立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）（学生版）

立体几何解答题最全归纳总结目录题型一：非常规空间几何体为载体题型二：立体几何存在性问题题型三：立体几何折叠问题题型四：立体几何作图问题题型五：立体几何建系繁琐问题题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题题型七：利用传统方法找几何关系建系题型八：空间中的点不好求题型九：创新定义必考题型归纳题型一：非常规空间几何体为载体2821(2023·全国·高三专题练习)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为，其中AB=2A1B1=34.(1)求侧棱AA1与底面ABCD所成的角；(2)在线段CC1上是否存在一点P，使得BP⊥A1D？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.2(2023·全国·高三专题练习)在三棱台ABC-DEF中，G为AC中点，AC=2DF，AB⊥BC，BC⊥CF.·1·,(1)求证：BC⊥平面DEG；π(2)若AB=BC=2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为，求三棱锥E-DFG的3体积.3(2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1，AA1=3，M，N为棱B1C1，C1D1的中点，棱AB上存在一点E，使得A1E⎳平面BMND．AE(1)求；AB(2)当正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求BB1与平面BMND所成角的正弦值．1.(2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)如图，在三棱台A1B1C1-ABC中，A1B1=2，AB=πAC=4，AA1=CC1=5，BB1=3，∠BAC=．2(1)证明：平面A1ACC1⊥平面ABC；(2)设D是BC的中点，求平面A1ACC1与平面A1AD夹角的余弦值．2.(2023·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习)如图，圆锥PO的高为3，AB是底面圆O的直径，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB=2CD=2，点E是母线PB上一动点.·2·,(1)证明：平面ACE⊥平面POD；130(2)若二面角A-EC-B的余弦值为，求三棱锥A-ECD的体积.1303.(2023·云南·云南师大附中校考模拟预测)如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，∠AOB=2π，E为PB中点，点F在线段AB上，且AF=2FB.3(1)证明：平面AOP⊥平面OEF；(2)若OP=AB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值.4.(2023·内蒙古赤峰·校联考三模)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，四边形ABCD是圆O的内接四边形，BD为底面圆的直径，M在母线PB上，且AB=BC=BM=2，BD=4，MD=23．(1)求证：平面AMC⊥平面ABCD；(2)设点E为线段PO上动点，求直线CE与平面ADM所成角的正弦值的最大值．·3·,5.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)如图，线段AA1是圆柱OO1的母线，△ABC是圆柱下底面⊙O的内接正三角形，AA1=AB=3．(1)劣弧BC上是否存在点D，使得O1D⎳平面A1AB？若存在，求出劣弧BD的长度；若不存在，请说明理由．(2)求平面CBO1和平面BAA1所成角的正弦值．题型二：立体几何存在性问题4(2023·全国·高三对口高考)如图，如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=2,AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，AB的中点．(1)求证：平面EFH⎳平面PBC；(2)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在一点M，使得M到点P,H,A,F四点的距离相等？请说明理由．5(2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模)已知△ABC和△ADE所在的平面互相垂直，AD⊥AE，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，D是线段BC的中点，AD=3.(1)求证：AD⊥BE；(2)设AE=2，在线段AE上是否存在点F(异于点A)，使得二面角A-BF-C的大小为45°.6(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)如图，在△ABC中，∠B=90°，P为AB边上一动点，PD⎳BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA.·4·,(1)证明：平面CBA⊥平面PBA；(2)若PB=CB=2PD=4，且AP⊥AP，线段AC上是否存在一点E(不包括端点)，使得锐二面角E-314AEBD-C的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.14EC6.(2023·福建厦门·统考模拟预测)筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形ABCD为筝形，其对角线交点为O,AB=2,BD=BC=2，将△ABD沿BD折到△ABD的位置，形成三棱锥A-BCD．(1)求B到平面AOC的距离；1(2)当AC=1时，在棱AD上是否存在点P，使得直线BA与平面POC所成角的正弦值为？若存在，4AP求的值；若不存在，请说明理由．AD7.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为4,∠A1AB=60°，点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O.(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离.·5·,8.(2023·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD⎳BC，AD=CD=2BC=2，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．(1)求证：BC∥l；(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；PG(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．PC9.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)在三棱锥P-ABC中，若已知PA⊥BC，PB⊥AC，点P在底面ABC的射影为点H，则(1)证明：PC⊥AB(2)设PH=HA=HB=HC=2，则在线段PC上是否存在一点M，使得BM与平面PAB所成角的余弦4CM值为，若存在，设=λ，求出λ的值，若不存在，请说明理由.5CP10.