圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总（学生版）

圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总题型1圆锥曲线通径二级结论题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论题型1圆锥曲线通径二级结论22b椭圆，双曲线的通径长AB=.a2y2x1(2022·全国·高三专题练习)过椭圆+=1(a>b>0)的焦点Fc,0的弦中最短弦长是()22ab22222b2a2c2cA.B.C.D.abab【变式训练】2y2x1(2021秋·河北邯郸·高三校考阶段练习)已知过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂22ab线交椭圆于点P,F2为其右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()5323A.B.C.D.32232y2x2(2023秋·四川内江·高三期末)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点M在椭圆上且MF1⊥x轴，则F143到直线F2M的距离为()6117A.B.3C.D.353113(2022·全国·高三专题练习)过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则y22x双曲线-=1的通径长是()1691,99A.B.C.9D.104224(2022·全国·高三专题练习)抛物线y=4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为．25(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C：x=2py(p>0)的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p=．2x226(2023·全国·高三专题练习)过椭圆+y=1的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且AB=，93则这样直线的条数为()A.0B.1C.2D.3题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论2y2x1．F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的ab周长为4a．2y2x2.F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF1的周ab长为4a．注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．2y2x1(2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C:+=1的左焦点为F1，过F1的直线交椭圆于A,B两点，43求△ABF2的周长．【变式训练】21在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1作直线2l交C于A,B两点，且ΔABF2的周长为16，那么C的方程为．2椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()3126A.B.C.D.33332y2x3(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为ab143，离心率为，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长为()22,A.4B.5C.16D.322y2x4(2020下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习)椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分22ab别为F1,F2，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，交y轴于点C，若F1，C是线段AB的三等分点，△F2AB的周长为45，则椭圆E的标准方程为()2y22y22y22xxxx2A.+=1B.+=1C.+=1D.+y=154535252y2x35(2014·全国·高考真题)已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2离心率为3，过F2ab的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()2y222y22y2xx2xxA.+=1B.+y=1C.+=1D.+=13231281246古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为43π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为16，则椭圆C的方程为()y22y222y22y2xxxxA.+=1B.+=1C.+=1D.+=1163161216121632yx27(2014·安徽·高考真题)设F1,F2分别是椭圆E：2+2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线ab交椭圆E于A,B两点，|AF1|=3|BF1|(1)若|AB|=4,ΔABF2的周长为16，求|AF2|；3(2)若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率.52y2x8(2022·全国·高三专题练习)已知直线l经过椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点(1，0)，交椭圆22abC于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；2(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，MN=4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)同支问题：2y2xF1,F2为双曲线C:2-2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1的直线交双曲线同支于A,B两点，且abAB=m，则△ABF2的周长为4a+2m．证明：由双曲线的第一定义知，AF2-AF1=2a①，BF2-BF1=2a②，又AF1+BF1=m③，由①②③，得AF2+BF2=4a+m,∴AB+AF2+BF2=4a+2m，即△ABF2的周长为4a+2m．3,y222x2x1(2022·全国·高三专题练习)椭圆+=1与双曲线y-=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连492424线构成三角形的周长为．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.522y2如图双曲线C:x-=1的焦点为F1､F2，过左焦点F1倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点．3(1)求弦长AB的值；(2)求△ABF2的周长．3已知双曲线的左、右焦点分别为F1､F2，在左支上F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.52y2x4如果F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=1696，则ΔABF2的周长是2y2x5(2022·全国·高三专题练习)若F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上m7过点F1的弦，且|AB|=4，△ABF2的周长是20，则m=．