第36讲 圆的方程（解析版）

第36讲圆的方程1．圆的定义及方程:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程圆心：，半径：一般方程()圆心：半径：2．点与圆的位置关系点与圆的位置关系：(1)若在圆外，则(2)若在圆上，则(3)若在圆内，则.3、圆的方程综合应用①圆的标准方程为：②圆的一般方程．：（）.③点到直线的距离：.4、直线与圆相切①直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；②几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；③代数法：，方程组有一组不同的解.5、直线与圆相交及弦长①直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；②几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；③代数法：，方程组有两组不同的解.6、圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为().(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.题型一：圆的方程微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 1．（全国高二课时练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】B【详解】∵表示圆，则，∴，故选：B．2．（全国高二课时练习）若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（）．A．，B．，C．，D．，【答案】C【详解】解：因为圆的标准方程为：，圆心为，半径长为，又因为某圆的标准方程为，所以、、，故选：C．3．（四平市第一高级中学高二月考）若方程表示圆，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选：D4．（四川成都·高二月考（文））圆的圆心坐标为（）A．B．C．D．微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】A【详解】解：将圆的方程化为标准式可得，则该圆的圆心坐标为，故选：A.5．（孟津县第一高级中学（理））设为坐标原点，，是抛物线与圆关于轴对称的两个交点，若，则（）A．4B．2C．D．【答案】D【详解】不妨设点A在第一象限，则为等边三角形，故.代入中，解得，则，代入抛物线方程，解得，故选：D.6．（深州长江中学高二月考）圆心在（－1，0），半径为5的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为圆心在（－1，0），半径为5，则圆的方程是.故选：B.7．（全国高二课时练习）方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（）A．B．C．D．【答案】A微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【详解】因为，所以该方程表示圆心为的圆，而该方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，所以圆心在直线上，即有．故选：A．8．（全国高二课时练习）若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为方程表示的曲线是圆，所以，即，解得.故选：D9．（全国高二课时练习）若圆的一条直径的两个端点分别是和，则此圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为圆的一条直径的两个端点分别是（2，0）和，所以圆心为，半径为，所以此圆的方程是．故选：A．10．（湖南高二学业考试）圆的圆心坐标及半径分别为（）A．与B．与C．与2D．与2【答案】C【详解】，配方得，圆心坐标为，半径．微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 故选：C11．（江西南昌·洪都中学高二月考）若方程表示一个圆，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题设，，∴要使方程表示圆，则，即.故选：C题型二：点与圆的位置关系1．（南昌市八一中学高二月考）过点且与圆，相切的直线有几条（）A．0条B．1条C．2条D．不确定【答案】B【详解】由于满足，所以在圆上，所以过点且与圆，相切的直线有条.故选：B2．（河北南和实验中学高二月考）若点在圆上，则圆的半径（）A．1B．13C．D．【答案】C【详解】点在圆上，代入可得，解得，即,故选：C3．（全国）已知圆，则原点在（）A．圆内B．圆外C．圆上D．圆上或圆外【答案】B【详解】将圆的方程化成标准方程，因为，所以，即原点在圆外.故选：B.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 4．（江苏高二专题练习）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由题意得，解得，故选：C．5．（横峰中学高一月考（文））点在圆上，点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由于，所以在圆外，圆的圆心为，半径，则的最大值为.故选：C6．（全国）两个点、与圆的位置关系是（）A．点在圆外，点在圆外B．点在圆内，点在圆内C．点在圆外，点在圆内D．点在圆内，点在圆外【答案】D【详解】将代入方程左边得，则点在圆内，将代入方程左边得，则点在圆外，故选：D.7．（平罗中学高二月考（文））已知直线是圆在点处的切线﹐则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 由于，所以点在圆上，圆的圆心为，，由于，所以，所以直线的方程为.故选：B8．（横峰中学高一月考（理））若点在圆外，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意，得，即，又易知，所以.故选：C9．（全国高二课时练习）已知点在圆的内部，则实数的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．