体积V＝3π；表面积2+3π．【解析】由已知计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积和体积公式【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为，圆锥的高＝42−22=23，r23−3∵＝3，∴＝，则==，∴r＝．22232∴圆柱的体积V＝πr2=3π；表面积S=2πr2+2πr=2+3π．提升篇1．边长为2的正方形正方体绕正方旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为___________.【答案】6π【分析】圆柱的底面半径r=2，母线长l=2，代入公式求值即可.【详解】该圆柱的底面半径r=2，母线长l=2，∴该圆柱体的表面积为S=2πr2+2πrl=2π⋅22+2π⋅2⋅2=6π.故答案为：6π. 2．（多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为4π2B．圆锥的侧面积为5π2C．圆柱的侧面积与球面面积相等D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为4πR2，圆柱的侧面积为2π×R×2R=4πR2，∴AC选项正确．圆锥的侧面积为π×R×R2+2R2=5πR2，∴B选项正确．圆锥的表面积为πR2+5πR2=+5πR2<4πR2，圆柱的表面积为4πR2+2πR2=6πR2，∴D选项不正确．故选：ABC3．三棱锥−正方中，已知正方两两垂直，且=正=方=2，则三棱锥−正方的外接球的表面积为___________.【答案】9π【分析】将三棱锥P−ABC放在长方体中，则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，即可求解.【详解】以线段PAPBPC为相邻的三条棱为长方体，连接AB,BC,AC,即为三棱锥P−ABC，∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为R，2=PA2+PB2+PC2=2+22+22=9,解得R=3则(2R),229则S=4πR=4π×=9π.44．已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且正方=正体=2正=22，则当三棱锥−正方体体积最大时，其外接球的表面积为______．【答案】8π【分析】由题可得当BA、BC、BD两两垂直时，三棱锥的体积最大，将三棱锥补形为一个长宽高分别为22，22，2的长方体，即得.【详解】当BA、BC、BD两两垂直时，如图三棱锥A−BCD的底面△BCD的面积和高同时取得最大值，则三棱锥的体积最大， 此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为22，22，2的长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，22282球的半径r=22+2+22=，表面积为4πr=8π．225．（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧体方所在圆的半径分别是3和9，且正方=20，则该圆台的（）502A．高为42B．体积为3C．表面积为34D．上底面积､下底面积和侧面积之比为922【答案】AC【分析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，求出r=R=3，即可判断选项A正确；利用公式计算即可判断选项BCD的真假得解.【详解】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr=×2π×32πR=×2π×9，33解得r=R=3．圆台的母线长l=6，圆台的高为=62−(3−)2=42，则选项A正确；22522圆台的体积=π×42×3+3×+=π，则选项B错误；33圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为π+3×6=24π，则圆台的表面积为π+9π+24π=34π，则C正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为924，则选项D错误．故选：AC．6．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一2个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面32积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是24，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最3多可以注入的水的体积为______．6π【答案】3【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径 和高，利用圆柱和球的体积差，求出水的体积即可.22【详解】设球的半径为r，由题意得球的表面积为4πr=×24π，3∴r=2，∴圆柱的底面半径为2，高为4，2436π∴最多可以注入的水的体积为π×2×4−π×2=．337.“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为32正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知正=，则该半正多面体2外接球的表面积为（）A．18πB．16πC．14πD．12π【答案】A【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心O，进而可求球的半径和表面积.【详解】如图，在正方体EFGH−EFGH中，取正方体、正方形EFGH的中心O、O，连接EGOOOAOA，∵AB分别为EHHG的中点，则EG=2AB=32，32+OA232∴正方体的边长为EF=3，故OO=OA=2，可得OA=OO=2，根据对称性可知：点O到该半正多面体的顶点的距离相等，32则该半正多面体外接球的球心为O，半径R=OA=，22232故该半正多面体外接球的表面积为S=4πR=4π×=8π.2故选：A.8.（多选）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，=方=2，则下列结论正确的是（）A．圆锥SO的侧面积为428B．三棱锥−正方体积的最大值为3C．正的取值范围是43D．若正=正方，E为线段AB上的动点，则+方的最小值为2(3+)【答案】ABD【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断选项A；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断选项B；先用取极限的思想求出ASB的范围，再利用2SAB+ASB=π，求范围即可判断选项C；将△SAB以AB为 轴旋转到与△ABC共面，得到△SAB，则SE+CEmin=SC，利用已知条件求解即可判断选项D.【详解】在Rt△SOC中，SC=SO2+OC2=22，则圆锥的母线长l=22，半径r=OC=2，对于选项A：圆锥SO的侧面积为：πrl=42π，故选项A正确；对于选项B：当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC=×4×2=4，28则三棱锥S−ABC体积的最大值为：×S△ABC×SO=×4×2=，故选项B正确；333π对于选项C：当点B与点A重合时，ASB=0为最小角，当点B与点C重合时，ASB=，2π达到最大值，又∵B与AC不重合，则ASB∈0，2ππ又2SAB+ASB=π，可得SAB∈，故选项C不正确；42对于选项D：由AB=BCABC=90°AC=4，得AB=BC=22，又SA=SB=22，则△SAB为等边三角形，则SBA=60°，将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到△SAB，则△SAB为等边三角形，SBA=60°，如图，则SE+CEmin=SC，∵SB=BC=22SBC=SBA+ABC=50°，2SC2=SB2+BC2−2×SB×BC×cos50°=8+8+83=23+2则SE+CEmin=SC=23+，故选项D正确；故选：ABD.9.如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱正方−正方（棱柱各顶点均在半球面上），正=方棱柱侧面正正方方是一个长为4的正方形.(1)求挖掉的直三棱柱的体积；(2)求剩余几何体的表面积.【答案】(1)6；(2)24π+62−8【详解】（1）记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径，又BBCC是一个长为4的正方形，因此OE=AE=2，球半径为R=AO=AE2+OE2=22，挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC⋅BB=×4×2×4=6；22+EC2=22，S=S=22×4=82，S=×4×（2）由（1）知AC=AEACCAABBA△ABC22=4，SBCC=6，S半球表面积＝2π×(22)2+π×(22)2=24π，B∴剩余几何体表面积为S=S半球表面积－SBCCB+SAACC+SABBA+2S△ABC＝24π−6+2×82+2×4= 24π+62−8．10．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.9【答案】（1）3π；（2）π.8【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高OO=，OD=r，再由△AOD∼△AOB求出r的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：设OB=R，在半圆⊙A中，AB=23，弧长BB=23π，这是圆锥的底面周长，所以2πR=23π，所以R=3，故圆锥的底面积为S=πR2=3π；圆锥（2）设圆柱的高OO=，OD=r，在Rt△AOB中，AO=AB2−OB2=3，AOOD3−r∵△AOD∼△AOB，所以=，即=，=3−3r，AOOB3323233S=2πr=2πr(3−3r)=−23π(r−3r)=−23π(r−)+π，圆柱侧面积223329所以，当r=，=时，圆柱的侧面积最大，此时V=πr=π.22圆柱8