4,22yπ6已知双曲线x-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的弦AB．求：36(1)AB的长；(2)△F2AB的周长．7已知双曲线C经过点P3,2，它的两条渐近线分别为x+3y=0和x-3y=0.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左､右焦点分别为F1､F2，过左焦点F1作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求△ABF2周长的取值范围.题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)双曲线异支焦点弦三角形周长2y2x【结论3】如图，F1,F2为双曲线C:2-2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C右ab22b支、左支分别交于A,B两点，且AB=m，则焦点弦三角形F1AB的周长：CΔF1AB=m+mm+a．证明：令AF2=u,BF2=v，则AF1=2a+u,BF1=v-2a，ΔF1AB的半周长s=v，由秦九韶-海伦公式得SΔFAB=ss-ABs-AF1s-BF1=2am-2auv．222222u+4c-2a+uv+4c-v-2a又cos∠AF2F1=cos∠BF2F1，由余弦定理推论，得=，2u⋅2c2v⋅2cb2-aub2+avb2b2b2v-ub2mb2m∴=,∴-=2a,∴uv==，将u=v-m代入uv=，得uvuv2a2a2a22bm12bv-mv=，解这个关于v的一元二次方程，得v=m+mm+．又ΔF1AB的半周长s=2a2a22bv，因此异支焦点弦三角形F1AB的周长CΔF1AB=m+mm+a．2y2x1(2021·浙江·统考一模)如图所示，F1，F2是双曲线C：2-2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直ab5,线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若AB∶BF2∶AF2=3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.2B.15C.13D.3【变式训练】2y2x1(2021下·安徽安庆·高三校联考阶段练习)已知双曲线-=1a>0,b>0的左、右焦点分别22ab为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为边长为4的等边三角形，则△AF1F2的面积为()A.23B.33C.43D.6322y2(2021·高三课时练习)已知双曲线C:x-=1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，3M0,2，则△PFM的周长的最小值为()A.2+42B.4+22C.32D.26+32y2x3已知F1、F2分别是双曲线-=1的左右焦点，过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于36A、B两点．(Ⅰ)求线段AB的长；(Ⅱ)求△AF1B的周长．题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A,B两点，不妨设AF>BF，若已知直线l倾斜角为θ，设圆2b锥曲线半通径为p=，则appp2pAF=,BF==,∴AB=AF+BF=，1-ecosθ1+ecosθ221-ecosθ+π1-ecosθ即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：pp2pAF=,BF=,∴AB=①.1-ecosθ1+ecosθ221-ecosθ二级结论2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：6,2y2x(1)F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两ab22p22abb点，则AB==p=；a2-c2cos2θ1-e2cos2θay22x(2)F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两ab22p22abb点，则AB==p=．a2-c2sin2θ1-e2sin2θa22b说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为椭圆的通径，通径长AB=．a圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A,B两点，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p=2p2b222焦点在x轴上1-ecosθ，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB=．a2p22焦点在y轴上1-esinθ2y2x1(2022·全国·高三专题练习)如图，F1,F2为椭圆C:2+2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为abθ的直线l与椭圆C交于A,B两点，求弦长AB．【变式训练】2x21经过椭圆+y=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB2的长.2y2x32(2022上·全国·高二专题练习)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，过椭圆的右焦点且a2b231斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，则△AOB(其中O为原点)的形状为.22y2x13(2022上·全国·高三专题练习)椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，斜率为2ab13的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为e∈2,4，则线段AB的长度的取值范围是224(2022·全国·高三专题练习)过椭圆3x+4y=48椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，|AB|=7，求直线方程．2y2x5(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P0，-2及98F1的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF2的面积.7,2y22x6(2023·四川广安·统考模拟预测)已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点F与椭圆+=1的右2516焦点重合．斜率为kk>0直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若AF=3BF，则直线l的方程是()A.3x-y-33=0B.43x-4y-33=0C.3x-y-9=0D.x-3y-3=0题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：2y2x(1)F1,F2为双曲线C:2-2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线C交于ab22p22abbA,B两点，则AB==p=．a2-c2cos2θ1-e2cos2θay22x(2)F1,F2为双曲线C:2-2=1a>0,b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线C交于ab22p22abbA,B两点，则AB==p=．