(2023·浙江·校联考模拟预测)在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2，△EAD为等腰直角三角形，平面EAD⊥平面ABCD，G为BC中点.3(1)在线段AD上是否存在点Q，使得点Q到平面EGD的距离为.若存在，求出DQ的值；若不存在，2说明理由；(2)求二面角D-EC-B的正弦值.·6·,11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的正三角形，BC=4，AB=25，E,F分别为PC,PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l.(1)证明：l⎳平面PBC.43(2)若三棱锥P-ABC的体积为，试问在直线l上是否存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角3π为α，异面直线PQ,EF所成角为β，且满足α+β=？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明2理由.12.(2023·安徽淮北·统考二模)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°,PC⊥2BD,PA=AB=PB.2(1)证明：PA⊥面ABCD；39(2)线段PD上是否存在点E，使平面ACE与平面PAB夹角的余弦值为？若存在，指出点E位置；13若不存在，请说明理由.题型三：立体几何折叠问题7(2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)在图1中，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，AB=22，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且EC=2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得FB=4．·7·,(1)证明：FO⊥平面ABC．(2)求二面角E-FA-C的余弦值．8(2023·广东深圳·校考二模)如图1所示，等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，如图2所示.(1)证明：CD⊥EF；(2)折叠后若AB=a，求二面角A-BD-E的余弦值.'9(2023·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习)如图甲所示的正方形AAA1A1中，AA1=12,AB=A1''B1=3,BC=B1C1=4,对角线AA1分别交BB1,CC1于点P,Q，将正方形AAA1A1沿BB1,CC1折叠使得'AA1与AA1重合，构成如图乙所示的三棱柱ABC-A1B1C1.15(1)若点M在棱AC上，且AM=，证明：BM∥平面APQ；7(2)求二面角A1-PQ-A的余弦值.13.(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知如图甲所示，直角三角形SAB中，∠ABS=·8·,90°，AB=BS=6，C，D分别为SB，SA的中点，现在将△SCD沿着CD进行翻折，使得翻折后S点在底π面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所成角为，M为折叠后SA的中点，如图乙所3示.(1)证明：DM⎳平面SBC；(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.14.(2023·全国·高三专题练习)如图1，在直角梯形BCDE中，BC⎳DE，BC⊥CD，A为DE的中点，且DE=2BC=4，BE=22，将△ABE沿AB折起，使得点E到达P处(P与D不重合)，记PD的中点为M，如图2．(1)在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值．15.(2023·全国·高三专题练习)如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC．AP(1)若BE=3，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP⎳平面ABEF？若存在，求出的值；PD若不存在，说明理由．·9·,(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．16.(2023·全国·高三专题练习)如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向一方折叠到△DAC的位置，使D点在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向另一方折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE.(1)若点F为BC的中点，求证：DF⎳平面EAC；(2)求平面ACD与平面BCE所成角的正弦值.17.(2023·四川泸州·泸县五中校考三模)如图1，在梯形ABCD中，AB⎳CD，且AB=2CD=4，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边.若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2.(1)证明：AB⊥PA；(2)若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离.18.(2023·湖南长沙·长沙一中校考一模)如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD⎳BC，AD⊥AB，∠BCD=60°，AB=23，BC=3，E为线段CD上一点，满足BC=CE，F为BE的中点，现将梯形沿BE折叠(如图2)，使平面BCE⊥平面ABED.·10·,(1)求证：平面ACE⊥平面BCE；3(2)能否在线段AB上找到一点P(端点除外)使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为？若存在，4试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.题型四：立体几何作图问题10(2023·云南昆明·高三校考阶段练习)已知正四棱锥P-ABCD中，O为底面ABCD的中心，如图所示．(1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由；(2)设PD的中点为G，PA=AB，求AG与平面PAB所成角的正弦值．11(2023·贵州·校联考模拟预测)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，π3CD=CC1=AC1=2，∠DCB=，且cos∠C1CD=cos∠C1CB=.34(1)试在平面ABCD内过点C作直线l，使得直线l⎳平面C1BD，说明作图方法，并证明：直线l∥B1D1；·11·,(2)求平面BC1D与平面A1B1D所成锐二面角的余弦值.12(2023·全国·高三专题练习)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，CDπ3=CC1=AC1=2，∠DCB=且cos∠C1CD=cos∠C1CB=.34(1)试在平面ABCD内过点C作直线l，使得直线l⎳平面C1BD，说明作图方法，并证明：直线l⎳B1D1；(2)求点C到平面A1BD的距离.19.