{1，﹣1}【答案】A【详解】由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，即：，整理得：﹣1＜a＜1.故选：A.10．（全国高一课时练习）点与圆的位置关系为（）A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与的值有关【答案】A【详解】在圆外故选：题型三：直线与圆的位置关系1．（全国）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】圆的圆心为，在圆内.所以当时，劣弧所对的圆心角最小，.故选：C2．（辽宁沈河·沈阳二中高二月考）过点作圆的切线，则切线方程为（）A．B．或C．D．或【答案】B【详解】若切线的斜率不存在，则过的直线为，此时圆心到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线为圆的切线.若切线的斜率存在，设切线方程为：即，故，解得，故此时切线方程为：.故选：B.3．（四川省眉山第一中学高二月考（理））已知圆，则过圆上一点的切线方程为（）A．B．或C．D．【答案】A【详解】因为圆的圆心为，所以，所以切线的斜率，所以所求切线的方程为，即，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 故选：A4．（全国高二专题练习）直线与圆相切，则的值为（）A．0或2B．2C．D．无解【答案】B【详解】圆心到直线的距离等于半径，即，解得或（应舍去）.故选：B5．（全国高二课时练习）已知圆与直线切于点，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】圆可化为，所以点与圆心连线所在直线的斜率为，则所求直线的斜率为，由点斜式方程，可得，整理得.故选：A.6．（全国高一课时练习）已知直线被圆所截得的弦长为4，则为（）A．B．C．0D．2【答案】A【详解】设圆心到直线的距离为d，则由点到直线的距离公式得，由题意得：，解得．故选：A微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 7．（全国高一课时练习）直线被圆截得的弦长为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】可化为，则圆心坐标为，半径．点到直线l的距离，∴半弦长为，故截得的弦长为．故选：C8．（全国高二课时练习）若直线平分圆的面积，则的值为（）A．B．C．1D．2【答案】C【详解】根据题意，圆的方程为，其圆心为．因为直线平分圆的面积，所以圆心在直线上，则有，解得．故选：C．9．（全国高三模拟预测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】A【详解】由圆，可得圆心，半径，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故选：A.10．（银川三沙源上游学校（文））直线与圆相切，则的值是（）A．B．C．2D．微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】B【详解】因直线与圆相切，则圆心到直线距离即为半径，所以.故选：B题型四：圆与圆的位置关系1．（山西省长治市第二中学校高二月考）圆和圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【答案】B【详解】圆的标准方程是，所以圆心是，半径是，圆的标准方程是，，所以圆心是，半径是，所以两个圆心的距离是，因为，所以圆与圆相交，故选：B2．（四川省绵阳南山中学高二月考）圆与圆的公共弦长等于（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：联立，解得或，故公共弦长等于.故选：D.3．（南昌市八一中学高二月考）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内含微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】C【详解】圆的圆心为，半径为，可化为，圆的圆心为，半径为，圆心距,，所以两个圆的位置关系是相交.故选：C4．（河北张家口·高二期末）圆与圆的位置关系是（　　）A．外切B．内切C．相交D．外离【答案】A【详解】解：圆.圆心，半径；圆.即.圆心.半径.两圆的圆心距，∴两圆外切，故选：A.5．（银川三沙源上游学校（文））圆与圆的公切线的条数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则两圆心的距离为，则两圆相交，公切线条数为两条故选：C6．（江苏高二专题练习）两圆：与：的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】由题意，圆的圆心，半径为1，而圆的圆心为，半径为2，∴，故圆、圆外切.∴它们公切线条数为3条.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 故选：C7．（石家庄实验中学高三开学考试）圆：与圆：（，）的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定【答案】A【详解】解：圆：的圆心，半径为，由，得，所以圆的圆心为，半径，所以，因为（），所以，所以所以两圆相交．故选：A8．（全国高二单元测试）过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（）A．1B．C．D．【答案】C【详解】由题意可知：0<r<2,如示意图，四边形OAPB是正方形，因为|OP|=2，则故选：C.9．（江西赣州·）已知圆(，为常数)与.若圆心与微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 关于直线对称，则圆与的位置关系为（）A．内含B．相交C．相切D．相离【答案】B【详解】依题意，所以，，，所以，所以两个圆相交.故选：B10．（河南高三月考（文））设圆：和圆：交于，两点，则线段所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意知：①，②，∴由①-②得，直线的方程为.故选：A.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538