a2-c2sin2θ1-e2sin2θa22b说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为双曲线的通径，通径长2p=．a圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A,B两点，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p=2p2b222焦点在x轴上1-ecosθ，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB=．a2p22焦点在y轴上1-esinθ2y2x1(2022·全国·高三专题练习)设双曲线2-2=1a>0,b>0，其中两焦点坐标为F1-c,0F2c,0，ab过F1的直线l的倾斜角为θ，交双曲线于A，B两点，求弦长AB．【变式训练】2y2x1(2022·全国·高三专题练习)过双曲线-=1的右焦点F作倾斜角为45°的直线，交双曲线于48A,B两点，求弦长AB．222(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x-y=4的右焦点F作倾斜角为150°直线，交双曲线于A,B两点，求弦长AB．2y2x3(2022·全国·高三专题练习)过双曲线-=1的右焦点F作倾斜角为45°的直线，交双曲线于48A,B两点，求弦长AB．224(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x-y=4的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A、B两点，求弦长AB．8,2y2x5(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线-=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P(0，-2)及32F1的直线交双曲线于A，B两点，求△ABF2的面积题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论2p2焦点在x轴上sinθ二级结论：1.抛物线的焦点弦长：AB=．2pcos2θ焦点在y轴上222p2.过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A,B两点，则：yAyB=-p,xAxB=.(焦点在y轴上的4性质对比给出.)2引伸：M(a,0)(a>0)在抛物线y=2px(p>0)的对称轴上，过M的直线交抛物线于两点.Ax1,y1,Bx2,y2,y1,y2=-2pa(定值).2pλ-13.|AB|=2(α是直线AB与焦点所在轴的夹角)=x1+x2+p(焦点在cosθ=λ+1轴正半轴上)(其它sinα三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为2p)最短.λ-1pp4.AF=λBF，则有cosθ|=||,AF=，BF=(θ为直线与焦点所在轴的夹角).λ+11-cosθ1+cosθ2p1(2022·全国·高三专题练习)如图，抛物线y=2pxp>0与过焦点F2,0的直线l相交于A,B两点，若l的倾斜角为θ，求弦长AB．【变式训练】1(2020·山东·统考高考真题)斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=．22已知F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则AB+DE的最小值为()A.16B.14C.12D.102π3(2021上·江西·高三校联考阶段练习)过抛物线y=2pxp>0的焦点F作倾斜角为θθ≠的29,π直线，交抛物线于A,B两点，当θ=时，以FA为直径的圆与y轴相切于点T0,3.3(1)求抛物线的方程；(2)试问在x轴上是否存在异于F点的定点P，使得FA⋅PB=FB⋅PA成立？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.24(2020·四川遂宁·统考二模)过抛物线y=2pxp>0的焦点F作直线交抛物线于M，N两点(M，N的横坐标不相等)，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若MN=40，则HF=()A.14B.16C.18D.202=5设抛物线C:y4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为()33A.y=x-1或y=-x+1B.y=(X-1)或y=-(x-1)3322C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)226(2022·全国·高三专题练习)已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距(焦点到对应准线的距离)为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为θ0°<θ≤90°，则有．题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论一．椭圆的焦半径及其应用：2y2x1.焦半径公式：Px0，y0是椭圆2+2=1(a>b>0)上一点，F1,F2是左、右焦点，e椭圆的离心率是ab则,PF1=a+ex0,PF2=a-ex0，y22xPx0，y0是椭圆2+2=1(a>b>0)上一点，F1,F2是上、下焦点，e椭圆的离心率是则,PF1=a-ey0,abPF2=a+ey0，2.椭圆的坐标式焦点弦长公式：2y2x(1)椭圆+=1(a>b>0)的焦点弦长公式：22abAB=2a+exA+xB(过左焦点)；AB=2a-exA+xB(过右焦点)，即AB=2a-exA+xB；y22x(2)椭圆+=1(a>b>0)的焦点弦长公式：22abAB=2a-eyA+yB(过上焦点)；AB=2a+eyA+yB(过下焦点)，即AB=2a-eyA+yB．二．双曲线的焦半径及其应用：1:定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.2.当点P在双曲线上时的焦半径公式，(其中F1为左焦点，F2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中a是实半轴长，e是离心率，x0是P点的横坐标.当焦点在x轴，P在左支时：PF1=-(ex0+a),PF2=-(ex0-a).当焦点在x轴，P在右支时：PF1=ex0+a,PF2=ex0-a.当焦点在y轴:P在上支时：PF1=ey0+a,PF2=ey0-a10,当焦点在y轴:P在下支时：PF1=-(ey0+a),PF2=-(ey0-a)三．双曲线的坐标式焦点弦长公式：2y2x(1)双曲线-=1a>0,b>0的焦点弦长公式：22ab22222ab1+k2ab1+k同支弦AB=exA+xB-2a=222；异支弦AB=2a-exA+xB=222，统一为：ABak-bb-ak222ab1+k=exA+xB-2a=222；ak-by22x(2)双曲线-=1a>0,b>0的焦点弦长公式：22ab同支弦AB=eyA+yB-2a；异支弦AB=2a-eyA+yB，统一为：AB=eyA+yB-2a．2y2x1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1a>b>0，若过左焦点的直线交椭圆于A,B两点，22ab求AB．【变式训练】2y2x1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P0,-2及F121的直线交椭圆于A，B两点，求AB．2y2x2(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1，若过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且A，4913B两点的横坐标之和是-7，求AB．