(2023·全国·高三专题练习)如图多面体ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB为等边三角形，四3边形ABCD为正方形，EF⎳BC，且EF=BC=3，H，G分别为CE，CD的中点.2(1)求二面角C-FH-G的余弦值；AP(2)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值(不需要说明理由，AB保留作图痕迹).2π20.(2023·全国·高三专题练习)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=.AC3∩BD=O,且PO⊥平面ABCD，PO=3，点F,G分别是线段PB.PD上的中点，E在PA上.且PA=3PE.(Ⅰ)求证：BD⎳平面EFG；(Ⅱ)求直线AB与平面EFG的成角的正弦值；(Ⅲ)请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.·12·,21.(2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测)如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为12的正方形，EA⊥底面ABCD，FD⎳EA，且FD=EA=1.2(1)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值.22.(2023·广西·高三统考阶段练习)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形.(1)(如图1)若点P为△ABC内任一点，作出C1P与面ACB1的交点M(作出图象并写出简单的作图过程，不需证明)；(2)(如图2)若面ACB1⊥面BB1C1C,AC⊥AB1,AC=AB1,∠CBB1=60°，求二面角A-A1B1-C1的余弦值.23.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上满足CP=CA，将△ACP沿AC翻折，使点P到达P的位置，若平面PBC⊥平面ABC，且BC⊥PA．·13·,(1)作平面α，使得AP⊂α，且BC⊥α，说明作图方法并证明；(2)点M满足MC=2PM，求二面角P-AB-M的余弦值．24.(2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M在棱DP上，且DM=2MP，点N是在棱PC上的动点(不为端点).(如图所示)(1)若N是棱PC中点，(i)画出△PBD的重心G(保留作图痕迹)，指出点G与线段AN的关系，并说明理由；(ii)求证：PB∥平面AMN；(2)若四边形ABCD是正方形，且AP=AD=3，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.题型五：立体几何建系繁琐问题13(2023·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ππABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，∠B1BA=∠B1BC,AB=2A1B1=2,B1B=336(1)求证：直线AC⊥平面BDB1；(2)求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.14(2023·全国·模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，M，N分别为·14·,BC,A1C1的中点，AC⊥B1M．(1)证明：MN⎳平面ABB1A1；(2)若BC=2，三棱锥A-B1MN的体积为2，求二面角A-B1M-N的余弦值．15(2023·江西抚州·高三校联考阶段练习)如图，在几何体ABCDE中，AB=BC,AB⊥BC，已知平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥平面BCE，DE⎳平面ABC，AD⊥DE．(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)若AC=2CD=2，设M为棱BE上的点，且满足2BM=ME，求当几何体ABCDE的体积取最大值时，AM与CD所成角的余弦值．25.(2023·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M,N分别为BC,B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：平面A1AMN⊥EB1C1F；·15·,(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO⎳平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．26.(2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1⎳MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；π(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=12，AO⎳平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B-EB1C13F的体积.27.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，每一个面均为边长为2的菱形，平面ABB1A1⊥底面ABCD，∠DAB=60°，M，N分别是AA1，BB1的中点，P是B1M的中点.(1)证明：DP∥平面ACN；(2)若侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，求平面DPB1与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值.28.(2023·全国·高三专题练习)已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC⊥AB，1AB=AD=BC，BD=2，PD=5．2·16·,(1)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；(2)线段PB上是否存在一点M，使得CM⊥平面PBD？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．29.(2023·全国·模拟预测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等边三角形，AA1=AC，点D，E分别为AC，CC1的中点，∠CED=30°，A1B=2BD=6．(1)求点A1到平面BDE的距离；(2)求二面角A1-BE-D的余弦值．30.(2023·全国·高三专题练习)已知两个四棱锥P1-ABCD与P2-ABCD的公共底面是边长为4的正方形，顶点P1，P2在底面的同侧，棱锥的高P1O1=P2O2=2，O1，O2分别为AB，CD的中点，P1D与P2A交于点E，P1C与P2B交于点F.(1)求证：点E为线段P2A的中点；(2)求这两个棱锥的公共部分的体积.31.(2023·全国·高一专题练习)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，·17·,成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC.(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空：⊥，则三棱锥P-ABC为“鳖臑”；(2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°.(i)证明：平面ADE⊥平面PAC；(ii)设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA=23，AC=2，求二面角E-l-C的大小.32.(2023·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末)如图，四面体ABCD中，△ABC等边三角形，AB⊥AD，且AB=AD=2.(1)记AC中点为M，若面ABC⊥面ABD，求证：BM⊥面ADC；5π(2)当二面角D-AB-C的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.633.(2023·河北衡水·高二校考开学考试)已知四面体ABCD，AD=CD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．(1)求证：BD⊥AC；(2)求直线CA与平面ABD所成角的大小．·18·,题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题16(2023·全国·高三专题练习)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP1证明：平面ACD⊥平面BDP；32若BD=6，cos∠BPD=-，求三棱锥A-BCD的体积．317(2023·高二校考单元测试)如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP．(1)证明:平面ACD⊥平面BDP;(2)若BD=6,且二面角A-BD-C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．18(2023·全国·高三专题练习)如图，四棱锥F-ABCD中，底面ABCD为边长是2的正方形，E，G分别是CD，AF的中点，AF=4，∠FAE=∠BAE，且二面角F-AE-B的大小为90°.·19·,(1)求证：AE⊥BG；(2)求二面角B-AF-E的余弦值.34.(2023·全国·高三专题练习)如图，四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAE=°∠BAE=45，∠DAB=60°.(1)证明：平面ADE⊥平面ABE；(2)当直线DE与平面ABE所成的角为30°时，求平面DCE与平面ABE所成锐二面角的余弦值.35.(2023·广东阳江·高二统考期中)如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；1(2)若DE=mDB，二面角D-AE-C的余弦值为，求m．736.(2023·全国·高三专题练习)如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，·20·,(1)求证：AC⊥BD；5(2)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C-AD-B的余弦值.2题型七：利用传统方法找几何关系建系19(2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-FGHE，平面ABCD与平π面BCEF所成角为θ0<θ<.2(1)若AB=BC，求直线AH与平面BCEF所成角的余弦值(用cosθ表示)；(2)将矩形BCEF沿BF旋转θ度角得到矩形BFPQ，设平面ABCD与平面BFPQ所成角为π2α0<α<，请证明：cosα=cosθ.220(2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测)在四棱锥S-ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，SA=SD=1，AB=2BC=2CD=2，平面SAD⊥平面ABCD.(1)证明：SA⊥BD；·21·,1SE(2)若E是棱SB上一点，且二面角S-AD-E的余弦值为，求的大小.2SB21(2023·安徽·高三校联考期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AP⊥PD,AB⊥BC,PA=PD=DC=BC=1,AB=2，E是PB的中点．(1)求CE的长；π(2)设二面角P-AD-B平面角的补角大小为θ，若θ∈0,2，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．37.(2023·全国·高三专题练习)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，M是线段PD的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明l∥平面BCM6(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，若PB与平面QCD所成角的正弦值为是，求线段QC的长.3(3)在(2)的条件下，求二面角D-CQ-M的正弦值.38.(2023·江西抚州·高二临川一中校考期中)如图，直线AQ⊥平面α，直线AQ⊥平行四边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点P在平面α上，AB=7，AD=3，AD⊥DB，AC∩BD=O,OP⎳AQ,AQ=2，M,N分别是AQ与CD的中点.·22·,(1)求证：MN⎳平面QBC；(2)求二面角M-CB-Q的余弦值.39.(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，AB=2，SC=22．(1)证明：平面SAD⊥平面ABCD；21(2)侧棱SC上是否存在一点P(P不在端点处)，使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于？若7存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．40.(2023·吉林长春·高二校考期末)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60°.(1)证明：M是侧棱SC的中点；(2)求二面角S-AM-B的余弦值.41.(2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等·23·,π边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC所成的角为，点D在棱AA1上，且33AD=,AB=2.2(1)求证：OD⊥平面BB1C1C；(2)求二面角B-B1C-A1的平面角的余弦值.42.(2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习)如图，三棱锥P-ABC所有棱长都等，PO⊥平面ABC，垂足为O．点B1，C1分别在平面PAC，平面PAB内，线段BB1，CC1都经过线段PO的中点D．(1)证明：B1C1∥平面ABC；(2)求直线AP与平面AB1C1所成角的正弦值．43.(2023·全国·高三专题练习)如图，已知四棱锥P-ABCE中，PA⊥平面ABCE，平面PAB⊥平面PBC，且AB=1，BC=2，BE=22，点A在平面PCE内的射影恰为△PCE的重心G.