2y2x3(2022·全国·高三专题练习)设双曲线2-2=1(a>0,b>0)，其中两焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,ab0)，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论抛物线的坐标式焦点弦长公式：2(1)抛物线y=2pxp>0的焦点弦长公式：AB=p+xA+xB；2(2)抛物线y=-2pxp>0的焦点弦长公式：AB=p-xA+xB；2(3)抛物线x=2pyp>0的焦点弦长公式：AB=p+yA+yB；2(4)抛物线x=-2pyp>0的焦点弦长公式：AB=p-yA+yB．21(2021·河北·高三专题练习)过抛物线y=2pxp>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=.【变式训练】21(2023·北京·人大附中校考三模)已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，AB=10，AB的中点横坐标为4，则p=．22(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C:y=4x的焦点为F，则过点F且斜率为3的直线l截抛物线C所得弦长为()11,22161983A.B.C.D.3333题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论π1.点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,，k为直线AB的斜率，且AF22λ-1=λFB(λ>0)，则e=1+kλ+11λ-1当曲线焦点在y轴上时，e=1+2λ+1kAFBFAFBF注：λ=或者λ=,而不是或者点F是双曲线焦点，BFAFABABπ2.过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,，k为直线AB斜率，且AF=λFB(λ>0)，则e=22λ-11+kλ+11λ-1当曲线焦点在y轴上时，e=1+2λ+1k2y2x1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2ab且倾斜角为60°的直线l与C交于A，B两点．若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的2倍，则C的离心率为．【变式训练】2y2x1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C:+=1的左焦点为F，过F斜率为22abAF33的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若=，则椭圆C的离心率e=．BF22y2x2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的右焦点为F，过F且斜率为22ab3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为()5679A.B.C.D.85552y2x3(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F，经过F且倾斜角为60°22ab的直线l与椭圆相交于不同两点A,B，已知AF=2FB．(1)求椭圆的离心率；15(2)若|AB|=，求椭圆方程．42y2x4(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,F是C的一个焦点，点B22ab在C上，若3AF+5BF=0，则C的离心率为()1323A.B.C.D.252212,2y2x1(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆+=1的右焦点为F2，过右焦点作倾斜22abπ角为的直线交椭圆于G,H两点，且GF2=2F2H，则椭圆的离心率为()31223A.B.C.D.22322y2x432(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为，过左焦点Fa2b23且斜率为k>0的直线交C的两支于A,B两点．若|FA|=3|FB|，则k=．2y2x3(多选)(2022·辽宁沈阳·统考模拟预测)已知双曲线-=1a>0,b>0的离心率为e，左、右22ab焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且PF1=2PF2，下列说法正确的是()A.PF2与双曲线的实轴长相等B.e∈1,3C.若P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为y=±4xD.若PF1=QF2，则直线PQ的斜率为±4224(2021·四川成都·石室中学校考三模)已知直线经过抛物线y=2pxp>0的焦点F并交抛物线于A，B两点，则AF=4，且在抛物线的准线上的一点C满足CB=2BF，则p=.2y2x5(2020·全国·校联考模拟预测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(3,1)，且左、右顶点分别22ab为A1,A2，左焦点为F1，上、下两个顶点分别为B1,B2,0为坐标原点，△A1B1F1与△OA2B2面积的比值为3-6．3(1)求C的标准方程；(2)过F1且斜率为kk>0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点D在y轴上，且满足PD=QD，已知E(0,-2)，求△EPQ与△A2OD面积比值的最小值．2y2x2226(2021·江西新余·统考模拟预测)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)和圆O:x+y=a,F1(-1,0),F2abπ(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为α∈0,2的动直线l交椭圆C于A,B两点，交圆O于πP,Q两点(如图所示)，当α=时，弦PQ的长为14．413,(1)求圆O和椭圆C的方程(2)若点M是圆O上一点，求当AF2,BF2,AB成等差数列时，△MPQ面积的最大值．2y2x7(2020·安徽蚌埠·统考一模)已知M是椭圆C：2+2=1(a>b>0)上一点，F1、F2分别为椭圆Cabπ的左、右焦点，且F1F2=2，∠F1MF2=，△F1MF2的面积为3．3(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过椭圆C右焦点F2，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ(O为坐标原点)交椭圆于P，记△AOQ的面积为S1，△BPQ的面积为S2，若S2=3S1，求直线l的方程．8(2010·全国·高考真题)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为2y2x39(2010·全国·高考真题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为a2b22k(k>0)的直线与C相交于A、B两点．若AF=3FB，则k=()A.1B.2C.3D.222χy10(2009·全国·高考真题)已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)的右焦点为F且斜率为3的直22ab线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为()6789A.B.C.D.5555211(2023·全国·统考高考真题)(多选)设O为坐标原点，直线y=-3x-1过抛物线C:y=2pxp>0的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()．8A.p=2B.MN=3C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形14