·24·,(1)证明：BC⊥AB；(2)求直线CG与平面PBC所成角的正弦值.44.(2023·全国·高三专题练习)如图，平面α⎳平面β，菱形ABCD⊂平面α，AC=2，E为平面β内一动点.11(1)若平面α，β间的距离为3，设直线AE，CE与平面α所成的角分别为θ，φ，+=2，求动点tanθtanφE在平面α内的射影F的一个轨迹方程；(2)若点E在平面α内的射影为A，证明：直线CE与平面BDE所成的角与∠BAD的大小无关.题型八：空间中的点不好求22(2023·全国·校联考模拟预测)已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．AC=AB=4，BC=2.(1)证明：BC⊥AD；(2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为1，求二面角E-CO-B的余弦值．2123(2023·河南·校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=，AD=CD=AC2·25·,=23，E，F分别为AC，CD的中点，点G在PF上，且G为三角形PCD的重心.(1)证明：GE⎳平面PBC；(2)若PA=PC，PA⊥CD，四棱锥P-ABCD的体积为33，求直线GE与平面PCD所成角的正弦值.24(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点P在对角线BD1上，AC∩BD=O，平面ACP∥平面A1C1D．(1)求证：O，P，B1三点共线；π(2)若四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=，AA1=3，求二面角P-AB-3C大小的余弦值．45.(2023·江西·校联考二模)正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，E为PB中点，AF=λAP,CG=μCP，平面EFG∩平面ABCD=l，平面EFG∩AD=K.(1)证明：当平面EFG⊥平面PBD时，l⊥平面PBD1(2)当λ=μ=时，T为P-ABCD表面上一动点(包括顶点)，是否存在正数m，使得有且仅有5个点T3·26·,22222满足22TP+TA+TB+TC+TK=m，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.46.(2023·全国·高三专题练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-EFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥M-BCGF绕直线CG逆时针旋转α(0<α<π)后，得到四棱锥M-BCGF．π(1)若α=，求证：平面MCG⎳平面MBF；2(2)是否存在α，使得直线MF⊥平面MBC？若存在，求出α的值；若不存在，请说明理由．47.(2023·全国·模拟预测)已知菱形ABCD中，AB=BD=1，四边形BDEF为正方形，满足∠ABF=2π，连接AE，AF，CE，CF．3(1)证明：CF⊥AE；(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．题型九：创新定义25(2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)魏晋时期数学家刘徽(图a)为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图b)，两圆柱公共部分形成的几何体(如图c)即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上)．(1)由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，求此椭圆的离心率；·27·,1(2)如图c，点M在椭圆弧PB上，且三棱锥A-DMC的体积为，求二面角P-AM-C的正弦值．326(2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将△ACH，△CEJ，△EAK分别向上翻转180°，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角π是多面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四3π面体在各顶点的曲率为2π-3×=π.3(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x(i)用x表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积S(x)；(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.27(2023·全国·高三专题练习)北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个ππ面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×=π，故其总曲率为4π．33·28·,(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数．48.(2023·河北·高三校联考阶段练习)已知a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2，c=x3,y3,z3，定义一种运算：a×b⋅c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,1,0，AD=0,2,2，AA1=1,-1,1.(1)证明：平行六面体ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱；(2)计算AB×AD⋅AA1，并求该平行六面体的体积，说明AB×AD⋅AA1的值与平行六面体ABCD-A1B1C1D1体积的关系.49.(2023·全国·高三专题练习)(1)如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Ai∈αii=1,2,3,4，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：Ai∈αii=1,2,3,4，求该正四面体A1A2A3A4的体积．50.(2023·全国·高三专题练习)已知顶点为S的圆锥面(以下简称圆锥S)与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角(圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，OM=a，MS=b．(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，θ关系式；(2)求证：曲线C是抛物线．·29·,51.(2023·湖南·校联考模拟预测)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ．π(1)当α、β∈0,时，证明以上三面角余弦定理；2(2)如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°，∠BAC=45°，①求∠A1AB的余弦值；②在直线CC1上是否存在点P，使BP⎳平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．·30·